Plan du cours: Statistique Descriptive & Probabilité

i i i i i

i  1 i  1 i  1 i  1

i

i

i

i

13

2.2.1.3 Autres moyenne: moyenne d’ordre r

k

La moyenne d’ordre r est donnée par: x ( r ) 





i  1

x ( r )  fi xir

( r )  f x r . Elle est définie pour toute valeur de r. On

i

1

distingue quatre cas :

 r=-1 on obtient la moyenne harmonique :

 k

1

H  k 1

 f i (

i  1 xi



1 ( )

i  1

1

Exemple :

suivantes:	Col2	Col3	Col4
I	1	2	3
Distance di (km)	20	70	10
Vitesse vi (km/h)	50	110	40

km . h

H  G  ~~x~~  Q

2.2.1.4 La médiane

Soit une série statistique classée par ordre de valeurs croissantes ou décroissantes. La médiane

notée Me est la valeur de la variable statistique (modalité) qui partage la population en 2 sous groupes de

même effectif.

14

Comme pour le mode, le calcul de la moyenne dépend de la nature de la variable étudiée

(discrète ou continue).

i) Cas d’un caractère discret

La détermination de la médiane d’une série statistique discrète nécessite d’abord de ranger cette

série par ordre de valeur croissante (ou décroissante).

Si la série comporte un nombre impair de valeur, la médiane sera la valeur de la variable

à l’intérieur de chaque classe. Ensuite, par interpolation linéaire on calcule avec précision la valeur de la

médiane. (C’est à dire partage de l’intervalle en partie proportionnelle).

Soit 0 .

r=2   2  V ( X ) .

21

3 Caractéristique de forme

Outre les mesures de position et de dispersion, on peut chercher à caractériser la forme d’une

distribution au moyen d’un indice approprié. Dans cette section on s’intéresse à la mesure de l’asymétrie

et de l’aplatissement d’une distribution.

3.1 Coefficient d’asymétrie

coefficient est défini par:

Col1	Col2	3 3    F S	Col4	Col5
		Coefficient de Yule	Coefficient de Pearson	~~x~~ , Mo, Mé
Distribution symétrique		Sy = 0	Sp = 0	~~x ~~* Mo  Mé*
Distribution dissymétrique étalée vers la droite (dissymétrie positive)		Sy  0	Sp  0	~~x ~~* Mé *Mo

22

économiques selon la taille.

Les variables statistiques correspondantes sont des variables continues à valeurs positives.

Considérons la distribution des salaires avec l’information qui n’a pas encore été utilisé, la masse

des salaires correspondante à chaque classe.

23

Tableau : distribution des ouvriers selon les salaires : calcul de la valeur globale relative cumulée croissante.

Classe des salaires	C i	n i	VG=cn i i i	= q VG i i VGT	Q i	F i
	Centre de classe	effectif	Valeur globale: VG	Valeur globale relative: VGR	Valeur globale relative cumulée croissante	Fréquence cumulée croissante
[100-120[	110	30	3300	0.021	0.021	0.06
[120-150[	135	70	9450	0.060	0.080	0.2
[150-250[	200	100	20000	0.126	0.206	0.4
[250-350[	300	100	30000	0.189	0.395	0.6
[350-450[	400	130	52000	0.328	0.723	0.86
[450-650[	550	50	27500	0.173	0.896	0.96
[650-1000[	825	20	16500	0.104	1	1
total		500	158750	1

24

5,0 ,0395 Mle  350  100.( )  382.012 dinars

,0395 ,0723

Les ouvriers qui touchent un salaire inférieur à la médiale (382.012 dinars) partagent entre eux la

moitié de la masse salariale (158750 dinars).

25

4.4 L’indice de concentration

a)Définition

L’indice de concentration IG, appelé encore indice de Gini, est le double de l’aire comprise entre la

courbe de concentration et la première bissectrice. C’est un nombre sans dimension, invariant par

changement d’échelle, mais non par changement d’origine, compris entre 0 et 1

T  (Grande base  petite bas e) hauteur  ( Qi  Qi  1 ) f i

petite bas e) hauteur  ( Qi  Qi  1 )

2 2

i   i i  1 i

2

K



 1  2 S  1  ( Qi  Qi  1 ) f i avec Q 0  0et Q k 

I G  1  2 S  1  ( Qi  Qi  1 ) f i

1  2 S  1  ( Qi  Qi  1 ) f i avec Q 0  0et Q k  1

i 

i

1

26

Interprétation

Plus la courbe de concentration se rapproche de la première bissectrice plus la répartition est

égalitaire. Et plus la courbe s’éloigne de la première bissectrice plus la répartition est concentrée. On

distingue 2 cas extrêmes:

• L’indice de concentration est égal à zéro si la courbe de concentration est confondue avec la

première bissectrice: la concentration est nulle (même effectif pour toutes les modalités

: n 1  ...  k ).

OBA: la concentration est parfaite (il  j tel que j [] i [][ i=1,…k). ]

I G	0	]0 - 0.4]	]0.4 - 0.6]	]0.6 - 1[	1
La concentration est:	nulle	faible	moyenne	forte	parfaite

Exemple

Classe des salaires	f i	Q i	Col4	Col5
[100-120[	0.06	0.021	f1(Q1+0)	0.001
[120-150[	0.14	0.080	f2(Q1+Q2)	0.014
[150-250[	0.2	0.206	f3(Q3+Q2)	0.057
[250-350[	0.2	0.395	f4(Q3+Q2)	0.120
[350-450[	0.26	0.723	f5(Q5+Q4)	0.291
[450-650[	0.1	0.896	f6(Q6+Q5)	0.162
[650-1000[	0.04	1	f7(Q7+1)	0.076
total	1			0.721

K

1   ( Qi  Qi  1) f i  1- 0.721  0.279 : il y a une

 1  ( Qi  Qi  1) f i  1- 0.721 

I G  1  ( Qi  Qi  1) f i

i  1

i

1

27

Le développement de la statistique est une des caractéristiques de notre époque. L’introduction de la statistique dans le système éducatif de notre pays est également un phénomène général. Les disciplines les plus diverses ont accueilli la statistique dans leur enseignement : économie, histoire, géographie, démographie, médecine….

28

I- Introduction à la notion de probabilité

1- Définition Comme introduction, il est possible de donner au moins deux définitions pour le concept de probabilité :

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces et on définit les événements suivant concernant la face supérieure du dé :

A=obtenir la face n 4, B=le numéro obtenu est pair,

29

C=le numéro obtenu est impair, D= le numéro obtenu est strictement supérieur à 3.

• A, B, C et D sont tous des événements.

• A est un événement élémentaire.

• B et C sont des événements incompatibles.

• A et B ne sont pas incompatibles, il est de même pour C et D et pour B et D.

b) Opérations sur les probabilités

p ( A  B ) p ( A / B )  et

p ( A  B p ( B / A ) 

p ( A  B )

( B / A )  p ( A )

( A )

p ( A  B )

( A / B )  p ( B )

( B )

Ou encore

p ( A  B )  p ( A / B ). p ( B )  p ( B / A ). p ( A )

30

Définition

L’événement A est dit indépendant de l’événement B si p(A/B)=p(A). Ou encore

p ( A  B )  p ( A ). p ( B )

iii-Formule des probabilités totales

Supposons qu’un événement B peut se réaliser simultanément avec l’un des événements U1,

p ( A )  p ( A et U 1 )  p ( A et U 2 )  p ( A et U 3 )

 p ( A / U 1 ). p ( U 1 )  p ( A / U 2 ). p ( U 2 )  p ( A / U 3 ). p ( U 3 ) .

2 3 3 1 2 1 2  x  x  x  3 6 4 3 4 6 3

31

3)Théorème de Bayes

On suppose qu’un événement B peut se réaliser simultanément avec l’un des événements U1, U2,…,Un. Les événements Ui sont supposés incompatibles entre eux.

On suppose que les probabilités p(Ui) et les probabilités conditionnelles p(B/Ui) sont connues. Le théorème de Bayes nous permet de calculer les probabilités p(Ui/B).

p ( B  U i )  p ( B / U i ). p ( U i ) (1)

Ou encore

p ( U / A )  p ( A / U 1 ). p ( U 1

( U / A )  p ( A / U 1 ). p ( U 1 )

 3

p ( A / U ) p ( U

( A / U ) p ( U )

1 / A )  3 1 1



1 1

i

 1

Ou encore

2 3

x

3 6

x

3

p ( U / A ) 

( U 1 / A )  2 3 3 1 2 1 

x  x  x

1 2

2 3 3 1 2 1

x  x  x

3 6 4 3 4 6

x  x  x

32

Exemple Pour sa production de pièces détachées, une entreprise peut utiliser soit une machine M1 contrôlée électroniquement, soit M2 contrôlée manuellement. D’après le service technique de l’usine 5% et 20% des pièces fabriquées respectivement par M1 et M2 sont défectueuses. 75% de la production de l’usine est faite avec la machine M1.

1-une pièce a été retirée des stocks de l’usine. Calculer la probabilité pour qu’elle soit défectueuse.

2-une pièce a été retournée par un client parce qu’elle s’est avérée défectueuse. Donner la

33

1-Cadre Général

Trois concepts sont souvent à l’origine des confusions dans la théorie de probabilité. Il s’agit " d’expérience aléatoire ", de " variable aléatoire " et, enfin de " loi de probabilité ". Essayons de donner, en premier lieu, les définitions de ces concepts.

que :

pièce.

Tableau 1 : Loi de probabilité dans le cas du lancer d’une pièce de monnaie

Résultats de l’expérience	Pile	Face	
Les valeurs associées aux résultats possibles	0	1
Les probabilités de réalisation des résultats p(X=x)	0.5	0.5	1

Dans la suite, nous retenons uniquement les deux dernières lignes du tableau précédent.

2-Variables aléatoires discrètes

a-Présentation

34

Le plus souvent, l’étude des variables aléatoires discrètes se limites aux cas des variables dont le nombre de cas possibles est fini.

Exemple On lance un dé et on définit la variable aléatoire X comme le numéro de la face supérieure obtenue. Le domaine de définition de X est donné par E={1,2,3,4,5,6}.

Donner la loi de probabilité de X revient à donner, en plus des valeurs possibles de X, les probabilités de réalisation de chacun des événements de E.

Le tableau suivant donne la loi de probabilité du lancer d’un dé.

Tableau 2 : Loi de probabilité dans le cas du lancer d’un dé

x	1	2	3	4	5	6	pi
P(X=x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1

La fonction de répartition F d’une variable aléatoire X est définie par:

F(xi)=p(Xxi) définition française ; F(xi)=p(Xxi) définition anglo-saxonne.

Dans la suite, c’est la première définition qui sera utilisée. Une fonction de répartition F doit toujours satisfaire aux conditions suivantes :

1-elle doit prendre ses valeurs dans [0,1]. (0 F(xi) 1)

35

2-elle doit être une fonction non décroissante (c'est-à-dire croissante ou constante). Si x1  x2 alors F(x1)  F(x2),

3-si les valeurs possibles de X sont connues et égales à x1, x2….,xn alors : F(xi)=0  xi  ]-, x1] F(xi)=1  xi  i

( X )  p ( X  x )

i  1

i

1

Et d’une manière générale l’espérance d’ordre k est donnée par :

n



( X k )  p ( X  x ) x k .

 p ( X 

E ( X k )  p ( X  xi ) xik

i  1

i

1

propriétés

Exemple

X	-3	-2	-1	0	1	2	3	
p(X=x)	0.1	0.15	0.12	0.32	0.13	0.1	0.08	1
x.p(X=x)	-0.3	-0.3	-0.12	0	0.13	0.2	0.24	-0.15
x2.p(X=x)	0.9	0.6	0.12	0	0.13	0.4	0.72	2.87
y=3.x~~2~~-4	23	8	-1	-4	-1	8	23

1

x i	-3	-2	-1	0	1	2	3
P(X=xi)	0.1	0.15	0.12	0.32	0.13	0.10	0.08

37

E ( X )  x . p ( X  x ) =-0.15



E ( X 2 )  x 2 p ( X  x ) =2.87



2-	Col2	Col3	Col4	Col5	Col6
_Y _	-4	-1	8	23
p(Y=y)	0.32	0.25	0.25	0.18	1
y.p(Y=y)	-1.28	-0.25	2	4.14	4.61

a) E ( Y )  y . p ( Y  y )  4.61

• Si Y=ax+b alors V(Y)=a [2] V(X).

• Si Z=Y+X alors V(Z)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y).

• Si Z=Y-X alors V(Z)=V(X)+V(Y)-2Cov(X,Y).

• Si X et Y sont indépendantes, les deux dernières propriétés deviennent : Z=Y+X alors V(Z)=V(X)+V(Y). Z=Y-X alors V(Z)=V(X)+V(Y).

La nullité de la covariance est une propriété de variables aléatoires indépendantes.

38

iv-Les moments d’ordre k La notion de moment généralise la notion de l’espérance E(X) pour calculer E(X [2] ), E(X [3] ),…,E(X ),…

Pour une variable aléatoire X, on définie : -son moment simple d’ordre k par mk= E(X ) et ; -son moment centré d’ordre k par Mk= E .

Les différents moments d’une variable aléatoire peuvent être obtenus directement à partir de sa fonction génératrice des moments.

On calcule les dérivées successives par rapport à t de Mx(t) définie par :

2 2 3 3

t 2 E ( X 2 ) t 3 E ( X 3 ) M x ( t )  E ( etX )  1  tE ( X )   

t 2 E ( X 2 )

( t )  E ( etX )  1  tE ( X ) 

( X 3 )

 ....)

3

2

39

Pour écrire :

 M x ( t ) 2 t E ( X 2 ) 3 t 2 E ( X 3 )  E ( X )     t 2 3

( t ) 2 t E ( X 2 )

 E ( X ) 

 ....

3

M x ( t

2 2 3

3 t 2 E ( X 3 )

2

 2 M x ( t )  E ( X 2 )  tE ( X 3 )  12 t 2 E ( X

 t 2 4

2

M x ( t

x ( t )  E ( X 2 )  tE ( X 3 )  12 t 2 E ( X 3 )

2

 ....

4

x  E ( X 2 )  tE ( X 3 )  

 t 2 4

 t 3

3

M x ( t

3

 t 3

…………ect

différents moments.

 M x ( t )  E ( X )  t

i-Loi de Bernoulli

suivante :

Résultats possibles de l’expérience	Succès	Echec	Col4
xi : valeurs possible de X	1	0	
p(X=xi)	p	q=1-p	1

V(X)= 1 [2] xp+0 [2] q-p [2] =p-p [2] =p(1-p)=pq.

Mx(t)=pe +qe [0] =q+ pe

Exemple

On lance un dé, et on s’intéresse au numéro de la face supérieure obtenue. Soit X l’événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à 4".

40

Donner la loi de probabilité de X.

Résultats du dé	 4	 4	Col4
xi : valeurs possible de X	1	0	pi
p(X=xi)	4/6	2/6	1

ii-Loi binomiale

expériences. Elle sera notée :

X  B(n,p) Exemple

des 3 lancers sont: PPP, PPF, PFP, PFF, FFF, FFP, FPF, FPP.

probabilité de cette variable aléatoire :

x i	0	1	2	3	p i
P(X=xi)	1/8	3/8	3/8	1/8	1

( p  q ) n  1 n  1

tirages avec remise d’une boule de l’urne. Soit X l’événement "tirer une boule rouge".

1- Quelle est la loi de X, E(X), et V(X). 2- Calculer la probabilité de tirer exactement 15 fois une boule rouge. 3- Calculer la probabilité de tirer aux moins deux fois une boule rouge.

Correction

1- X  B(40, p=70/100).

41

15 15 40  15 2- p ( X  15)  C 40 (7,0) ()3,0 .

40

3- p ( X  2)   C 40 k (7,0) k ()3,0 40  k  1 

 2)  C k (7,0) k ()3,0 40  k  1 

1

p ( X  2)  C k (7,0) k ()3,0 40  k  1  C

( X  2)  C 40 k (7,0) k ()3,0 40  k  1  C 40 k (7,0) k (3,0)

40 k (7,0) k (3,0) 40

k k 40  k



2

0

k



k



 1  C 400 (7,0)0 ()3,0 40  C 401 (7,0)1 ()3,0 40  1

Résultat Si X suit une loi binomiale de paramètre n et p, alors elle peut être écrite comme la somme de n

p ( X  k )   e  k  e    k

 

k

  e  





 e

k ! k  0 k



p ( X  k )   e 

  

k

 k )   e  



0 k  0 k  0

( X  k )   e  1

k  0 k ! k  0 k !

k

k  0 k





Résultat

L’espérance, la variance et la fonction génératrice des moments d’une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre  sont respectivement :

42

E ( X )   V ( X )  

M X ( t )  e  ( et

 e  ( et 



( t )  e  ( e  1)

Exemple Le matin durant une heure, en moyenne 5 appels sont réalisés à partir d‘une cabine téléphonique. Comment trouver qu’il y ait, exactement 3 appels de cette cabine durant une heure donnée.

q V ( X ) 

p 2

V-Loi hypergéométrique

Une urne contient N boules est composée de :

43

-Np boules d’une couleur donnée, noire par exemple et de ; -Nq boules d’autres couleurs (autres que la noire).

Les boules de couleur noire sont en proportion p=Np/N et les autres en proportion 1-p=Nq/N.

Si on réalise n tirages sans remise de l’urne et on définie par X le nombre de boules obtenues après les n tirages sans remise alors on dit que X suit une loi hypergéométrique de paramètres N, n et p (avec p=Np/N). Elle sera notée :

La loi binomiale et la loi hypergéométrique sont toutes les deux basées sur des suites de variables aléatoires de Bernoulli. Mais les deux lois différent du fait que :

-La loi binomiale suppose une même loi de Bernoulli quel que soit le nombre d’expérience réalisées, ce qui donne comme conséquence la constance de la probabilité p.

-pour la loi hypergéométrique, elle utilise des lois de mais différentes d’une expérience à une autre et évidemment les probabilités p différent d’une expérience à une autre.

44

Col1	Expérience aléatoire et la probabilité correspondante	Espérance mathématique	variance	Fonction génératrice des moments
Loi de Bernoulli	k kq p k X p    1 ) ( avec k={0,1}	E(X)= p	V(X) = pq.	Mx(t)=q+ pet
Loi binomiale	k n k k n q p C k X p   ) (	np X E  ) (	npq X V  ) (	n t x pe q t M ) ( ) (  
Loi de Poisson	    ,..., 1,0 ) ( k avec k e k X p k  	  ) (X E	  ) (X V	) 1 ( ) (   te X e t M 
Loi hypergéo métrique	n N k n N k N C C C k X p q p   ) (	np X E  ) (	N N X V ) (   	n 1

45

1- Définition d’une fonction de densité Une variable aléatoire X est dite continue si elle peut prendre toutes ou presque toutes les valeurs d’un intervalle et s’il existe une fonction f appelée fonction de densité, telle que la probabilité pour que X prenne une certaine valeur dans un intervalle soit égale à :

b



x

3. soit non décroissante, c'est-à-dire croissante ou constante.

Comme dans le cas discret, les variables aléatoires continues seront caractérisées essentiellement par leurs espérances et leurs variances. Néanmoins, d’autres caractéristiques telles que la médiane, le mode etc.… peuvent être calculées.

3-L’espérance mathématique et la variance

46

Définition L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X, notée E(X), est la moyenne arithmétique des valeurs possibles de X pondérées par leurs probabilités correspondantes.

Dans le cas d’une variable aléatoire X continue, l’espérance sera donnée par :





E ( X )   xf ( x ) d ( x )



Et d’une manière générale l’espérance d’ordre k est donnée par :

 E ( X

t 2

 E ( X

t 3

,……

M x ( t )   t 2

M x ( t )   t 3

,  3 M x ( t )  E ( X 3 ) 3



3

 M x ( t )  E ( X )  t

,  2 M x ( t )  E ( X 2 ) 2



2

47

48