Lycée Clemenceau
PCSI 1 -Physique
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 (O.Granier)
Le champ magnétique
La loi de Biot et Savart
Olivier GRANIER
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I – Présentation du champ magnétique
1 - Introduction :
L’électrostatique est l’étude des interactions entre particules chargées
immobiles.
La magnétostatique est l’étude des interactions entre particules chargées
en mouvement (en régime indépendant du temps).
Certains corps aimantés (comme la magnétite, Fe3O4) attire le fer.
L’acier, par frottement contre un aimant naturel, acquiert des propriétés
équivalentes.
Des conducteurs parcourus par des courants sont également sources de
champs magnétiques.
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Les interactions électriques et magnétiques
sont étroitement liées (exemple :
phénomène d’induction).
Elles représentent deux aspects différents
d’une seule propriété de la matière : sa
charge électrique.
charge électrique.
Le magnétisme est une manifestation des
charges électriques en mouvement.
(Ci-contre : lignes du champ magnétique
créé par un barreau aimanté)
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Lignes de champ magnétique, pôle nord, pôle sud :
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Champ magnétique terrestre :
Il ressemble à celui d’un barreau
aimanté incliné.
Une aiguille de boussole s’aligne
dans la direction du champ,
dans la direction du champ,
approximativement vers le pôle nord
approximativement vers le pôle nord
géographique, qui n’est pas très loin
du pôle magnétique sud de la Terre.
Ce champ s’étend jusqu’à des
milliers de kilomètres dans l’espace
et possède la symétrie de révolution
autour de l’axe du barreau aimanté
fictif.
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N
S
N
N
S N
S N
S
S
N S
N S N S N S
N
N
S
S
Dipôles magnétiques :
Les fragments d’un barreau aimanté
ont toujours deux pôles (un pôle
nord et un pôle sud).
Un aimant se comporte comme s’il
était composé de petites unités
était composé de petites unités
bipolaires, appelées dipôles
magnétiques.
Il n’existe pas de monopôles
magnétiques (équivalents des
charges électriques ponctuelles).
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N
S
N
S
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2 – Définition du champ magnétique :
On considère une particule ponctuelle q placée au point M. Au voisinage
d’un aimant ou d’un conducteur parcouru par un courant, elle est soumise à
la force magnétique :
r
f
f
r
r
Bvq
Bvq
∧
∧
=
=
Cette force permet de définir le champ B (par l’intermédiaire de la charge
test q, de la même manière qu’en électrostatique).
Unités du champ magnétique :
Dans le SI : le Tesla (T)
410
−
1
T
Le Gauss :
G
=
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II – Les sources du champ magnétique
Le but de ce chapitre est d’étudier les champs magnétiques créés par
des conducteurs parcourus par des courants.
Ces courants peuvent être volumiques, surfaciques ou linéiques.
1 – Répartition volumique de courant :
On considère un ensemble de particules de charge q, de densité
particulaire n et ayant un mouvement d’ensemble à la vitesse v.
On notera dans la suite :
m =ρ
nq
la densité de charges mobiles (exprimée en C.m – 3).
Comment définir l’intensité qui traverse une surface dS quelconque ?
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r
v
M (q)
dS
r
dtv
r
v
rθ
n
n
La quantité de charges électriques
dq qui traverse la surface
élémentaire dS pendant l’intervalle
de temps dt est :
dq
τ=
qdn
Soit :
Soit :
dq
=
vnq
θcos
dS
dt
cos
dS
=θ
rr
.
dSnv
dt
Or :
v
D’où :
Volume
d
τ
=
(
vdt
)(
dS
)
cos
θ
dq
(=
rr
).
dSnvnq
dt
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r
j
rθ
n
dS
dS
L’intensité électrique di qui traverse la surface
dS est ainsi :
di
=
dq
dt
rr
).
dSnvnq
(=
On voit que l’intensité s’interprète comme étant
On voit que l’intensité s’interprète comme étant
le flux du vecteur :
r
j
r
vnq
=
r
v
ρ=
m
à travers la surface dS orientée. Le vecteur j est appelé vecteur densité
volumique de courant électrique.
A travers une surface « finie » (S), on écrira (flux total du vecteur j à
travers la surface totale S) :
rr
.
dSnj
i
∫∫=
(
S
)
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Flux de j et conservation de la charge :
r
n
dS
dS
ρρρρm
ρρρρm
Volume
V
r
j
On considère un volume V délimité par une
surface fermée S (fixe dans le référentiel
d’étude).
Soit ρρρρm la densité volumique de charges
mobiles dans le milieu. La charge totale
mobiles dans le milieu. La charge totale
Q(t) comprise dans le volume à l’instant t
vaut :
)(
tQ
=
∫∫∫
(
V
)
ρ
m
(
),
dtM
τ
La conservation de la charge électrique permet d’écrire :
)(
t
dQ
dt
−=
)(
àti
travers
S
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Par conséquent :
d
dt
∫∫∫
(
V
)
ρ
m
(
),
dtM
−=
τ
rr
.
dSnj
∫∫
(
S
)
Le volume V étant fixe :
Le volume V étant fixe :
d
dt
∫∫∫
(
V
)
ρ
m
(
),
dtM
=
τ
∫∫∫
(
V
)
∂
ρ
m
(
),
tM
t
∂
d
τ
Finalement, le principe de conservation de la charge conduit à :
∫∫∫
(
V
)
ρ
∂
m
(
),
tM
t
∂
d
τ
−=
∫∫
(
S
)
rr
.
dSnj
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Exemple 1 : (cylindre infini parcouru par un courant volumique)
z
∞
r
j
r
zurj
)(=
r
dS
dS
M
z
O
θθθθ
y
On choisit un vecteur densité de
courant dirigé selon (Oz), à
symétrie cylindrique (la norme de j
ne dépend que la distance r à l’axe
(Oz)).
(Oz)).
Par exemple :
r
j
r
)(
urj
=
=
z
r
uj
0
z
r
R
L’intensité à travers dS est alors :
x
∞
di
=
Et :
i
=
)(
dSrj
R
∫
0
=
)(
rj
rdr
)(
rj
rdr
2
π
∫
d
θ
0
θd
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z
∞
r
j
r
zurj
)(=
Publicité
r
r
dS
M
z
O
θθθθ
∞
x
Soit :
i
=
R
∫
2
π
0
2
r
R
j
0
dr
=
2
2
R
π
3
j
0
Si le vecteur j avait été constant
(et égal à j0), alors l’intensité à
travers une section quelconque du
cylindre aurait été :
y
i π=
2 jR
0
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Exemple 2 : (Boule chargée en rotation)
Une sphère de rayon R porte une charge Q uniformément répartie en volume
(avec une densité notée ρρρρ). Elle tourne autour de l’un de ses diamètres à la
vitesse angulaire ωωωω constante dans le référentiel du laboratoire.
z
r < R
M
r
ϕu
O
r
ω
Vecteur densité de courant :
Vecteur densité de courant :
r
3
Q
v
3R
4
π
=
=
ρ
(
ρ
r
sin
r
ϕθω u
r
j
r
v
)
Avec , il vient :
r
sin
u
ϕθωρ
=
r
=
r
j
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2 – Répartition surfacique de courant :
Lorsque la distribution de courants se trouve confinée sur une épaisseur
très faible (par rapport aux deux autres dimensions d’espace), on pourra
utiliser une modélisation surfacique.
modélisation volumique
modélisation surfacique
r
n
r
j
mρ
dS
h
ld
r
j
rr
.
dSnj
ρ=
m
=
r
v
rr
.
dhnj
di
=
r
n
mσ
r
sj
ld
r
j
=
r
v
σ=
rr
m
l
s .
dnj
di
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l
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3 – Répartition linéique de courant :
Les conducteurs de faible section sont assimilés à des fils.
Le courant « linéique » est alors simplement le courant parcouru par le
fil.
Le courant électrique dépend a
priori du temps et du point M.
Circuit
Circuit
filiforme
(
),
1 tMi
M2
M1
(
),
2 tMi
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III – La loi de Biot et Savart
Cette loi a été énoncée en 1820 par les physiciens Biot et Savart.
Ces physiciens ont notamment déterminé les champs magnétiques créés
par les deux circuits suivants :
∞
∞
∞
∞
r
(1 AB
)
A
a
a
I
I
µ
0
2
a
π
1
+
2
2
)
(
AB
1
=
∞
r
(2 AB
)
A
a
a
a
I
(
)
AB
2
=
I
µ
0
2
a
π
1
+
π
4
∞
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1 – Énoncé de la loi de Biot et Savart :
On considère un circuit filiforme fermé (C) parcouru par un courant
d’intensité I constante.
(C)
I
r
l
d
P
r
MPu →
r
l
Id
r
(
MBd
P
)
=
µ
0
4
π
r
u
→∧
MP
2
PM
r
(MB
)
r
(MBd P
)
M
r
(
MB
)
=
µ
0
4
π
∫
(
C
)
r
l
Id
r
u
→∧
MP
2
PM
µ
0
:
perméabili
té
du
vide
(
=
πµ
4
10
0
7
−
SI
,
µε
0
0
c
2
=
)1
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2 – Un 1er exemple de calcul de champ : conducteur rectiligne
On considère un segment AB considéré comme un tronçon d’un circuit
r
filiforme parcouru par un courant d’intensité constante I. Le champ
l
d
élémentaire créé par l’élément (centré en P) au point M est :
I
I
z
B
B
r
l
d
P
r
MPu →
r
zu
r
ru
A
O
ϕϕϕϕ
r
r
(
(
MBd
MBd
P
P
)
)
=
=
Id
µ
0
4
π
π
r
l
∧
r
u
PM
2
2
r
(
)
(
)
uMdB
uMdB
θ
θ
P
P
=
=
PM
r
u
cos
ϕ sin
−
r
r
r
u
u
∧
PM
z
Idz
r
u
PM
r
u
PM
=
=
r
u
z
ϕ
r
θϕ udz
cos
=
I
∧
r
l
Id
r
θu
M
(
MdBP
)
=
µ
0
4
π
I
cos
PM
ϕ
2
dz
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I
I
z
B
r
l
d
P
Publicité
r
MPu →
r
zu
r
ru
A
O
ϕϕϕϕ
r
r
(MB
)
M
On choisit l’angle ϕϕϕϕ comme variable d’intégration :
cos
ϕ
=
r
PM
donc
PM
=
r
cos
ϕ
tan
tan
ϕ
ϕ
=
=
z
r
r
;
;
z
z
=
=
r
r
tan
tan
ϕ
ϕ
et
et
dz
dz
=
=
rd
ϕ
2
2
cos
ϕ
ϕ
(
MdBP
)
=
µ
0
4
π
I
cos
ϕ
2
cos
2
r
Soit :
(
MdBP
)
I
µ
0=
4
π
1
r
cos
d
ϕϕ
rd
ϕϕ
2
cos
ϕ
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I
I
z
B
A
O
ϕϕϕϕΒΒΒΒ
ϕϕϕϕΑΑΑΑ
r
ru
(
MdBP
)
I
µ
0=
4
π
1
r
cos
d
ϕϕ
Par intégration :
r
(MB
)
(
MB
)
=
µ 1
1
I
I
µ
0
4
r
π
ϕ
ϕ
B
∫
∫ B
ϕ
A
cos
d
ϕϕ
r
M
(
MB
)
=
I
µ
0
4
π
1
r
(
sin
ϕ
B
−
sin
ϕ
)A
Remarque : ce résultat permet de calculer le champ magnétique créé
par des circuits polygonaux.
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Cas du fil infini :
On a alors :
ϕ
A
π
2
−→
∞
et
ϕ
B
+→
π
2
Lignes de champ
r
B
∞
Par conséquent :
1
r
I
0µ
0
2
π
(
(
MB
MB
=
=
)
)
r
(
MB
)
r
1
I
µ
0=
u
θπ
2
r
: petit bonhomme
d’Ampère
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3 – Propriétés de symétrie du champ magnétique :
On considère une répartition volumique de courants assimilables à des fils
infinis collés les uns aux autres.
Conducteur
Conducteur
P
r
l
Id
PS
r
l
Id
(ΠΠΠΠ+)
Cette répartition de courants possède un
plan de symétrie (ΠΠΠΠ+) : aux points P et PS,
existent les mêmes éléments de courants
Id
r
l
.
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M
r
(MBd P
)
r
(
P MBd
)
S
S
P
PS
r
MPu →
MPu →
r
S MPu →
MPu →
S
(ΠΠΠΠ+)
MS
r
(
MBd
P
))
Sym
+Π
(
M est un point quelconque de l’espace et MS son symétrique par rapport au
plan (ΠΠΠΠ+) :
sym
=
)
M S
r
(
MBd
P
)
=
µ
0
4
π
+Π
(M
r
l
Id
∧
r
u
PM
MP
→
2
;
r
MBd
P
S
(
)
=
S
Id
µ
0
4
π
r
l
r
u
∧
MP
S
MP
→
S
2
S
S
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M
r
(MB
)
P
PS
r
MPu →
MPu →
r
S MPu →
MPu →
S
Avec :
PM
=
MP
S
S
;
r
u
MP
→
S
S
=
Sym
Π
r
(
u
+
)
MP
→
r
(
SMB
)
MS
r
( MB
(
))
Sym
+Π
Et en utilisant les propriétés du produit vectoriel, on montre que : :
r
MBd
PS
(
−=
)
S
r
(
MB
Sym
+Π
(
)
−=
S
Sym
r
))
(
MBd
P
r
(
MB
(
+Π
Par intégration, on déduit :
))
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Si M appartient au plan (ΠΠΠΠ+), M et MS sont
confondus.
P
r
l
Id
PS
r
l
Id
M
r
(MB
)
Plan de
symétrie ΠΠΠΠ+
Par conséquent :
r
(
(
MB
MB
Sym
Sym
−=
−=
r
(
(
MB
MB
Publicité
(
(
)
)
+
+
Π
Π
))
))
soit
soit
r
(
(
MB
MB
)
)
(
(
Π⊥
Π⊥
+
)
)
M
(
Π∈
+
)
⇒
r
(
MB
)
(
Π⊥
+
)
« C’est le contraire du champ
électrostatique ! »
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On considère une répartition volumique de courants assimilables à des fils
infinis collés les uns aux autres.
Conducteur
Cette répartition de courants possède un
plan d’anti-symétrie (ΠΠΠΠ-) : aux points P et
PS, existent des éléments de courants de
sens opposés.
sens opposés.
P
r
l
Id
PS
r
l
Id−
(ΠΠΠΠ−−−−)
On montre alors que, pour :
=
sym
(M
)
M S
−Π
r
(
MB
)
=
S
Sym
−Π
r
(
MB
(
))
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Si M appartient au plan (ΠΠΠΠ-), M et MS sont
confondus.
P
r
l
Id
PS
r
l
Id
r
(MB
)
M
Plan de
symétrie ΠΠΠΠ-
Par conséquent :
r
r
(
(
(
(
MB
MB
MB
MB
Sym
Sym
=
=
(
(
)
)
−
−
Π
Π
))
))
soit
soit
r
(
(
MB
MB
)
)
(
(
Π⊥
Π⊥
−
)
)
M
(
Π∈
−
)
⇒
r
(
MB
)
(
Π∈
−
)
« C’est le contraire du champ
électrostatique ! »
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IV – Calculs classiques de champs magnétiques
1 – Spire circulaire :
z
r
)(zB
M(z)
A
R
O
r
( zB −
)
x
M(-z)
B
y
Une spire circulaire (C) de rayon R
est parcourue par un courant
constant d’intensité I.
On souhaite calculer le champ
On souhaite calculer le champ
magnétique en un point M situé sur
magnétique en un point M situé sur
l’axe (Oz) de la spire.
Étude des symétries :
Tous les plans contenant l’axe (Oz)
sont des plans d’anti-symétrie, par
conséquent :
r
zB
)( =
r
)(
zuzB
Le plan (Oxy) est un plan de symétrie pour la répartition de courants,
par conséquent :
r
(
zB
r
)(
zB
)
=−
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A
B
Lignes de champ dans le
plan (Oyz)
(1 bobine)
Les lignes de champ sont des
lignes fermées.
Les lignes de champ ne
divergent pas à partir de leurs
sources (les courants) mais
tourbillonnent autour de
celles-ci.
La règle de la main droite
donne l’orientation des lignes
de champ.
Animation Java
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Lignes de champ dans le
plan (Oyz)
(2 bobines)
Animation Java
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Lignes de champ dans le
plan (Oyz)
(4 bobines)
Animation Java
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Calcul du champ sur l’axe :
r
(MBd P
)
z
r
)(zB
M(z)
O
αααα
r
MPu →
y
r
l
d
P
x
Figure dans le plan
méridien (OPM)
Le champ élémentaire créé par l’élément
de longueur au point P vaut :
d
r
l
r
l
r
u
∧
PM
)
)
Id
µ
0
4
π
r
(MBd P
(MBd P
MP
→
2
r
(
MBd
P
)
=
z
z
M(z)
r
αu
αααα
r
MPu →
r
l
d
O
P
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r
(MBd P
)
z
r
)(zB
M(z)
O
αααα
r
MPu →
y
r
l
d
P
r
l
d
Les vecteurs et sont
r
perpendiculaires et le champ élémentaire
αu
est porté par :
r
MPu →
r
(
MBd P
)
=
µ
0
4
π
Id
l
2
PM
r
u
α
En projection sur l’axe (Oz) :
dB
,
zP
(
M
)
=
µ
0
4
π
Id
l
2
PM
r
r
.
uu
α
z
x
dB zP
,
(
M
)
=
µ
0
4
π
Id
l
2
PM
cos
π
2
−
α
=
µ
0
4
π
Id
l
2
PM
sin
α
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Soit, en intégrant sur le périmètre de la spire (avec PM = cste) :
(
MB
)
=
I
µ
0
4
π
R
Avec , il vient :
PM
PM
=αsin
)
sin
α
2(
R
π
2
PM
r
(
MB
)
=
sin
3
α
r
zu
I
µ
0
2
Publicité
R
sin
Ou encore, avec :
=α
R
2
R
2
+
z
r
(
MB
)
=
I
µ
0
2
R
3
R
(
R
2
+
z
)
2/32
r
zu
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Le champ au centre de la spire est :
(
OB
)
=
La courbe suivante trace l’allure de :
I
0µ
2
R
B(M)/B(O)
(
MB
(
(
OB
OB
)
)
)
=
3
R
(
(
R
R
2
2
+
+
z
z
)
)
2/32
2
=
1
)2
) 2/32
u
u
(
(
1
1
+
+
(
Avec
u
=
z
R
)
u
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PCSI 1 -Physique
2 – Bobines de Helmholtz :
Face
Nord
I
I
x
z
R
r
B
O
R
y
Deux spires identiques, de
rayons R et d’axe (Oz) sont
distantes de R.
Elles sont parcourues, dans le
Elles sont parcourues, dans le
même sens, par le même courant
d’intensité I.
Face Sud
Animation Java
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Lignes de champ :
Animation Java
Les lignes de champ sont fermées et tourbillonnent autour des sources.
Entre les deux spires, les lignes de champ sont parallèles.
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Valeur algébrique du champ magnétique le long de l’axe des bobines de
Helmholtz :
Les bobines de
Helmholtz produisent
Helmholtz produisent
un champ quasi-
uniforme dans la
région intérieure du
dispositif.
u = z / a
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Animation Java
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Animation Java
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3 – Solénoïde fini et infini (à section circulaire) :
Un solénoïde est un circuit constitué de spires jointives enroulées sur un
cylindre dont la section est ici supposée circulaire.
On note L sa longueur, R le rayon de sa section circulaire et N le nombre
total de spires.
L
L
I
I
M
N spires
z
On calcule le champ en un point M quelconque de l’axe (Oz) (intérieur ou
extérieur au solénoïde).
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Tout plan contenant l’axe (Oz) est un plan d’anti-symétrie. Par conséquent :
r
r
zuMBMB
=
)
(
)
(
La spire centrée sur O’ crée au point M le champ : :
r
(
(
MB
MB
'
'
O
O
)
)
=
=
sin
sin
3
α
α
r
u
u
z
z
I
µ
0
2
R
I
αααα
I
M (z = 0)
O’
z
dz
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Dans l’élément de longueur dz, il y a (N/L)dz spires. Le champ créé par
l’élément dz du solénoïde est ainsi :
N
L
r
(
MBd
nI
µ
0
2
R
I
µ
0
2
R
r
udz
sin
sin
r
u
α
α
dz
=
=
)
3
3
z
z
Où n = N/L est le nombre de spires par unité de longueur.
I
αααα
I
M (z = 0)
O’
z
dz
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On choisit αααα comme variable d’intégration :
z
=
MO
;'
tan
α
=
R
z
;
z
=
R
cot
an
α
;
dz
−=
R
2
sin
α
d
α
r
(
MBd
)
nI
µ
0−=
2
2
sin
d
αα
r
zu
I
αααα1111
αααα
αααα2222
I
M (z = 0)
O’
z
dz
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En intégrant entre les valeurs extrêmes αααα1 et αααα2 :
r
(
MB
)
−=
nI
µ
0
2
α
2
∫
α
1
sin
d
αα
r
(
MB
)
=
nI
µ
0
2
2
(
(
cos
α
2
2
−
cos
α
1
1
r
zu
r
zu
z
)
)
I
αααα1111
αααα
αααα2222
I
M (z = 0)
O’
z
dz
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Pour un solénoïde infini (à section circulaire) :
πα
→
1
et
α
2
→
0
r
(
MB
)
µ=
0
r
zunI
(Champ uniforme)
I
αααα1111
αααα
αααα2222
I
M (z = 0)
O’
z
dz
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4 – Disque de Rowland :
On note O le centre du disque (de rayon a), initialement chargé
uniformément en surface avec une densité surfacique σσσσ. Le disque
tourne autour de l’axe (Oz) perpendiculaire au plan du disque, à la
vitesse angulaire constante ωωωω.
z
z
r
r
r
r
u
zu
ωω=
ωω=
P (z)
r
zu
O
a
Boussole
σ
Déterminer le champ magnétique
B(P) créé par le disque en un
point P(z) de l’axe (Oz).
Solution (pdf)
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