PROF: Mr BECHA Adel ( prof principal) 4 eme Sciences exp , maths et technique Matière : Sciences physiques www.physique.ht.cx

Oscillations mécaniques forcées

-1 Définition

Un oscillateur, de fréquence propre fo = 1 / To, subit des oscillations forcées s'il oscille à une fréquence f imposée par un appareil extérieur appelée excitateur.

2 Etude expérimentale

· Le résonateur étudié est le pendule élastique représenté sur le schéma ci-dessous.

· Grâce à un moteur, on applique au pendule élastique, amorti par frottement solide-liquide, une force motrice extérieure, de période T pouvant être différente de la période propre

de l'oscillateur.

L'excitateur (moteur), de fréquence réglable, impose sa fréquence f au résonateur. Il agit, par l'intermédiaire d'une poulie et d'un fil sur l'extrémité haute du ressort.

- Changeons la fréquence f de l'excitateur et mesurons l'amplitude des oscillations du résonateur.

L'amplitude du résonateur passe par un maximum pour une fréquence particulière fr imposée par l'excitateur (fréquence de résonance).

Cette fréquence de résonance fr est proche de la fréquence propre fo du résonateur si l'amortissement est faible.

La courbe donnant les variations de l'amplitude des oscillations du résonateur en fonction de la fréquence qui lui est imposée par l'excitateur s'appelle courbe de résonance.

Influence de l'amortissement : Si l'amortissement augmente (en plaçant le solide du résonateur dans des liquides de plus en plus visqueux) la fréquence de résonance diminue et la résonance devient plus floue. Il n'y aurait plus de résonance si l'amortissement devenait très important.

3-Etude théorique

Nous avons un pendule élastique formé d’un solide de masse m et d’un ressort de raideur k

soumis à une force de frottement

où h est le coefficient de viscosité du frottement.

L’étude de son mouvement nous donne l’équation différentielle suivante :

On pose x=Xm sin t

L'équilibre différentielle des oscillations mécaniques forcées est (md2x/dt2)+(hdx/dt)+kx=F (somme de trois fonctions sinusoïdales est une fonction sinusoïdale). On associe à chaque fonction un vecteur de Fresnel

kx = Xm sin t

1( kXm ; 0 )

hdx/dt = hXm sin( t+p/2)

2( hXm ; /2 )

md2x/dt2 = m2Xm sin( t+ )

3(m2Xm ;  )

F = Fm sin(t+ )

( Fm ; φ)

F = kx + (hdx/dt) + (md2x/dt2 )

2 +

trois cas à étudier :(<0, =0 et >0 )

Amplitude des oscillations :

OAB est un triangle rectangle OB² = OA² + AB² d'où Fm² = (( K - m²)Xm)² + (hXm)² = Xm²(K - m²)² + h²²)

Xm² = Fm²/(h²² + (K - m²)²)

Xm =

* Phase initiale φ : tgφ = AB/OA = hXm/(K - m²)Xm = h/(k-m²)

Conclusion : Pour k, m, h, Fm données, l'amplitude et la phase initiale varient avec la fréquence de l'excitateur.

Résonance d'élongation :

A la résonance d'élongation l'amplitude Xm =

est maximale.

Xm est maximale lorsque le dénominateur h²w² + (K - mw²)² est minimum ça signifie que d(h²w² + (K - mw²)²)/dt est nul. En résolvant cette équation on trouve que la pulsation à la résonance wr vérifie la relation suivante :w²r = w²0-h²/2m²

e l'amortissement est faible la résonance est dite aiguë.

l'amortissement est important la résonance est dite floue.

Lorsque

Conclusion :

A la résonance d'élongation : * L'amplitude Xm est maximale. * La pulsation de l'excitateur est légèrement inférieure à celle du résonateur.

2-/ Résonance de vitesse : A la résonance de vitesse la valeur maximale Vm de la vitesse atteint son maximum. Vm = w.Xm d'où V²m = F²m/(h² + (mw - k/w)²).

est maximale signifie que la pulsation à la résonance de vitesse est wr =w0 d'où tgφ = 0,