Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)

occupée B’ = N(1+k) .BN ce qui est inefficace spectralement.

•

La réalisation des N modulateurs et démodulateurs indépendants sont très

difficiles à réaliser ainsi d’ailleurs que les filtres quasi-parfaits à la réception.

• Cette méthode a été abandonnée au profit des systèmes multi-porteuses

avec recouvrement.

16

Modulation multi-porteuses avec recouvrement

On améliore l’efficacité spectrale est utilisant des canaux qui se recouvrent.

Les sous-porteuses doivent rester orthogonales pour pouvoir être séparées à la

démodulation. Les sous-porteuses forment une base de fonctions orthogonales

sur la durée d’un symbole TN.

Le recouvrement des canaux implique une grande sensibilité aux décalages

fréquentiels et temporels car ils détruisent l’orthogonalité des sous-porteuses.

17

Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM)

La seule méthode simple et peu coûteuse pour réaliser une modulation multi-

porteuses consiste à utiliser la TFD et la TFD inverse.

C’est l’OFDM. il existe des algorithmes rapides pour calculer les transformations

(FFT et IFFT) et la base d’exponentielles complexes est orthogonale.

18

OFDM : émission

x(t)

Longueur N

Durée TN

Symbole n-1

Symbole n

Symbole n+1

t

19

OFDM : réception

Pour que le décodage soit possible :

• il faut être capable de reconnaitre le début du symbole OFDM,

• il faut que le signal OFDM soit ramené en bande de base.

20

simulation OFDM : émission

% Nombre d'états de la QAM.

M = 16;

% Nombre de porteuses dans le symbole OFDM

Nb = 64;

%Nombre de symboles OFDM dans la simulation

NbSym = 10;

% Tirage aléatoire d'entiers allant de 0 à M-1

R = randint(Nb*NbSym,1,M);

% Mise en constellation QAM.

[I Q] = qaskenco(R,M);

X = I+j*Q; scatterplot(X); figure

% Création signal OFDM

x = zeros(size(X));

for i = 1:NbSym

% calcul ième symbole OFDM

symbole=ifft(X((i-1)Nb+1:iNb));

% sauvegarde du symbole i dans x

x((i-1)Nb+1:iNb) = symbole;

end

subplot(2,1,1); plot(real(x))

title('partie réelle de x')

subplot(2,1,2); plot(imag(x))

title('partie imaginaire de x')

21

simulation OFDM : réception

% ajout de bruit complexe

x = x + 0.06(randn(size(x)) + jrandn(size(x)));

for i = 1:NbSym

% décodage du symbole i

y=fft(x((i-1)Nb+1:iNb));

% sauvegarde du ième symbole décodé

Xdec((i-1)Nb+1:iNb) = y;

end

scatterplot(Xdec)

% décodage des symboles décodés

Rdec=qaskdeco(real(Xdec), imag(Xdec), M);

% Calcul du taux d'erreurs symbole

cnt_err = 0;

for i=1:Nb*NbSym

if Rdec(i) ~= R(i)

cnt_err = cnt_err+1;

end

end

TES = cnt_err / (Nb*NbSym)

TES =

0.0027

22

OFDM : x réel ou imaginaire ?

Si on place N points complexes sur

l’entrée de la IFFT, on obtient un signal

complexe x = I+jQ.

Avec une IFFT 2N point, si on place N

points sur la partie basse et le miroir

complexe conjugué sur la partie haute,

on obtient alors un signal x réel mais

avec deux fois plus de points que

quand il est complexe.

X[0]

X[1]

IFFT N

points

x[0]

x[1]

X[N-1]

x[N-1]

0

X[0]

.

.

X[N-2]

X[N-1]

X*[N-2]

.

.

X*[0]

x[0]

x[1]

IFFT 2N

points

x[2.N-1]

x = I+j.Q

x réel, valeur

moyenne nulle

23

OFDM : signal en sortie de IFFT

• Le coefficient X[0] correspond à la

valeur moyenne du signal x.

• Le coefficient X[1] correspond à la

fréquence fondamentale f0 du signal

x, c’est-à-dire une période sur N

points (cosinus sur la partie réelle,

sinus sur la partie imaginaire).

• Le coefficient X[2] correspond à

2.f0, c’est-à-dire deux périodes sur

N points.

• Le coefficient X[i] correspond à i.f0

(i<N/2), c’est-à-dire i périodes sur N

points.

S’il y a plusieurs coefficients non nuls,

le signal sur x est la somme des

signaux élémentaires.

x=ifft([0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0])

plot(real(x), 'r+')

hold on

plot(imag(x), 'b*')

legend('x réel','x imaginaire',2,'location','SouthWest')

24

OFDM : changement de fréquence

Pour l’instant, nous sommes restés en bande de base. Comment réalise-t-on le

changement de fréquence ?

Si le signal x(t) est réel, on le multiplie par un cos(ω0.t).

Mais il faut un filtre analogique pour supprimer la partie

symétrique du spectre.

x(t)

s(t)

X

~

cos(ω0.t)

Si le signal est complexe, on le multiplie par

exp(j.ω0.t), puis on prend la partie réelle. Le

filtrage n’est plus nécessaire. C’est la méthode

à utiliser de préférence.

I(t)

cos(ω0.t)

X

~

π/2

sin(ω0.t)

Q(t)

X

+

+

-

s(t)

25

OFDM : spectre après changement de fréquence

% Création signal OFDM (suite du Transparent 21). Pour voir le spectre compris entre –Fech/2 et +Fech/2,

% on utilise une IFFT 512 pts en mettant 32 valeurs en bas et

% 32 valeurs en haut de la IFFT, les 448 valeurs au centre valant 0.

% Cela permet de réaliser un surechantillonnage d'un facteur 8.

% On considère que Fech = 8.

x = zeros(NbSym*512,1);

for i = 1:NbSym

% calcul ième symbole OFDM

symbole=ifft([X((i-1)Nb+1:(i-1)Nb+Nb/2); zeros(512 - Nb, 1); X((i-1)Nb+Nb/2+1:iNb)], 512);

% sauvegarde du symbole i dans x

x((i-1)512+1:i512) = symbole;

end

% création d'un vecteur temps de même taille que x

% avec une période d'échantillonnage 1/Fech.

SS = size(x);

t=(1:SS(1))/8;

% La fréquence porteuse passe de 0 à 2 Hz

f0 = 2;

% calcul du vecteur contenant la porteuse.

porteuse = exp(j2pif0t).';

% changement de fréquence.

x_mod = real(x.*porteuse);

% Affichage du spectre.

f=linspace(0,8,SS(1));

plot(f,20*log10(abs(fft(x_mod))+0.01))

26

OFDM : problème sur le bord du spectre

1/TN

Le spectre du signal OFDM n’est pas limité sur

les bords à cause de sa forme en sinus cardinal.

40 1/TN = 1/64 = 15.625 ms

Cela pose des problèmes d’un point de vue

réglementaire car la non limitation du spectre

crée des interférences avec les canaux

d’émission adjacents. Le filtrage est difficile,

mais rien n’empêche de mettre à 0 les

porteuses sur les extrémités du spectre afin

qu’il tienne dans le gabarit demandé par la

norme.

35

30

25

20

15

10

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

Zoom sur le spectre précédent.

27

OFDM : canal sélectif en fréquence

En présence d’un canal multi-trajet, des version décalées du symbole n

s’additionnent entre eux, créant de l’ISI entre symboles OFDM. La récupération

du symbole est impossible.

Le retard maximum entre les symboles est égal à ΔτΔτ

x(t)

Trajet direct

Symbole n-1

Symbole n

Symbole n+1

Trajet retardé

Symbole n-1

Symbole n

Symbole n+1

Trajet retardé

Symbole n-1

Symbole n

Symbole n+1

Récupération

impossible

t

28

OFDM : canal sélectif en fréquence

Pour absorber ce retard, on va allonger le symbole OFDM avec un intervalle de garde (GI). Sa

durée est généralement comprise entre 1/4 et 1/32 de la durée du symbole. Le débit utile est

réduit dans les mêmes proportions. Le spectre est légèrement modifié sur les bords à cause

de l’élargissement de la porte (on ne voit plus les lobes secondaires car les sinus cardinaux ne

s’annulent plus en même temps. L’allure générale du spectre ne change pas).

x(t)

GI

Symbole n-1

GI

Symbole n

GI

Symbole n+1

GI

GI

Symbole n-1

GI

Symbole n

GI

Symbole n+1

GI

GI

Symbole n-1

GI

Symbole n

GI

Symbole n+1

GI

t

Récupération

possible ?

Que doit-on mettre dans l’intervalle de garde pour pouvoir décoder correctement

le symbole n ?

29

OFDM : canal sélectif en fréquence

Il faut restaurer l’orthogonalité des porteuses qui a été perdue. Pour cela, on va

copier la fin du symbole au début.

GI

Symbole n

Raisonnons sur des porteuses réelles. Chaque porteuse OFDM correspond à un

nom entier de périodes sur le symbole OFDM (de 0 à N-1). En copiant la fin du

symbole dans l’intervalle de garde, on prolonge le signal sans créer de

discontinuité. On appelle cette donnée le préfixe cyclique.

GI

Symbole n

30

OFDM : canal sélectif en fréquence

GI

Symbole n

Que se passe-t-il en présence d’ISI ?

Continuons la raisonnement avec une porteuse

réelle. On additionne des versions décalées du

symbole. Si l’intervalle de garde est plus long que le

retard max du canal Δτ et si on sait retrouver

l’emplacement du symbole, alors on obtient la somme

de signaux sinusoïdaux de même fréquence, mais

d’amplitude et de phase différents.

Cette somme est un signal sinusoïdal de même

fréquence mais dont la phase et l’amplitude ont

changé. Ce changement correspond au Hi(fi) de la

porteuse. Ce raisonnement est valable pour toutes

les porteuses, réelles ou complexes.

+

+

31

OFDM : canal sélectif en fréquence

% création de trois symboles périodiques

% avec un intervalle de garde 1/8 (t=-3/32 à 0)

f0 = 3;

t= -3/32:1/32:1; % Fech = 32

symbole_1 = 0.7sin(2pif0t);

f0 = 2;

symbole_2 = 0.5sin(2pif0t+pi/2);

f0 = 7;

symbole_3 = sin(2pif0*t+pi/4);

% concaténation des 3 symboles

x = [symbole_1 symbole_2 symbole_3];

% passage dans le canal multi-trajet

cmt = [1 0 0.4];

[h,f]=freqz(cmt,1,1024,32);

subplot(2,1,1)

plot(f,abs(h)) % réponse du canal

title('réponse du canal')

subplot(2,1,2)

plot(f,angle(h)) % phase du canal

title('phase du canal')

xrec = conv(cmt,x);

S1 S2

S3

32

OFDM : canal sélectif en fréquence

figure

plot(x, 'r-'); hold on

plot(xrec, 'b-.')

legend('x','xrec',2,'location','North')

%récupération du symbole 2

% après extraction de l'intervalle de garde

symb2rec = xrec(41:41+31);

figure

plot(symbole_2(5:36), 'r-')

hold on

plot(symb2rec, 'b-.')

legend('Symb2','Symb2Rec',2)

33

OFDM : canal sélectif en fréquence

Conséquences : Raisonnons sur 2 signaux

sinusoïdaux.

1) Si la fréquence de la porteuse est faible

(une période sur le symbole dans le cas du

fondamental), le symbole retardé va être peu

différend du symbole direct. Le signal résultant

va avoir tendance a être renforcé.

2) Si la fréquence de la porteuse est plus

élevée, le symbole retardé peut être proche de

l’opposition de phase avec le symbole direct.

Le signal résultant va avoir tendance a être

diminué.

Du point de vue de la réponse du canal, le

premier cas correspond à une bosse sur H(f),

le second correspond à une atténuation, voir

un zéro.

+

+

34

Correction du canal : émission

Si le nombre N de porteuses est suffisant, c’est-à-dire BN << Bc (Ts >> ΔτΔτ)), chaque porteuse i

va donc être multipliée par le coefficient complexe Hi(fi) correspondant. Comment retrouver

la constellation de départ pour pouvoir décoder correctement les symboles ?

Il faut corriger l’influence du canal.

Il faut pouvoir l’estimer afin de le corriger. Pour cela, nous allons insérer des valeurs

constantes sur certains point à l’entrée de la IFFT. On appelle ces valeurs des pilotes.

X[0]

x[0]

pilotes

IFFT N

points

x = I+j.Q

X[N-1]

x[N-1]

35

Correction du canal : réception

A la réception, pour le pilote sur le canal n, on va lire : yn = αn.xn + N, xn étant le symbole

connu émis, yn le symbole reçu, αn le coefficient d’atténuation du canal et N le bruit.

Pour estimer le coefficient du canal n, il suffit de calculer (en complexe) :

=αˆ

n

PB : si α est faible, on va estimer sur la valeur du bruit N.

y

x

n

n

Pour chaque pilote, on va obtenir une estimation du canal. Par interpolation, on va déduire

les coefficients d’atténuation αi pour les valeurs entre les pilotes. Une fois que l’on a obtenu

tous les αi, il suffit de corriger les valeurs yi à la sortie de FFT. Le SNR n’est pas amélioré,

car le bruit est amplifié en même temps que le signal. En cas de zéro sur une porteuse, la

correction n’a plus grand sens.

x[0]

X[0]

1/α0

y(t)

FFT N

points

Décodage

QAM

R

x[N-1]

1/αN-1

X[N-1]

36

Correction du canal : simulation

% Nombre d'états de la QAM.

M = 16;

% Nombre de porteuses dans le symbole OFDM

Nb = 256;

% Nombre de symboles OFDM dans la simulation

NbSym = 1;

% durée de l'intervalle de garde GI = 1/8

NbGI = Nb/8;

% Tirage aléatoire d'entiers allant de 0 à M-1

R = randint(Nb*NbSym,1,M);

% Mise en constellation QAM.

[I Q] = qaskenco(R,M);

% insertion pilote 1+j tous les 16 symboles

debut = 1;

fin = 15;

X = [1+j; I(debut:fin)+j*Q(debut:fin)];

for i = 1:15

debut = debut + 15;

fin = fin+15;

X = [X; 1+j; I(debut:fin)+j*Q(debut:fin)];

end

% Création signal OFDM

x = zeros(NbSym*(Nb + NbGI),1);

symbole_GI = zeros(Nb + NbGI,1);

for i = 1:NbSym

% calcul ième symbole OFDM et copie à la fin du symbole

symbole_GI(NbGI+1:Nb + NbGI)=ifft(X((i-1)Nb+1:iNb));

% copie du préfixe cyclique

symbole_GI(1:NbGI)=symbole_GI(Nb+1:Nb + NbGI);

% sauvegarde du symbole i dans x

x((i-1)(Nb + NbGI)+1:i(Nb + NbGI)) = symbole_GI;

end

% passage dans le canal multi-trajet (retard max < GI = 4)

cmt = [1 0 0 0.1];

xrec = conv(cmt,x);

for i = 1:NbSym

% extraction du symbole reçu sans le préfixe cyclique

sym_rec = xrec((i-1)(Nb + NbGI)+NbGI+1:i(Nb + NbGI));

% décodage du symbole i

y=fft(sym_rec);

% sauvegarde du ième symbole décodé

Xdec((i-1)Nb+1:iNb) = y;

37

end

Correction du canal : simulation

% extraction des pilotes, puis calcul des estimations

alpha_pilotes = Xdec(1:16:256)/(1+j);

% calcul par interpolation des coefficients de correction

% pour les symboles autres que les pilotes

xi=0:1/16:255/16;

% on interpole séparément les parties réelles et imaginaires

alpha = interp1(0:15, real(alpha_pilotes), xi) + j*interp1(0:15,

imag(alpha_pilotes), xi);

% correction des symboles (y compris les pilotes)

Xdec_cor = Xdec./alpha;

freqz(cmt,1,1024,1); % réponse canal [0 à Fech/2]

figure

plot(20*log10(abs(alpha))) % réponse canal via les estimateurs [0 à Fech]

scatterplot(Xdec) % constellation avant correction

scatterplot(Xdec_cor) % constellation après correction

38

Exemple de système OFDM

Considérons un canal de largeur B = 1 MHz et d’étalement maximum Δτ = 5 μs.

Un système mono-porteuse aurait un temps symbole TS = 1/B = 1 μs << Δτ et subirait

donc une forte interférence inter symbole (ISI).

Supposons un système OFDM modulé en 16QAM. On va utiliser N = 128 porteuses pour

supprimer l’ISI, ce qui donne TN = N.TS = 128 μs. On va fixer la durée de l’intervalle de

garde (TGI) à 8 μs (> Δτ), c’est-à-dire TN / 16.

Quel est l’espacement entre porteuses, le surcout dû à GI ainsi que le débit total ?

BN = 1/TN = B/N = 7,812 kHz << bande de cohérence Bc = 200 kHz.

Débit total sans GI = 4 bits x 128 porteuses / TN = 4 / TS = 4 Mbit/s identique au système

mono-porteuse. La courbe de taux d’erreurs est aussi identique.

Durée totale du symbole OFDM = 128 + 8 = 136 μs => surcout = 8/136 = 5,9 %.

Débit total avec GI = = 4 bits x 128 porteuses / (TN + TGI) = 3,76 Mbit/s.

39

OFDM : réseau mono-fréquence

Les interférences entre émetteurs sont un des grands problèmes de la télévision. Pour

éviter de trop dégrader l’image à la réception (chaque émetteur voisin étant vu comme une

source de bruit par le récepteur), on utilise des fréquences différentes pour les émetteurs

proches les uns des autres. Cela conduit à une très grande inefficacité spectrale puisqu’il

faut environ 60 canaux analogiques pour émettre 6 chaines en France.

Avec l’OFDM, il suffit de synchroniser tous les émetteurs d’un territoire avec la même

fréquence (par satellite par exemple) et on peut réaliser un réseau mono-fréquence (Single

Frequency Network : SFN). Le réseau multi-fréquence (MFN) est aussi possible.

En effet, l’émetteur voisin sera vu comme un trajet retardé supplémentaire et traité par la

correction du canal. Il faudra bien sur que l’intervalle de garde soit plus long que ce trajet

supplémentaire (donc diminution du débit par rapport à une solution MFN et /ou

plus d’émetteurs) et que les fréquences d’émission soit strictement identiques (problème

aux frontières).

Sur la bande UHF (470 à 862 MHz, canal 21 à 69), c’est impossible à cause des émissions

analogiques, mais sur la bande VHF, cela sera possible quand Canal+ aura libéré les 3

canaux entre 47 et 68 MHz.

40

Correction d’un canal sélectif en fréquence

faiblement variable, voir statique

Pour un canal statique comme par exemple la ligne téléphonique pour l’ADSL,

deux autres méthodes peuvent être utilisées :

1) La préaccentuation des porteuses. On renforce à l’émission les porteuses

qui vont être atténuées par le canal. Le rapport signal sur bruit (SNR) est donc

préservé à la réception.

2) La modulation adaptative. Comme on connait le SNR pour chaque porteuse,

on peut faire passer des modulation avec plus d’états sur les porteuses où le

SNR est le plus élevé. On peut faire varier par exemple de QAM4 à QAM256

en fonction du SNR qui est supposé connu de l’émetteur et du récepteur. Il y a

donc une phase de négociation au début de la transmission pour découvrir les

caractéristiques du canal. On appelle cet méthode le WaterFilling.

41

Canal sélectif en temps

Dans ce modèle, on considère que le

récepteur est entouré de nombreux diffuseurs

et est en mouvement avec une vitesse vm.

fD est l’étalement Doppler dû à vm.

Le canal équivalent consiste à retarder le

signal d’un temps τ et à le multiplier avec une

variable aléatoire complexe α.

Comme les parties réelles et imaginaires de α

suivent une loi gaussienne, on a :

• Le module de α suit une loi de Rayleigh,

• La phase de α suit une loi uniforme.

42

Canal sélectif en temps

Le spectre de α est la TF de la fonction

d’autocorrelation Γ qui est une fonction de Bessel de

premier genre à l’ordre 0 dans le modèle de Jakes.

C’est le spectre en U bien connu de ce modèle.

Plus la vitesse du mobile augmente, plus l’étalement

Doppler fD augmente et plus la fonction

d’autocorrelation Γ décroit rapidement.

Or la vitesse de variation du canal (fading) est

d’autant plus élevée que Γ décroit rapidement

(le signal se ressemble moins d’un instant à

l’autre. Il est même totalement décorrélé si Γ

tend vers un dirac).

On définit le temps de cohérence, TC, temps

pendant lequel Γ est différent de 0. Après TC, le

canal est décorrélé. Tc est environ égal à 1/fD.

Tc nous renseigne sur la vitesse de variation du canal qui

est proportionnelle à l’étalement Doppler fD.

43

Canal sélectif en temps et en fréquence

C’est le modèle de Jakes multi-trajets. Les αi sont indépendants.

44

Canal sélectif en temps et en fréquence : COFDM

On peut bien sur ajouter des codes correcteurs d’erreurs pour améliorer la

protection de l’information transmise dans ce canal, mais ajouter de la

redondance s’avère inutile si tous les bits redondants sont transmis sur la

même porteuse du canal affectée d’un évanouissement. Le codage avec

entrelacement temporel et fréquentiel permet de lutter contre le fading

(annulation du canal pendant un symbole OFDM) mais aussi contre

l’annulation de sous porteuses.

• Entrelacement fréquentiel : on va encoder les bits à transmettre dans des

mots-codes (avec redondance), puis entrelacer les mots-codes sur

différentes porteuses. L’idée est que les différents bits d’un mot-code

soient envoyés sur des porteuses espacées d’au moins Bc (bande de

cohérence du canal). Les porteuses doivent être décorrélées pour

exploiter la diversité fréquentielle.

45

Canal sélectif en temps et en fréquence : COFDM

• Entrelacement temporel : on va encoder les bits à transmettre dans des

mots-codes (avec redondance), puis entrelacer les mots-codes dans

plusieurs symboles OFDM consécutifs qui doivent être espacés d’au moins

Tc (temps de cohérence du canal). Le canal est alors décorrélé et on

exploite la diversité temporelle.

• Entrelacement spatial : on utilise plusieurs antennes à l’émission et à la

réception. on va encoder les bits à transmettre dans des mots-codes (avec

redondance), puis entrelacer les mots-codes sur les différentes antennes.

Dans un environnement multi-trajet, on peut considérer qu’il y a plusieurs

canaux décorrélés entre l’émetteur et le récepteur. On exploite alors la

diversité spatiale.

La Coded OFDM (COFDM) utilise l’entrelacement temporel et fréquentiel pour

lutter contre le canal sélectif en temps et en fréquence.

La MIMO-OFDM utilise l’entrelacement spatial.

46

Facteur de crête : Peak to Average power Ratio

(PAR ou PAPR)

Considérons la sortie de la IFFT :

Chaque x[i] est la somme sur N de variables aléatoires suivant une loi

uniforme. Si N est grand (> 64), le théorème de la limite centrale s’applique et

x[n] est une variable aléatoire qui suit une loi gaussienne centrée tant sur sa

partie réelle que sur sa partie imaginaire. Le module de x[n] suit donc une loi

de Rayleigh et sa phase suit une loi uniforme.

Le problème est que la loi de Rayleigh a un support infini et donc que x n’est

pas borné. La valeur crête de x dépassera toujours un seuil donné avec une

probabilité non-nulle.

47

OFDM : PAR

Pour un signal échantillonné quelconque, on définit

le PAR comme le rapport entre la puissance crête

et la puissance moyenne. Par exemple, pour un

signal sinusoïdal, c’est (Vmax/Veff)2 = 2.

Le signal OFDM se comportant comme une

gaussienne, il est important de comprendre

que pour émettre un signal OFDM d’une

certaine puissance, il va falloir utiliser un

amplificateur beaucoup plus puissant car le

signal comporte de nombreux pics de

puissances.

48

OFDM : PAR

En première approximation, on peut considérer que pour un signal OFDM, le

PAR croit linéairement avec N, N étant le nombre de porteuses.

Cela signifie que plus on augmente le nombre de porteuses, plus la puissance

maximale de l’amplificateur devra être importante (à puissance moyenne

identique), ce qui assez ennuyeux puisque le débit est proportionnel à N. C’est

une des limitations de l’OFDM.

Il existe de nombreuses méthodes permettant de réduire ou bien de tolérer le

PAR des signaux OFDM. Dans le pire des cas, le signal sera saturé (au

préalable en numérique ou bien par l’amplificateur).

49

OFDM : simulation N = 64

% Nombre d'états de la QAM.

M = 16;

% Nombre de porteuses dans le symbole OFDM

Nb = 64;

%Nombre de symboles OFDM dans la simulation

NbSym = 1000;

% Tirage aléatoire d'entiers allant de 0 à M-1

seq_em = randint(Nb*NbSym,1,M);

% Mise en constellation QAM.

[I Q] = qaskenco(seq_em,M);

constel_emis = I+j*Q;

% Création signal OFDM sans GI

xx = zeros(size(constel_emis));

for i = 1:NbSym

x=ifft(constel_emis((i-1)Nb+1:iNb));

xx((i-1)Nb+1:iNb) = x;

end

% histogramme pour vérifier la partie réelle et la partie imaginaire.

% Elles tendent vers une gaussienne à partir d'environ 64 porteuses.

% Le module tend vers une loi de Rayleigh, la phase est uniforme

hist(real(xx),100)

title('partie réelle N=64')

figure

hist(imag(xx),100)

title('partie imaginaire N=64')

PAR = (max(abs(xx))^2)/var(abs(xx))

PAR =

57.0609

50

OFDM : simulation N = 1024

% Nombre d'états de la QAM.

M = 16;

% Nombre de porteuses dans le symbole OFDM

Nb = 1024;

%Nombre de symboles OFDM dans la simulation

NbSym = 1000;

% Tirage aléatoire d'entiers allant de 0 à M-1

seq_em = randint(Nb*NbSym,1,M);

% Mise en constellation QAM.

[I Q] = qaskenco(seq_em,M);

constel_emis = I+j*Q;

% Création signal OFDM sans GI

xx = zeros(size(constel_emis));

for i = 1:NbSym

x=ifft(constel_emis((i-1)Nb+1:iNb));

xx((i-1)Nb+1:iNb) = x;

end

% histogramme pour vérifier la partie réelle et la partie imaginaire.

% Elles tendent vers une gaussienne à partir d'environ 64 porteuses.

% Le module tend vers une loi de Rayleigh, la phase est uniforme

hist(real(xx),100)

title('partie réelle N=1024')

figure

hist(imag(xx),100)

title('partie imaginaire N=1024')

PAR = (max(abs(xx))^2)/var(abs(xx))

PAR =

73.0513

51

OFDM : évolution du PAR avec N

On utilise une approximation gaussienne pour les parties réelles et

imaginaires du signal

Nb = 15;

PAR = zeros(1,Nb);

for i=1:Nb

N = 2^(i+5);

x=randn(1,N)+j*randn(1,N);

PAR(1,i) = (max(abs(x))^2)/var(abs(x));

end

plot(PAR)

line([1 15],[20 68],'LineStyle', '--')

Le PAR croit linéairement avec N

52

OFDM : saturation du module (clipping)

On reprend la simulation des transparents T21-T22 et on sature le module de x de façon à

ce que x(i)^2/variance(x) ne dépasse jamais 10 (quelque soit i).

% conversion rectangulaire/polaire

mod = abs(x);

theta = angle(x);

vari = var(mod);

PAR = (max(mod)^2)/vari

% saturation canal

SI = size(mod);

cnt_sat = 0;

retrait = 10;

for i=1:SI(1)

if ((mod(i)^2)/vari) > retrait

mod(i) = sqrt(retrait*vari);

cnt_sat = cnt_sat+1;

end

end

% conversion polaire/rectangulaire

x_sat = mod.exp(jtheta);

PAR = (max(abs(x_sat))^2)/var(abs(x_sat))

x=x_sat;

taux_sat = cnt_sat/(Nb*NbSym)

PAR avant clipping = 56.3559

PAR après clipping = 13.7832

Taux échantillons saturés = 0.1167

TES = 0.0018

53

OFDM : TEB en fonction du retrait et du SNR

Un retrait de 10 dB suffit (simulation BBAG, QAM16, N=16)

avec un amplificateur radio SSPA (Solid-State Power Amplifier)

54

Décalage fréquentiel et temporel

L’OFDM est très sensible au décalage fréquentiel à cause de l’orthogonalité des porteuses. En

cas de décalage en fréquence, même faible, on récupère sur la ième sortie de la FFT des

données issues de toutes les fréquences porteuses. C’est l’interférence entre porteuses ICI.

Si le décalage est important (> BN/10), la récupération du signal OFDM est impossible.

Si le décalage est faible, cela va se traduire par un ajout de bruit sur les symboles et donc par

une dégradation du taux d’erreurs.

55

Décalage fréquentiel et temporel

Exemple : avec un oscillateur à quartz grand public 50 ppm, on a une incertitude de 25

kHz à 500 MHz (bande UHF pour la TNT). Comme en TNT, on a un écart entre porteuses

de 1116 Hz, la récupération du signal OFDM est impossible. Il faut un algorithme qui

utilise l’information contenue dans les pilotes pour ramener le signal en bande de base.

C’est impossible à réaliser en analogique.

L’effet d’un décalage temporel est moins important. En effet, du moment que l’on

récupère un symbole OFDM complet sans ISI, la FFT sera correcte. L’intervalle de garde

simplifie considérablement la tache car il est statistiquement peu utilisé jusqu’à son

maximum (le pire des cas ne se produit pas très souvent). La précision nécessaire pour

l’extraction du symbole n’en est que plus faible.

Symbole n-1

GI

Symbole n

GI

Symbole n+1

Symbole n-1

GI

Symbole n

GI

Symbole n+1

Symbole n-1

GI

Symbole n

GI

Symbole n+1

Imprécision sur la

récupération

t

56

Décalage fréquentiel et temporel

On connait la durée de l’intervalle de garde TGI et la durée du symbole OFDM TN en nombre

d’échantillons. Supposons que TGI = 8 et TN = 64.

On lit le signal OFDM a un endroit quelconque. On va comparer les 8 premiers échantillons

avec les 8 échantillons se trouvant 64 échantillons plus loin à l’aide de l’erreur quadratique

moyenne EQM (on fait la somme des différences au carré). On décale d’un échantillon et on

recommence. On fait cela 64 fois. L’emplacement donnant l’EQM la plus faible correspond à

l’intervalle de garde, donc au début du symbole OFDM.

TN

GI

Symbole n-1

GI

Symbole n

GI

Symbole n+1

GI

TGI

EQM minimum

Pour réduire l’influence du bruit, il faut réaliser cette opération simultanément sur plusieurs

symboles consécutifs. Cela permet de moyenner l’EQM.

57

Etude de cas : 802.11a

La norme WiFi 802.11a occupe un canal B = 20 MHz dans la bande des 5 GHz. La norme

802.11g est identique, mais dans la bande ISM 2.4 GHz (bande de 802.11b, l’ancienne

norme de WiFi).

Nombre de porteuses

64 dont seules 52 sont utilisées

(les 12 porteuses externes sont mises à 0 pour

réduire l’interférence entre canaux adjacents

Durée symb...