NOTIONS DE
MECANIQUE DES FLUIDES
CCCooouuurrrsss eeettt EEExxxeeerrrccciiiccceeesss CCCooorrrrrriiiggg sss
Riadh BEN HAMOUDA
Centre de Publication Universitaire
AVANT-PROPOS
L tude de la m canique des fluides remonte au moins l poque de la Gr ce
antique avec le c l bre savon Archim de, connu par son principe qui fut lorigine
de la statique des fluides. Aujourdhui, la dynamique des fluides est un domaine
actif de la recherche avec de nombreux probl mes non r solus ou partiellement
r solus.
Dans cet ouvrage se trouve expos lessentiel de ce quun tudiant des Instituts
Sup rieurs des Etudes Technologiques doit savoir. Les automatismes
hydrauliques et pneumatiques sont actuellement tr s utilis s en industrie. Donc, un
technicien quelque soit sa sp cialit doit acqu rir les notions fondamentales en
m canique des fluides. Nous avons cherch viter les d veloppements
math matiques trop abondants et pas toujours correctement ma tris s par la
plupart des techniciens sup rieurs et insist tr s largement sur les applications
industrielles et les probl mes de dimensionnement. Ainsi, l tude de la m canique
des fluides sera limit e dans cet ouvrage celle des fluides homog nes. Les lois
et mod les simplifi s seront utilis s pour des fluides continus dans une description
macroscopique. Egalement, nous limiterons notre tude celle des fluides parfaits
et r els. Dans l tude dynamique nous serons amen s distinguer les fluides
incompressibles et les fluides compressibles.
Le chapitre 1 constitue une introduction la m canique des fluides dans
laquelle on classe les fluides parfaits, les fluides r els, les fluides incompressibles
et les fluides compressibles et on d finit les principales propri t s qui seront
utilis es ult rieurement.
Le chapitre 2 est consacr l tude des fluides au repos. Les lois et th or mes
fondamentaux en statique des fluides y sont nonc s. La notion de pression, le
th or me de Pascal, le principe dArchim de et la relation fondamentale de
lhydrostatique sont expliqu s.
Dans le chapitre 3 sont trait es les quations fondamentales qui r gissent la
dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier, l quation de
continuit et le th or me de Bernoulli. Elles sont consid r es tr s importantes
dans plusieurs applications industrielles, entre autres dans la plupart des
instruments de mesures de pressions et de d bits quon peut rencontrer dans
beaucoup de processus industriels de fabrication chimique surtout.
Dans le chapitre 4 sont d montr s les quations et les th or mes relatifs la
dynamique des fluides incompressibles r els. Une m thode simplifi e de calcul
des pertes de charge bas e sur ces quations est propos e. Elle est indispensable
pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (probl mes de
pompage, de turbines, de machines hydrauliques, et thermiques dans lesquelles
est v hicul un fluide etc.)
Le chapitre 5 est consacr l tude des fluides compressibles. Les lois et les
quations fondamentales de la dynamique ainsi que le th or me de Saint-Venant
n cessaires pour traiter un probl me d coulement de gaz sont d montr s.
Certaines notions de thermodynamique, jug es indispensables pour introduire
quelques param tres, sont ajout es.
La derni re partie de chaque chapitre est consacr e des exercices corrig s.
Ils sont extraits, pour la plupart, des examens et devoirs surveill s que jai propos
lInstitut Sup rieur des Etudes Technologique de Djerba. Ils sont choisis pour
leur int r t pratique et pour leur diversit . Chaque exercice traite un domaine
particulier dapplication quun technicien sup rieur pourrait rencontrer aussi bien
dans le cadre des travaux pratiques lISET quen industrie dans sa vie active. Les
solutions avec beaucoup de d tail, devraient permettre l tudiant dacqu rir, en
peu de temps, la ma trise n cessaire des concepts utilis s. Ces exercices
permettront galement de tester lavancement de leurs connaissances.
En ce qui concerne la typographie, il a paru opportun de garder les m mes
notations dans la partie exercices corrig s et dans la partie cours. Les points
importants sont crits en caract re gras et les r sultats sont encadr s.
Cet ouvrage constitue une premi re version. Il sera certainement r vis . Les
critiques, les remarques et les conseils de tous les comp tents du domaine qui
veulent nous aider et encourager seront accueillis avec beaucoup de respect et
remerciement.
Riadh BEN HAMOUDA, Octobre 2008
TABLE DES MATIERES
Chapitre 2 :
Chapitre 1 :
2.1
2.2
2.3
2.4
Introduction la M canique des Fluides ......................................... 1
1
Introduction ........................................................................................................... 1
2 D finitions ............................................................................................................. 1
Fluide parfait .................................................................................................. 2
Fluide r el ...................................................................................................... 3
Fluide incompressible .................................................................................... 3
Fluide compressible ....................................................................................... 3
3 Caract ristiques physiques ................................................................................... 4
3.1 Masse volumique ........................................................................................... 4
3.2
Poids volumique ............................................................................................ 4
3.3 Densit .......................................................................................................... 4
Viscosit ........................................................................................................ 5
3.4
4 Conclusion ............................................................................................................ 7
5 Exercices dapplication ......................................................................................... 8
Statique des fluides ......................................................................... 10
1
Introduction ......................................................................................................... 10
2 Notion de pression en un point dun fluide .......................................................... 10
3 Relation fondamentale de lhydrostatique ........................................................... 12
4 Th or me de Pascal ........................................................................................... 14
4.1
Enonc ........................................................................................................ 14
4.2 D monstration ............................................................................................. 14
5 Pouss e dun fluide sur une paroi verticale ........................................................ 15
5.1 Hypoth ses .................................................................................................. 15
El ments de r duction du torseur des forces de pression ........................... 15
5.2
5.2.1
R sultante ............................................................................................ 16
5.2.2 Moment................................................................................................. 16
5.3 Centre de pouss e ...................................................................................... 17
6 Th or me dArchim de ....................................................................................... 17
nonc ........................................................................................................ 17
6.1
6.2 D monstration ............................................................................................. 18
7 Conclusion .......................................................................................................... 20
8 Exercices daplication ......................................................................................... 21
Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits ........................ 52
1
Introduction ......................................................................................................... 52
2 Ecoulement Permanent ...................................................................................... 52
3 Equation de Continuit ........................................................................................ 52
4 Notion de D bit ................................................................................................... 54
4.1 D bit massique ............................................................................................ 54
4.2 D bit volumique ........................................................................................... 55
4.3 Relation entre d bit massique et d bit volumique ....................................... 55
5 Th or me de Bernoulli Cas dun coulement sans change de travail ........... 56
6 Th or me de Bernoulli Cas dun coulement avec change de travail .......... 57
Chapitre 3 :
Chapitre 5 :
Chapitre 4 :
7 Th or me dEuler : ............................................................................................. 59
8 Conclusion .......................................................................................................... 61
9 Exercices dapplication ....................................................................................... 61
Dynamique des Fluides Incompressibles Reels ............................ 88
Introduction ......................................................................................................... 88
1
2 Fluide R el .......................................................................................................... 88
3 R gimes d coulement - nombre de Reynolds ................................................... 88
4 Pertes de charges ............................................................................................... 90
4.1 D finition ...................................................................................................... 90
Pertes de charge singuli res ....................................................................... 94
4.2
Pertes de charges lin aires : ....................................................................... 94
4.3
5 Th or me de Bernoulli appliqu un fluide reel ................................................. 95
6 Conclusion .......................................................................................................... 96
7 Exercices dapplication ....................................................................................... 96
Dynamique des Fluides Compressibles ........................................ 120
Introduction ....................................................................................................... 120
1
2 Equations detat dun gaz parfait ....................................................................... 120
Lois des gaz parfaits .................................................................................. 120
Transformations thermodynamiques ......................................................... 120
3 Classification des coulements ......................................................................... 122
3.1 C l rit du son ........................................................................................... 122
3.2 Nombre de Mach ....................................................................................... 122
Ecoulement subsonique ............................................................................ 122
3.3
Ecoulement supersonique ......................................................................... 122
3.4
4 Equation de continuite ...................................................................................... 122
5 Equation de Saint-Venant ................................................................................. 123
6 Etat g n rateur : ............................................................................................... 124
7 Conclusion ........................................................................................................ 125
8 Exercices dapplication ..................................................................................... 125
2.1
2.2
CChhaappiittrree 11 :: IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN AA LLAA MMEECCAANNIIQQUUEE DDEESS
FFLLUUIIDDEESS
11
IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN
La m canique des fluides est la science des lois de I' coulement des fluides. Elle
est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des m canismes de
transfert des fluides. Cest une branche de la physique qui tudie les coulements
de fluides c'est- -dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces
ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches:
- la statique des fluides, ou hydrostatique qui tudie les fluides au repos. C'est
historiquement le d but de la m canique des fluides, avec la pouss e d'Archim de
Publicité
et l' tude de la pression.
- la dynamique des fluides qui tudie les fluides en mouvement. Comme autres
branches de la m canique des fluides.
On distingue galement dautres branches li es la m canique des fluides :
l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'a rodynamique, &Une nouvelle approche a vu
le jour depuis quelques d cennies: la m canique des fluides num rique (CFD ou
Computational Fluid Dynamics en anglais), qui simule l' coulement des fluides en
r solvant les quations qui les r gissent l'aide d'ordinateurs tr s puissants : les
supercalculateurs.
La m canique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines
comme
l'ing nierie navale,
l'a ronautique, mais aussi
la m t orologie,
la
climatologie ou encore l'oc anographie.
22 DDEEFFIINNIITTIIOONNSS
Un fluide peut tre consid r comme tant une substance form d'un grand
nombre de particules mat rielles, tr s petites et libres de se d placer les unes par
rapport aux autres. Cest donc un milieu mat riel continu, d formable, sans rigidit
et qui peut s' couler. Les forces de coh sion entres particules l mentaires sont
1
Chapitre 1 : Introduction la m canique des fluides
tr s faibles de sorte que le fluide est un corps sans forme propre qui prend la
forme du r cipient qui le contient, par exemple: les m taux en fusion sont des
fluides qui permettent par moulage d'obtenir des pi ces brutes de formes
complexes.
On insiste sur le fait quun fluide est suppos tre un milieu continu : m me si l'on
choisit un tr s petit l ment de volume, il sera toujours beaucoup plus grand que la
dimension des mol cules qui le constitue. Par exemple, une gouttelette de
brouillard, aussi petite soit-elle notre chelle, est toujours immense l' chelle
mol culaire. Elle sera toujours consid r e comme un milieu continu. Parmi les
fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.
Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur
viscosit . La viscosit est une de leur caract ristique physico-chimique qui sera
d finie dans la suite du cours et qui d finit le frottement interne des fluides. Les
fluides peuvent tre class s en deux grande familles : La famille des fluides
"newtoniens" (comme l'eau, l'air et la plupart des gaz) et celle des fluides "non
newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels, les boues, les p tes, les
suspensions, les mulsions...). Les fluides "newtoniens" ont une viscosit
constante ou qui ne peut varier qu'en fonction de la temp rature. La deuxi me
famille est constitu e par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularit d'avoir
leur viscosit qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent
lorsque ceux-ci s' coulent. Ce cours est limit uniquement des fluides
newtoniens qui seront class s comme suit.
2.1 Fluide parfait
Soit un syst me fluide, c'est- -dire un volume d limit par une surface ferm e
fictive ou non.
nr
r
NFd
dS
r
Fd
r
TFd
Notions de m canique des fluides. Cours et exercices corrig s.
Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Page: 2
Chapitre 1 : Introduction la m canique des fluides
r
Consid rons Fd
normale nr entre le fluide et le milieu ext rieur.
la force dinteraction au niveau de la surface l mentaire dS de
r
On peut toujours d composer Fd
en deux composantes:
- une composante
- une composante
r
TFd
r
NFd
tangentielle dS.
normale dS.
En m canique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de d crire son
mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. Cest dire quand la
composante
r
TFd
r
est nulle. Autrement dit, la force Fd
est normale l' l ment de
surface dS.
2.2 Fluide r el
Contrairement un fluide parfait, qui nest quun mod le pour simplifier les calculs,
pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide r el les forces tangentielles
de frottement interne qui sopposent au glissement relatif des couches fluides sont
prise en consid ration. Ce ph nom ne de frottement visqueux appara t lors du
mouvement du fluide.
Cest uniquement au repos, quon admettra que le fluide r el se comporte comme
un fluide parfait, et on suppose que les forces de contact sont perpendiculaires aux
l ments de surface sur lesquels elles sexercent. La statique des fluides r els se
confond avec la statique des fluides parfaits.
2.3 Fluide incompressible
Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occup par une masse donn ne
varie pas en fonction de la pression ext rieure. Les liquides peuvent tre
consid r s comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.)
2.4 Fluide compressible
Un fluide est dit compressible lorsque le volume occup par une masse donn e
varie en fonction de la pression ext rieure. Les gaz sont des fluides compressibles.
Par exemple, lair, lhydrog ne, le m thane l tat gazeux, sont consid r s comme
des fluides compressibles.
Notions de m canique des fluides. Cours et exercices corrig s.
Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Page: 3
Chapitre 1 : Introduction la m canique des fluides
33 CCAARRAACCTTEERRIISSTTIIQQUUEESS PPHHYYSSIIQQUUEESS
3.1 Masse volumique
=
m
V
o :
: Masse volumique en (kg/m3),
m : masse en (kg),
V : volume en (m3).
Exemples :
Fluide
Benz ne
Chloroforme
Eau
Huile dolive
Mercure
Air
Hydrog ne
M thane
Masse volumique (kg/m3)
0,880. 103
1,489. 103
103
0,918. 103
13,546. 103
0,001205. 103
0,000085. 103
0,000717. 103
Type de fluide
Incompressible
compressible1
3.2 Poids volumique
=
.
gm
V
=
.
g
: Poids volumique en (N/m3).
m : masse en (kg),
g : acc l ration de la pesanteur en (m/s2),
V : volume en (m3).
3.3 Densit
d
=
masse
volumique
volumique
d'
du
fluide
un
fluide
de
r f rence
masse
=
ref
Dans le cas des liquides en prendra leau comme fluide de r f rence. Dans le cas
des gaz on prendra lair comme fluide de r f rence.
1 Ces valeurs sont prise titre indicatif dans les conditions normales de pression et de temp rature.
Notions de m canique des fluides. Cours et exercices corrig s.
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Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Page: 4
Chapitre 1 : Introduction la m canique des fluides
3.4 Viscosit
Cest une grandeur qui caract rise les frottements internes du fluide, autrement dit
sa capacit s couler. Elle caract rise la r sistance d'un fluide son coulement
lorsqu'il est soumis l'application d'une force. Cest dire, les fluides de grande
viscosit r sistent l' coulement et les fluides de faible viscosit s' coulent
facilement. Elle peut tre mesur e par un viscosim tre chute de bille, dans lequel
en mesure le temps coul pour la chute dune bille dans le fluide. Elle peut
galement tre mesur e par un r cipient dont le fond comporte un orifice de taille
standardis e. La vitesse laquelle le fluide s' coule par cet orifice permet de
d terminer la viscosit du fluide.
La viscosit est d termin e par la capacit d'entra nement que poss de une
couche en mouvement sur les autres couches adjacentes.
Par exemple, si on consid re un fluide visqueux plac entre deux plaques P1 et P2,
tel que la plaque P1 est fixe et la plaque P2 est anim e dune vitesse 2V .
Z
Plaque P2
2V
Z
V +
V
F
V
Plaque P1 fixe
Si on repr sente par un vecteur, la vitesse de chaque particule situ e dans une
section droite perpendiculaire l' coulement, la courbe lieu des extr mit s de ces
vecteurs repr sente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut tre
consid r comme r sultant du glissement des couches de fluide les unes sur les
autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On
distingue la viscosit dynamique et la viscosit cin matique.
Notions de m canique des fluides. Cours et exercices corrig s.
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Chapitre 1 : Introduction la m canique des fluides
"
Viscosit dynamique
La viscosit dynamique exprime la proportionnalit entre la force qu'il faut exercer
sur une plaque lorsqu'elle est plong e dans un courant et la variation de vitesse
des veines de fluide entre les 2 faces de la plaque. ...Elle est exprim e par un
coefficient repr sentant la contrainte de cisaillement n cessaire pour produire un
gradient de vitesse d' coulement d'une unit dans la mati re.
Consid rons deux couches de fluide adjacentes distantes de z. La force de
frottement F qui s'exerce la surface de s paration de ces deux couches s'oppose
au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle la diff rence de
vitesse des couches soit v, leur surface S et inversement proportionnelle z :
Le facteur de proportionnalit est le coefficient de viscosit dynamique du fluide.
F
=
.
S
.
V
Z
*
o :
F : force de glissement entre les couches en (N),
: Viscosit dynamique en (kg/m.s),
S : surface de contact entre deux couches en (m2),
V : cart de vitesse entre deux couches en (m/s),
Z : Distance entre deux couches en (m).
Remarque : Dans le syst me international (SI), l'unit de la viscosit dynamique
est le Pascal seconde (Pa s) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pa s = 1 Pl = 1 kg/m s
Exemple :
Fluide
eau (0 C)
eau (20 C)
eau (100 C)
Huile d'olive (20 C)
glyc rol (20 C)
Hydrog ne (20 C)
Oxyg ne (20 C)
(Pa s)
1,787 103
1,002 103
0,2818 103
H 100 103
H 1000 103
0,86 105
1,95 105
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Chapitre 1 : Introduction la m canique des fluides
"
Viscosit cin matique
=
L'unit de la viscosit cin matique est le (m2/s).
Remarque 1 (unit ):
On utilise souvent le Stokes (St) comme unit de mesure de la viscosit
cin matique.
1 St= 10-4 m2/s
Remarque 2 (Influence de la temp rature) :
Lorsque la temp rature augmente, la viscosit d'un fluide d cro t car sa densit
diminue.
Remarque 3 (diff rence entre viscosit dynamique et viscosit cin matique)
La viscosit cin matique caract rise le temps d' coulement dun liquide. Par
contre, la viscosit dynamique correspond la r alit physique du comportement
dun fluide soumis une sollicitation (effort). En dautre terme, cette derni re
exprime la rigidit dun fluide une vitesse de d formation en cisaillement (voir
la relation * la page 6).
44 CCOONNCCLLUUSSIIOONN
Les fluides peuvent tre class s en fluides parfaits (sans frottement), fluides
r els
(avec
frottement), fluides incompressibles
(liquides) et fluides
compressibles (gaz). Les fluides sont caract ris s par les propri t s suivantes: la
masse volumique, le poids volumique, la densit et la viscosit . Ces propri t s
seront utilis es ult rieurement.
Le comportement m canique et
les propri t s physiques des
fluides
compressibles et ceux des fluides incompressibles sont diff rents. En effet, les lois
de la m canique des fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables
uniquement pour une classe de fluides donn e. Conform ment la classification
qui a t faite, les lois relatives chaque type de fluides seront expos es dans la
suite du cours dune fa on ind pendante.
Notions de m canique des fluides. Cours et exercices corrig s.
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Chapitre 1 : Introduction la m canique des fluides
55 EEXXEERRCCIICCEESS DDAAPPPPLLIICCAATTIIOONN
EExxeerrcciiccee NN 11::
11 ENONCE
D terminer le poids volumique de lessence sachant que sa densit d=0,7.
On donne :
- lacc l ration de la pesanteur g=9,81 m/s2
- la masse volumique de leau
=
1000
mkg
/
3
22 REPONSE
. =
d .
g
A.N.
=
.7,0
1000
81,9.
=
6867
mN
/
3
EExxeerrcciiccee NN 22::
11 ENONCE
Calculer le poids P0 dun volume V=3 litres dhuile dolive ayant une densit
d=0,918.
22 REPONSE
Po
. =
.
gVd
.
A.N.
Po
=
.918,0
1000
10.3.
3
81,9.
=
27
N
Publicité
EExxeerrcciiccee NN 33:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 2233--0066--22000033
11 ENONCE
Quelle est linfluence de la temp rature sur la viscosit ?
22 REPONSE
Si la temp rature augmente la viscosit diminue, et inversement.
EExxeerrcciiccee NN 44:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 1155--0011--22000044
11 ENONCE
Convertir le stockes en m2/s.
22 REPONSE
Conversion du stockes :
1
Stockes
=
10
4
2
/
sm
EExxeerrcciiccee NN 55:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LLEEXXAAMMEENN DDUU 2244--0066--22000044
11 ENONCE
Expliquer le principe de mesure d'un viscosim tre chute de bille.
22 REPONSE
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Page: 8
Chapitre 1 : Introduction la m canique des fluides
La viscosit cin matique est proportionnelle au temps mis par une bille sph rique
en chute pour descendre au fond dun tube contenant un fluide de viscosit
inconnue.
EExxeerrcciiccee NN 66:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2211--0044--22000033
11 ENONCE
D terminer la viscosit dynamique de lhuile dolive sachant que sa densit est
0,918 et sa viscosit cin matique est 1,089 Stockes.
22 REPONSE
.=
A.N.
=
10.089,1.918
4 =
1,0
sPa.
EExxeerrcciiccee NN 77::
11 ENONCE
Du
fuel
port
une
temp rature
T=20 C
a
une
viscosit
dynamique
=
10.95
3
sPa.
. Calculer sa viscosit cin matique en stockes
sachant que sa densit est d=0,95.
On donne la masse volumique de leau est
eau =
1000
mkg
/
3
22 REPONSE
=
deau .
A.N.
=
10.95
3
1000
95,0.
=
10.1
4
2
/
sm
=
1
stockes
Notions de m canique des fluides. Cours et exercices corrig s.
Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Page: 9
CChhaappiittrree 22 :: SSTTAATTIIQQUUEE DDEESS FFLLUUIIDDEESS
11
IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN
Lors dune plong e sous marine, on constate que la pression de leau augmente
avec la profondeur. La pression deau exerc e sur un sous-marin au fond de
loc an est consid rable. De m me, la pression de leau au fond dun barrage est
nettement plus grande quau voisinage de la surface. Les effets de la pression
doivent tre pris en consid ration lors du dimensionnement des structures tels que
les barrages, les sous marins, les r servoirs& etc. Les ing nieurs doivent calculer
les forces exerc es par les fluides avant de concevoir de telles structures.
Ce chapitre est consacr l tude des fluides au repos. Les lois et th or mes
fondamentaux en statique des fluides y sont nonc s. La notion de pression, le
th or me de Pascal, le principe dArchim de et la relation fondamentale de
lhydrostatique y sont expliqu s.
Le calcul des presses hydrauliques, la d termination de la distribution de la
pression dans un r servoir&etc., sont bas s sur
les
lois et
th or mes
fondamentaux de la statique des fluides.
22 NNOOTTIIOONN DDEE PPRREESSSSIIOONN EENN UUNN PPOOIINNTT DDUUNN FFLLUUIIDDEE
La pression est une grandeur scalaire. Cest lintensit de la composante normale
de la force quexerce le fluide sur lunit de surface.
Elle est d finie en un point A dun fluide par lexpression suivante :
r
NFd
dS
A
nr
10
Chapitre 2 : Statique des fluides
dF
N
dS
P
A =
o :
dS : Surface l mentaire de la facette de centre A (en m tre carr ),
n : Vecteur unitaire en A de la normale ext rieure la surface,
NdF : Composante normale de la force l mentaire de pression qui sexerce sur la
surface (en Newton),
PA : pression en A (en Pascal),
Sur la surface de centre A, daire dS, orient e par sa normale ext rieure n , la force
de pression l mentaire dF sexprime par :
dF
N
.=
.
ndSP
A
Exemple : Chaque cm2
de surface de notre peau supporte environ 1 kg (force)
repr sentant le poids de l'atmosph re. C'est la pression atmosph rique au niveau
de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses
cavit s (estomac, poumons, etc. ) contiennent de l'air la m me pression.
Si on s' l ve de 5 000 m, la pression atmosph rique est deux fois plus faible qu'au
niveau de la mer car la masse d'air au-dessus de notre t te est alors moiti
moindre. Do la n cessit dune pressurisation des avions.
En plong e sous-marine, pour mesurer la pression, on utilise le plus souvent le
bar: 1 bar = 1 kg / cm2.
Notions de m canique des fluides. Cours et exercices corrig s.
Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Plus on descend en profondeur, plus la pression est lev e car il faut tenir compte
du poids de l'eau au-dessus de nous : 10 m tres de profondeur, chaque cm2
de
notre peau supportera un poids gal :
1 cm2 X 10 m (profondeur) = 1 cm2 X 100 cm = 1000 cm3 = l quivalent du poids
d1 litre deau. Le poids dun litre deau douce est gal 1kg. Le poids dun litre
deau de mer est un plus important ( cause du sel quelle contient) : 1,026 kg.
En n gligeant cette diff rence, on consid rera que de mani re g n rale un litre
d'eau p se 1 kg.
Par cons quent, la pression due l'eau 10 m de profondeur est donc de 1 kg /
cm2, c'est- -dire 1 bar. Si on descend nouveau de -10 m, la pression augmentera
nouveau de 1 bar. Cest ce quon appelle la pression hydrostatique (pression due
l'eau). On l'appelle aussi pression relative car c'est une pression par rapport la
surface.
La pression hydrostatique (comme la pression atmosph rique) sexerce dans
toutes les directions (et pas simplement de haut en bas).
Remarque :
Lunit internationale de pression est le Pascal : 1 Pa = 1 N/m . Cette unit est
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tr s petite. On utilise le plus souvent ses multiples. En construction m canique,
r sistance des mat riaux , etc.,lunit utilis e est le m ga pascal :
1 MPa= 1 N/mm2=106 Pa
En m canique des fluides on utilise encore tr s souvent le bar. Le bar est gal
peu pr s la pression atmosph rique moyenne :
1 bar = 105 Pa.
33 RREELLAATTIIOONN FFOONNDDAAMMEENNTTAALLEE DDEE LLHHYYDDRROOSSTTAATTIIQQUUEE
Consid rons un l ment de volume dun fluide incompressible (liquide homog ne
de poids volumique ). Cet l ment de volume a la forme dun cylindre daxe (G,
r
u ) qui fait un angle avec laxe vertical (O, Z ) dun rep re R(O, X
r
,Y
r
, Z
). Soit l la
longueur du cylindre et soit dS sa section droite.
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Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Z
Z2
Z1
r
2Fd
G2
dS
u
r
iFd
G
l
G1
r
1Fd
r
oPd
Soit G1 daltitude Z1 et G2 daltitude Z2, les centres des sections droites extr mes.
Etudions l quilibre du cylindre l mentaire, celui-ci est soumis aux :
- actions distance : son poids :
dPO =
ZdSl
- actions de contact : forces de pression sexer ant sur :
o
la surface lat rale : idF .
o
les deux surfaces planes extr mes :
dF
1
=
dSP
.
1
.(
u
)
=
udSP
.
.
1
et
dF
2
=
udSP
.2
.
.avec P1 et P2 les pressions du fluide respectivement en G1
et en G2.
Le cylindre l mentaire tant en quilibre dans le fluide, crivons que la r sultante
des forces ext rieures qui lui sont appliqu es est nulle :
dP
O
+
dF
i
+
dF
1
+
dF
2
=
0
En projection sur laxe de sym trie (G, u ) du cylindre,
dSl
..
.
cos
+
dSP
.
1
dSP
.
2
=
0
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Exprimons la diff rence de pression P1 P2 apr s avoir divis par dS et remarqu
que
l
cos
=
Z
Z
1
2
PP
2
1
=
.(
Z
Z
1
)
2
=
(
Zg
Z
1
)
2
: Relation fondamentale de lhydrostatique.
Autre forme plus g n rale :
En divisant les deux membres de la relation pr c dente par :
P
1
+
Z
1
=
P
2
+
Z
2
. Ou encore
P
1
g
+
Z
1
=
P
2
g
+
Z
2
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Comme G1 et G2 ont t choisis de fa on arbitraire lint rieur du...