NOTIONS DE MECANIQUE DES FLUIDES CCCooouuurrrsss eeettt EEExxxeeerrrccciiiccceeesss CCCooorrrrrriiigggééésss
Riadh BEN HAMOUDA
Centre de Publication Universitaire
AVANT-PROPOS
L’étude de la mécanique des fluides remonte au moins à l’époque de la Grèce
antique avec le célèbre savon Archimède, connu par son principe qui fut à l’origine
de la statique des fluides. Aujourd’hui, la dynamique des fluides est un domaine
actif de la recherche avec de nombreux problèmes non résolus ou partiellement
résolus.
Dans cet ouvrage se trouve exposé l’essentiel de ce qu’un étudiant des Instituts
Supérieurs des Etudes Technologiques doit savoir. Les automatismes
hydrauliques et pneumatiques sont actuellement très utilisés en industrie. Donc, un
technicien quelque soit sa spécialité doit acquérir les notions fondamentales en
mécanique des fluides. Nous avons cherché à éviter les développements
mathématiques trop abondants et pas toujours correctement maîtrisés par la
plupart des techniciens supérieurs et insisté très largement sur les applications
industrielles et les problèmes de dimensionnement. Ainsi, l’étude de la mécanique
des fluides sera limitée dans cet ouvrage à celle des fluides homogènes. Les lois
et modèles simplifiés seront utilisés pour des fluides continus dans une description
macroscopique. Egalement, nous limiterons notre étude à celle des fluides parfaits
et réels. Dans l’étude dynamique nous serons amenés à distinguer les fluides
incompressibles et les fluides compressibles.
Le chapitre 1 constitue une introduction à la mécanique des fluides dans
laquelle on classe les fluides parfaits, les fluides réels, les fluides incompressibles
et les fluides compressibles et on définit les principales propriétés qui seront
utilisées ultérieurement.
Le chapitre 2 est consacré à l’étude des fluides au repos. Les lois et théorèmes
fondamentaux en statique des fluides y sont énoncés. La notion de pression, le
théorème de Pascal, le principe d’Archimède et la relation fondamentale de
l’hydrostatique sont expliqués.
Dans le chapitre 3 sont traitées les équations fondamentales qui régissent la
dynamique des fluides incompressibles parfaits, en particulier, l’équation de
continuité et le théorème de Bernoulli. Elles sont considérées très importantes
dans plusieurs applications industrielles, entre autres dans la plupart des
instruments de mesures de pressions et de débits qu’on peut rencontrer dans
beaucoup de processus industriels de fabrication chimique surtout.
Dans le chapitre 4 sont démontrés les équations et les théorèmes relatifs à la
dynamique des fluides incompressibles réels. Une méthode simplifiée de calcul
des pertes de charge basée sur ces équations est proposée. Elle est indispensable
pour le dimensionnement des diverses installations hydrauliques (problèmes de
pompage, de turbines, de machines hydrauliques, et thermiques dans lesquelles
est véhiculé un fluide etc.)
Le chapitre 5 est consacré à l’étude des fluides compressibles. Les lois et les
équations fondamentales de la dynamique ainsi que le théorème de Saint-Venant
nécessaires pour traiter un problème d’écoulement de gaz sont démontrés.
Certaines notions de thermodynamique, jugées indispensables pour introduire
quelques paramètres, sont ajoutées.
La dernière partie de chaque chapitre est consacrée à des exercices corrigés.
Ils sont extraits, pour la plupart, des examens et devoirs surveillés que j’ai proposé
à l’Institut Supérieur des Etudes Technologique de Djerba. Ils sont choisis pour
leur intérêt pratique et pour leur diversité. Chaque exercice traite un domaine
particulier d’application qu’un technicien supérieur pourrait rencontrer aussi bien
dans le cadre des travaux pratiques à l’ISET qu’en industrie dans sa vie active. Les
solutions avec beaucoup de détail, devraient permettre à l’étudiant d’acquérir, en
peu de temps, la maîtrise nécessaire des concepts utilisés. Ces exercices
permettront également de tester l’avancement de leurs connaissances.
En ce qui concerne la typographie, il a paru opportun de garder les mêmes
notations dans la partie exercices corrigés et dans la partie cours. Les points
importants sont écrits en caractère gras et les résultats sont encadrés.
Cet ouvrage constitue une première version. Il sera certainement révisé. Les
critiques, les remarques et les conseils de tous les compétents du domaine qui
veulent nous aider et encourager seront accueillis avec beaucoup de respect et
remerciement.
Riadh BEN HAMOUDA, Octobre 2008
TABLE DES MATIERES
Chapitre 2 :
Chapitre 1 :
2.1 2.2 2.3 2.4
Introduction à la Mécanique des Fluides ......................................... 1 1 Introduction ........................................................................................................... 1 2 Définitions ............................................................................................................. 1 Fluide parfait .................................................................................................. 2 Fluide réel ...................................................................................................... 3 Fluide incompressible .................................................................................... 3 Fluide compressible ....................................................................................... 3 3 Caractéristiques physiques ................................................................................... 4 3.1 Masse volumique ........................................................................................... 4 3.2 Poids volumique ............................................................................................ 4 3.3 Densité .......................................................................................................... 4 Viscosité ........................................................................................................ 5 3.4 4 Conclusion ............................................................................................................ 7 5 Exercices d’application ......................................................................................... 8 Statique des fluides ......................................................................... 10 1 Introduction ......................................................................................................... 10 2 Notion de pression en un point d’un fluide .......................................................... 10 3 Relation fondamentale de l’hydrostatique ........................................................... 12 4 Théorème de Pascal ........................................................................................... 14 4.1 Enoncé ........................................................................................................ 14 4.2 Démonstration ............................................................................................. 14 5 Poussée d’un fluide sur une paroi verticale ........................................................ 15 5.1 Hypothèses .................................................................................................. 15 Eléments de réduction du torseur des forces de pression ........................... 15 5.2 5.2.1 Résultante ............................................................................................ 16 5.2.2 Moment................................................................................................. 16 5.3 Centre de poussée ...................................................................................... 17 6 Théorème d’Archimède ....................................................................................... 17 Énoncé ........................................................................................................ 17 6.1 6.2 Démonstration ............................................................................................. 18 7 Conclusion .......................................................................................................... 20 8 Exercices d’aplication ......................................................................................... 21 Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits ........................ 52 1 Introduction ......................................................................................................... 52 2 Ecoulement Permanent ...................................................................................... 52 3 Equation de Continuité ........................................................................................ 52 4 Notion de Débit ................................................................................................... 54 4.1 Débit massique ............................................................................................ 54 4.2 Débit volumique ........................................................................................... 55 4.3 Relation entre débit massique et débit volumique ....................................... 55 5 Théorème de Bernoulli – Cas d’un écoulement sans échange de travail ........... 56 6 Théorème de Bernoulli – Cas d’un écoulement avec échange de travail .......... 57
Chapitre 3 :
Chapitre 5 :
Chapitre 4 :
7 Théorème d’Euler : ............................................................................................. 59 8 Conclusion .......................................................................................................... 61 9 Exercices d’application ....................................................................................... 61 Dynamique des Fluides Incompressibles Reels ............................ 88 Introduction ......................................................................................................... 88 1 2 Fluide Réel .......................................................................................................... 88 3 Régimes d’écoulement - nombre de Reynolds ................................................... 88 4 Pertes de charges ............................................................................................... 90 4.1 Définition ...................................................................................................... 90 Pertes de charge singulières ....................................................................... 94 4.2 Pertes de charges linéaires : ....................................................................... 94 4.3 5 Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide reel ................................................. 95 6 Conclusion .......................................................................................................... 96 7 Exercices d’application ....................................................................................... 96 Dynamique des Fluides Compressibles ........................................ 120 Introduction ....................................................................................................... 120 1 2 Equations d’etat d’un gaz parfait ....................................................................... 120 Lois des gaz parfaits .................................................................................. 120 Transformations thermodynamiques ......................................................... 120 3 Classification des écoulements ......................................................................... 122 3.1 Célérité du son ........................................................................................... 122 3.2 Nombre de Mach ....................................................................................... 122 Ecoulement subsonique ............................................................................ 122 3.3 Ecoulement supersonique ......................................................................... 122 3.4 4 Equation de continuite ...................................................................................... 122 5 Equation de Saint-Venant ................................................................................. 123 6 Etat générateur : ............................................................................................... 124 7 Conclusion ........................................................................................................ 125 8 Exercices d’application ..................................................................................... 125
2.1 2.2
CChhaappiittrree 11 :: IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN AA LLAA MMEECCAANNIIQQUUEE DDEESS FFLLUUIIDDEESS
11
IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN
La mécanique des fluides est la science des lois de I'écoulement des fluides. Elle
est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mécanismes de
transfert des fluides. C’est une branche de la physique qui étudie les écoulements
de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces
ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches:
- la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos. C'est
historiquement le début de la mécanique des fluides, avec la poussée d'Archimède
et l'étude de la pression.
- la dynamique des fluides qui étudie les fluides en mouvement. Comme autres
branches de la mécanique des fluides.
On distingue également d’autres branches liées à la mécanique des fluides :
l'hydraulique, l'hydrodynamique, l'aérodynamique, …Une nouvelle approche a vu
le jour depuis quelques décennies: la mécanique des fluides numérique (CFD ou
Computational Fluid Dynamics en anglais), qui simule l'écoulement des fluides en
résolvant les équations qui les régissent à l'aide d'ordinateurs très puissants : les
supercalculateurs.
La mécanique des fluides a de nombreuses applications dans divers domaines
comme
l'ingénierie navale,
l'aéronautique, mais aussi
la météorologie,
la
climatologie ou encore l'océanographie.
22 DDEEFFIINNIITTIIOONNSS
Un fluide peut être considéré comme étant une substance formé d'un grand
nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par
rapport aux autres. C’est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité
et qui peut s'écouler. Les forces de cohésion entres particules élémentaires sont
1
Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
très faibles de sorte que le fluide est un corps sans forme propre qui prend la
forme du récipient qui le contient, par exemple: les métaux en fusion sont des
fluides qui permettent par moulage d'obtenir des pièces brutes de formes
complexes.
On insiste sur le fait qu’un fluide est supposé être un milieu continu : même si l'on
choisit un très petit élément de volume, il sera toujours beaucoup plus grand que la
dimension des molécules qui le constitue. Par exemple, une gouttelette de
brouillard, aussi petite soit-elle à notre échelle, est toujours immense à l'échelle
moléculaire. Elle sera toujours considérée comme un milieu continu. Parmi les
fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.
Les fluides peuvent aussi se classer en deux familles relativement par leur
viscosité. La viscosité est une de leur caractéristique physico-chimique qui sera
définie dans la suite du cours et qui définit le frottement interne des fluides. Les
fluides peuvent être classés en deux grande familles : La famille des fluides
"newtoniens" (comme l'eau, l'air et la plupart des gaz) et celle des fluides "non
newtoniens" (quasiment tout le reste... le sang, les gels, les boues, les pâtes, les
suspensions, les émulsions...). Les fluides "newtoniens" ont une viscosité
constante ou qui ne peut varier qu'en fonction de la température. La deuxième
famille est constituée par les fluides "non newtoniens" qui ont la particularité d'avoir
leur viscosité qui varie en fonction de la vitesse et des contraintes qu'ils subissent
lorsque ceux-ci s'écoulent. Ce cours est limité uniquement à des fluides
newtoniens qui seront classés comme suit.
2.1 Fluide parfait
Soit un système fluide, c'est-à-dire un volume délimité par une surface fermée Σ
fictive ou non.
Σ
nr
r NFd
dS
r Fd
r TFd
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
r Considérons Fd normale nr entre le fluide et le milieu extérieur.
la force d’interaction au niveau de la surface élémentaire dS de
r On peut toujours décomposer Fd
en deux composantes:
- une composante
- une composante
r TFd r NFd
tangentielle à dS.
normale à dS.
En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son
mouvement sans prendre en compte les effets de frottement. C’est à dire quand la
composante
r TFd
r est nulle. Autrement dit, la force Fd
est normale à l'élément de
surface dS.
2.2 Fluide réel
Contrairement à un fluide parfait, qui n’est qu’un modèle pour simplifier les calculs,
pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide réel les forces tangentielles
de frottement interne qui s’opposent au glissement relatif des couches fluides sont
prise en considération. Ce phénomène de frottement visqueux apparaît lors du
mouvement du fluide.
C’est uniquement au repos, qu’on admettra que le fluide réel se comporte comme
un fluide parfait, et on suppose que les forces de contact sont perpendiculaires aux
éléments de surface sur lesquels elles s’exercent. La statique des fluides réels se
confond avec la statique des fluides parfaits.
2.3 Fluide incompressible
Un fluide est dit incompressible lorsque le volume occupé par une masse donné ne
varie pas en fonction de la pression extérieure. Les liquides peuvent être
considérés comme des fluides incompressibles (eau, huile, etc.)
2.4 Fluide compressible
Un fluide est dit compressible lorsque le volume occupé par une masse donnée
varie en fonction de la pression extérieure. Les gaz sont des fluides compressibles.
Par exemple, l’air, l’hydrogène, le méthane à l’état gazeux, sont considérés comme
des fluides compressibles.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
33 CCAARRAACCTTEERRIISSTTIIQQUUEESS PPHHYYSSIIQQUUEESS
3.1 Masse volumique
=ρ
m V
où : ρ : Masse volumique en (kg/m3),
m : masse en (kg), V : volume en (m3).
Exemples :
Publicité
Fluide
Benzène Chloroforme Eau Huile d’olive Mercure Air Hydrogène Méthane
Masse volumique ρ(kg/m3) 0,880. 103 1,489. 103 103 0,918. 103 13,546. 103 0,001205. 103 0,000085. 103 0,000717. 103
Type de fluide
Incompressible
compressible1
3.2 Poids volumique
ϖ
=
. gm V
=
. ρ
g
ϖ : Poids volumique en (N/m3).
m : masse en (kg), g : accélération de la pesanteur en (m/s2), V : volume en (m3).
3.3 Densité
d
=
masse volumique
volumique d'
du fluide
un
fluide de
référence
masse
=
ρ ρ ref
Dans le cas des liquides en prendra l’eau comme fluide de référence. Dans le cas
des gaz on prendra l’air comme fluide de référence.
1 Ces valeurs sont prise à titre indicatif dans les conditions normales de pression et de température.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
3.4 Viscosité
C’est une grandeur qui caractérise les frottements internes du fluide, autrement dit
sa capacité à s’écouler. Elle caractérise la résistance d'un fluide à son écoulement
lorsqu'il est soumis à l'application d'une force. C’est à dire, les fluides de grande
viscosité résistent à l'écoulement et les fluides de faible viscosité s'écoulent
facilement. Elle peut être mesurée par un viscosimètre à chute de bille, dans lequel
en mesure le temps écoulé pour la chute d’une bille dans le fluide. Elle peut
également être mesurée par un récipient dont le fond comporte un orifice de taille
standardisée. La vitesse à laquelle le fluide s'écoule par cet orifice permet de
déterminer la viscosité du fluide.
La viscosité est déterminée par la capacité d'entraînement que possède une
couche en mouvement sur les autres couches adjacentes.
Par exemple, si on considère un fluide visqueux placé entre deux plaques P1 et P2,
tel que la plaque P1 est fixe et la plaque P2 est animée d’une vitesse 2V .
Z
Plaque P2
2V
ZΔ
V Δ+
V
F
V
Plaque P1 fixe
Si on représente par un vecteur, la vitesse de chaque particule située dans une
section droite perpendiculaire à l'écoulement, la courbe lieu des extrémités de ces
vecteurs représente le profil de vitesse. Le mouvement du fluide peut être
considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les
autres. La vitesse de chaque couche est une fonction de la distance Z. On
distingue la viscosité dynamique et la viscosité cinématique.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
•
Viscosité dynamique
La viscosité dynamique exprime la proportionnalité entre la force qu'il faut exercer
sur une plaque lorsqu'elle est plongée dans un courant et la variation de vitesse
des veines de fluide entre les 2 faces de la plaque. ...Elle est exprimée par un
coefficient représentant la contrainte de cisaillement nécessaire pour produire un
gradient de vitesse d'écoulement d'une unité dans la matière.
Considérons deux couches de fluide adjacentes distantes de Δz. La force de
frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose
au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de
vitesse des couches soit Δv, à leur surface S et inversement proportionnelle à Δz :
Le facteur de proportionnalité μ est le coefficient de viscosité dynamique du fluide.
F
=
.μ S
.
Δ Δ
V Z
*
où :
F : force de glissement entre les couches en (N),
μ : Viscosité dynamique en (kg/m.s),
S : surface de contact entre deux couches en (m2),
VΔ : Écart de vitesse entre deux couches en (m/s),
ZΔ : Distance entre deux couches en (m).
Remarque : Dans le système international (SI), l'unité de la viscosité dynamique
est le Pascal seconde (Pa⋅s) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pa⋅s = 1 Pl = 1 kg/m⋅s
Exemple :
Fluide
eau (0 °C) eau (20 °C) eau (100 °C) Huile d'olive (20 °C) glycérol (20 °C) Hydrogène (20 °C) Oxygène (20 °C)
μ(Pa·s) 1,787·10–3 1,002·10–3 0,2818·10–3 ≈ 100·10–3 ≈ 1000·10–3 0,86·10–5 1,95·10–5
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
•
Viscosité cinématique
υ =
μ ρ
L'unité de la viscosité cinématique est le (m2/s).
Remarque 1 (unité):
On utilise souvent le Stokes (St) comme unité de mesure de la viscosité
cinématique. 1 St= 10-4 m2/s Remarque 2 (Influence de la température) :
Lorsque la température augmente, la viscosité d'un fluide décroît car sa densité
diminue.
Remarque 3 (différence entre viscosité dynamique et viscosité cinématique)
La viscosité cinématique caractérise le temps d'écoulement d’un liquide. Par
contre, la viscosité dynamique correspond à la réalité physique du comportement
d’un fluide soumis à une sollicitation (effort). En d’autre terme, cette dernière
exprime la « rigidité » d’un fluide à une vitesse de déformation en cisaillement (voir
la relation * à la page 6).
44 CCOONNCCLLUUSSIIOONN
Les fluides peuvent être classés en fluides parfaits (sans frottement), fluides
réels
(avec
frottement), fluides incompressibles
(liquides) et fluides
compressibles (gaz). Les fluides sont caractérisés par les propriétés suivantes: la
masse volumique, le poids volumique, la densité et la viscosité. Ces propriétés
seront utilisées ultérieurement.
Le comportement mécanique et
les propriétés physiques des
fluides
compressibles et ceux des fluides incompressibles sont différents. En effet, les lois
de la mécanique des fluides ne sont pas universelles. Elles sont applicables
uniquement pour une classe de fluides donnée. Conformément à la classification
qui a été faite, les lois relatives à chaque type de fluides seront exposées dans la
suite du cours d’une façon indépendante.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
55 EEXXEERRCCIICCEESS DD’’AAPPPPLLIICCAATTIIOONN
EExxeerrcciiccee NN°°11::
11 ENONCE
Déterminer le poids volumique de l’essence sachant que sa densité d=0,7.
On donne : - l’accélération de la pesanteur g=9,81 m/s2
- la masse volumique de l’eau
=ρ
1000
mkg /
3
22 REPONSE
.ρϖ = d .
g
A.N.
=ϖ
.7,0
1000
81,9.
=
6867
mN /
3
EExxeerrcciiccee NN°°22::
11 ENONCE
Calculer le poids P0 d’un volume V=3 litres d’huile d’olive ayant une densité
d=0,918.
22 REPONSE
Po
.ρ= . gVd
.
A.N.
Po
=
.918,0
1000
10.3.
3 − 81,9.
=
27
N
EExxeerrcciiccee NN°°33:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LL’’EEXXAAMMEENN DDUU 2233--0066--22000033
11 ENONCE
Quelle est l’influence de la température sur la viscosité ?
22 REPONSE
Si la température augmente la viscosité diminue, et inversement.
EExxeerrcciiccee NN°°44:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LL’’EEXXAAMMEENN DDUU 1155--0011--22000044
11 ENONCE
Convertir le stockes en m2/s.
22 REPONSE
Conversion du stockes :
1
Publicité
Stockes
=
10
4−
2 / sm
EExxeerrcciiccee NN°°55:: EEXXTTRRAAIITT DDEE LL’’EEXXAAMMEENN DDUU 2244--0066--22000044
11 ENONCE
Expliquer le principe de mesure d'un viscosimètre à chute de bille.
22 REPONSE
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides
La viscosité cinématique est proportionnelle au temps mis par une bille sphérique
en chute pour descendre au fond d’un tube contenant un fluide de viscosité
inconnue.
EExxeerrcciiccee NN°°66:: EEXXTTRRAAIITT DDUU DDEEVVOOIIRR SSUURRVVEEIILLLLEE DDUU 2211--0044--22000033
11 ENONCE
Déterminer la viscosité dynamique de l’huile d’olive sachant que sa densité est
0,918 et sa viscosité cinématique est 1,089 Stockes.
22 REPONSE
υρμ .=
A.N.
μ
=
10.089,1.918
4 = −
1,0
sPa.
EExxeerrcciiccee NN°°77::
11 ENONCE
Du
fuel
porté
à
une
température
T=20°C
a
une
viscosité
dynamique
=μ
10.95
3−
sPa.
. Calculer sa viscosité cinématique υ en stockes
sachant que sa densité est d=0,95.
On donne la masse volumique de l’eau est
eau =ρ
1000
mkg /
3
22 REPONSE
ν =
μ deau .ρ
A.N.
ν
=
10.95
3 −
1000
95,0.
=
10.1
−
4
2 / sm
=
1
stockes
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
Page: 9
CChhaappiittrree 22 :: SSTTAATTIIQQUUEE DDEESS FFLLUUIIDDEESS
11
IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN Lors d’une plongée sous marine, on constate que la pression de l’eau augmente
avec la profondeur. La pression d’eau exercée sur un sous-marin au fond de
l’océan est considérable. De même, la pression de l’eau au fond d’un barrage est
nettement plus grande qu’au voisinage de la surface. Les effets de la pression
doivent être pris en considération lors du dimensionnement des structures tels que
les barrages, les sous marins, les réservoirs… etc. Les ingénieurs doivent calculer
les forces exercées par les fluides avant de concevoir de telles structures.
Ce chapitre est consacré à l’étude des fluides au repos. Les lois et théorèmes
fondamentaux en statique des fluides y sont énoncés. La notion de pression, le
théorème de Pascal, le principe d’Archimède et la relation fondamentale de
l’hydrostatique y sont expliqués.
Le calcul des presses hydrauliques, la détermination de la distribution de la
pression dans un réservoir…etc., sont basés sur
les
lois et
théorèmes
fondamentaux de la statique des fluides.
22 NNOOTTIIOONN DDEE PPRREESSSSIIOONN EENN UUNN PPOOIINNTT DD’’UUNN FFLLUUIIDDEE
La pression est une grandeur scalaire. C’est l’intensité de la composante normale
de la force qu’exerce le fluide sur l’unité de surface.
Elle est définie en un point A d’un fluide par l’expression suivante :
r NFd
dS
A
nr
10
Chapitre 2 : Statique des fluides
dF N
dS
P A =
où :
dS : Surface élémentaire de la facette de centre A (en mètre carré),
n : Vecteur unitaire en A de la normale extérieure à la surface,
NdF : Composante normale de la force élémentaire de pression qui s’exerce sur la
surface (en Newton),
PA : pression en A (en Pascal),
Sur la surface de centre A, d’aire dS, orientée par sa normale extérieure n , la force
de pression élémentaire dF s’exprime par :
dF N
.−= . ndSP A
Exemple : Chaque cm2
de surface de notre peau supporte environ 1 kg (force)
représentant le poids de l'atmosphère. C'est la pression atmosphérique au niveau
de la mer. Nous ne la ressentons pas car notre corps est incompressible et ses
cavités (estomac, poumons, etc. ) contiennent de l'air à la même pression.
Si on s'élève de 5 000 m, la pression atmosphérique est deux fois plus faible qu'au
niveau de la mer car la masse d'air au-dessus de notre tête est alors moitié
moindre. D’où la nécessité d’une pressurisation des avions.
En plongée sous-marine, pour mesurer la pression, on utilise le plus souvent le bar: 1 bar = 1 kg / cm2.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Plus on descend en profondeur, plus la pression est élevée car il faut tenir compte du poids de l'eau au-dessus de nous : à 10 mètres de profondeur, chaque cm2
de
notre peau supportera un poids égal à :
1 cm2 X 10 m (profondeur) = 1 cm2 X 100 cm = 1000 cm3 = l’équivalent du poids
d’1 litre d’eau. Le poids d’un litre d’eau douce est égal à 1kg. Le poids d’un litre
d’eau de mer est un plus important (à cause du sel qu’elle contient) : 1,026 kg.
En négligeant cette différence, on considérera que de manière générale un litre
d'eau pèse 1 kg.
Par conséquent, la pression due à l'eau à 10 m de profondeur est donc de 1 kg / cm2, c'est-à-dire 1 bar. Si on descend à nouveau de -10 m, la pression augmentera
à nouveau de 1 bar. C’est ce qu’on appelle la pression hydrostatique (pression due
à l'eau). On l'appelle aussi pression relative car c'est une pression par rapport à la
surface.
La pression hydrostatique (comme la pression atmosphérique) s’exerce dans
toutes les directions (et pas simplement de haut en bas).
Remarque :
L’unité internationale de pression est le Pascal : 1 Pa = 1 N/m². Cette unité est
très petite. On utilise le plus souvent ses multiples. En construction mécanique,
résistance des matériaux , etc.,l’unité utilisée est le méga pascal : 1 MPa= 1 N/mm2=106 Pa
En mécanique des fluides on utilise encore très souvent le bar. Le bar est égal à
peu près à la pression atmosphérique moyenne : 1 bar = 105 Pa.
33 RREELLAATTIIOONN FFOONNDDAAMMEENNTTAALLEE DDEE LL’’HHYYDDRROOSSTTAATTIIQQUUEE
Considérons un élément de volume d’un fluide incompressible (liquide homogène
de poids volumiqueϖ). Cet élément de volume a la forme d’un cylindre d’axe (G,
r u ) qui fait un angle α avec l’axe vertical (O, Z ) d’un repère R(O, X
r ,Y
r , Z
). Soit l la
longueur du cylindre et soit dS sa section droite.
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Z
Z2
Z1
r 2Fd
G2
dS
u
r iFd
α
G
l
G1
r 1Fd
r oPd
Soit G1 d’altitude Z1 et G2 d’altitude Z2, les centres des sections droites extrêmes.
Etudions l’équilibre du cylindre élémentaire, celui-ci est soumis aux :
- actions à distance : son poids :
dPO ϖ−=
ZdSl
- actions de contact : forces de pression s’exerçant sur :
o
la surface latérale : Σ idF .
o
les deux surfaces planes extrêmes :
dF 1
−=
dSP . 1
.(
u −
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)
=
udSP . . 1
et
dF 2
−=
udSP .2 .
.avec P1 et P2 les pressions du fluide respectivement en G1
et en G2.
Le cylindre élémentaire étant en équilibre dans le fluide, écrivons que la résultante
des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle :
dP O
Σ+
dF i
+
dF 1
+
dF 2
=
0
En projection sur l’axe de symétrie (G, u ) du cylindre,
−
ϖ
dSl ..
.
cos
α
+
dSP . 1
−
dSP . 2
=
0
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Chapitre 2 : Statique des fluides
Exprimons la différence de pression P1 – P2 après avoir divisé par dS et remarqué
que
l
cos ⋅ α
=
Z
−
Z 1
2
PP − 2 1
=
.( ϖ
Z
−
Z 1
)
2
=
ρ
( Zg
−
Z 1
)
2
: Relation fondamentale de l’hydrostatique.
Autre forme plus générale :
En divisant les deux membres de la relation précédente par ϖ :
P 1 ϖ
+
Z 1
=
P 2 ϖ
+
Z
2
. Ou encore
P 1 g ρ
+
Z 1
=
P 2 g ρ
+
Z
2
Comme G1 et G2 ont été choisis de façon arbitraire à l’intérieur d’un fluide de poids
volumiqueϖ, on peut écrire en un point quelconque d’altitude Z, ou règne la
pression p :
P ϖ
+
Z
=
P g ρ
+
Z
=
Cte
44 TTHHEEOORREEMMEE DDEE PPAASSCCAALL
4.1 Enoncé
Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un
point entraîne la même variation de pression en tout autre point.
4.2 Démonstration
Supposons qu’au point G1 intervienne une variation de pression telle que celle-ci
devienne
P Δ+ 1
P 1
.
1PΔ étant un nombre algébrique. Calculons la variation de
pression
2PΔ qui en résulte en G1.
Appliquons la relation fondamentale de l’hydrostatique entre G1 et G2 pour le fluide
o à l’état initial:
( PP − ϖ = 2 1
Z
2
−
Z 1
)
(1)
o à l’état final :
(
P 1
Δ+
P 1
)
−
(
P 2
Δ+
P 2
)
=
.( ϖ
Z
−
Z 1
)
2
(2)
En faisant la différence entre les équations (2) et (1) on obtient :
=Δ−Δ
P 2
P 1
0
.
D’où
P Δ=Δ 1
P 2
Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA
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Chapitre 2 : Statique des fluides
55 PPOOUUSSSSEEEE DD’’UUNN FFLLUUIIDDEE SSUURR UUNNEE PPAARROOII VVEERRTTIICCAALLEE
5.1 Hypothèses
r La paroi verticale possède un axe de symétrie (G,Y
). G est son centre de surface.
D’un coté de la paroi il y a un fluide de poids volumiqueϖ, de l’autre coté, il y a de
l’air à la pression atmosphérique Patm. On désigne par PG la pression au centre de
surface G du coté fluide.
r Y
dS
dF
M
G
Go
y
yo
r X
5.2 Eléments de réduction du torseur des forces de pression
Connaissant la pression PG au point G, la pression PM au point M est déterminée
en appliquant la relation fondamentale de l’hydrostatique :
P M
−
P G
=
.( ϖ
Y G
−
Y M
)
r Dans le repère (G, X
r , Y
r , Z
) défini sur la figure : yG=0 et yM =y, donc
P M
=
P G
.ϖ−
y
Exprimons la force de pression en M : Soit {
pousséeτ
}
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le torseur associé aux forces de pre