Modélisation Master Didactique des Mathématiques Université Paris VII Juin 2006

Les empreintes digitales

Véronique Messéant Patrick Nizou Nathalie Villain

Remerciements

Nous remercions vivement :

Madame Michèle Artigue et Monsieur François Sauvageot pour leur encadrement et leurs conseils,

Monsieur le commissaire Vianney Dyèvre et Monsieur Jean-Jacques Champain pour leur aimable accueil dans les locaux de l’Identité Judiciaire, pour le temps qu’ils nous ont consacré, les précieux renseignements et documents qu’ils nous ont fournis,

Monsieur Christophe Champod pour les réponses données à nos courriers électroniques et surtout pour l’envoi de sa thèse. Sa lecture nous a été précieuse et a contribué à compléter nos connaissances sur ce vaste sujet,

Tous les collègues de notre groupe qui ont accepté de se salir les doigts pour nous donner leurs empreintes.

Table des matières

INTRODUCTION...................................................................................................................... 1

I. QUELQUES REPERES CHRONOLOGIQUES............................................................... 2

II. GENERALITES................................................................................................................. 6

A. Caractérisation d’une empreinte digitale et description du motif .................................. 6

B. Traitement informatique d’une empreinte digitale......................................................... 8

C. Traces et empreintes....................................................................................................... 9

III. ESSAIS DE MODELISATIONS DE FORMES ET DE MINUTIES ............................. 10

A. Modélisation d’une empreinte en forme d’arche avec huit minuties. .......................... 11

B. Modélisation d’une empreinte en forme d’arche ......................................................... 13

C. Modélisation d’une empreinte en forme de spire avec six minuties ............................ 14

D. Modélisation d’une empreinte en forme de boucle ...................................................... 17

E. Modélisation d’une bifurcation à l’aide de courbes de Bézier..................................... 18

IV. MODELES DE CLASSIFICATIONS D’EMPREINTES ............................................... 19

A. Classification proposée par Galton (1891)................................................................... 19

B. Classification de Henry ( 1896) ................................................................................... 22

V. EMPREINTES ET PROBABILITES .............................................................................. 27

A. Le modèle proposé par Galton (1892).......................................................................... 27

B. Le modèle proposé par Balthazard (1911) ................................................................... 31

C. Critiques et limites ....................................................................................................... 32

D. Autres modèles proposés – Présentation des travaux de Christophe Champod........... 33

VI. PROPOSITION D’UN MODELE DE RECONNAISSANCE D’EMPREINTES .......... 35

VII. PRESENTATION D’UN TPE ET CRITIQUES ............................................................. 41

CONCLUSION ........................................................................................................................ 43

BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................... 44

ANNEXE 1 : TEXTE DU PROGRAMME ARCHES.G2W................................................... 45

ANNEXE 2 : TEXTE DU PROGRAMME SPIRES.G2W ..................................................... 46

ANNEXE 3 : TEXTE DU PROGRAMME BOUCLES.G2W ................................................ 48

ANNEXE 4 : TEXTE DU PROGRAMME BIFURCATION.G2W........................................ 49

ANNEXE 5 : ENQUETE......................................................................................................... 50

Introduction

Il existe trois prémices fondamentaux à la dactyloscopie 1 :

• La pérennité du dessin papillaire de la naissance à la mort, • L’inaltérabilité du dessin, • L’individualité du dessin d’un individu à l’autre.

Ces empreintes digitales2 existent déjà à notre naissance, on peut donc s’interroger en premier lieu sur la genèse de cette formation. Les avis divergent, on lit selon les auteurs qu’elles se forment à partir de la onzième semaine de gestation ou au début du troisième mois. Les lignes adoptent leur morphologie finale chez le fœtus. L’étude de l’origine de ces lignes papillaires fait partie de la morphogenèse3. Beaucoup de recherches restent encore à faire dans ce domaine.

Nos empreintes sont individuelles, cependant, elles ne sont en fait pas si différentes les unes des autres, elles affichent des constantes, nous verrons qu’on retrouve toujours les mêmes formes. Le dessin général ne suffit pas à individualiser une empreinte.

Dans un premier temps, nous avons essayé de modéliser à l’aide de courbes ces diverses formes. En général elles ne font l’objet que de descriptions et ne sont pas modélisées. Il existe des systèmes de classification des formes des empreintes des dix doigts. Nous en détaillerons deux.

L’individualité du dessin est due à des «irrégularités » appelées minuties dans les lignes. On lit que Galton, anthropologue cousin de Darwin4 a démontré « qu’il y a une chance sur 64 milliards d’avoir la même empreinte qu’un autre individu ». Ce propos a été un des points que nous avons étudiés. Nous en avons vu les limites et il a été la base d’une ouverture sur d’autres modèles.

Les recherches mathématiques sur les empreintes sont utilisées comme outil de preuve pour la police et la justice. Des modèles permettent d’évaluer la probabilité d’une certaine configuration et de fixer un seuil à partir duquel on peut assurer qu’il y a identification de l’individu dont on a relevé une trace5. Enfin, nous nous sommes posés une question : sommes-nous capables de jouer aux détectives dans notre groupe de travail ? Allons-nous réussir à identifier l’empreinte choisie au hasard parmi celles de nos collègues ? Le suspens est maintenu jusqu’à la fin de la soutenance…

1 Dactyloscopie : Etude des empreintes digitales 2 Empreintes digitales : dessin caractéristique formé par les lignes visibles sur la peau du bout des doigts. 3 Morphogenèse : Processus de développement des formes d'un organisme au cours de l'embryogenèse. 4 Voir historique 5 Pour la police, il y a cependant deux aspects dans l’identification des empreintes :

• Les classements dactyloscopiques basés sur la morphologie des empreintes des dix doigts donnent lieu

à des comparaisons décadactylaires : la probabilité d’erreur est nulle (en fait actuellement les comparaisons ne portent plus que sur deux index)

• Les classements appelés trace contre déca : il s’agit d’attribuer une trace laissée sur un lieu de délit à un

individu dont les empreintes sont fichées.

Les traces laissées ne sont que partielles ou de mauvaise qualité. La probabilité d’erreur lorsqu’on compare une trace et une empreinte dépend du nombre de points communs entre la trace et l’empreinte (ce nombre de points communs varie selon les pays). Aucun point de discordance ne doit être relevé.

I. Quelques repères chronologiques

Relevé d’empreintes digitales trouvé sur une paroi d’une falaise de Nouvelle-Ecosse (plus ancien relevé intentionnel connu)

Dès la préhistoire, les traces d’empreintes humaines apparaissent sur des murs ou d’anciennes poteries. L’empreinte digitale est alors utilisée comme signature lors de transactions. On a retrouvé une empreinte de pouce sur une tablette à Babylone.

Deux siècles av. J-C, en Chine, des scellés sont identifiés grâce à une empreinte digitale.

A partir de la fin du 17ème siècle, les sciences connaissent un développement remarquable.

- 1684 : le scientifique anglais Grew rédige un premier traité détaillé sur

l’empreinte.

Entre 1820 et 1880, commence une période où l’on souhaite classifier les individus suivant leurs caractéristiques physiques : c’est le début de l’anthropométrie6. En effet, les malfaiteurs changeant fréquemment d’état civil, cette classification est un moyen de les identifier. On établit des mesures de crânes et de membres que l’on reporte sur des fiches signalétiques, de nombreux résultats liés à la nature des empreintes sont obtenus.

Quelques dates importantes :

- 1823 : Le physiologiste tchèque Purkinje classe les empreintes en neuf

catégories.

- 1832 : Abolition de la marque sur les détenus, le problème de l’identification des

récidivistes se pose.

6 Anthropométrie : Technique qui concerne la mesure des particularités dimensionnelles d’un homme ou d’un animal.

- 1860 : Le diplomate anglais Herschel note que « les empreintes digitales sont formées avant la naissance et restent inchangées tout au long de la vie ».

- 1870 : Le Français Alphonse Bertillon simple employé à l’origine est chargé de classer les dossiers que la préfecture établit sur des criminels notoires. Nommé ensuite chef du service photographique de la préfecture de police de Paris, il affirme qu'en prenant quatorze mensurations (taille, pied, main, nez, oreilles, etc.) sur n'importe quel individu, il n'y a qu'une seule chance sur deux cent quatre-vingt-six millions pour qu'on retrouve les mêmes chez une autre personne. Un matériel spécialisé est dès lors utilisé dans tous les établissements pénitentiaires : table, tabouret, toise, compas de proportion, tablette et encreur pour prise d'empreintes digitales.

Il a donné son nom à la technique appelée « bertillonnage »7

Prises des mesures selon la méthode de Bertillon

Adolphe Bertillon vers 1890 par Nadar

- 1880 : Le médecin écossais Faulds affirme que les empreintes sont spécifiques à chaque individu et propose une méthode pour enregistrer les empreintes avec de l’encre d’imprimerie.

Les recherches scientifiques trouvent leur application dans le domaine de la criminalistique8. L’étude des empreintes digitales appelée la dactyloscopie permet de donner un caractère scientifique à la notion de preuve qui était jusqu’alors essentiellement basée sur l’aveu. C’est un élément qui s’ajoute à l’enquête policière. La dactyloscopie s’imposera ensuite comme moyen d’identification des récidivistes.

- 1891 : le premier fichier d’empreintes est mis en place en Argentine.

7 Bertillonnage : Technique criminologique reposant sur l’analyse biométrique mise au point par Alphonse Bertillon au XIXième siècle. 8Criminalistique : Branche de la science sur laquelle sont fondées les techniques d’identification des individus et de recherche de preuves matérielles.

- 1892 : le policier argentin Vucetich est le premier à identifier une criminelle par

ses empreintes digitales.

- 1892 : L’anthropologue anglais Francis Galton étudie les empreintes digitales pendant dix ans et publie un ouvrage Finger-Prints. Il établit une classification expérimentale de plus de 2500 séries d’empreintes. Il calcule qu’il y a seulement une chance sur 64 milliards que deux individus aient la même empreinte.

Francis Galton en 1850

Premier ouvrage de référence sur les empreintes digitales

- 1893 : Création du service d’identité judiciaire en France. Pour ce service, l’identité

judiciaire permet de pallier les problèmes des différents alias pris par un même individu.

1898 : Sir Edward Richard Henry chef de la police londonienne a mis en place un système de classification des empreintes, ce système a été largement adopté et a remplacé le Bertillonnage.

- 1902 : en France, Bertillon identifie par ses empreintes digitales l’auteur d’un crime, Sheffer. Il avait ajouté récemment ce caractère à ses fiches anthropométriques dans lesquelles apparaît le double portrait face-profil avec un étalon métrique inclus dans l’image.

Fiche signalétique et dactyloscopique de Henri-Léon Scheffer

- 1910 : Edmond Locard, élève de Bertillon, crée le laboratoire scientifique de Lyon. A cette époque, le relevé d’empreintes des dix doigts (fiches décadactyloscopiques) s’effectue contre quatre du temps de Bertillon. Il élabore la Théorie de l’échange : tout malfaiteur laisse des traces sur le lieu du délit et emporte avec lui des traces de ce même lieu . Il a rédigé Le Traité de Police Scientifique en 7 volumes. Cet ouvrage propose une méthodologie de cette nouvelle science et sert même à l'heure actuelle de base à tous les laboratoires de police scientifique du monde.

- 1937 : Etats-Unis :

Première machine de recherche automatique d’empreintes

A partir des années 1970 : L’ensemble des fiches décadactyloscopiques obtenues manuellement vont être informatisées, et des logiciels vont permettre le traitement informatique des empreintes et de leur reconnaissance.

- 1994 : Le Fichier Automatisé des Empreintes Digitales (F.A.E.D) est opérationnel. Il comprend les empreintes de 1 million 600 mille individus mis en cause dans des affaires pénales. Il permet d'identifier 130 individus par mois environ. Il rend le traitement et l'identification des empreintes découvertes plus rapides. Une trace relevée et lancée au FAED a une chance sur cinq d'être identifiée par le service de l'Identité Judiciaire.

- Aujourd’hui. : D’autres moyens d’identifications apparaissent : la biométrie9 se développe ainsi que la recherche d’ADN, l’exploitation des images issues de la vidéosurveillance, le prélèvement des odeurs sur les scènes de crimes. L’utilisation des empreintes digitales est encore à ce jour un moyen fiable et économique.

9 Biométrie : Technique globale visant à établir l'identité d'une personne en mesurant une de ses caractéristiques physiques. La biométrie est considérée maintenant comme l’ensemble des procédés de reconnaissance automatique d’une personne par certaines de ses caractéristiques physiques.

II. Généralités

A. Caractérisation d’une empreinte digitale et description du

motif

L’empreinte digitale est unique pour chaque individu et garde la même forme tout au long de la vie. Elle subit des transformations homothétiques ou des distorsions modélisables par des similitudes dues à la croissance. Lorsque l’épiderme est altéré, celui-ci se régénère de façon identique.

Cette unicité est donc une opportunité pour identifier un individu, mais alors qu’est-ce qui caractérise l’empreinte digitale?

a. Motif

En regardant les images d’empreintes ci-dessous, on s’aperçoit que les lignes foncées localement parallèles appelées stries ou crêtes caractérisent la forme de l’empreinte. On peut répertorier trois grandes familles d’empreintes : arches ou tentes (fig1), boucles à droite (fig2) ou boucles à gauche, spires ou verticilles ou tourbillons (fig3). Ces trois types d’empreintes regroupent 95% des doigts humains : 30% pour les spirales, 60% pour les boucles et 5% pour les tentes.

Figure 1 Figure 2 Figure 3

Des dessins beaucoup plus rares sont par exemple des doubles boucles imbriquées. . Empreinte assez rare : deux spirales

b. Points singuliers

Les éléments qui permettent de différencier deux empreintes digitales ayant le même motif sont :

(cid:1) D’une part les points singuliers globaux : noyau ou centre :lieu de convergences des stries. delta : lieu de divergences des stries.

(cid:1) D’autre part les points singuliers locaux :

les minuties : points d’irrégularité se trouvant sur les lignes capillaires.

On peut relever jusqu’à seize types de minuties mais dans les algorithmes on n’en retient généralement que quatre types:

(cid:3) Terminaison à droite ou à gauche (minutie située en fin de strie): figure a. (cid:3) Bifurcation à droite ou à gauche (intersection de deux stries) : figure b.

On peut citer également :

(cid:3) Île : assimilée à deux terminaisons : figure d et e. (cid:3) Lac : assimilée à deux bifurcations : figure c.

Types de minuties possibles (stries en noir)

B. Traitement informatique d’une empreinte digitale

Différents procédés que nous ne développerons pas ici permettent l’acquisition c’est à dire la capture de l’empreinte. L’image d’origine est binarisée (noir et blanc) puis squelettisée (les stries ont toutes la même épaisseur de 1 pixel). On peut ensuite grâce à différents algorithmes extraire les minuties et éjecter les « fausses ». On récupère ainsi en moyenne une centaine de minuties par empreinte. On obtient alors la signature de l’empreinte.

Chaque minutie est repérée et répertoriée comme suit : • Le type de minutie : bifurcation ou terminaison. • La position de la minutie dans l’image : coordonnées ( • La direction du bloc local associé à la strie : q

)yx;

Cette étape permet alors le stockage de la signature intégrée ensuite dans une base de données au moyen d’une technique d’archivage c’est la classification. Ce fichier a une taille inférieure à 0,5 Ko ce qui est un gain de mémoire non négligeable par rapport au stockage d’images consommatrices de Ko.

C. Traces et empreintes

Sur les lieux d’un délit ou d’un crime, les agents de la police scientifique relèvent des morceaux d’empreintes appelés traces. Ces traces sont capturées, traitées informatiquement et le procédé d’identification est possible. Combien de minuties sont à repérer pour permettre de déterminer une corrélation entre une trace de quelques millimètres carrés et une empreinte ? Le chiffre 12 en France, 8 aux Etats-Unis….. ?

III. Essais de modélisations de formes et de minuties

Nous nous proposons de modéliser à l’aide d’équations mathématiques les trois principales familles d’empreintes. Pour les représentations graphiques, nous utiliserons les logiciels excel et géoplan. Il existe des logiciels de création artificielle d’empreintes permettant de tester des programmes de reconnaissances. Pour réaliser nos modélisations, nous avons utilisé les images de pseudo-empreintes produites par le logiciel FingerPrint Creator de Optel10. Ces images correspondaient à des empreintes non déformées, par exemple une empreinte en spire avec quelques minuties :

10 http://www.optel.com.pl/software/english/method.htm

A. Modélisation d’une empreinte en forme d’arche avec huit

minuties.11

Nous avons choisi une famille de courbes est donnée par : a x 0,3 ²

avec a variant de 2 à 3,6 avec un pas de 0,1 et x compris entre -3 et 10,5.

aC (cubiques d’Agnesi) dont l’équation générale

A l’aide du tableur excel nous avons établi un tableau de valeurs et représenté ces différentes fonctions (voir figure page 15 ). Les minuties de type « terminaison » ont été obtenues par interruption du tableau de valeurs et celles de type « bifurcation » ont été obtenues en traçant des segments.

11 Fichier arches.xls

Repérage des minuties

Représentation graphique de l’empreinte

-4

-2

y2.9

bif1'

y2.1

bif2

y2.2

y3.1

bif2'

y2.3

y3.2

bif3

y2.4

y3.3

bif3'

y2.5

y3.4

bif4'

y2.7

y3.6

y2.8

bif 1

y2.6

y3.5

bif4'

Remarque : le problème de cette modélisation est de respecter l'écart entre deux lignes papillaires supposé constant.

B. Modélisation d’une empreinte en forme d’arche12

Logiciel utilisé : géoplan Figure obtenue :

On choisit un repère (

;OIO;

)OJ

non orthonormé pour ne pas avoir un axe de symétrie « vertical ». I(1 ;0) et J(0,3 ;1) dans un repère orthonormé initial. Les courbes ont pour équation :

a +

A l’aide du logiciel, nous avons

observé les courbes obtenues selon les valeurs prises par a et par b. Dans notre programme : a appartient à l’intervalle [

]8,2;5,0

et b à l’intervalle [1 ;2,8]

Texte du prototype crée Début de [courbe] a réel donné b réel donné I point de coordonnées (1,0) dans le repère Roxy J point de coordonnées (0.3,1) dans le repère Roxy

r repère (o,vec(o,I),vec(o,J)) (graduations: 1,1) c courbe définie par Y=a^3/(X^2+b^2), X décrivant [-3,3] (200 points, repère r) Description de l'interface c courbe de a et b Antécédent 1 (nombre réel): Antécédent 2 (nombre réel): Résultat (courbe): Aide particulière non écrite. Fin de [courbe]

12 Fichier arches.g2w Le texte intégral du programme figure en annexe 1.

C. Modélisation d’une empreinte en forme de spire avec six

minuties13

Logiciel utilisé : géoplan

• Figure obtenue et résumé de la démarche utilisée

repère (

)OJ

Pour déformer les courbes, nous n’avons pas utilisé le repère orthonormé initial mais un

;OIO;

non orthonormé où I(1 ;0) et J(0,2 ;1,2) dans le repère orthonormé initial.

La difficulté principale était de créer des minuties tout en gardant des distances à peu près régulières entre les spires. Figures obtenues Commentaire de la figure Les coordonnées affichées sont celles des minuties dans le repère orthonormé initial. Les minuties apparaissent par appuis successifs sur les touches 1, 2, 3, 4, 5 et 6. L'empreinte est effacée par appui sur la touche 7

A/R

:(4.88,-15.51)

B/R

:(23.55,23.55)C/R

:(16.08,-51.15) D/r:(14.3,-53.36) E/R

:(-36.88,55.31) F/R

:(-69.31,-69.31)

oxy

13 Fichier spires.g2w Le texte intégral du programme figure en annexe 2.

Démarche utilisée

Création des courbes et d’interruptions On fait tracer le début de la spirale d’Archimède de pas 2p .

Elle a pour équation polaire

t=r

ou encore pour courbe paramétrée

 

p 19 4

 

, on choisit ( ) tx ( ) ty

  

cos

sint

Extrait du texte de la figure c1 courbe paramétrée par X=tcos(t), Y=tsin(t), t décrivant [0,19pi/4] (500 points, repère r)

On veut créer une interruption, on a choisi « d’entourer » la

p 19

p 27

( car

spirale par un cercle de rayon

27p 4 respecte ainsi un écart de 2p entre le point d’interruption de la spirale et le point du cercle de même angle polaire) Extrait du texte de la figure c3 courbe en polaires: rho=27pi/4, t décrivant [0,2pi] (500 points, repère r)

, on

p 2

Pour qu’il n’y ait pas un écart trop important entre la spirale et

le cercle, on fait tracer un arc de cercle de rayon

ayant

19p 4

pour extrémité la fin de la première spirale. Extrait du texte de la figure c2 courbe paramétrée par X=(19pi/4)cos(t), Y=(19pi/4)sin(t), t décrivant [3pi/4,5pi/3] (500 points, repère r)

Pour visualiser la minutie (interruption) ; on crée un cercle de centre A et un segment qui a pour support la tangente en A au cercle. Extrait du texte de la figure A point de coordonnées ((19pi/4)cos(5pi/3),(19pi/4)sin(5pi/3)) dans le repère r Objet dessinable A, particularités: nom à droite, marque épaisse m1 cercle de centre A et de rayon 5 (unité Uoxy) Objet dessinable m1, particularités: rouge, trait épais d1 droite passant par A et de coefficient directeur -cos(5pi/3)/sin(5pi/3) (repère r) Objet dessinable d1, particularités: non dessiné A1 point d'intersection 1 de la droite d1 et du cercle m1 Objet dessinable A1, particularités: rouge, non dessiné A2 point d'intersection 2 de la droite d1 et du cercle m1 Objet dessinable A2, particularités: non dessiné d'1 droite munie du repère (A,vec(A,A1)) graduation 1 Objet dessinable d'1, particularités: non dessiné A3 point d'abscisse 2 dans le repère d'1 Objet dessinable A3, particularités: rouge, non dessiné Segment [A1A3] Objet dessinable [A1A3], particularités: rouge, trait épais

On continue le procédé. La courbe est composée de :

• parties de spirales (en bleu) • cercles (en vert) • arcs de cercles (en rouge) • courbes d’équation polaire

( )tf=r

où f est une

fonction affine de t (en noir), voir exemple ci-dessous.

Exemple de réalisation d’une minutie bifurcation

)

  

cos

 -    ;   3 ( ) p 18:0

p 47 sin( 3 )0 ( ) sin

p  47  3  ( pN 18 On a cherché à tracer une courbe reliant M à N d’équation polaire de la forme

3 ou encore.

où f est une fonction affine de t ( ) 0 =

 -   3 ( ) tf On obtient . Extrait du texte de la figure c8 courbe en polaires: rho=7t+18pi, t décrivant [-pi/3,0] (500 points, repère r)

( )tf=r p 47 3 p18 7 +

 =  = t

telle que

p18

D. Modélisation d’une empreinte en forme de boucle14

Logiciel utilisé : géoplan Figure obtenue :

Après quelques essais infructueux obtenus à partir de la fonction cosinus (la périodicité de la fonction posait trop de problèmes), il a été plus simple de travailler à partir de la fonction cosinus hyperbolique.

On choisit un repère (

)OJ

;OIO;

non orthonormé pour ne pas avoir

un axe de symétrie « vertical ».(I(1 ;0) et J(0,2 ;1) dans un repère orthonormé initial). Les courbes ont pour équation :

a ch 2 puis a varie dans l’intervalle [ 1,0=a

x a

a 3

]5,7;5,0

avec un pas de 0,5

Texte du prototype crée Début de [boucle] a réel donné I point de coordonnées (1,0) dans le repère Roxy J point de coordonnées (0.2,1) dans le repère Roxy r repère (o,vec(o,I),vec(o,J)) (graduations: 1,1) c courbe définie par Y=-(a/2)(exp(X/a)+exp(-X/a))+3a, X décrivant [-20,20] (500 points, repère r) Description de l'interface c courbe paramètre a Antécédent 1 (nombre réel): Résultat (courbe): Aide particulière non écrite. Fin de [boucle]

14 Fichier boucles.g2w Le texte intégral figure en annexe 3.

E. Modélisation d’une bifurcation à l’aide de courbes de

Bézier15

Logiciel utilisé : géoplan Figure obtenue :

Les courbes ont pour

équation

1 + 2

, a

varie dans l’intervalle ]5,0;3- [

avec un pas de 0,5.

Démarche utilisée pour la minutie bifurcation

On interrompt la courbe verte entre A et E B appartient à la partie interrompue de cette courbe. On interrompt les deux courbes noires respectivement en D et D’. C et C’ appartiennent respectivement à ces deux parties interrompues. On fait tracer en bleu la courbe de Bézier avec 4 points de contrôle A, B, C et D :

• elle passe par les extrémités A et D, •

la tangente en A a pour vecteur directeur AB (en rouge),

•

la tangente en D a pour vecteur directeur CD (en rouge).

De même on fait tracer en bleu la courbe de Bézier avec 4 points de contrôle A, B’ C’ et D’. Extrait du texte de la figure : b1 courbe paramétrée par X=(1-t)^3(-3)+3t(1-t)^2(-2)+3t^2(1-t)*(-1.5)+t^3(-0.5), Y=(1-t)^3(-0.4)+3t(1-t)^2(- 0.3)+3t^2(1-t)*0.307+t^3*(0.8), t décrivant [0,1] (500 points, repère Roxy) Objet dessinable b1, particularités: ciel, trait épais, points liés Remarques : il a fallu créer une interruption qui va de pair avec la bifurcation. Le problème de la gestion d’écarts à peu près réguliers entre les courbes reste non résolu.

15 Fichier bifurcation.g2w Le texte intégral du programme figure en annexe 4

IV. Modèles de classifications d’empreintes

A. Classification proposée par Galton (1891)16

Cette classification est exposée dans l’article intitulé Method of indexing Finger-Marks paru en 1891

Tableau des modèles

Explications du tableau ci-dessus : Il existe trois sortes de formes : Les primaires (arches) codées 1 ou 2

1 pour celles qui ont un axe de symétrie, c’est à dire a, b et c, 2 pour les autres, c’est à dire d, e, f et h

Les spires codées 3 ou 4

3 pour celles qui ont un axe « normal », c’est à dire h et i, 4 pour les autres, c’est à dire j, k, l et m.

Les boucles codées 5 ou 6 Elles n’ont pas d’axe de symétrie, leur code est 5 si leur pente est « normale », 6 sinon.

Pente normale empreinte main gauche :

Pente normale empreinte main droite :

La parité du code dépend donc de la « normalité » de l’empreinte, les codes pairs sont plus rares.

16 Il en existe d’autres du même auteur

Code des doigts

Pouce (thumb) T

Index 1

Majeur 2

Annulaire 3

Auriculaire 4

Exemple de tableau

Galton reporte sur différents tableaux les codes correspondants aux dix doigts d’une centaine de personnes. Il étudie les corrélations éventuelles entre les formes et les doigts, les fréquences de chaque forme diffèrent en effet selon le doigt. C’est pour ces raisons que les doigts ne sont plus dans l’ordre « naturel » dans les colonnes de gauche.

Expliquons la ligne correspondant à la quatrième personne :

Colonne left : Auriculaire gauche : doigt 4 Annulaire gauche : doigt 3 doigt 2 Majeur gauche : doigt 1 Index gauche : doigt T Pouce gauche : Colonne right : Pouce droit : Index droit: Majeur droit : Annulaire droit: Auriculaire droit :

doigt T doigt 1 doigt 2 doigt 3 doigt 4

code 5 (boucle pente normale) code 3 (spire avec axe) code 5 (boucle pente normale) code 3 (spire avec axe) code 3 (spire avec axe)

code 3 (spire avec axe) code 6 (boucle pente anormale) code 5 (boucle pente normale) code 3 (spire avec axe) code 5 (boucle pente normale)

Ces codes sont reportés et correspondent aux dix chiffres de gauche dans le tableau.

Exemple de tableau récapitulatif pour les formes concernant l’index gauche

Il y a donc : 30 % d’arches 29 % de spires 41 % de boucles

Ces tableaux pourraient être refaits aujourd’hui rapidement avec un tableur !

B. Classification de Henry ( 1896)

Code pour chaque forme :

Arche A

Boucle L

Spire W

Cette classification est liée au système binaire Les dix doigts sont codés par une suite de dix lettres (A, L ou W), à chaque doigt est attribué un entier de 1 à 10. Si un doigt a une empreinte en spirale, il lui est attribué une valeur qui est une puissance de deux : 16, 8, 4, 2 ou 1, selon le doigt dont il s’agit, sinon, il lui est attribué 0. Le tableau ci-dessous donne l’ordre des doigts, l’entier attribué, ainsi que sa valeur s’il a une forme de spirale:

Pouce droit 1

Index droit 2

Majeur droit 3

Annulaire droit 4

Auriculaire droit 5

Pouce gauche 6

Index gauche 7

Majeur gauche 8

Annulaire gauche 9

Auriculaire gauche 10

Numéro du doigt Valeur si spirale

Exemple 1: LWAALALWLA

Numéro du doigt Type d’empreinte Valeur attribuée

boucle

spirale

arche

boucle

arche

boucle

spirale boucle

arche

On calcule alors le rapport suivant :

+ (1 + (1

somme somme

des des

valeurs valeurs

attribuées attribuées

aux aux

numéros numéros

pairs ) impairs

)

Dans l’exemple ci-dessus. L’individu appartient au groupe 19 :1.

Exemple 2 : reprenons la quatrième personne du tableau de Galton

Numéro du doigt pour Galton Forme Numéro du doigt pour Henry Lettre correspondante Valeur attribuée

Spire Boucle Boucle Spire Boucle Spire 1

Spire Boucle Spire Boucle 7

Dans ce nouvel exemple. L’individu appartient au groupe 13 :20.

++++ ++++

)1248 )1248

Remarques Un individu qui n’a aucune spirale appartient au groupe 1 :1. Un individu qui n’a que des spirales appartient au groupe 32 :32 + 16(1 + 16(1 Chaque terme de cette fraction est égal à 1+(16 ou 0)+(8 ou 0)+(4 ou 0)+(2 ou 0)+ (1 ou 0). Il y a donc 5 2 2 2 Au total, la classification comporte 1024 groupes.

52 sommes possibles. 10 .

32 32

024

L’unicité de la décomposition d’un entier en base 2 permet de valider la classification de Henry. A chaque codage des dix doigts (L et A non distingués), correspond un unique rapport r dont le numérateur et le dénominateur sont compris entre 1 et 32. Réciproquement, à chaque rapport r dont le numérateur et le dénominateur sont compris entre 1 et 32 correspond un unique codage (L et A non distingués).

On peut utiliser un tableur pour convertir rapidement les classifications de Henry correspondant aux observations de Galton17 : Les lignes 13 et 14 donnent les classifications des dix lignes du tableau de Galton.

Formules utilisées

17 fichier Henry.xls

Idées pour une exploitation en classe : En seconde, en TS spécialité ou en L spécialité mathématiques : Travail sur la numération en base 2. Quel est le plus grand nombre de 5 chiffres en binaire ? Dénombrement des classifications. Connaissant les formes de dessins d’empreintes, donner la classification. On peut éventuellement utiliser un tableur :

Problème réciproque : Connaissant le groupe, faire retrouver les doigts (sachant qu’on ne peut pas distinguer pour la réciproque A et L). On peut approfondir en liaison avec l’unicité de l’écriture d’un nombre en système binaire.

Formules utilisées

V. Empreintes et probabilités

Probabilité d’une configuration de minuties Pour calculer la probabilité que deux empreintes digitales soient identiques, il faut estimer le nombre total d’empreintes digitales pouvant exister ou être générées. Pour cela, des modèles différents ont été proposés.

A. Le modèle proposé par Galton (1892)

Comment Galton « démontre » qu’il y a une chance sur 64 milliards que deux individus aient les mêmes empreintes. On attribue à Galton les premiers calculs de probabilité dans son ouvrage « Finger Prints » paru en 1892.

Galton : « Our problem is this: given two finger prints, which are alike in their minutiaes, what is the chance that they are made by different persons?”

Résumé de ce premier essai de théorie d’identification des empreintes digitales 18.

a) Comment Galton prouve que la seule observation des formes

d’empreintes ne suffit pas. Combien existe-t-il d’empreintes digitales différentes ?

Première évidence : si deux empreintes ne sont pas du même modèle, à savoir spire, arche ou boucle alors les empreintes proviennent de doigts différents. Qu’en est-il lorsque deux empreintes ont même apparence ? Après différentes observations d’empreintes, Galton affirme que :

•

2 3

des empreintes sont des boucles.

• Les empreintes peuvent-être classées en 100 groupes à partir de leur forme. • 12 ou 15 de ces groupes appartiennent à la famille « boucles »

Utilisation du langage probabiliste pour clarifier les calculs de Galton

Modélisons : On choisit une empreinte au hasard B l’événement « l’empreinte est de la forme boucle » iG l’événement « l’empreinte appartient au groupe (qui est un groupe de boucle) numéro i » ( i 1 12 2=Bp ) ( 3

Galton considère

équiprobabilité)

( B Gp

)

1= 12

( B Gp

)

1= 15

(il suppose implicitement une

18 Nous avons essayé de restituer tout en résumant le plus fidèlement possible le texte original en anglais.

£ £ £ £

On a donc

( GBp

)

( Bp

)

( Gp B

)

( GBp

)

( Bp

)

( Gp B

)

2 ·= 3 2 ·= 3

1 12 1 15

2 36 2 45

Les approximations de Galton : 2 » 36

2 40

1 20

2 40

2 » 45 ( iGBp

2 = 40 1= ) 20

On a donc

Cette probabilité étant trop grande, Galton conclut que si deux empreintes ont une même ressemblance générale, cela ne suffit pas à prouver qu’elles proviennent d’un même doigt Il faut donc faire des comparaisons plus approfondies et considérer les minuties.

b) Le modèle proposé

Comment Galton modélise une empreinte par 24 carrés indépendants

Le problème de la dimension de ces carrés et de leur indépendance L’idée générale est de quadriller une empreinte.

Galton cherche à trouver le côté c d’un carré, tel que si on cache un carré de cette dimension sur une empreinte, la probabilité de reconstituer correctement la partie cachée soit égale à.

Galton remarque que sur des photos de 8 parties d’empreintes (deux sont montrées ci-contre), le

rapport longueur/largeur est égal à

3 2

Il propose donc de partager chaque image en six carrés. Il estime que chaque carré a en moyenne une largeur égale à 6 intervalles de crête. Il découpe un carré de papier de cette taille, il le place au hasard sur un des carrés des 8 empreintes qui se trouve ainsi caché. Il essaie alors de reconstituer la partie manquante par trois méthodes différentes. Au total, sur 75 reconstitutions tentées par l’une ou l’autre de ces méthodes, 27 sont bonnes et 48 sont mauvaises. 27 » 75 Galton conclut que la probabilité (appelée chance par lui) de reconstitution d’un carré de côté

1 3

6 intervalles de crête est égale à

1 3

Au départ, il voulait que cette probabilité soit égale à

1 2

Il estime alors qu’un carré de côté 5 intervalles de crête conviendrait davantage, en choisir un de côté 4 intervalles serait trop petit. Un carré de côté 5 intervalles de crête est donc celui recherché !

· ˙

· ˙ ˙

Pour des raisons de calculs plus simples, il travaillera cependant dans un premier temps avec 1 2

comme hypothèse un carré de côté 6 intervalles de crête et avec

plutôt qu’avec

1 < 3

1 2

, (

les probabilités calculées avec

1 2

sont supérieures aux probabilités obtenues avec

obtient une probabilité qui convient avec

1 2

, elle conviendra a-fortiori avec

1 3

)

1 3 1 3

, s’il

Comment Galton prouve l’indépendance de tels carrés<

Modélisation des Empreintes Digitales

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