Mod lisation
Master Didactique des Math matiques
Universit Paris VII
Juin 2006
Les empreintes digitales
V ronique Mess ant
Patrick Nizou
Nathalie Villain
Remerciements
Nous remercions vivement :
Madame Mich le Artigue et Monsieur Fran ois Sauvageot pour leur encadrement et leurs
conseils,
Monsieur le commissaire Vianney Dy vre et Monsieur Jean-Jacques Champain pour leur
aimable accueil dans les locaux de lIdentit Judiciaire, pour le temps quils nous ont
consacr , les pr cieux renseignements et documents quils nous ont fournis,
Monsieur Christophe Champod pour les r ponses donn es nos courriers lectroniques et
surtout pour lenvoi de sa th se. Sa lecture nous a t pr cieuse et a contribu compl ter
nos connaissances sur ce vaste sujet,
Tous les coll gues de notre groupe qui ont accept de se salir les doigts pour nous donner
leurs empreintes.
Table des mati res
INTRODUCTION...................................................................................................................... 1
I. QUELQUES REPERES CHRONOLOGIQUES............................................................... 2
II. GENERALITES................................................................................................................. 6
A. Caract risation dune empreinte digitale et description du motif .................................. 6
B. Traitement informatique dune empreinte digitale......................................................... 8
C. Traces et empreintes....................................................................................................... 9
III. ESSAIS DE MODELISATIONS DE FORMES ET DE MINUTIES ............................. 10
A. Mod lisation dune empreinte en forme darche avec huit minuties. .......................... 11
B. Mod lisation dune empreinte en forme darche ......................................................... 13
C. Mod lisation dune empreinte en forme de spire avec six minuties ............................ 14
D. Mod lisation dune empreinte en forme de boucle ...................................................... 17
E. Mod lisation dune bifurcation laide de courbes de B zier..................................... 18
IV. MODELES DE CLASSIFICATIONS DEMPREINTES ............................................... 19
A. Classification propos e par Galton (1891)................................................................... 19
B. Classification de Henry ( 1896) ................................................................................... 22
V. EMPREINTES ET PROBABILITES .............................................................................. 27
A. Le mod le propos par Galton (1892).......................................................................... 27
B. Le mod le propos par Balthazard (1911) ................................................................... 31
C. Critiques et limites ....................................................................................................... 32
D. Autres mod les propos s Pr sentation des travaux de Christophe Champod........... 33
VI. PROPOSITION DUN MODELE DE RECONNAISSANCE DEMPREINTES .......... 35
VII. PRESENTATION DUN TPE ET CRITIQUES ............................................................. 41
CONCLUSION ........................................................................................................................ 43
BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................... 44
ANNEXE 1 : TEXTE DU PROGRAMME ARCHES.G2W................................................... 45
ANNEXE 2 : TEXTE DU PROGRAMME SPIRES.G2W ..................................................... 46
ANNEXE 3 : TEXTE DU PROGRAMME BOUCLES.G2W ................................................ 48
ANNEXE 4 : TEXTE DU PROGRAMME BIFURCATION.G2W........................................ 49
ANNEXE 5 : ENQUETE......................................................................................................... 50
Introduction
Il existe trois pr mices fondamentaux la dactyloscopie 1 :
" La p rennit du dessin papillaire de la naissance la mort,
" Linalt rabilit du dessin,
" Lindividualit du dessin dun individu lautre.
Ces empreintes digitales2 existent d j notre naissance, on peut donc sinterroger en premier
lieu sur la gen se de cette formation.
Les avis divergent, on lit selon les auteurs quelles se forment partir de la onzi me semaine
de gestation ou au d but du troisi me mois. Les lignes adoptent leur morphologie finale chez
le fStus. L tude de lorigine de ces lignes papillaires fait partie de la morphogen se3.
Beaucoup de recherches restent encore faire dans ce domaine.
Nos empreintes sont individuelles, cependant, elles ne sont en fait pas si diff rentes les unes
des autres, elles affichent des constantes, nous verrons quon retrouve toujours les m mes
formes. Le dessin g n ral ne suffit pas individualiser une empreinte.
Dans un premier temps, nous avons essay de mod liser laide de courbes ces diverses
formes. En g n ral elles ne font lobjet que de descriptions et ne sont pas mod lis es. Il existe
des syst mes de classification des formes des empreintes des dix doigts. Nous en d taillerons
deux.
Lindividualit du dessin est due des irr gularit s appel es minuties dans les lignes.
On lit que Galton, anthropologue cousin de Darwin4 a d montr quil y a une chance sur 64
milliards davoir la m me empreinte quun autre individu . Ce propos a t un des points que
nous avons tudi s. Nous en avons vu les limites et il a t la base dune ouverture sur
dautres mod les.
Les recherches math matiques sur les empreintes sont utilis es comme outil de preuve pour la
police et la justice. Des mod les permettent d valuer la probabilit dune certaine
configuration et de fixer un seuil partir duquel on peut assurer quil y a identification de
lindividu dont on a relev une trace5.
Enfin, nous nous sommes pos s une question : sommes-nous capables de jouer aux d tectives
dans notre groupe de travail ?
Allons-nous r ussir identifier lempreinte choisie au hasard parmi celles de nos coll gues ?
Le suspens est maintenu jusqu la fin de la soutenance&
1 Dactyloscopie : Etude des empreintes digitales
2 Empreintes digitales : dessin caract ristique form par les lignes visibles sur la peau du bout des doigts.
3 Morphogen se : Processus de d veloppement des formes d'un organisme au cours de l'embryogen se.
4 Voir historique
5 Pour la police, il y a cependant deux aspects dans lidentification des empreintes :
" Les classements dactyloscopiques bas s sur la morphologie des empreintes des dix doigts donnent lieu
des comparaisons d cadactylaires : la probabilit derreur est nulle (en fait actuellement les
comparaisons ne portent plus que sur deux index)
" Les classements appel s trace contre d ca : il sagit dattribuer une trace laiss e sur un lieu de d lit un
individu dont les empreintes sont fich es.
Les traces laiss es ne sont que partielles ou de mauvaise qualit .
La probabilit derreur lorsquon compare une trace et une empreinte d pend du nombre de points communs
entre la trace et lempreinte (ce nombre de points communs varie selon les pays). Aucun point de
discordance ne doit tre relev .
1
I. Quelques rep res chronologiques
Relev dempreintes digitales trouv sur une
paroi dune falaise de Nouvelle-Ecosse (plus
ancien relev intentionnel connu)
D s la pr histoire, les traces dempreintes humaines apparaissent sur des murs ou
danciennes poteries. Lempreinte digitale est alors utilis e comme signature lors de
transactions. On a retrouv une empreinte de pouce sur une tablette Babylone.
Deux si cles av. J-C, en Chine, des scell s sont identifi s gr ce une empreinte
digitale.
A partir de la fin du 17 me si cle, les sciences connaissent un d veloppement
remarquable.
- 1684 : le scientifique anglais Grew r dige un premier trait d taill sur
lempreinte.
Entre 1820 et 1880, commence une p riode o lon souhaite classifier les individus suivant
leurs caract ristiques physiques : cest le d but de lanthropom trie6.
En effet, les malfaiteurs changeant fr quemment d tat civil, cette classification est un
moyen de les identifier.
On tablit des mesures de cr nes et de membres que lon reporte sur des fiches
signal tiques, de nombreux r sultats li s la nature des empreintes sont obtenus.
Quelques dates importantes :
- 1823 : Le physiologiste tch que Purkinje classe les empreintes en neuf
cat gories.
- 1832 : Abolition de la marque sur les d tenus, le probl me de lidentification des
r cidivistes se pose.
6 Anthropom trie : Technique qui concerne la mesure des particularit s dimensionnelles dun homme ou dun
animal.
2
- 1860 : Le diplomate anglais Herschel note que les empreintes digitales sont
form es avant la naissance et restent inchang es tout au long de la vie .
- 1870 : Le Fran ais Alphonse Bertillon simple employ lorigine est charg de classer
les dossiers que la pr fecture tablit sur des criminels notoires. Nomm ensuite chef du
service photographique de la pr fecture de police de Paris, il affirme qu'en prenant
quatorze mensurations (taille, pied, main, nez, oreilles, etc.) sur n'importe quel individu, il
n'y a qu'une seule chance sur deux cent quatre-vingt-six millions pour qu'on retrouve les
m mes chez une autre personne. Un mat riel sp cialis est d s lors utilis dans tous les
tablissements p nitentiaires : table, tabouret, toise, compas de proportion, tablette et
encreur pour prise d'empreintes digitales.
Il a donn son nom la technique appel e bertillonnage 7
Prises des mesures selon la m thode de Bertillon
Adolphe Bertillon vers 1890 par Nadar
- 1880 : Le m decin cossais Faulds affirme que les empreintes sont sp cifiques
chaque individu et propose une m thode pour enregistrer les empreintes avec de
lencre dimprimerie.
Les recherches scientifiques trouvent leur application dans le domaine de la criminalistique8.
L tude des empreintes digitales appel e la dactyloscopie permet de donner un caract re
scientifique la notion de preuve qui tait jusqualors essentiellement bas e sur laveu.
Cest un l ment qui sajoute lenqu te polici re. La dactyloscopie simposera ensuite
comme moyen didentification des r cidivistes.
- 1891 : le premier fichier dempreintes est mis en place en Argentine.
7 Bertillonnage : Technique criminologique reposant sur lanalyse biom trique mise au point par Alphonse
Bertillon au XIXi me si cle.
8Criminalistique : Branche de la science sur laquelle sont fond es les techniques didentification des individus et
de recherche de preuves mat rielles.
3
- 1892 : le policier argentin Vucetich est le premier identifier une criminelle par
ses empreintes digitales.
- 1892 : Lanthropologue anglais Francis Galton tudie les empreintes digitales pendant
dix ans et publie un ouvrage Finger-Prints. Il tablit une classification exp rimentale de
plus de 2500 s ries dempreintes. Il calcule quil y a seulement une chance sur 64
milliards que deux individus aient la m me empreinte.
Francis Galton en 1850
Premier ouvrage de r f rence sur les empreintes digitales
- 1893 : Cr ation du service didentit judiciaire en France. Pour ce service, lidentit
judiciaire permet de pallier les probl mes des diff rents alias pris par un m me individu.
-
1898 : Sir Edward Richard Henry chef de la police londonienne a mis en place un
syst me de classification des empreintes, ce syst me a t largement adopt et a remplac
le Bertillonnage.
- 1902 : en France, Bertillon identifie par ses empreintes digitales lauteur dun crime,
Sheffer. Il avait ajout r cemment ce caract re ses fiches anthropom triques dans
lesquelles appara t le double portrait face-profil avec un talon m trique inclus dans
limage.
Fiche signal tique et dactyloscopique de
Henri-L on Scheffer
4
- 1910 : Edmond Locard, l ve de Bertillon, cr e le laboratoire scientifique de Lyon. A
cette poque, le relev dempreintes des dix doigts (fiches d cadactyloscopiques)
seffectue contre quatre du temps de Bertillon.
Il labore la Th orie de l change : tout malfaiteur laisse des traces sur le lieu du d lit et
emporte avec lui des traces de ce m me lieu .
Il a r dig Le Trait de Police Scientifique en 7 volumes. Cet ouvrage propose une
m thodologie de cette nouvelle science et sert m me l'heure actuelle de base tous les
laboratoires de police scientifique du monde.
- 1937 : Etats-Unis :
Premi re machine de recherche automatique dempreintes
A partir des ann es 1970 : Lensemble des fiches d cadactyloscopiques obtenues
manuellement vont tre informatis es, et des logiciels vont permettre le traitement
informatique des empreintes et de leur reconnaissance.
- 1994 : Le Fichier Automatis des Empreintes Digitales (F.A.E.D) est op rationnel. Il
comprend les empreintes de 1 million 600 mille individus mis en cause dans des affaires
p nales. Il permet d'identifier 130 individus par mois environ. Il rend le traitement et
l'identification des empreintes d couvertes plus rapides. Une trace relev e et lanc e au
FAED a une chance sur cinq d' tre identifi e par le service de l'Identit Judiciaire.
- Aujourdhui. :
Dautres moyens didentifications apparaissent : la biom trie9 se d veloppe ainsi que la
recherche dADN, lexploitation des images issues de la vid osurveillance, le pr l vement des
odeurs sur les sc nes de crimes.
Lutilisation des empreintes digitales est encore ce jour un moyen fiable et conomique.
9 Biom trie : Technique globale visant tablir l'identit d'une personne en mesurant une de ses caract ristiques
physiques. La biom trie est consid r e maintenant comme lensemble des proc d s de reconnaissance
automatique dune personne par certaines de ses caract ristiques physiques.
5
II. G n ralit s
A. Caract risation dune empreinte digitale et description du
motif
Lempreinte digitale est unique pour chaque individu et garde la m me forme tout au long de
la vie. Elle subit des transformations homoth tiques ou des distorsions mod lisables par des
similitudes dues la croissance. Lorsque l piderme est alt r , celui-ci se r g n re de fa on
identique.
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Cette unicit est donc une opportunit pour identifier un individu, mais alors quest-ce
qui caract rise lempreinte digitale?
a. Motif
En regardant les images dempreintes ci-dessous, on saper oit que les lignes fonc es
localement parall les appel es stries ou cr tes caract risent la forme de lempreinte. On peut
r pertorier trois grandes familles dempreintes : arches ou tentes (fig1), boucles droite
(fig2) ou boucles gauche, spires ou verticilles ou tourbillons (fig3).
Ces trois types dempreintes regroupent 95% des doigts humains : 30% pour les spirales, 60%
pour les boucles et 5% pour les tentes.
Figure 1 Figure 2 Figure 3
Des dessins beaucoup plus rares sont par exemple des doubles boucles imbriqu es.
.
Empreinte assez rare : deux spirales
6
b. Points singuliers
Les l ments qui permettent
de diff rencier deux
empreintes digitales ayant le
m me motif sont :
(cid:1) Dune part les points
singuliers globaux :
noyau ou centre :lieu de
convergences des stries.
delta : lieu de divergences des
stries.
(cid:1) Dautre part les points
singuliers locaux :
les minuties : points dirr gularit se
trouvant sur les lignes capillaires.
On peut relever jusqu seize types de minuties mais dans les algorithmes on nen retient
g n ralement que quatre types:
(cid:3) Terminaison droite ou gauche (minutie situ e en fin de strie): figure a.
(cid:3) Bifurcation droite ou gauche (intersection de deux stries) : figure b.
On peut citer galement :
(cid:3) le : assimil e deux terminaisons : figure d et e.
(cid:3) Lac : assimil e deux bifurcations : figure c.
Types de minuties possibles (stries en noir)
7
B. Traitement informatique dune empreinte digitale
Diff rents proc d s que nous ne d velopperons pas ici permettent lacquisition cest dire la
capture de lempreinte.
Limage dorigine est binaris e (noir et blanc) puis squelettis e (les stries ont toutes la m me
paisseur de 1 pixel).
On peut ensuite gr ce diff rents algorithmes extraire les minuties et jecter les fausses .
On r cup re ainsi en moyenne une centaine de minuties par empreinte.
On obtient alors la signature de lempreinte.
Chaque minutie est rep r e et r pertori e comme suit :
" Le type de minutie : bifurcation ou terminaison.
" La position de la minutie dans limage : coordonn es (
" La direction du bloc local associ la strie : q
)yx;
.
Cette tape permet alors le stockage de la signature int gr e ensuite dans une base de donn es
au moyen dune technique darchivage cest la classification. Ce fichier a une taille inf rieure
0,5 Ko ce qui est un gain de m moire non n gligeable par rapport au stockage dimages
consommatrices de Ko.
8
C. Traces et empreintes
Sur les lieux dun d lit ou dun crime, les agents de la police scientifique rel vent des
morceaux dempreintes appel s traces.
Ces traces sont captur es, trait es informatiquement et le proc d didentification est
possible.
Combien de minuties sont rep rer pour permettre de d terminer une corr lation entre
une trace de quelques millim tres carr s et une empreinte ? Le chiffre 12 en France, 8
aux Etats-Unis&.. ?
9
III. Essais de mod lisations de formes et de minuties
Nous nous proposons de mod liser laide d quations math matiques les trois principales
familles dempreintes. Pour les repr sentations graphiques, nous utiliserons les logiciels excel
et g oplan.
Il existe des logiciels de cr ation artificielle dempreintes permettant de tester des
programmes de reconnaissances.
Pour r aliser nos mod lisations, nous avons utilis les images de pseudo-empreintes produites
par le logiciel FingerPrint Creator de Optel10. Ces images correspondaient des empreintes
non d form es, par exemple une empreinte en spire avec quelques minuties :
10 http://www.optel.com.pl/software/english/method.htm
10
A. Mod lisation dune empreinte en forme darche avec huit
minuties.11
Nous avons choisi une famille de courbes
est donn e par :
a
x
0,3
+
=
a
y
3
avec a variant de 2 3,6 avec un pas de 0,1 et x compris entre -3 et 10,5.
aC (cubiques dAgnesi) dont l quation g n rale
A laide du tableur excel nous avons tabli un tableau de valeurs et repr sent ces diff rentes
fonctions (voir figure page 15 ). Les minuties de type terminaison ont t obtenues par
interruption du tableau de valeurs et celles de type bifurcation ont t obtenues en tra ant
des segments.
11 Fichier arches.xls
11
Rep rage des minuties
Repr sentation graphique de lempreinte
-4
-2
y2
y2.9
bif1'
0
2
4
y2.1
y3
bif2
y2.2
y3.1
bif2'
y2.3
y3.2
bif3
y2.4
y3.3
bif3'
6
y2.5
y3.4
bif4'
8
10
12
y2.7
y3.6
y2.8
bif 1
y2.6
y3.5
bif4'
Remarque : le probl me de cette mod lisation est de respecter l' cart entre deux lignes
papillaires suppos constant.
12
B. Mod lisation dune empreinte en forme darche12
Logiciel utilis : g oplan
Figure obtenue :
On choisit un rep re (
;OIO;
)OJ
non orthonorm pour ne pas avoir
un axe de sym trie vertical .
I(1 ;0) et J(0,3 ;1) dans un rep re
orthonorm initial.
Les courbes ont pour quation :
=
y
3
a
+
2
b
.
2
x
A laide du logiciel, nous avons
observ les courbes obtenues selon les valeurs prises par a et par b.
Dans notre programme : a appartient lintervalle [
]8,2;5,0
et b lintervalle [1 ;2,8]
Texte du prototype cr e
D but de
a r el donn
b r el donn
I point de coordonn es (1,0) dans le rep re Roxy
J point de coordonn es (0.3,1) dans le rep re Roxy
r rep re (o,vec(o,I),vec(o,J)) (graduations: 1,1)
c courbe d finie par Y=a^3/(X^2+b^2), X d crivant [-3,3] (200 points, rep re r)
Description de l'interface
c courbe de a et b
Ant c dent 1 (nombre r el):
Ant c dent 2 (nombre r el):
R sultat (courbe):
Aide particuli re non crite.
Fin de
12 Fichier arches.g2w
Le texte int gral du programme figure en annexe 1.
13
C. Mod lisation dune empreinte en forme de spire avec six
minuties13
Logiciel utilis : g oplan
" Figure obtenue et r sum de la d marche utilis e
rep re (
)OJ
Pour d former les courbes, nous navons pas utilis le rep re orthonorm initial mais un
;OIO;
non orthonorm o I(1 ;0) et J(0,2 ;1,2) dans le rep re orthonorm initial.
La difficult principale tait de cr er des minuties tout en gardant des distances peu pr s
r guli res entre les spires.
Figures obtenues
Commentaire de la figure
Les coordonn es affich es sont celles des minuties dans le rep re orthonorm initial.
Les minuties apparaissent par appuis successifs sur les touches 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
L'empreinte est effac e par appui sur la touche 7
A/R
:(4.88,-15.51)
B/R
:(23.55,23.55)C/R
:(16.08,-51.15) D/r:(14.3,-53.36) E/R
:(-36.88,55.31) F/R
:(-69.31,-69.31)
oxy
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oxy
oxy
oxy
oxy
13 Fichier spires.g2w
Le texte int gral du programme figure en annexe 2.
14
D marche utilis e
Cr ation des courbes et dinterruptions
On fait tracer le d but de la spirale dArchim de de pas 2p .
Elle a pour quation polaire
t=r
ou encore pour courbe param tr e
t
;0
p
19
4
.
, on choisit
( )
tx
( )
ty
=
=
t
t
cos
t
sint
Extrait du texte de la figure
c1 courbe param tr e par X=tcos(t), Y=tsin(t), t d crivant [0,19pi/4] (500
points, rep re r)
On veut cr er une interruption, on a choisi dentourer la
p
19
p
27
( car
spirale par un cercle de rayon
27p
4
respecte ainsi un cart de 2p entre le point dinterruption de la
spirale et le point du cercle de m me angle polaire)
Extrait du texte de la figure
c3 courbe en polaires: rho=27pi/4, t d crivant [0,2pi] (500 points, rep re
r)
, on
p
2
=
+
4
4
Pour quil ny ait pas un cart trop important entre la spirale et
le cercle, on fait tracer un arc de cercle de rayon
ayant
19p
4
pour extr mit la fin de la premi re spirale.
Extrait du texte de la figure
c2 courbe param tr e par X=(19pi/4)cos(t), Y=(19pi/4)sin(t), t d crivant
[3pi/4,5pi/3] (500 points, rep re r)
15
A
Pour visualiser la minutie (interruption) ; on cr e un cercle de
centre A et un segment qui a pour support la tangente en A au
cercle.
Extrait du texte de la figure
A point de coordonn es ((19pi/4)cos(5pi/3),(19pi/4)sin(5pi/3)) dans le
rep re r
Objet dessinable A, particularit s: nom droite, marque paisse
m1 cercle de centre A et de rayon 5 (unit Uoxy)
Objet dessinable m1, particularit s: rouge, trait pais
d1 droite passant par A et de coefficient directeur -cos(5pi/3)/sin(5pi/3)
(rep re r)
Objet dessinable d1, particularit s: non dessin
A1 point d'intersection 1 de la droite d1 et du cercle m1
Objet dessinable A1, particularit s: rouge, non dessin
A2 point d'intersection 2 de la droite d1 et du cercle m1
Objet dessinable A2, particularit s: non dessin
d'1 droite munie du rep re (A,vec(A,A1)) graduation 1
Objet dessinable d'1, particularit s: non dessin
A3 point d'abscisse 2 dans le rep re d'1
Objet dessinable A3, particularit s: rouge, non dessin
Segment
Objet dessinable , particularit s: rouge, trait pais
On continue le proc d .
La courbe est compos e de :
" parties de spirales (en bleu)
" cercles (en vert)
" arcs de cercles (en rouge)
" courbes d quation polaire
( )tf=r
o f est une
fonction affine de t (en noir), voir exemple ci-dessous.
Exemple de r alisation dune minutie bifurcation
N
M
)
p
p
M
cos
cos
-
;
3
( )
p
18:0
p
47
sin(
3
)0
( )
sin
p
47
3
(
pN
18
On a cherch tracer une courbe reliant M N d quation
polaire de la forme
3
ou encore.
o f est une fonction affine de t
( )
0 =
-
3
( )
tf
On obtient
.
Extrait du texte de la figure
c8 courbe en polaires: rho=7t+18pi, t d crivant [-pi/3,0] (500
points, rep re r)
( )tf=r
p
47
3
p18
7 +
=
= t
telle que
p18
et
.
p
f
f
16
-
D. Mod lisation dune empreinte en forme de boucle14
Logiciel utilis : g oplan
Figure obtenue :
Apr s quelques essais infructueux obtenus partir de la fonction
cosinus (la p riodicit de la fonction posait trop de probl mes), il a
t plus simple de travailler partir de la fonction cosinus
hyperbolique.
On choisit un rep re (
)OJ
;OIO;
non orthonorm pour ne pas avoir
un axe de sym trie vertical .(I(1 ;0) et J(0,2 ;1) dans un rep re
orthonorm initial).
Les courbes ont pour quation :
y
+
-=
a
ch
2
puis a varie dans lintervalle [
1,0=a
x
a
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a
3
,
]5,7;5,0
avec un pas de 0,5
Texte du prototype cr e
D but de
a r el donn
I point de coordonn es (1,0) dans le rep re Roxy
J point de coordonn es (0.2,1) dans le rep re Roxy
r rep re (o,vec(o,I),vec(o,J)) (graduations: 1,1)
c courbe d finie par Y=-(a/2)(exp(X/a)+exp(-X/a))+3a, X d crivant [-20,20] (500 points, rep re r)
Description de l'interface
c courbe param tre a
Ant c dent 1 (nombre r el):
R sultat (courbe):
Aide particuli re non crite.
Fin de
14 Fichier boucles.g2w
Le texte int gral figure en annexe 3.
17
E. Mod lisation dune bifurcation laide de courbes de
B zier15
Logiciel utilis : g oplan
Figure obtenue :
Les courbes ont pour
quation
y
=
1
+
2
x
1
+
a
, a
varie dans lintervalle
]5,0;3-
[
avec un pas de 0,5.
D marche utilis e pour la minutie bifurcation
D
D'
A
B
E
C
C'
On interrompt la courbe verte entre A et E
B appartient la partie interrompue de cette courbe.
On interrompt les deux courbes noires respectivement en D et D.
C et C appartiennent respectivement ces deux parties interrompues.
On fait tracer en bleu la courbe de B zier avec 4 points de contr le A, B, C et D :
" elle passe par les extr mit s A et D,
"
la tangente en A a pour vecteur directeur AB (en rouge),
"
la tangente en D a pour vecteur directeur CD (en rouge).
De m me on fait tracer en bleu la courbe de B zier avec 4 points de contr le A, B C et D.
Extrait du texte de la figure :
b1 courbe param tr e par X=(1-t)^3(-3)+3t(1-t)^2(-2)+3t^2(1-t)*(-1.5)+t^3(-0.5), Y=(1-t)^3(-0.4)+3t(1-t)^2(-
0.3)+3t^2(1-t)0.307+t^3(0.8), t d crivant [0,1] (500 points, rep re Roxy)
Objet dessinable b1, particularit s: ciel, trait pais, points li s
Remarques : il a fallu cr er une interruption qui va de pair avec la bifurcation.
Le probl me de la gestion d carts peu pr s r guliers entre les courbes reste non r solu.
15 Fichier bifurcation.g2w
Le texte int gral du programme figure en annexe 4
18
IV. Mod les de classifications dempreintes
A. Classification propos e par Galton (1891)16
Cette classification est expos e dans larticle intitul Method of indexing Finger-Marks paru
en 1891
Tableau des mod les
Explications du tableau ci-dessus :
Il existe trois sortes de formes :
Les primaires (arches) cod es 1 ou 2
1 pour celles qui ont un axe de sym trie, cest dire a, b et c,
2 pour les autres, cest dire d, e, f et h
Les spires cod es 3 ou 4
3 pour celles qui ont un axe normal , cest dire h et i,
4 pour les autres, cest dire j, k, l et m.
Les boucles cod es 5 ou 6
Elles nont pas daxe de sym trie, leur code est 5 si leur pente est normale , 6 sinon.
Pente normale empreinte main gauche :
Pente normale empreinte main droite :
La parit du code d pend donc de la normalit de lempreinte, les codes pairs sont plus
rares.
16 Il en existe dautres du m me auteur
19
Code des doigts
Pouce (thumb)
T
Index
1
Majeur
2
Annulaire
3
Auriculaire
4
Exemple de tableau
Galton reporte sur diff rents
tableaux les codes correspondants
aux dix doigts dune centaine de
personnes.
Il tudie les corr lations ventuelles
entre les formes et les doigts, les
fr quences de chaque forme
diff rent en effet selon le doigt.
Cest pour ces raisons que les doigts
ne sont plus dans lordre naturel
dans les colonnes de gauche.
Expliquons la ligne correspondant la quatri me personne :
Colonne left :
Auriculaire gauche : doigt 4
Annulaire gauche : doigt 3
doigt 2
Majeur gauche :
doigt 1
Index gauche :
doigt T
Pouce gauche :
Colonne right :
Pouce droit :
Index droit:
Majeur droit :
Annulaire droit:
Auriculaire droit :
doigt T
doigt 1
doigt 2
doigt 3
doigt 4
code 5 (boucle pente normale)
code 3 (spire avec axe)
code 5 (boucle pente normale)
code 3 (spire avec axe)
code 3 (spire avec axe)
code 3 (spire avec axe)
code 6 (boucle pente anormale)
code 5 (boucle pente normale)
code 3 (spire avec axe)
code 5 (boucle pente normale)
Ces codes sont report s et correspondent aux dix chiffres de gauche dans le tableau.
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Exemple de tableau r capitulatif pour les formes concernant lindex gauche
Il y a donc :
30 % darches
29 % de spires
41 % de boucles
Ces tableaux pourraient tre refaits aujourdhui rapidement avec un tableur !
21
B. Classification de Henry ( 1896)
Code pour chaque forme :
Arche
A
Boucle
L
Spire
W
Cette classification est li e au syst me binaire
Les dix doigts sont cod s par une suite de dix lettres (A, L ou W), chaque doigt est
attribu un entier de 1 10.
Si un doigt a une empreinte en spirale, il lui est attribu une valeur qui est une puissance
de deux : 16, 8, 4, 2 ou 1, selon le doigt dont il sagit, sinon, il lui est attribu 0.
Le tableau ci-dessous donne lordre des doigts, lentier attribu , ainsi que sa valeur sil a
une forme de spirale:
Pouce
droit
1
Index
droit
2
Majeur
droit
3
Annulaire
droit
4
Auriculaire
droit
5
Pouce
gauche
6
Index
gauche
7
Majeur
gauche
8
Annulaire
gauche
9
Auriculaire
gauche
10
16
16
8
8
4
4
2
Publicité
2
1
1
Num ro
du
doigt
Valeur
si
spirale
Exemple 1: LWAALALWLA
Num ro du
doigt
Type
dempreinte
Valeur
attribu e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
boucle
spirale
arche
arche
boucle
arche
boucle
spirale boucle
arche
0
16
0
0
0
0
0
2
0
0
On calcule alors le rapport suivant :
=
r
+
(1
+
(1
somme
somme
des
des
valeurs
valeurs
attribu es
attribu es
aux
aux
num ros
num ros
pairs
)
impairs
)
Dans lexemple ci-dessus.
Lindividu appartient au groupe 19 :1.
22
Exemple 2 : reprenons la quatri me personne du tableau de Galton
Num ro du
doigt pour
Galton
Forme
Num ro du
doigt pour
Henry
Lettre
correspondante
Valeur
attribu e
T
1
2
3
4
T
1
2
3
4
Spire Boucle Boucle Spire Boucle Spire
1
2
3
6
4
5
Spire Boucle Spire Boucle
7
10
8
9
W
16
L
0
L
0
W
8
L
0
W
4
W
2
L
0
W
1
L
0
Dans ce nouvel exemple.
Lindividu appartient au groupe 13 :20.
=
++++
++++
)1248
)1248
Remarques
Un individu qui na aucune spirale appartient au groupe 1 :1.
Un individu qui na que des spirales appartient au groupe 32 :32
+
16(1
+
16(1
Chaque terme de cette fraction est gal
1+(16 ou 0)+(8 ou 0)+(4 ou 0)+(2 ou 0)+ (1 ou 0).
Il y a donc
5
2
2
2
Au total, la classification comporte 1024 groupes.
52 sommes possibles.
10
.
32
32
024
=
=
.
1
5
Lunicit de la d composition dun entier en base 2 permet de valider la classification de
Henry.
A chaque codage des dix doigts (L et A non distingu s), correspond un unique rapport r
dont le num rateur et le d nominateur sont compris entre 1 et 32.
R ciproquement, chaque rapport r dont le num rateur et le d nominateur sont compris
entre 1 et 32 correspond un unique codage (L et A non distingu s).
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On peut utiliser un tableur pour convertir rapidement les classifications de Henry
correspondant aux observations de Galton17 :
Les lignes 13 et 14 donnent les classifications des dix lignes du tableau de Galton.
Formules utilis es
17 fichier Henry.xls
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Id es pour une exploitation en classe :
En seconde, en TS sp cialit ou en L sp cialit math matiques :
Travail sur la num ration en base 2.
Quel est le plus grand nombre de 5 chiffres en binaire ?
D nombrement des classifications.
Connaissant les formes de dessins dempreintes, donner la classification.
On peut ventuellement utiliser un tableur :
Probl me r ciproque :
Connaissant le groupe, faire retrouver les doigts (sachant quon ne peut pas distinguer
pour la r ciproque A et L).
On peut approfondir en liaison avec lunicit de l criture dun nombre en syst me
binaire.
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Formules utilis es
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V. Empreintes et probabilit s
Probabilit dune configuration de minuties
Pour calculer la probabilit que deux empreintes digitales soient identiques, il faut estimer le
nombre total dempreintes digitales pouvant exister ou tre g n r es. Pour cela, des mod les
diff rents ont t propos s.
A. Le mod le propos par Galton (1892)
Comment Galton d montre quil y a une chance sur 64 milliards que deux individus aient
les m mes empreintes.
On attribue Galton les premiers calculs de probabilit dans son ouvrage Finger Prints
paru en 1892.
Galton : Our problem is this: given two finger prints, which are alike in their minutiaes,
what is the chance that they are made by different persons?
R sum de ce premier essai de th orie didentification des empreintes digitales 18.
a) Comment Galton prouve que la seule observation des formes
dempreintes ne suffit pas. Combien existe-t-il dempreintes digitales
d...