Méthodologie de calcul et de conception d’un réducteur d’engrenage cylindrique ou conique

γ/2

A

Fo

β2

Fig. 3.2. Forces dans les courroies trapézoïdales étroites

b – Le choix du diamètre de la poulie la plus petite

1pD

est fait en fonction du

type de courroie, en respectant les indications des normes. Le tableau 3.2 présente un

extrait de cette norme.

c – Le calcul du diamètre de la poulie la plus grande est fait avec la relation:

D

p

2

=

i TCT

⋅

D

p 1

(3.1)

S’il n’y a pas de restrictions, on augmente les diamètres à la valeur la plus proche du

tableau 3.2 .

d – On choisit préliminairement la distance entre les axes A:

(7,0

D

+

D

p

2

p 1

)

≤

A

≤

(2

D

+

D

)

p

2

p 1

(3.2)

e – L’angle entre les branches de la courroie: −

D

D

=γ

2

arcsin

p 1

p

2 2

A

(3.3)

f – L’angle d’enroulement sur la poulie la plus petite :

β 1

=

o180

−

γ

et sur la poulie la plus grande

β 2

=

o180

+

γ

g – La longueur de la courroie a l’état libre:

L

p

=

2

A

cos

πγ + 360 2

( β 1

⋅

D

p 1

+

β 2

⋅

D

p

2

)

≈

2

A

+

( π

D

+

D

)

p

2

p 1

2

(

D

p

2

−

D

p 1

2

)

4

A

+

(3.4)

La longueur à l’état libre de la courroie est augmentée jusqu’à la valeur

standardisée la plus proche (tableau 3.1).

Avec la valeur normalisée choisie pour

pL

, on recalcule A en utilisant la relation

(3.4) et

, ββγ 1, 2

.

h – La vitesse périphérique de la courroie:

v

=

π

MnDp ⋅ 1 60000

(m/s)

(3.5)

7

Tableau 3.1 : Courroies trapézoïdales. Dimensions et longueurs initiales

Type Courr oie

SPZ SPA SPB 16x15 SPC

Dimensions Caractéristiq ues de la section lpxh 8,5x8,0 11,0x10 14,0x13 16,0x15 19,0x18

a mm

h δ± h mm

Dmax mm

∝ degrés

Longueurs initiales Lp mm

Dp min

mm

- - - - -

8±0,4 10±0,5 13±0,5 15±0,5 18±0,6

2,0 2,8 3,5 4,0 4,8

40±0,1

Minimu m 630 800 1250 1600 2000

Maximu m 3550 4500 8000 10000 12500

71 100 160 200 224

Section de la courroie Ac cm2 0,54 0,90 1,50 1,98 2,78

Longueurs initiales Lp, mm

Preferées

A éviter

400 2500 450 2800

500 3150 560 3550

630 4000 710 4500

800 5000 900 5600

1000 6200 1120 7100

1250 8000 1400 9000

1600 10000 1800 11200

2000 12500 2240 -

Exemples de notation: SPA 2000; (courroie trapézoïdale étroite type SPA, ayant la longueur initiale Lp=2000 mm).

Tableau 3.2 : Série des diamètres des poulies

pD

(mm).

63

71

80

90

112

125

140

160

180

200

224

250

280

315

400

450

500

560

630

710

800

900

1120

1250

1400

1600

1800

2000

2500

On recommande que la vitesse périphérique de la courroie trapézoïdale ne dépasse pas 30 m/s pour les courroies trapézoïdales étroites.

i – Le nombre préliminaire de courroies est calculé avec la relation:

z

0

=

c

⋅

f c ⋅ β

P c P ⋅ 0

c

L

(3.6)

où: Lc - coefficient de longueur qui est choisi dans le tableau 3.3 en fonction de la longueur de la courroie à l’état libre,

. pL

fc - coefficient de fonctionnement qui est choisi en fonction de la nature de la machine d’entraînement et de la machine entraînée (

=1).

fc

βc - coefficient d’enroulement donné par la relation: ( 003 180

,01

−=c β

)1 β

−

8

0P - puissance nominale transmise par une courroie – choisie dans les tableaux de l’annexe on va utiliser

5 . Pour des valeurs intermédiaires des paramètres

et

,

Mn

1pD

i TCT

l’interpolation linéaire. 0z - nombre préliminaire des courroies.

Tableau 3.3 : Coefficient de longueur CL

Longueur primitive de la courroie Lp [mm]

Type de courroie

SPZ

SPA

SPB

SPC

400 450 500 560 630 710 800 900 1000 1120 1250 1400 1600 1700 1800 2000 2240 2500 2800 3150 3550 3750 4000

0,82 0,84 0,86 0,88 0,9 0,93 0,94 0,96 1,00 1,01 1,01 1,02 1,05 1,07 1,09 1,11 1,13 - -

0,81 0,83 0,85 0,87 0,89 0,91 0,93 0,94 0,95 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,07 1,08

0,82 0,84 0,86 0,87 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,01 1,02

0,82 0,86 0,88 0,90 0,92 0,93 0,94

Le nombre final de courroies:

z

z 0= zc

où zc est le coefficient du nombre de courroies donné dans le tableau 3.4. Le nombre résultant

est arrondi jusqu’à une valeur entière. On recommande

z

6≤z

.

Tableau 3.4 : Coefficient du nombre de courroies zc

Nombre de courroies 0z 2…3

4….6

plus de 6

zc

0,95

0,90

0,85

9

j – La fréquence des changements de direction des courroies se calcule avec la

relation:

où:

103

=

⋅

x

⋅

f

v pL

(Hz)

(3.7)

x – nombre de poulies ( x=2) v – vitesse périphérique de la courroie, en m/s. pL - longueur à l’état libre de la courroie (valeur normalisée choisie), en mm.

On recommande d’éviter de dépasser, pour la fréquence des changements de

direction, 40 Hz pour les courroies tissées, et 80 Hz pour les courroies à fil central.

k – La force périphérique transmise:

F

=

310

P c⋅ v

(N)

La force qui sollicite l’appui des arbres F

)2.....5,1(

(N)

F 0 =

0F

est :

(3.8)

(3.9)

10

4. DIMENSIONNEMENT PRELIMINAIRE DES ENGRENAGES

4.1. CHOIX DES MATERIAUX POUR LES ROUES DENTÉES ET DES

TRAITEMENTS THERMIQUES OU THERMOCHIMIQUES.

Les roues dentées cylindriques (à denture droite ou hélicoïdale) et coniques qui sont

utilisées pour les réducteurs sont des organes de machines fortement sollicités. Les principales

sollicitations (pour lesquelles on réalise le calcul de résistance) sont la flexion au pied de la dent (effort unitaire, Fσ ) et la pression hertzienne au contact des flancs (effort unitaire, Hσ ). Ces deux sollicitations varient périodiquement dans le temps. Par conséquent, pour le

dimensionnement des engrenages, on doit connaître les caractéristiques mécaniques générales

des matériaux utilisés (la limite de rupture, la limite d’élasticité, la dureté, etc.) et les valeurs ). Les de la résistance à la fatigue pour les sollicitations susmentionnées (

limFσ et

limHσ

valeurs des résistances sont déterminées par des essais effectués sur des éprouvettes (roues

dentées) au moyen de bancs d’essais spécialisés.

Les roues dentées utilisées dans la construction des machines peuvent être réalisées en

aciers laminés, forgés ou coulés mais aussi en fonte, en alliages non ferreux (laiton, cuivre,

alliages d’aluminium, etc.) et quelques fois même en plastique.

On utilise usuellement les aciers laminés ou forgés pour la construction des roues dentées

cylindriques et coniques des réducteurs de vitesse qui doivent transmettre une puissance

significative.

Les aciers utilisés pour la construction des roues dentées peuvent être divisés en deux

groupes, en fonction du traitement thermique ou thermochimique qu’ils subissent:

- aciers améliorés ou normalisés pour lesquels la dureté Brinell du flanc de la dent

après le traitement est inférieure à 3500 N/mm2;

- aciers durcis ayant subi des traitements thermiques (trempe après chauffage à la flamme) ou thermochimiques (cémentation, nitruration). Leur dureté Brinell après le traitement est supérieure à 3500 N/mm2.

Le tableau 4.1 présente les principales sortes d’aciers utilisés pour l’exécution des

roues dentées cylindriques et coniques des réducteurs de vitesse ainsi que les caractéristiques

mécaniques nécessaires pour le dimensionnement des engrenages.

11

4.2. DIMENSIONNEMENT PRELIMINAIRE DES ENGRENAGES

4.2.1. Dimensionnement préliminaire d’un engrenage cylindrique extérieur à

denture hélicoïdale

Lors du dimensionnement préliminaire d’un engrenage cylindrique à denture β,

hélicoïdale, on détermine l’entraxe a, le module normal

, l’angle d’hélice de la denture

nm

les nombres de dents des deux roues et les déports des dentures des roues dans le cas des roues

à denture corrigée.

Les étapes du calcul sont:

a – Détermination de l’entraxe a. la relation de calcul de

En utilisant

la sollicitation hertzienne (pitting) pour

le

dimensionnement, on obtient la distance minimale entre les axes conformément à la relation:

a

≥

1(

+

u

)

3

MKKK V

β

H

A

2 u

Ψ a

t

pignon

⋅

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

ZZZ HM

ε

lim

⋅

ZZK

HN

WR

σ H S

H

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(4.1)

Où:

u =

z

grand z

petit

- rapport des nombres de dents (

). 1>u

Pour les engrenages réducteurs AK - facteur de la charge dynamique extérieure. Il dépend de la nature du moteur et du récepteur. VK

pour les réducteurs d’utilisation générale.

- facteur dynamique intérieur. On prend

pour le dimensionnement

(rapport de transmission).

1,1=VK

1=AK

21−= i

u

préliminaire. βHK On prend

- facteur de la répartition longitudinale de la charge pour la sollicitation hertzienne.

=1,15 pour le dimensionnement préliminaire.

βHK - moment de torsion à l’arbre du pignon.

M

tpignon M ≡

It

tpignonM

aΨ

- coefficient de largeur défini par

a =Ψ

b a

choisi dans l’annexe 6.

où b est la largeur de la roue dentée. Il est

12

MZ - facteur de matériau.

avec

EEE 2

,

,

1

ZM

35,0=

1 E 1 étant respectivement le module d’élasticité longitudinal de la roue 1

1 E 2

où

1 E

1 2

E

+

=

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

(E1), le module d’élasticité longitudinal de la roue 2 (E2), le module d’élasticité équivalent(E).

Pour des engrenages composés de roues en acier, Z H − facteur du point de roulement. Z H = 1 77,

ZM =

271

mmN

2

.

au dimensionnement préliminaire.

facteur de la longueur de contact. Pour le pré dimensionnement

Zε = 1

.

−

effort unitaire limite à la sollicitation hertzienne, dépend de la nature du matériau

Zε − limHσ

du pignon et du traitement thermique ou thermochimique appliqué (tableau 4.1).

facteur de sûreté par rapport à la sollicitation hertzienne. On utilise la valeur

−HS minimale KHN − facteur du nombre de cycles de sollicitation pour la sollicitation hertzienne. KHN = 1 dans le cas des engrenages ayant une durée de fonctionnement illimité.

pour le dimensionnement préliminaire.

25,1=HS

Z R − Zw −

facteur de rugosité. facteur du rapport de la dureté des flancs. La valeur utilisée pour le dimensionnement

pour le dimensionnement préliminaire.

Z R = 1

préliminaire est Z

w = 1.

La valeur de la distance entre les axes donnée par la relation (4.1) est normalisée. L’annexe 8 est un extrait de la norme. En principe, on choisit la valeur normalisée supérieure à celle calculée, mais si la valeur calculée dépasse de moins de 5% une valeur normalisée, on choisit plutôt cette dernière .

b - Détermination du module normal des roues dentées

mn

La valeur minimale nécessaire du module normal de la denture des roues découle de la

condition de résistance à la fatigue au pied de la dent. On utilise la relation suivante:

M

t

pignon

( 1

+

m

n

≥

2

⋅Ψ a

a

Où

V

A

F

βα

) YYKKKKu F β σ F S

YYK FN

Fx

⋅

⋅

lim

F

s

F

(4.2)

- moment de torsion à l’arbre du pignon ;

tpignonM −αFK KFβ − facteur de répartition longitudinale de la charge pour la sollicitation au pied de

facteur de répartition frontale de la charge. Sa valeur préliminaire est

tpignon M ≡

1=αFK

M

.

.

It

la dent.

KFβ = 115,

pour le dimensionnement préliminaire.

13

YF − facteur de forme. On prend de manière approximative YF = 2 25,

pour le

dimensionnement préliminaire.

Yβ −

facteur de l’angle d’hélice . Y

β = 1pour le dimensionnement préliminaire.

a – entraxe ou distance entre les axes des roues. On utilise la valeur normalisé choisie

au point a. σF lim − effort unitaire limite (tension) pour la sollicitation à la fatigue au pied de la

dent, c’est une caractéristique du matériau du pignon (cf. tableau 4.1).

facteur de sûreté pour la sollicitation au pied de la dent. On utilise la valeur pour le dimensionnement préliminaire.

−FS minimale KFN − facteur du nombre de cycles de sollicitation au pied de la dent. On

5,1=FS

prend KFN = 1 pour une durée illimitée de fonctionnement des engrenages.

Ys − facteur de concentration des contraintes. Ys = 1 pour le dimensionnement

préliminaire.

YFx − facteur dimensionnel. Sa valeur préliminaire est YFx = 1. Les valeurs des autres facteurs( Ψa

K K , A V

)

,

seront les mêmes que celles utilisées au

point précédent (point a).

La valeur calculée pour le module normal

mn est inférieure à 1 mm, on prend

la valeur calculée

mn

est également normalisée (annexe 7). Si =1 mm. En principe, on choisit dans mn

les normes la valeur immédiatement supérieure à la valeur calculée du module normal. On peut utiliser aussi la valeur normalisée immédiatement inférieure à celle calculée si la différence entre les deux est inférieure à 5% de la valeur normalisée.

c – Etablissement de l’angle d’hélice β.

On recommande le choix d’une valeur de l’angle d’héliceβ (exprimée en degrés)

comprise dans l’intervalle[

o

; 8 20

o

]

. Pour réduire le nombre de manipulations lors de l’usinage

de ces engrenages, on recommande l’utilisation des valeurs suivantes:

-

β= 15 12o

(

o

)

−

pour des roues dentées exécutées en aciers améliorés ou en aciers

normalisés (ayant la dureté Brinell du flanc < 3500 N/mm2).

- β=

10o

−

pour des roues dentées exécutées en aciers durcis superficiellement

(HB flanc

≥ 3500

N / mm

2

).

d – Etablissement du nombre de dents du pignon

. z1

On calcule le nombre maximum de dents du pignon en utilisant les valeurs de l’entraxe

et du module normal déterminés aux points a et b:

14

z 1

max

=

2 cos a β () u m 1 n +

(4.3)

On choisit un nombre de dents du pignon - z1 doit être un nombre entier inférieur à - z 1

14≥

z1 z1max

satisfaisant aux conditions suivantes: calculé avec la relation (4.3).

; si cette condition n’est pas satisfaite, on augmente l’entraxe à la valeur

.

n - si

normalisée immédiatement supérieure à celle choisie précédemment et on recalcule m et z1 taillage. -

z1max [ ∈ ; 14 17

]

on choisit un déport positif de la denture pour éviter l’interférence de

si le nombre de dents du pignon z1max calculé est grand ( z1max >24,...,50(80)), on utilise un nombre de dents z1 plus petit afin d’avoir une précision d’exécution: z 1

25

z1

si

.

z 1≈ max

max ≤

e – Choix final du module normal m de la denture et des nombres de dents du

n

pignon (

z1

) et de la roue (

z2

)

On recalcule le module normal

mn

avec la relation:

mn

=

2 cos a β ) ( z 1 u + 1

La valeur donnée par la relation (4.4) est re normalisée ( cf. point b).

(4.4)

=

z 1

On recalcule

La valeur de

2 cos a β )u ( m 1 n + sera la valeur entière immédiatement inférieure à la valeur calculée. z1 i 1z21 ne soit pas divisible par et on choisit = − ⋅ 2 premiers entre eux). Cette condition est satisfaite usuellement (si possible prendre z2 z1

On calcule z1 par l’addition ou la suppression d’une dent à la roue.

N2 ∈ . On recommande que

et

z2

z

z

f - Calcul du rapport de transmission effectif de l’engrenage:

i

z ef = 2 z 1

(4.5)

Après le dimensionnement préliminaire de l’engrenage, une vérification du rapport de transmission effectif du réducteur

s’impose :

21−i

15

ief

=

z 2 z 1

⋅

(4.6)

Il faut que l’écart entre celui-ci et la valeur donnée initialement dans l’énoncé du projet i

RT

(cf. point 1.2) ne dépasse pas 3%:

=Δ i

ief

−

i 21 −

i 21 −

⋅

%3%100

≤

(4.7)

Si la condition n’est pas remplie, on modifie le nombre de dents de la roue choisi au point e.

g. - Calcul du déport de la denture

Le déport de la denture des roues cylindriques a des avantages comme: l’augmentation de la puissance transmise, l’absence d’interférence de taillage, l’accroissement du rapport de transmission. De plus, le déport de la denture permet de choisir la distance de référence entre (correspondant à l’engrenage réalisé par des roues à denture non déportée) égale à les axes

a0

une valeur standardisée. D’habitude on utilise le déport positif (coefficient de déport x > 0), ce qui implique la croissance de la largeur de la base de la dent (et implicitement la croissance de la résistance à la flexion de la dent).

Pour déterminer les valeurs des coefficients de déport du profil des deux roues, on doit

parcourir les étapes suivantes (le calcul sera fait avec une précision de cinq décimales):

- on calcule la distance de référence entre les axes: ( m z 2 1 n cosβ 2

+

=

a

)

z

0

a0 doit satisfaire aux conditions suivantes:

(4.8)

a

- -

a ≤0 a

NORME

NORME a 0 ∈−

choisi au point a pour avoir un déport positif de la denture.

( 4,0

m

n

3,1;

m

n

)

pour que le déport positif produise ses effets bénéfiques

et que la diminution de l’épaisseur de la tête de la dent ne soit pas exagérée.

Si ces conditions ne sont pas satisfaites, on modifie soit le nombre de dents de la roue

z2

soit

le module normal normalisé choisi (on reprend le calcul du point c).

- on calcule l’angle de pression sur le cylindre primitif sur le plan frontalαt

α t

=

arctg

⎛ ⎜ ⎝

⎞ tg α n ⎟ cos β ⎠

(4.9)

16

Où

nα est l’angle de pression sur le cylindre primitif sur le plan normal. α αn =

20o α0 − angle du profil de référence).

=0

(

- on calcule l’angle d’engrènement sur le plan frontal wtα (angle de pression sur le cylindre de roulement en plan frontal):

α wt

=

⎛ ⎜⎜ arccos ⎝

a

0

a

NORME

⋅

cos

α t

⎞ ⎟⎟ ⎠

- on calcule la somme des déports des deux roues:

x

s

=

x 1

+

x 2

=

(

z 1

+

z

2

)

⋅

où inv

tgα α =

−

π 180

α

o

inv

α t

inv

− α wt tg 2 α n

(4.10)

(4.11)

(4.12)

La répartition des déports du profil sur les deux roues est faite à l’aide du diagramme

de l’annexe 9. La procédure est la suivante : on porte en ordonné

xs 2

et en abscisse

2

⋅

z

z + 1 2 des lignes

. Le point obtenu se situe généralement entre deux lignes

iR

et

1+iR

. Le prolongement

iR

1+iR

permet d’obtenir l ‘origine O du diagramme. En joignant l’origine O et le

point considéré, on obtient une droite sur laquelle l’abscisse avec la relation : On calcule ensuite

2x

1z

fixe le déport

1x

.

x 2

=

x

s

−

x 1

=

(

x 1

+

x 2

)

−

x 1

(4.13)

4.2.2. Pré-dimensionnement d’un engrenage conique a denture droite

Lors du dimensionnement préliminaire d’un engrenage cylindrique à denture hélicoïdale, on détermine la distance entre les axes des roues ou entraxe a, le module β, le nombre de dents de la roue et du pignon ainsi normal

, l’angle d’hélice de la denture

nm

que les déports des dentures des roues (dans le cas des roues à denture modifiée).

Par contre, lors du dimensionnement préliminaire de l’engrenage conique, on sur le cône frontal

détermine le diamètre primitif du pignon (

extérieur et le nombre