Méthodes Monte Carlo et Simulation

des Modèles Financiers

Chapitre 3-1

Transformation de variables aléatoires

uniformes pour créer des variables aléatoires

d’autres distributions

OUESLATI Amor

1er octobre 2012

Table des matières

1 La méthode d’inversion

2 La méthode du rejet

3 Les variables discrètes

4 La méthode de composition

5 La méthode basée sur un ratio d’uniformes

6 La méthode de Box-Muller pour la distribution gausienne

7 Annexe

DRAFT

Version

P [FX (x) ≤ u] = 0 pour tout u < 0 et

P [FX (x) ≤ u] = 1 pour tout u > 1.

Preliminary

P [FX (x) ≤ u] = P (cid:2)X ≤ F −1

X (u)(cid:1)

(cid:0)F −1

= FX

X (u)(cid:3)

= u.

1 La méthode d’inversion

Supposons que la fonction de répartition F : R → [0, 1] de la distribution que l’on veut simuler est continue et strictement

croissante. Alors F admet une inverse que l’on note F −1 et qui est déﬁnie au moins sur l’intervalle (0, 1).

Théorème 1.1. Y = FX (x) est de loi U (0, 1).

Preuve. Nous allons déterminer la fonction de répartition de FX (x) et ainsi montrer qu’elle est celle d’une loi U (0, 1). Comme

FX : R → [0, 1] alors

Pour 0 ≤ u ≤ 1,

Théorème 1.2. Si U est une variable aléatoire de loi uniforme (0, 1) alors V = F −1(U ) est de distribution F .

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Preuve. La fonction de répartition FV de V satisfait, pour tout v ∈ R,

FV (v) = P (cid:2)F −1(U ) ≤ v(cid:3)

= P [U ≤ F (v)]

= FU (F (v))

= F (v).

Exemple 1.1. La loi exponentielle : La fonction de répartition de la loi exponentielle d’espérance µ est

Son inverse est donc

Si U est de loi uniforme (0, 1) alors

(cid:20)

(cid:18)

F (x) =

1 − exp

−

(cid:19)(cid:21)

1x>0.

F −1(y) = −µ ln(1 − y) si 0 < y < 1.

V = −µ ln(1 − U )

est de loi exponentielle.

Vériﬁcation.Pour tout v > 0

−

(cid:18)

(cid:19)(cid:21)

= P

U ≤ 1 − exp

P [V ≤ v] = P [−µ ln(1 − U ) ≤ v]

(cid:20)

DRAFT

Version

= 1 − exp

(cid:19)

−

L’algorithme est le suivant :

1. Simuler indépendamment U selon une distribution Uniforme (0, 1) et X selon la loi G jusqu’à ce que

1. on sait comment la simuler,

2. elle admet la fonction de densité g : R → [0, ∞),

3. il existe une constante c telle que f (x) ≤ cg(x) pour tout x ∈ R.

Preliminary

cU ≤

f (X)

g(X)

(on rejette tous les couples (U, X) qui ne satisfont pas cette exigence.

2. Lorsque le couple (U, X) est accepté, posons V = X.

Théorème 2.1. La fonction de répartition FV de V est F .

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2 La méthode du rejet

– Supposons que la fonction de répartition F : R → [0, 1] de la distribution que l’on veut simuler admet une fonction de

densité f .

– Supposons aussi qu’il existe une autre distribution dont la fonction de répartition est G : R → [0, 1] telle que

Preuve. Premièrement, notons que pour tout nombre réel x,

P [X ≤ x et X n’est pas rejeté]

(cid:21)

(cid:20)

= P

X ≤ x et cU ≤

f (X)

g(X)

(cid:21)

Z x

(cid:20)

cU ≤

f (x)

g(x)

g(x)dx

−∞

Z x

−∞

Z x

−∞

(cid:18) f (x)

cg(x)

(cid:19)

g(x)dx

f (x)dx =

F (x).

En laissant tendre x vers l’inﬁni, nous obtenons

P [X n’est pas rejeté]

= lim

x→∞

P [X ≤ x et X n’est pas rejeté]

Par conséquent,

F (x)

= lim

x→∞

P [V ≤ v] = P [X ≤ v|X est accepté]

DRAFT

Version

P [X ≤ v et X est accepté]

P [X est accepté]

c F (v)

= F (v).

∞

Remarque. Il faudra choisir G de sorte que c soit le plus près de 1 possible afﬁn de limiter les rejets. Rappelons que

P [X est accepté] = c−1.

3 Les variables discrètes

– Supposons que nous voulons simuler une variable aléatoire discrète prenant les valeurs {x1, x2, ..., xn, ..., } avec les

probabilités {p1, p2, ..., pn, ..., } respectivement. Notons que

pi = 1.

– Si U est de loi uniforme (0, 1) alors

i=1

xn1Pn−1

i=1

pi<U ≤Pn

i=1

Preliminary

V =

∞

n=1

est la variable discrète que nous désirons simuler.

– Notons que la fonction indicatrice 1a<U ≤b vaut 1 si a < U ≤ b et 0 sinon et la somme

i=1

pn est posée égale à zéro.

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Preuve.

P [V = xn] = P

"n−1

pi < U ≤

i=1

" n

i=1

− FU

i=1

"n−1

i=1

= FU

pi −

n−1

i=1

= pn.

4 La méthode de composition

Supposons que la fonction de répartition F : R → [0, 1] puisse s’exprimer comme une combinaison linéaire de fonctions de

répartion Fi : R → [0, 1], i ∈ {1, 2, ..., k} que l’on sait simuler, c’est-à-dire que

Notons qu’afﬁn de préserver les propriétés de monotonicité et de non-négativité de F et pour qu’elle soit bornée par 1,

nous avons généralement pi > 0 pour tout i ∈ {1, 2, ..., k} et

Afﬁn de simuler la variable aléatoire V de fonction de répartition F , il faut

1. simuler une variable aléatoire discrète X prenant la valeur i avec probabilité pi, i ∈ {1, 2, ..., k}

2. cette variable X détermine la distribution Fi à utiliser pour simuler une deuxième variable aléatoire V .

La fonction de répartition de la variable aléatoire V est F .

Preuve. Pour tout nombre réel v,

i=1

pi = 1

F (x) =

piFi(x).

DRAFT

Version

P [V ≤ v|X = i]P [X = i]

i=1

1 −

si v < 0,

e− v

si v ≥ 0.

FV (v) =

Fi(v)pi.

Cette technique est particulièrement utilisée lorsque R est partitionné en un ensemble d’intervalles I1, ..., Ik et Fi est la

fonction de répartition induite par F dont le support est Ii.

Exemple 4.1. la double exponentielle : La variable aléatoire V est de loi double exponentielle si sa fonction de répartition est

Exemple (suite). Ceci implique que sa fonction de densité est







FV (v) =

Preliminary

FV (v) =





exp

(cid:18) v

(cid:18)

exp

−

(cid:19)

2µ

et v < 0,

et v ≥ 0.



Exemple (suite). Pour simuler une telle variable aléatoire,

1. on simule une variable aléatoire X qui prend les valeurs 1 ou 2 avec probabilité 1/2.

2. si X = 2, on simule une variable V de loi exponentielle et si X = 1, on simule une variable V telle que −V est de loi

exponentielle.

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DRAFT

Version

5 La méthode basée sur un ratio d’uniformes

Théorème 5.1. Supposons que la fonction de répartition F admette une fonction de densité f . Posons

Preliminary

Af =

(cid:26)

(v1, v2) ∈ R2 : 0 < v1 <

(cid:17)(cid:27)

(cid:16) v1

De plus, si le vecteur aléatoire (V1, V2) est uniformément distribué sur l’ensemble Af , alors la variable aléatoire V = V2/V1

a pour fonction de densité la fonction f (La preuve suit).

Ce théorème est particulièrement utilisé lorsque Af est inclus dans un intervalle compact [0, a] × [b1, b2].

L’algorithme est le suivant :

1. Simulons deux variables aléatoires indépendantes U1 et U2 de loi uniforme (0, 1).

2. Posons

V1 = aU1 et V2 = b1 + (b2 − b1)U2

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ce qui implique que V1 est Uniforme (0, a) et V2 est Uniforme (b1, b2). Si le couple (V1, V2) /∈ Af , il est rejeté et

l’opération est reprise jusqu’à ce qu’un couple soit accepté.

3. Lorsque (V1, V2) ∈ Af , nous posons

V =

La fonction de répartition de V est F .

Preuve. Premièrement, en posant v = v2/v1(v2 = v1v et dv2 = v1dv), il vient

Af =

(v1, v) ∈ R2 : 0 < v1 < pf (v)

Par conséquent,

Surf ace(Af ) =

dv1dv2

v1dv1dv

Puisque le vecteur aléatoire (V1, V2) est uniformément distribué sur l’ensemble Af , alors sa fonction de densité jointe est

Dans un premier temps, nous déterminerons la loi jointe du vecteur aléatoire (V1, V ). Comme V2 = V V1 , le jacobien de

la transformation est

Z ∞

√

f (v)

v1dv1

∞

Z ∞

∞

f (v)

fV1,V2 (v1, v2) =

DRAFT

Version

si (v1, v2) ∈ Af

sinon

∂V1

∂V

∂V2

∂V1

∂V2

∂V

0 V1

(cid:26) 2

fV1,V (v∗

(cid:19)(cid:12)

(cid:12)

(cid:18) 1

= V1.

1 , v∗) = v∗

= 2v∗

1 , v∗v∗

1 fV1,V2 (v∗

1 )

√

1 1

(cid:12)

det

(cid:12)









0<v∗

1 <

f (v∗)

Par conséquent, la densité jointe est

Ainsi, pour tout nombre réel v,

Preliminary

fV (v) =

Z ∞

fV1,V (v∗

1 , v)dv∗

∞

√

f (v)

2v∗

1 dv∗

= f (v).

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6 La méthode de Box-Muller pour la distribution gausienne

Soit U1 et U2 deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme(0,1). Posons

√

G1 =

G2 =

−2 ln U1 cos(2πU2),

−2 ln U1sin(2πU2).

Les variables aléatoires G1 et G2 sont deux variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée et réduite. Il est à

remarquer que l’on génère deux variables à la fois.

Preuve.

En exprimant le point (z1, z2) en coordonnée polaire, il vient

où r =

2π).

1 + z2

2 est la distance du vecteur (z1, z2) à l’origine et θ est l’angle entre le vecteur (z1, z2) et l’abscisse (0 ≤ θ ≤

z1 = r cos θ et z2 = r sin θ

DRAFT

Version

fZ1,Z2 (z1, z2) =

1 + z2

2π

exp

(cid:18)

(cid:19)

−

Z1 = R cos Θ et Z2 = R sin Θ.

Soit Z1 et Z2 deux variables aléatoires indépendantes de loi N (0, 1), la fonction de densité jointe est

Nous cherchons la loi jointe de R et Θ sachant que

Le jacobien de la transformation est

Preliminary

∂Z1

∂R

∂Z1

∂Θ

∂Z2

∂R

∂Z2

∂Θ

(cid:12)

det





(cid:12)



(cid:12)



(cid:12)

Par conséquent, la fonction de densité jointe de R et Θ est

(cid:12)

det

(cid:18) cos Θ

sin Θ

−R sin Θ R cos Θ

(cid:19)(cid:12)

(cid:12)

= R cos2 Θ + R sin2 Θ = R.

fR,Θ(r, θ) = fZ1,Z2 (r cos θ, r sin θ)r

2π

(cid:18)

exp

−

(rcosθ)2 + (rsinθ)2

(cid:19)

(cid:18)

exp

−

(cid:19)

si r ≥ 0 et 0 ≤ θ < 2π et 0 sinon.

D’autre part, si on pose

fΘ(θ) =

( 1

2π

si 0 ≤ θ < 2π

sinon

fR(r) =







(cid:18)

r exp

−

(cid:19)

si r ≥ 0

sinon

alors fR,Θ(r, θ) s’exprime comme le produit de deux fonctions de densité

fR,Θ(r, θ) = fΘ(θ)fR(r)

ce qui implique que Θ et R sont indépendantes.

De plus, comme fΘ(θ) est la fonction de densité d’une distribution uniforme (0, 2π), alors

où U2 est de loi uniforme (0, 1) et l’égalité est en distribution.

Θ = 2πU2

Preuve.

Finalement, puisque R =

est de loi uniforme (0, 1) puisque (1) 0 ≤ U1 ≤ 1 et ...

Nous avons pour tout 0 ≤ u ≤ 1,

(cid:20)

(cid:21)

−

(cid:19)

(cid:18)

1 + z2

exp

≤ u

= exp

(cid:18) z2

U1 = exp

FU1 (u) = P

1 + z2

2, la variable aléatoire

(cid:19)

= P (cid:2)z2

Z ∞

1 + z2

2 ≥ −2 ln u(cid:3)

(cid:16)

(cid:17)

DRAFT

Version

G1 = R cos Θ

√

G1 =

−2 ln U1 cos 2πU2 G2 =

dx puisque la loi de z2

G2 = R sin Θ

√

−2 ln U1 sin 2πU2

2 est χ2

1 + z2

= u

−2 ln u

exp

−

Ainsi, R = p2ln(U1).

En conclusion,

7 Annexe

où les deux dernières égalités sont des égalités en loi et U1 et U2 deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme (0, 1).

Théorème 7.1 (Calcul de la fonction de densité). Soit X une variable aléatoire, fX sa fonction de densité et FX sa fonction

de répartition. Posons Y = g−1(X) où g est une fonction croissante différentiable et inversible. Alors la fonction de densité

de Y est fY (y) = FX (g(y))g0(y) où g0(y) =

(y).

Preuve. La fonction de répartition de Y est

Preliminary

FY (y) = P [Y ≤ y]

= P (cid:2)g−1(X) ≤ y(cid:3)

= P [X ≤ g(y)] car g est croissante

= FX (g(y)).

La fonction de densité est

fY (y) =

FY (y) =

FX (g(y)) = FX (g(y))

(y).