Méthodes de Monte Carlo & Simulation des Modèles Financiers

de la prime se pose.

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– Examinons, pour fixer les idées, le cas d’un call européen, d’échéance T , sur une action, dont le cours à la date t est

donné par St.

– Soit K le prix d’exercice. On voit qu’à l’échéance, la valeur du call est donnée par la quantité :

(ST − K)+ = max(ST − K; 0)

– Pour le vendeur de l’option, il s’agit, en cas d’exercice, d’être en mesure de fournir une action au prix K et, par

conséquent de pouvoir produire à l’échéance une richesse égale à (ST − K)+.

Au moment de la vente de l’option, que l’on prendra pour origine des temps, le cours St est inconnu et deux questions se

posent :

1. Combien faut-il faire payer à l’acheteur de l’option, autrement dit comment évaluer à l’instant t = 0 une richesse

(ST − K)+ disponible à la date T ? C’est le problème du tarification ou pricing.

2. Comment le vendeur, qui touche la prime à l’instant 0, parviendra-t-il à produire la richesse (ST − K)+ à la date T ?

C’est le problème de la réplication ou couverture.

2 Le formalisme des modèles discrets

– L’hypothèse de base, retenue dans tous les modèles, est que, dans un marché suffisamment fluide, il est impossible de

faire des profits sans prendre de risques.

– Nous traduirons dans la suite cette hypothèse en termes mathématiques.

– Dans la suite, (Ω, F, P ) désignera un espace probabilisé fini que l’on munit d’une filtration(finie) {∅, Ω} = F0 ⊂

F1 ⊂ ... ⊂ FN = F = P(Ω).

– Fn représente l’information dont on dispose au temps n.

– La date N est la date d’échéance des options.

– On fera l’hypothèse que

∀ω ∈ Ω; P ({ω}) > 0

n; ...; Sd

n; ...; Sd

n qui sont Fn− mesurables.

n) est le vecteur des prix à l’instant n.

DRAFT

Version

eSn = βnSn

– On suppose d’autre part qu’il y a sur le marché d + 1 actifs financiers dont les prix à l’instant n sont donnés par des

variables aléatoires S0

– Le vecteur Sn = (S0

n; S1

n; S1

– L’actif numéroté 0 représente les placements sans risque avec un taux d’intérêt r et on posera S0

– Ainsi S0

– et βn = 1/S0

n est appelé le coefficient d’actualisation : c’est la somme d’argent qui investie à l’instant 0 dans l’actif

n = (1 + r)n

=1.

sans risque permet de disposer de 1 dinar à l’instant n.

– Les autres actifs sont appelés les actifs à risque.

– Les actifs actualisés sont définis par

3 Les stratégies

– Une stratégie de gestion est définie par un processus aléatoire φ = ((φ0

– A chaque instant n, elle donne les quantités φ0

– On supposera que le processus φ est prévisible (le portefeuille φn à la date n est constitué au vu des informations

n des différents actifs détenues en portefeuille.

n))0≤n≤N à valeurs dans Rd+1.

n; ...; φd

n; ...; φd

disponibles à la date (n − 1) et conservé tel quel au moment des cotations à la date n).

– La valeur du portefeuille à l’instant n est donnée par le produit scalaire :

Preliminary

Vn(φ) = φn.Sn =

d+1

X

i=0

nSi

φi

n

Définition 3.1. Une stratégie sera dite auto-financée si il n’y a ni apports, ni retraits de fonds.

– La variation de la valeur du portefeuille est donc uniquement due aux gains procurés par l’agitation des cours.

– Cette condition d’autofinancement se traduit par

φn.Sn = φn+1.Sn

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4 Marché viable

– Pour l’instant, rien n’interdit aux quantités d’actifs φi

n d’être négatives, c’est-à-dire que l’on a des dettes libellées en

actifs à risques.

– Les emprunts et ventes à découverts sont autorisés dans notre modèle mais on impose néanmoins qu’à tout instant,la

valeur du portefeuille soit positive.

Définition 4.1. Une stratégie sera dite admissible si elle est autofinancée et si à tout instant,la valeur du portefeuille corres-

pondant est positif ou nul.

– Une stratégie d’arbitrage est une stratégie admissible de valeur initiale nulle et de valeur finale non nulle.

– D’après l’hypothèse de base qui consiste à dire que l’on ne peut pas gagner sans prendre de risque, on doit refuser aux

stratégies d’arbitrage le droit à l’existence (ce qui est une hypothèse de droite).

– Un tel marché est alors appelé un marché viable.

Cette hypothèse maintenant mathématiquement formulée conduit assez simplement au théorème suivant :

Théorème 4.1. Le marché est viable ssi il existe une probabilité P ∗ équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs

eS sont des martingales.

5 Marché complet et évaluation des options

– et pour une option de vente ou put sur une unité d’actif 1 au prix d’exercice K, ona

– On définit une option européenne d’échéance N comme une variable aléatoire h ≥ 0, FN − mesurable et qui représente

le profit que permet l’exercice de l’option.

– Ainsi pour une option de vente ou call sur une unité d’actif 1,au prix d’exercice K, on a

N )+

h = (S1

N − K)+

h = (K − S1

DRAFT

Version

∀n ∈ {0, ..., N } ; Vn(φ) ≥ 0; φn.Sn = φn+1.Sn; Vn(φ) = h

– On dira que l’actif conditionnel défini par h est simulable(ou atteignable) s’il existe une stratégie admissible dont la

valeur à l’instant N est égale à h.

– On dira que le marché est complet si tout actif conditionnel est simulable.

– Imposer qu’un marché est complet est une hypothèse restrictive dont la justification économique n’est pas claire.

– Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein,que nous étudierons en détail, est un exemple de marché viable et complet.

Théorème 5.1. Un marché viable est complet si,et seulement si,il existe une seule probabilité P ∗ équivalente à P sous laquelle

les prix actualisés des actifs soient des martingales.

On suppose le marché viable et complet et on note P ∗ l’unique probabilité sous laquelle les prix actualisés des actifs sont

des martingales.

simulant h, c’est-à-dire vérifiant

– Soit un actif conditionnel défini par une variable aléatoire h positive et FN − mesurable et soit φ une stratégie admissible

– La suite des valeurs de portefeuilles actualisées (eVn)0≤n≤N définie par

est une martingale sous P ∗(en tant que transformée de martingale).

eVn(φ) = βnVn(φ)

– On a donc

Preliminary

Vn(φ) = (1 + r)n−N E∗(h|Fn); n = 0, ..., N

– Il est alors naturel d’appeler Vn(φ) la valeur de l’option au temps n : c’est la richesse qui,détenue à l’instant n, permet,en

suivant la stratégie φà partir de l’instant n, de produire exactement la richesse h à l’instant N .

– Si à l’instant 0, un investisseur vend l’option au prix

E∗((1 + r)−N h)

– il a la possibilité,en suivant une stratégie simulante φ, de restituer la richesse promise h à l’instant N , c’est-à-dire qu’il

peut se couvrir parfaitement.

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6 Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein

– C’est une version discrétisée du modèle de Black-Scholes(modèle continu) dans lequel il y a un seul actif à risque, de

prix Sn à l’instant n et un actif sans risque de rendement certain r sur une periode si bien que S0

n = (1 + r)n.

– On fait les hypothèses suivantes sur l’évolution du cours de l’actif risqué : entre deux periodes consécutives,la variation

relative des cours est soit a, soit b, avec −1 < a < b :

Sn+1 =

(cid:26) (Sn(1 + a)

Sn(1 + b)

– Le cours initial S0 est donné.

– On a ici Ω = {1 + a; 1 + b}N , chaque N −uple représentant les valeurs successives de Tn = Sn/Sn−1. Fn =

σ(S1, ..., Sn).

– On suppose que la probabilité considérée dans ce modèle P assure une probabilité strictement positive à tous les sin-

gletons.

1. – Sous l’hypothèse de viabilité, on montre que le modèle dépend en fait d’un paramètre r ∈ (a; b) et que le marché est

complet.

– La valeur d’un call d’échéance N et de prix d’exercice K à l’instant n peut être calculé et est donné par Cn =

c(n; Sn) où

– Ici p = (b − r)/(b − a).

– On peut aussi établir la relation dite de parité entre un call Cn et un put Pn de prix d’exercice K et d’échéance N

2. – On peut aussi calculer la stratégie de couverture parfaite d’un call.

– Elle est définie par une quantité d’actif risqué Hn = ∆(n; Sn−1) à détenir à l’instant n, où ∆ est la fonction définie

par

N −npj(1 − p)N −n−j(x(1 + a)j(1 + b)(N −n−j) − K)+

c(n; x)

= (1 + r)(N −n)

j=0

C j

N −n

X

Cn − Pn = Sn − K(1 + r)−(N −n)

DRAFT

Version

c(n; x(1 + b)) − c(n; x(1 + a))

x(b − a)

rN = RT /N

√

∆(n; x) =

log((1 + aN )/(1 + rN )) = −σ/

√

log((1 + bN )/(1 + rN )) = σ/

N

N

3. – On peut rendre continu "ce modèle".

– Pour cela, on fait tendre N vers l’infini en imposant les relations suivantes

Preliminary

– R s’interprète comme le taux d’intérêt instantané entre les instants 0 et T et σ2 comme la variance limite de log(SN )

quand N tend vers l’infini, SN représentant le cours de l’action à la date T .

– On obtient alors une valeur limite pour la valeur du put à l’instant 0 donnée par

P0 = Ke−RT F (d2) − S0F (d1)

(1)

où F est la fonction de répartition d’une gaussienne standard et d1 ;d2 sont deux fonctions connues dépendant de

K ;R ;T et σ.

– On obtient une formule similaire pour le call ainsi qu’une version continue de la relation de parité call-put.

– On remarquera que le seul paramètre non directement observable sur le marché est σ. Son évaluation se fait souvent par

des méthodes statistiques.

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