Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990324
COLLOQUE DE PHYSIQUE Colloque C3, suppl ment au n017, Tome 51, ler septembre 1990 METHODE COMPOSITE POUR LE CALCUL DE LA R PONSE IMPULSIONNELLE D'UNE SPH RE RIGIDE 2. SUN, G. GIMENEX, O. BASSET et F. DENIS Laboratoire "Traitement du signal et Ultrasons" CNRS URA-1216, INSA B t. 502, F-69621 Villeurbanne Cedex, France R sum - Dans ce travail nous proposons une m thode pratique pour calculer la r ponse acoustique d'une sph re rigide. Cette m thode utilise conjointement la m thode de l'optique physique, qui donne de bons r sultats en haute fr quence, et la m thode modale, qui convient au calcul en basse fr quence. Cette combinaison nous permet de nous affranchir des probl mes li s l'utilisation d'une seule de ces m thodes : inad quation de la m thode de l'optique physique en basse fr quence et difficult s de convergence de la m thode modale en haute fr quence. Actuellement nous calculons la r ponse impulsionnelle (r ponse un Dirac) d'une sph re rigide dans une situation de r trodiffusion. Abstract - In this paper we propose a practical method to calculate the acoustical response of rigid sphere. This method combines the physical optic method, which gives good results at high frequences, with the modal method, which is suitable at low frequencies. This gets around the problems that arise when only one of these methods is used, namely the failure of the physical optic method at low frequencies and the convergence difficulties of the modal method at high frequencies. Here, we calculate the impulse response (response to a Dirac pressure transmission) of a rigid sphere for a backscattering situation. 1 - Introduction La diffusion acoustique par une sph re rigide est un probl me classique. Beaucoup de travaux y ont t6 con sac r s[^] du fait de sa simplicit relative, de ses int r ts physique et math matique, et de ses nombreuses applications. Pour traiter le probl me de la diffusion en r ponse une impulsion, deux voies peuvent tre emprunt es : travailler directement dans le domaine temporel ou travailler d'abord dans le domaine fr quentiel puis retourner dans le domaine temporel par transform e de Fourier inverse. Peu de travaux existe sur la premi re possibilit . Par contre, dans le domaine fr quentiel, diverses m thodes ont t Ctudi es. Cependant, travailler en haute fr quence est souvent p nible et fastidieux. Bien que diff rentes techniques puissent tre employ es pour surmonter les difficult s dues la convergence et l'instabilit num rique, la r ponse impulsionnelle est toujours difficile d duire de la fonction de transfert puisque cela n cessite la connaissance de cette derni re dans une plage de fr quences s' tendant de z ro l'infini. Cette condition n'est remplie dans aucun cas pratique. Dans ce travail nous int ressons la r trodiffusion d'une sph re rigide recevant une impulsion de pression en forme de Dirac mise par une source ponctuelle. Sachant que la m thode analytique usuelle, avec laquelle le champ diffus par une sph re rigide est exprime en s ries de Rayleigh, converge rapidement en basse fr quence tandis que la m thode de l'optique physique donne satisfaction en haute fr quence, nous allons introduire, en tudiant la diff rence fr quentielle entre les r sultats donn s par ces deux m thodes, une approche approximative pour calculer la r ponse impulsionnelle. nous donnerons alors la r ponse temporelle quelques autres signaux en les convoluant avec la r ponse impulsionnelle obtenue. C3-232 COLLOQUE DE PHYSIQUE II - Champ diffus calcul par la m thode de l'optique physique Nous consid rons une onde de pression incidente sph rique mise par une source ponctuelle S : o k = w fc = 27 : s o P est la pression totale en un point quelconque M de la surface S de la sph re tandis que r est la distance du point M au rkcepteur (S). L'op ration a/an repr sente la d rivation suivant la direction du vecteur unitaire n, normal la surface et orient vers l'ext rieur. L'int gration est r aliser sur la surface totale de la sph re. Pour une sph re rigide, la condition limite de type Neumman doit tre adopt e : ap - =O sur la surface 2 n L'approximation de la m thode de l'optique physique suppose que, pour un objet rigide, la pression acoustique la surface est [3]: 2Pi sur la partie clair e de la surface P={ O sur la partie de la surface dans l'ombre D'o , en utilisant (3) et (4) nous avons Ici nous avons remplac P,(f) par Po(f) afin de sp cifier que ce r sultat est obtenu par la m thode de l'optique physique. L'int grale (6) est calcul e sur la surface clair e I: qui est d limit e par un cercle correspondant l'angle : a. = arc cos (aho ) (7) et (6) peut alors s'exprimer par : ro-a o est la longueur de la tangente de S la sph re. Nous savons que l'int grale : est la solution de l' quation de D'Alembert suivante [4] : Elle d crit une impulsion de pression en forme de Dirac mise du point S. Le syst me consid r etant lin aire, la rdponse impulsionnelle d'une sph re rigide peut tre obtenue en int grant l' quation (8) : po(t) = po (f) e-iut df -00 - a 1 t- (Ti+T2)/2 - 6(t-T 1) - rect 8i<ro(ro-a) ( T2-T1 ) C3-234 COLLOQUE DE PHYSIQUE et rect repr sente la fonction rectangle de largeur ('C2 - 7 1), centr e au point t = (T + T2)/2. Il est vident que 7 est la dur e du trajet aller-retour entre S et le p le N, tandis que T2 est celle du trajet entre S et Q. La figure 2 montre la r ponse donn e par la relation (12), calcul es pour a=0,5 cm, ro= 20 cm et c = 331 mis. Lorsque ro est tr s grand devant a, la r ponse fr quentielle (8) se r duit : Figure 2: R ponse impulsionnelle (pression r trodiffus e) pour une sph re rigide ( a = 0,s cm, ro = 20 cm, c = 331 mls) obtenue par la m thode de l'optique physique. sin - C a leimil.- = 8 TI ro(ro-a) 1 eiw (i 1+72)/2 ua I I ' En cons quence, dans le domaine temporel et compte tenu.du fait que T2 - Tl << 'Cl, l'expression (12) peut alors tre re crite : a c t-(T 1 + T 2 )/2 = dro(ro-a) 6(t- 71)- 16dro(ro-a) rect ( ) T2-7 t Il est ais de v rifier que (14) et (15) repr sentent une paire de transform es .de Fourier. III - M thode modale Maintenant nous examinons le syst me d crit par la Fig.(l) en coordonn es sph riques . En consid rant qu'il y a sym trie autour de l'axe z, Sonde de pression sph rique incidente en un point M est donn e parF5] et l'onde diffus e peut alors tre exprim e161 : o les h,(l) sont les fonctions dlHankel sph riques de premi re esp ce, d'ordre n. Elles sont choisies pour obtenir des ondes diffus es divergentes. Les fonctions j, et P, sont respectivement Figure 3: La sph re rigide de rayon a est centr e sur l'origine O des coordonn es. L'onde sph rique est transmise par une source ponctuelle S situ e sur la partie n gative de Saxe z une distance ro de l'origine. les fonctions de Bessel sph riques et les fonctions de Legendre de premi re esp ce, d'odre n, tandis que An est un coefficient d terminer partir des conditions aux limites. Le champ total est : P = Pi + P, Pour une sph re entour e d'un fluide non visqueux, la condition sur la surface s' crit : o u, d note le d placement radial sur la surface. Soient @ le potentiel de vitesse, v la vitesse de vibration des particules, u le d placement des particules et Q la masse volumique du mat riau fluide. En consid rant une onde incidente monochromatique, on a alors : Il en r sulte : et, en tenant compte de la situation de r trodiffusion (r = ro,O = fi), nous d duisons de (16), (17), (18), (19) et (21) que : COLLOQUE DE PHYSIQUE Le champ de la pression r trodiffus e est alors donn pru Cette expression d crit la r ponse fr quentielle du syst me. Pour ce calcul, les termes jusqu' n=60 ont t pris en compte. Une analyse de convergence de (23) montre que pour ka < 50, cet ordre de 60 est suffisant pour que l'erreur relative ( cart relatif entre la valeur approxim e et la valeur exacte) soit inf rieure 10-~. IV - R ponse impulsionnelle d'une sph re rigide En exprimant le champ incident sous la forme (1) ou (16). on obtient la r ponse impulsionnelle : Pour des raisons pratiques, nous la mettons sous la forme usuelle : +w ps(t) = 1 PSl(f) eizflft df , -Co avec : Comme ps(t) est un signai physique (n cessairement r el), sa transform e de Fourier PSl(f), d finie par : P,i(f) = 1 p, (t). e-i2flft dt -00 v rifie o "*" d note la conjugaison complexe de la fonction, et PS1(f) peut tre crit comme : U(f) tant l' chelon unitaire. Par cons quent, prenant en consid ration (26), nous avons : P,l(f) = P,(lfl) U(-f) + P: (lfl) U(f) . La m me discussion peut tre reprise pour Pol(f). En d finissant nous avons : avec POI(O = p0(lfl) u(-0 + PI u(n La figure 4 donne la partie r elle de la diff rence entre PSl(f) et Pol(f) pour ka variant de O 46 et a = 0,5 cm, ro = 20 cm et c = 331 m/s. Visiblement, quand la fr quence augmente, la diff rence entre PSl(f) et pOl(f) tend vers z ro. Ceci sugg re que, pourvu que les fr quences soient suffisamment lev es, PSl(f) peut tre remplac e par Pol(f). Autrement dit, en haute fr quence, nous pouvons nous servir du r sultat de la m thode de l'optique physique au lieu de celui de la m thode modale. En supposant que la diff rence PSl(f) - Pol (f) soit nulle pour ka sup rieur 46 : P,l(f)-Pol(f) = O pour ka 2 46 (34) la rBponse impulsionnelle peut tre maintenant calculee: Figure 4: Partie r elle de la diff rence entre le r sultat de la m thode modale et celui de la m thode de l'optique physique. COLLOQUE DE PHYSIQUE avec +fi I: po(t) + j ei2-ft df , -f 1 o po(t) est donn e par (12), PSl(f) par (23) et (30), Pol(f) par (8) et (33). Notons que lorsque ro << a , po(t) et Po(f) peuvent tre obtenues d'une fa on plus simple partir de (14) et (15). La figure 5 indique la r ponse impulsionnelle (Le. la r ponse un Dirac incident) pour a = 0,s cm, ro = 20 cm et c = 331 m/s. Afin de rendre plus claire la repr sentation, nous utilisons la dur e 7= 2a/c comme unit de temps dans toutes les figures qui d crivent des signaux temporels. Ici 7 est le temps n cessaire l' clairement de la sph re par un Dirac incident. La r ponse impulsionnelle commence par un Dirac t = 397, dont l'amplitude relative, par rapport celle de l' mission est 5, 10 x 10-~. Cette partie correspond une r flexion de l'onde acoustique incidente au point brillant N sur la sph re . La seconde partie, i.e. celle qui commence par un pic n gatif, est domin e principalement par la diffraction. La troisi me partie de la r ponse, qui se manifeste comme un pic positif, repr sente les ondes rampantes. Ces ondes rampantes sont engendr es sur le cercle correspondant l'angle a,, . Comme nous pouvons le voir, la distance temporelle entre le Dirac er le maximum du pic positif est environ 7, = 2,636 '1, qui correspond la diff rence entre les chemins SN + NS et SP + PTQ + QS. Dans le cas o a = 0,s cm, ro = 20 cm et c = 331 m/s, nous avons : qui est plus petit que 7,. Ceci signifie que la vitesse de phase des ondes rampantes qui se propagent le long de la partie dans l'ombre de la surface, est l g rement inf rieure celle des ondes acoustiques se propageant dans le milieu environnant. Dans cette figure on peut aussi remarquer des petites oscillations de faible amplitude vers le milieu de la courbe. Cela est d la perte d'information impos e par (34) pour les fr quences au-del de f = i fl . En lissant ces oscillations, il est possible d'aboutir un r sultat plus exact. Figures: R ponse impulsionnelle d'une sph re rigide dans une situation de r trodiffusion( a= 0.5 cm, ro= 20 cm, c= 331 m/s) V. Application au calcul des r ponses divers signaux Apr s avoir obtenu la r ponse impulsionnelle p,(t), la r ponse un autre signal u(t) peut tre calcul e par une simple convolution : o p(t) d note la pression acoustique r trodiffus e au point d'observation. A titre d'exemple, le champ diffus a t calcul pour deux signaux, toujours avec a = 0,s cm, ro= 20 cm et c =331 rnls. Figure 6 : R ponse impulsionnelle un signal incident gaussien. L'onde incidente correspondante est repr sent e en haut et droite de la figure. Figure 7: R ponse un signal incident sinuso dal dont l'amplitude est modulke par un gaussien. L'onde incidente correspondante est repr sent e en haut et droite de la figure. Le premier correspond une mission gaussienne (pour simplifier, nous avons pris l'unit pour le coefficient de la fonction exponentielle) : COLLOQUE DE PHYSIQUE Od td 2e7 ailleurs et le deuxi me est un signal sinuso dal dont l'amplitude est modul e par u(t): O ,< t b 2eT ailleurs o T = 2a/c, q, e sont des constantes et f est la fr quence de la porteuse de l'onde incidente. Dans les figures (6) et (7) sont repr sent s, pour q=87384 et e=l, les signaux correspondants aux pressions r trodiffus es, ainsi que les signaux mis. Dans notre calcul, la porteuse est la fr quence de 75 kHz. Comme nous pouvons le voir, les contributions dues aux ondes rampantes (partie c dans la figure 6 et partie b dans la figure 7) sont ais es identifier. Conclusion Dans ce travail nous avons pr sent une m thode composite bas e sur la combinaison de la m thode de l'optique physique et de la m thode modale pour calculer la r ponse une onde incidente en forme de Dirac, r trodiffus e par une sph re rigide. A partir de la r ponse impulsionnelle obtenue, la r ponse d'autres signaux peut tre calcul e imm diatement par convolution. En principe, la m me m thode peut tre tendue au calcul de la r ponse d'autres objets rigides ou mous, de forme g om trique simple, pour laquelle l' quation de propagation acoustique est s parable dans le syst me de coordonn es appropri [1], aussi bien dans le cas de la r trodiffusion que dans une situation bistatique. En r sum les id es la base de la m thode pr sent e sont : 1. Quand la fr quence est suffisamment lev e, la methode modale et la m thode de l'optique physique tendent donner le m me r sultat. 2. La r ponse temporelle correspondant la m thode d'optique physique doit tre calculable J. Bowman, T. Senior and P.Uslenghi, Electromagnetic and Acoustic Scattering by Simple Shapes (North-Holland, Amsterdam, 1969). [2] C.S. Clay and H. Medwin, Acoustical Oceanography (John Wiley & Sons, New York, 1977), pp.502-506. [3] J. Bowman, T. Senior and P.Uslenghi, Electromagnetic and Acousti Scattering by Simple Shapes (North-Holland, Amsterdam, 1969), p. 29 [4] M. Jessel, Acoustique Th orique : Propagation et Holophonie (Masson, Paris, 1973), p. 55. P. M. Morse and K.U. Ingard, Theoretical Acoustics (Mc Graw-Hill, New York,1968), p. 339.