Mécanique et théorie des poutres droites

the modulus of elasticity

the antinode

the boundary conditions

free edge

to shrink

tight

taut

9

10

CHAPITRE 2. DICTIONNAIRE

Chapitre 3

Examens des ann(cid:19)ees

pr(cid:19)ec(cid:19)edentes

3.1 Janvier 2012

Un r(cid:19)eservoir cylindrique 0 (cid:18)a base circulaire de rayon r1 = 0:3 m d’(cid:19)epaisseur de

paroi e0, est rempli partiellement d’eau (voir (cid:12)gure 3.1) de masse volumique (cid:26) = 1000

kg.m(cid:0)3. L’acc(cid:19)el(cid:19)eration de la pesanteur ~g est dans la direction (cid:0)~y. A une distance h1

de la surface libre, est positionn(cid:19)ee au point C une vanne de vidange. La vanne 2 est

constitu(cid:19)ee d’un cylindre (cid:18)a base circulaire de rayon r2 = 0:01 m de longueur l2 = 5

m. Elle est en acier et pourra ^etre consid(cid:19)er(cid:19)ee comme d(cid:19)eformable avec un module de

Young E = 2:11011 Pa et un coe(cid:14)cient de Poisson (cid:23) = 0:28. Pour assurer l’(cid:19)etanch(cid:19)eit(cid:19)e,

l’extr(cid:19)emit(cid:19)e du cylindre 2 est conique avec un 1/2 angle au sommet (cid:11) = (cid:25)=4. Le

positionnement dans la direction ~x de la pi(cid:18)ece 2 est assur(cid:19)ee par une cale 3 d’(cid:19)epaisseurs

variables, qui prend appuis sur la b^ati 0.

Figure 3.1 { Un r(cid:19)eservoir et sa vanne de vidange.

11

12

CHAPITRE 3. EXAMENS DES ANN (cid:19)EES PR (cid:19)EC (cid:19)EDENTES

1. Le r(cid:19)eservoir est vide. La vanne 2 est ferm(cid:19)ee par le choix appropri(cid:19)e de l’(cid:19)epaisseur

de la cale 3. Dans ce cas, la distance u entre la surface int(cid:19)erieur de la paroi

du r(cid:19)eservoir 0 et la surface de la vanne 2 (cid:18)a l’extr(cid:19)emit(cid:19)e de normale sortante (cid:0)~x

est nulle. On consid(cid:18)erera que l’ajustement est parfait, et donc qu’il n’y a aucun

e(cid:11)ort de mise en contact de la pi(cid:18)ece 2 sur la base conique du r(cid:19)eservoir 0. Le

r(cid:19)eservoir est alors rempli d’eau tel que h1 = 3 m. Quelle est la pression pC au

point C ?

2. Sous l’e(cid:11)et de cette pression, une force ~F est appliqu(cid:19)ee par l’eau sur la vanne 2

au point C. Donnez le module et la direction de cette force.

3. Si le poids de la vanne 2 est n(cid:19)eglig(cid:19)ee par rapport (cid:18)a cette force ~F , en isolant la

vanne 2, faites le bilan des actions qui s’exercent sur cette vanne, puis donnez

les actions de la pi(cid:18)ece 3 sur la pi(cid:18)ece 2.

4. Soit un point M (cid:18)a l’int(cid:19)erieur de la pi(cid:18)ece 2. Montrez que un tenseur des con-

traintes de la forme,

2

4

(cid:22)(cid:22)(cid:27) =

3

5

(cid:27)xx

0

0

0 0

0 0

0 0

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

(3.1)

v(cid:19)eri(cid:12)e les conditions aux limites sur la surface en contact avec l’eau et sur la

surface lat(cid:19)erale de rayon r2. Quelle est la valeur de (cid:27)xx ?

5. Donnez les valeurs de 9 composantes du tenseur des d(cid:19)eformations au point M

2

4

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

(cid:15)xx

(cid:15)yx

(cid:15)zx

(cid:15)xy

(cid:15)yy

(cid:15)zy

(cid:15)xz

(cid:15)yz

(cid:15)zz

3

5

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

(3.2)

6. Ces d(cid:19)eformations se cumulent tout le long du cylindre 2 entre le point C et le

point D. Le point D peut ^etre consid(cid:19)er(cid:19)e comme immobile. Quelle est la valeur

du d(cid:19)eplacement u dans la direction ~x de l’extr(cid:19)emit(cid:19)e C de la vanne 2 ?

7. Du fait de la valeur de u, une fuite appara^(cid:16)t entre les surfaces coniques du

r(cid:19)eservoir 0 et de la vanne 2. Si vI est la vitesse moyenne dans la section passant

par le point I et vJ celle dans la section passant par le point J, donnez le ratio

vJ

vI

en consid(cid:19)erant que e0 = r2.

8. Si le (cid:13)uide est consid(cid:19)er(cid:19)e comme parfait, quel est le module de la vitesse vJ ?

9. Le d(cid:19)ebit de fuite qv est-il proportionnel (cid:18)a h1 ? (cid:18)a r1 ?

10. Si le (cid:13)uide est consid(cid:19)er(cid:19)e comme visqueux, avec comme viscosit(cid:19)e dynamique

(cid:22) = 10(cid:0)3 Pa.s, quel est le nombre de Reynolds Re dans le gap entre les surfaces

coniques du b^ati 0 et de la vanne 2 ?

11. Quel est le pro(cid:12)l du champs de vitesse entre ces deux surfaces, c’est (cid:18)a dire le

long de la ligne (cid:12)ne du zoom 2 ?

12. Si vous vouliez calculer les pertes de charge dans ce gap (ne pas le faire), con-

sid(cid:19)ereriez-vous des pertes de charges singuli(cid:18)eres ou r(cid:19)eguli(cid:18)eres ? Justi(cid:12)ez votre

choix.

Chapitre 4

La m(cid:19)ecanique des milieux

continus

4.1 Un vitrail de cath(cid:19)edrale, un (cid:13)uide qui s’ignore ?

La m(cid:19)ecanique est la science du mouvement. Elle est une branche de la physique,

car elle d(cid:19)ecrit la mati(cid:18)ere (cid:18)a une (cid:19)echelle sup(cid:19)erieure aux mol(cid:19)ecules, aux atomes : on

parlera d’un volume (cid:19)el(cid:19)ementaire repr(cid:19)esentatif de mati(cid:18)ere continue. Si l’objectif est de

d(cid:19)ecrire le mouvement, qui lui est mesurable (la d(cid:19)eformation de votre joue), il faudra

inventer des causes (la force exerc(cid:19)ee par le poing d’une brute (cid:19)epaisse fach(cid:19)ee contre

vous). Deux grandes familles de corps seront ici (cid:19)etudi(cid:19)ees : les solides d(cid:19)eformables

(votre joue) et les (cid:13)uides (le sang qui s’(cid:19)ecoule de votre nez meurtri).

Si l’on consid(cid:18)ere un volume repr(cid:19)esentatif dans une base carth(cid:19)esienne (Fig. 4.1), ce

sera un parrall(cid:19)el(cid:19)epip(cid:18)ede de dimensions in(cid:12)niments petites dx, dy et dz. Sur chacune

des faces de ce parrall(cid:19)el(cid:19)epip(cid:18)ede, seront exerc(cid:19)ees des contraintes not(cid:19)ees dans ce cours

(cid:27), ayant la dimension d’une force divis(cid:19)ee par une surface. En unit(cid:19)es du syst(cid:18)eme

international, le Pascal (1 Pa=1 N/m2) avec N le newton et m le m(cid:18)etre.

Ce qui di(cid:11)(cid:19)erencie fondamentalement un solide (cid:19)elastique lin(cid:19)eaire d’un (cid:13)uide new-

tonnien,

{ pour le solide, les contraintes sont proportionnelles aux d(cid:19)eformations de ce par-

rall(cid:19)el(cid:19)epip(cid:18)ede par rapport (cid:18)a un (cid:19)etat initial dit "au repos",

{ pour le (cid:13)uide, les contraintes sont proportionnelles aux vitesses de d(cid:19)eformations

de ce parrall(cid:19)el(cid:19)epip(cid:18)ede.

Volontairement, notre cours se limitera (cid:18)a ces deux mod(cid:18)eles simplistes, et nous

(cid:19)eviterons, sans doute pour votre plus grande joie, d’aborder la visco(cid:19)elasticit(cid:19)e, les

Figure 4.1 { Volume (cid:19)el(cid:19)ementaires repr(cid:19)esentatif.

13

14

CHAPITRE 4. LA M (cid:19)ECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

(cid:13)uides (cid:18)a seuil, les transitions vitreuses... On ne vous parlera pas de l’(cid:19)epaisseur de

vitraux anciens de nos cath(cid:19)edrales, plus grande en bas que en haut : le verre est un

(cid:13)uide qui s’(cid:19)ecoule lentement.

Nous resterons aussi dans des rep(cid:18)eres carth(cid:19)esiens. De ce fait, confusion sera faite,

et nous nous en excusons, entre grandeur intrins(cid:18)eque et matrice associ(cid:19)ee (cid:18)a cette

grandeur lorsqu’elle est exprim(cid:19)ee dans une base. Les expressions des gradients, di-

vergence, rotationnels dans des rep(cid:18)eres cylindriques ou sph(cid:19)eriques, sont (cid:19)evidemment

di(cid:11)(cid:19)erentes. Les (cid:19)equations intrins(cid:18)eques restent valides, leurs expressions dans une base

donn(cid:19)ee change. Nous vous invitons, si n(cid:19)ecessit(cid:19)e, (cid:18)a vous r(cid:19)ef(cid:19)erer (cid:18)a vos enseignements

de math(cid:19)ematiques.

4.2 Les cin(cid:19)ematiques d’un volume repr(cid:19)esentatif

4.2.1 Pour un solide

Pour un solide, la grandeur cin(cid:19)ematique de r(cid:19)ef(cid:19)erence est le d(cid:19)eplacement.

Consid(cid:19)erons une base (~x; ~y; ~z) orthonorm(cid:19)ee directe, associ(cid:19)ee (cid:18)a un point P dont les

coordonn(cid:19)ees seront l’origine du rep(cid:18)ere dans l’(cid:19)etat de r(cid:19)ef(cid:19)erence. Soit le parrall(cid:19)elogramme

construit (cid:18)a partir du point P, dont les dimensions dans chaque direction sont dx, dy

et dz. Soit le point M, le sommet oppos(cid:19)e du parrall(cid:19)el(cid:19)epip(cid:18)ede tel que (cid:18)a l’(cid:19)etat initial

~P M = dx~x + dy~y + dz~z. L’(cid:19)etat (cid:12)nal est caract(cid:19)eris(cid:19)e par un d(cid:19)eplacement des points P

et M,

~up = upx~x + upy~y + upz~z;

~um = umx~x + umy~y + umz~z:

(4.1)

(4.2)

En consid(cid:19)erant les dimensions (cid:19)el(cid:19)ementaires de ce parrall(cid:19)el(cid:19)epip(cid:18)ede aussi petites que

n(cid:19)ecessaire, le mouvement de tout point de ce volume (cid:19)el(cid:19)ementaire sera proportionnel

(cid:18)a ses distances par rapport (cid:18)a P. Le mouvement (cid:18)a proximit(cid:19)e de P est donc caract(cid:19)eris(cid:19)e

par six grandeurs. Elles contiennent (voir (cid:12)gure 4.2) :

{ des translations (isovolume) : par exemple une translation dans la direction ~x

si upx = umx et les autres nulles,

{ des rotations (isovolume) : par exemple une rotation autour de l’axe ~x d’un

angle (cid:11) in(cid:12)niment petit, si ~uP = 0, umx = 0, umy = (cid:0)(cid:11)dz et umz = (cid:11)dy et les

autres nulles,

2

4

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

3

5

(cid:27)xx

0

0

0 0

0 0

0 0

(4.3)

{ des deformations de dilatation (non isovolume) : par exemple une dilatation

dans la direction ~x, ~uP = 0 et ~uM = adx~x,

{ des d(cid:19)eformations de cisaillement (isovolume) : par exemple un glissement du

plan (M,~z; ~x) dans la direction ~x, la direction ~y tournant d’un angle (cid:13), alors

~uP = ~0 et ~uM = (cid:0)(cid:13)dy~x,

On notera que sont possibles trois directions de translations, trois axes de ro-

tations, des allongements dans trois directions et des glissements dans trois plans.

Un d(cid:19)eplacement est une grandeur vectorielle qui a pour dimension [L], qui s’ex-

prime donc dans le syst(cid:18)eme international en m. Vous veillerez (cid:18)a (cid:19)ecrire les grandeurs

vectorielles de fa(cid:24)con compl(cid:18)ete, donc sans oublier de pr(cid:19)eciser la base. Les notations

4.3. LES (cid:19)ETATS DE D (cid:19)EFORMATION D’UN VOLUME REPR (cid:19)ESENTATIF

15

Figure 4.2 { Exemples de mouvements (cid:19)el(cid:19)ementaires d’un volume de r(cid:19)ef(cid:19)erence.

accept(cid:19)ees sont :

~ap = ax~x + ay~y + az~z =

2

4

ax

ay

az

3

5

(~x;~y;~z)

:

(4.4)

4.2.2 Pour un (cid:13)uide

Pour un (cid:13)uide, la grandeur cin(cid:19)ematique de r(cid:19)ef(cid:19)erence est la vitesse.

On d(cid:19)e(cid:12)nira donc ~vP la vitesse d’un point P par rappport (cid:18)a un rep(cid:18)ere, et ~vM la

vitesse d’un point M tel que ~P M = dx~x + dy~y + dz~z. Comme pr(cid:19)ec(cid:19)edemment, 4 types

de champs de vitesse sont possibles,

{ des vitesses de translations (isovolume),

{ des vitesses rotations en bloc (isovolume),

{ des vitesses dilatation (non isovolume),

{ des vitesses de cisaillement (isovolume),

ainsi qu’une combinaison de ceux-ci.

Une composante de vitesse a pour dimension [LT(cid:0)1], donc s’exprime en m.s(cid:0)1

dans le syst(cid:18)eme international.

Assimilation Pour v(cid:19)eri(cid:12)er que vous avez assimil(cid:19)e ce paragraphe, nous vous invitons

(cid:18)a obtenir le brevet 304.

Si vous avez des di(cid:14)cult(cid:19)es, je vous invite (cid:18)a contacter le r(cid:19)ef(cid:19)erent du brevet corre-

spondant, dont le m(cid:19)el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95.

4.3 Les (cid:19)etats de d(cid:19)eformation d’un volume repr(cid:19)esentatif

4.3.1 Pour un solide

Pour un solide la grandeur cin(cid:19)ematique de r(cid:19)ef(cid:19)erence est le d(cid:19)eplacement.

Etant donn(cid:19)e un mouvement du parrall(cid:19)el(cid:19)epip(cid:18)ede, il faut pouvoir extraire les com-

posantes correspondantes (cid:18)a un mouvement de corps solide (translation, rotation)

de celles correspondantes (cid:18)a des d(cid:19)eformations. Nous montrons ici que le gradient de

d(cid:19)eplacement n’est pas su(cid:14)sant, il faut encore extraire sa partie sym(cid:19)etrique, pour

avoir une vrai mesure de l’(cid:19)etat de d(cid:19)eformation.

16

CHAPITRE 4. LA M (cid:19)ECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Soit ~uP (Eq. 4.1) connu pour un parrall(cid:19)el(cid:19)epip(cid:18)ede de dimensions dx, dy et dz.

Chacune des 3 composantes est une fonction de l’espace. Calculons les variations de

ces composantes de d(cid:19)eplacement en fonction des 3 directions. Il est judicieux d’utiliser

la notation du gradient de ~u,

2

3

(cid:22)(cid:22)grad~u =

6

4

@ux

@x

@uy

@x

@uz

@x

@ux

@y

@uy

@y

@uz

@y

@ux

@z

@uy

@z

@uz

@z

7

5

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

(4.5)

Pour un mouvement de translation d’une valeur a dans la direction ~x, ~u = a~x, d’o(cid:18)u

ux = a, uy = 0, uz = 0, le gradient

(cid:22)(cid:22)grad~u =

4

2

3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

5

;

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

(4.6)

est bien nul. Pour un corps en translation, qui donc ne se d(cid:19)eforme pas, le gradient

semble donc un bon outil de mesure de l’(cid:19)etat d(cid:19)eform(cid:19)e. V(cid:19)eri(cid:12)ons-le pour le cas d’une

rotation.

Pour un mouvement de rotation autour de l’axe P~x d’un angle (cid:11) in(cid:12)niment petit,

alors ~up = ~0, et pour le point M ux = 0, uy = (cid:0)(cid:11)dz et uz = (cid:11)dy, le gradient

(cid:22)(cid:22)grad~u =

4

2

3

0

0

0 (cid:11)

0

0

0 (cid:0)(cid:11)

0

5

;

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

(4.7)

n’est pas nul alors que le corps ne se d(cid:19)eforme pas. Le gradient de d(cid:19)eplacement ne

caract(cid:19)erise donc pas la d(cid:19)eformation du solide. Par contre si l’on en prend la partie

sym(cid:19)etrique, que nous noterons (cid:22)(cid:22)(cid:15),

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

(cid:16)

1

2

(cid:22)(cid:22)grad~u +T

(cid:22)(cid:22)grad~u

(cid:17)

;

avec "T" indiquant la transpos(cid:19)ee de la matrice,

0

2

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

B

@

4

1

2

0

0

0 (cid:11)

0

0

0 (cid:0)(cid:11)

0

3

5

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

2

4

+

0

0

0

0

(cid:11)

0

0 (cid:0)(cid:11) 0

3

5

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

(4.8)

(4.9)

1

C

A ;

2

4

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3

5

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

:

(4.10)

cette partie sym(cid:19)etrique est bien nulle. V(cid:19)eri(cid:12)ons sur les deux autres cas de mouvement

du parrall(cid:19)el(cid:19)elogramme avec d(cid:19)eformation que cette grandeur (cid:22)(cid:22)(cid:15) n’est pas nulle.

Pour le cas d’une dilatation dans la direction ~x si ~up = 0 et ~uM = adx~x,

0

2

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

B

@

4

1

2

a 0 0

0 0

0

0 0

0

3

5

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

2

4

+

a 0 0

0

0

0

0

0

0

3

5

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

1

C

A ;

(4.11)

2

4

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

3

5

a 0 0

0 0

0

0 0

0

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

;

(4.12)

4.3. LES (cid:19)ETATS DE D (cid:19)EFORMATION D’UN VOLUME REPR (cid:19)ESENTATIF

17

qui est e(cid:11)ectivement non nulle.

Pour le cas d’un glissement du plan (M,~z; ~x) dans la direction ~x, la direction ~y

tournant d’un angle (cid:13), alors ~uP = ~0 et ~uM = (cid:0)(cid:13)dy~x,

3

0

2

2

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

B

@

4

1

2

0 (cid:0)(cid:13)

0

0

0

0

0

0

0

5

4

+

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

0

(cid:0)(cid:13)

0

0

0

0 0

0

0

3

5

1

C

A ;

(4.13)

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

2

4

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

0

(cid:0)(cid:13)=2

0

(cid:0)(cid:13)=2 0

0

0

0

0

3

5

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

;

(4.14)

qui est bien di(cid:11)(cid:19)erent de 0.

Nous pouvons donc consid(cid:19)erer la grandeur (cid:22)(cid:22)(cid:15), appel(cid:19)ee tenseur des d(cid:19)eformations,

comme une mesure de l’(cid:19)etat de d(cid:19)eformation du syst(cid:18)eme. Le d(cid:19)eveloppement ci-dessus

est fait dans l’hypoth(cid:18)ese des petites perturbations : faibles d(cid:19)eplacements par rapport

aux dimensions du syst(cid:18)eme, et faibles d(cid:19)eformations. Ce tenseur des d(cid:19)eformations

2

4

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

3

(cid:15)xx

(cid:15)yx

(cid:15)zx

(cid:15)xy

(cid:15)yy

(cid:15)zy

(cid:15)xz

(cid:15)yz

(cid:15)zz

5

;

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

(4.15)

a donc 3 d(cid:19)eformations d’allongement (ou de contraction) (cid:15)xx, (cid:15)yy, (cid:15)zz, ainsi que les

6 d(cid:19)eformations de cisaillement (cid:15)xy, (cid:15)yz, (cid:15)zx, (cid:15)yx, (cid:15)zy, (cid:15)xz. De part sa construction, ce

tenseur est sym(cid:19)etrique,

(cid:15)xy = (cid:15)yx

(cid:15)yz = (cid:15)zy

(cid:15)zx = (cid:15)xz:

(4.16)

(4.17)

(4.18)

Il y a donc 6 composantes ind(cid:19)ependantes.

Un changement de base peut ^etre fait a(cid:12)n que ce tenseur soit diagonal dans cette

nouvelle base :

2

4

(cid:22)(cid:22)(cid:15) =

(cid:15)11

0

0

0

(cid:15)22

0

0

0

(cid:15)33

3

5

(~e1;~e2;~e3)(cid:10)(~e1;~e2;~e3)

;

(4.19)

avec (~e1; ~e2; ~e3) les directions principales de d(cid:19)eformation. Pour la diagonalisation d’une

matrice (recherche de valeurs et vecteurs propres), merci de vous r(cid:19)ef(cid:19)erer (cid:18)a vos en-

seignements de math(cid:19)ematique.

Le tenseur des d(cid:19)eformations est un tenseur d’ordre 2 dont les composantes sont

adimensionnelles. Vous veillerez (cid:18)a (cid:19)ecrire les tenseurs d’ordre 2 de fa(cid:24)con compl(cid:18)ete,

donc sans oublier de pr(cid:19)eciser la base. Les notations accept(cid:19)ees sont :

(cid:22)(cid:22)a = axx~x (cid:10) ~x + axy~x (cid:10) ~y + axz~x (cid:10) ~z + ayx~y (cid:10) ~x + ayy~y (cid:10) ~y + ayz~y (cid:10) ~z (4.20)

(4.21)

+azx~z (cid:10) ~x + azy~z (cid:10) ~y + azz~z (cid:10) ~z

2

axz

ayz

azz

axx axy

ayy

ayx

azy

azx

5

3

4

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

=

:

(4.22)

Etant connu le tenseur (cid:22)(cid:22)(cid:15) en un point P, on construit le vecteur d(cid:19)eformation associ(cid:19)e

(cid:18)a un vecteur unitaire ~n,

~(cid:15)(P; ~n) = (cid:22)(cid:22)(cid:15)~n;

(4.23)

18

CHAPITRE 4. LA M (cid:19)ECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

qui est une grandeur vectorielle adimensionelle.

Par exemple si ~n = 1p

2

~x + 1p

2

~z, alors

~(cid:15)(P; ~n) =

2

4

(cid:15)xx

(cid:15)yx

(cid:15)zx

(cid:15)xy

(cid:15)yy

(cid:15)zy

(cid:15)xz

(cid:15)yz

(cid:15)zz

3

5

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

~(cid:15)(P; ~n) =

2

6

4

1p

2

1p

2

1p

2

(cid:15)xx + 1p

2

(cid:15)yx + 1p

2

(cid:15)zx + 1p

2

(cid:15)xz

(cid:15)yz

(cid:15)zz

3

7

5

(~x;~y;~z)

3

5

(~x;~y;~z)

2

4

1p

2

0

1p

2

:

;

(4.24)

(4.25)

Il peut se d(cid:19)ecomposer suivant la normale (cid:18)a la facette et dans le plan tangentiel (cid:18)a la

facette,

avec,

~(cid:15)(P; ~n) = (cid:15)nn~n + (cid:15)tn~t;

(cid:15)nn = ~(cid:15)(P; ~n):~n

(cid:15)tn = ~(cid:15)(P; ~n) (cid:0) (cid:15)nn~n:

Dans notre exemple, cela donne,

2

6

4

(cid:15)nn =

3

7

5

1p

2

1p

2

1p

2

(cid:15)xx + 1p

2

(cid:15)yx + 1p

2

(cid:15)zx + 1p

2

(cid:15)xz

(cid:15)yz

(cid:15)zz

2

4

:

3

5

1p

2

0

1p

2

;

(~x;~y;~z)

(~x;~y;~z)

et en consid(cid:19)erant la sym(cid:19)etrie du tenseur,

(cid:15)nn =

1

2

(cid:15)xx + (cid:15)xz +

1

4

(cid:15)zz:

(4.26)

(4.27)

(4.28)

(4.29)

(4.30)

qui est une grandeur scalaire adimensonelle, que l’on mesure (cid:18)a la surface d’une pi(cid:18)ece

en collant une jauge de d(cid:19)eformation dans la direction de la normale ~n.

Assimilation Pour v(cid:19)eri(cid:12)er que vous avez assimil(cid:19)e ce paragraphe, nous vous invitons

(cid:18)a obtenir les 305, 217, 306, 307, 308, 309, 312.

Si vous avez des di(cid:14)cult(cid:19)es, je vous invite (cid:18)a contacter le r(cid:19)ef(cid:19)erent du brevet corre-

spondant, dont le m(cid:19)el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95.

4.3.2 Pour un (cid:13)uide

Pour un (cid:13)uide la grandeur cin(cid:19)ematique de r(cid:19)ef(cid:19)erence est la vitesse.

On d(cid:19)e(cid:12)nira donc de fa(cid:24)con similaire (cid:18)a pr(cid:19)ec(cid:19)edemment, les grandeurs :

{

{ (cid:22)(cid:22)_(cid:15), appel(cid:19)ee tenseur des taux de d(cid:19)eformations, comme une mesure de l’(cid:19)etat du

(cid:22)(cid:22)grad~v

taux de d(cid:19)eformation du syst(cid:18)eme,

(cid:22)(cid:22)_(cid:15) =

(cid:16)

1

2

(cid:22)(cid:22)grad~v +T

(cid:22)(cid:22)grad~v

(cid:17)

:

(4.31)

Ce tenseur est sym(cid:19)etrique de part sa construction

4.4. LES (cid:19)ETATS DE CONTRAINTE D’UN VOLUME REPR (cid:19)ESENTATIF

19

{ (cid:22)(cid:22)(cid:10), appel(cid:19)ee tenseur des taux de rotation,

(cid:16)

(cid:22)(cid:22)(cid:10) =

1

2

(cid:22)(cid:22)grad~v (cid:0)T

(cid:22)(cid:22)grad~v

(cid:17)

;

qui est antisym(cid:19)etrique de part sa construction.

On d(cid:19)e(cid:12)nit aussi le rotationel d’un vecteur. C’est un pseudo-vecteur,

(cid:21)rot~v =

4

2

3

2

3

@

@x

@

@y

@

@z

5

4

^

(~x;~y;~z)

vx

vy

vz

5

:

(~x;~y;~z)

(4.32)

(4.33)

Pour rappel les pseudo-vecteurs ne sont pas des tenseurs d’ordre 1, comme le sont

les vecteurs : ils ne suivent pas les m^emes types de transformation par rapport (cid:18)a des

plans de sym(cid:19)etrie (entre autres...).

Une composante de taux de d(cid:19)eformation et de taux de rotation ont pour dimension

[T(cid:0)1], soit dans le syst(cid:18)eme international s’exprime en s(cid:0)1.

Assimilation Pour v(cid:19)eri(cid:12)er que vous avez assimil(cid:19)e ce paragraphe, nous vous invitons

(cid:18)a obtenir les brevets 310, 311.

Si vous avez des di(cid:14)cult(cid:19)es, je vous invite (cid:18)a contacter le r(cid:19)ef(cid:19)erent du brevet corre-

spondant, dont le m(cid:19)el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95.

4.4 Les (cid:19)etats de contrainte d’un volume repr(cid:19)esentatif

Sur chaque face d’un parrall(cid:19)el(cid:19)epip(cid:18)ede de dimensions dx, dy et dz, s’exerce des

actions m(cid:19)ecaniques qui seront li(cid:19)ees via des lois de comportement

{ au tenseur des d(cid:19)eformations (cid:22)(cid:22)(cid:15) pour un solide,

(cid:22)(cid:22)grad~v pour un (cid:13)uide.

{ au gradient de vitesse

L’(cid:19)etude des lois de comportement est l’objet des chapitres suivants.

N(cid:19)eanmoins, ces actions seront repr(cid:19)esent(cid:19)ees par des forces par unit(cid:19)e de surface. On

appellera tenseur des contraintes, la grandeur not(cid:19)ee (cid:22)(cid:22)(cid:27),

2

3

4

(cid:22)(cid:22)(cid:27) =

(cid:27)xx (cid:27)xy (cid:27)xz

(cid:27)yx (cid:27)yy (cid:27)yz

(cid:27)zx (cid:27)zy (cid:27)zz

5

;

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

(4.34)

elle aussi sym(cid:19)etrique. C’est une grandeur tensorielle dont la dimension de chaque com-

posante est [MLT(cid:0)2], qui s’exprime dans le syst(cid:18)eme international en Pa=N.m(cid:0)2=kg.m(cid:0)1.s(cid:0)2.

Etant connu le tenseur (cid:22)(cid:22)(cid:27) en un point P, les actions sur une facette de normale

unitaire ~n sera appel(cid:19)e vecteur contrainte,

(4.35)

qui est une grandeur vectorielle dont la dimension est [MLT(cid:0)2], qui s’exprime dans

le syst(cid:18)eme international en Pa=N.m(cid:0)2=kg.m(cid:0)1.s(cid:0)2.

3

p

~T (P; ~n) = (cid:22)(cid:22)(cid:27)~n;

2 ~x + 1

2 ~y (la norme de ~n est bien (cid:19)egale (cid:18)a 1), alors

Par exemple si ~n =

2

~T (P; ~n) =

4

3

2

3

(cid:27)xx (cid:27)xy (cid:27)xz

(cid:27)yx (cid:27)yy (cid:27)yz

(cid:27)zx (cid:27)zy (cid:27)zz

5

4

(~x;~y;~z)(cid:10)(~x;~y;~z)

2

6

4

~T (P; ~n) =

p

p

p

3

3

2 (cid:27)xx + 1

2 (cid:27)yx + 1

2 (cid:27)zx + 1

2 (cid:27)xy

2 (cid:27)yy

2 (cid:27)zy

3

3

7

5

(~x;~y;~z)

p

3

2

1

2

0

:

5

;

(~x;~y;~z)

(4.36)

(4.37)

20

CHAPITRE 4. LA M (cid:19)ECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Il peut se d(cid:19)ecomposer suivant la normale (cid:18)a la facette et dans le plan tangentiel (cid:18)a la

facette,

avec,

~T (P; ~n) = Tnn~n + Ttn~t;

Tnn = ~T (P; ~n):~n

Ttn = ~T (P; ~n) (cid:0) Tnn~n:

(4.38)

(4.39)

(4.40)

Dans notre exemple, cela donne,

2

6

4

Tnn =

p

p

p

3

3

2 (cid:27)xx + 1

2 (cid:27)yx + 1

2 (cid:27)zx + 1

2 (cid:27)xy

2 (cid:27)yy

2 (cid:27)zy

3

3

7

5

(~x;~y;~z)

2

4

:

p

3

2

1

2

0

3

5

(~x;~y;~z)

;

(4.41)

et en consid(cid:19)erant la sym(cid:19)etrie du tenseur,

p

Tnn =

3

4

(cid:27)xx +

3

2

(cid:27)xy +

1

4

(cid:27)yy:

(4.42)

qui est une grandeur scalaire dont la dimension est [MLT(cid:0)2], qui s’exprime dans le

syst(cid:18)eme international en Pa=N.m(cid:0)2=kg.m(cid:0)1.s(cid:0)2.

On retiendra que la sym(cid:19)etrie du tenseur des contraintes implique que pour deux

normales ~n et ~n0,

~T (P; ~n):~n0 = ~T (P; ~n0):~n:

(4.43)

De m^eme que pour l...