Mécanique du Point

IV- Produit scalaire entre deux vecteurs

Soient deux vecteurs

et

,leur produit scalaire est un produit qui donne comme r sultat

un scalaire

Tel que est langle entre les deux vecteurs

Ce produit admet quelque propri t s tel que

Calcul du module dun vecteur

Soient Les coordonn es du vecteur

(x1,y1,z1) et celle du vecteur

(x2,y2,z2)

Leur produit scalaire donne

Si on remplace

par

On aura

11

acos...2121VVVV=()()kzjyixkzjyixVV22211121.++++=()21212121.zzyyxxVV++=() .111111zyxVVV++==

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Do

Cest la formule pour calculer le module dun vecteur

V -Produit vectoriel

Soient deux vecteurs

et

, leur produit vectoriel est un vecteur orient

-

la direction est perpendiculaire au plan form par les vecteurs

et

-

le sens est donn par la r gle des trois doigts de la main droite

-

sa norme vaut

12

() 1111zyxV++=VVV= 21asin..2121VVVV=

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Tel que est langle entre les deux vecteurs

Propri t s

Le produit vectoriel peut tre calcul par la m thode directe en coordonn es cart siennes dans

un rep re orthonorm direct :

il peut tre aussi d terminer par la m thode du d terminant

VI- Fonction plusieurs variables

En Physique, nous avons souvent tudier les fonctions de plusieurs variables ind pendantes.

Nous nous limiterons trois not es x , y et z mais les r sultats sont facilement g n ralisables.

Soit une fonction f (x, y,z), nous appellerons diff rentielle de f (notation df ) la

Il existe des fonctions alg briques et des fonctions vectorielles plusieurs variables

• Fonction alg brique une seule variable, cest une fonction qui ne d pend que dune

seule variable

13

()()kzjyixkzjyixVV22211121++ ++= kxyyxjzxxziyzzyVV)()()(21212121212121-+-+-= kxyyxjxzzxiyzzykyxyxjzxzxizyzyzyxzyxkjiVV)()()(21212121212122112211221122211121-+---==+-==

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• Fonction plusieurs variables qui d pendent de deux ou plusieurs variables

deux variables

trois variables

Sa diff rentielle totale s crit

Exemple

Soit la fonction suivante

sa diff rentielle totale est :

f(x,y,z)=x -yz

df=2xdx-zdy-ydz.

On vient de d finir des fonctions alg briques plusieurs variables. Il existe aussi des

fonctions vectorielles plusieurs variables :

Op rateurs

Cest des grandeurs math matiques qui agissent sur ces fonctions.

L op rateur nabla qui est un vecteur qui agit sur les fonctions

Lorsquil agit sur les fonctions alg briques, les transforme en fonctions vectorielles

14

)(xfy=),(yxfg=),,(zyxfg=dzzzyxfdyyzyxfdxxzyxfzyxdfdg + + ==),,(),,(),,(),,(kzyxhjzyxgizyxfV),,(),,(),,(++=kzjyix + + =

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Et transforme les fonctions vectorielles en fonctions alg briques

Exercices

Exercice 1 Dans un rep re orthonorm R(o,x,y,z), soient les trois points suivants : A(-1,-2,1)

B(-3,1,4) C(-1,2,-3) .

1- donner lexpression des vecteur

,

et

.

2- D terminer les expressions de

,

et

.(

).

3- D terminer langle entre les vecteur (

) et

.

Solution

Exercice 2

On donne les vecteurs suivants :

,

,

1- Calculer leurs modules.

2- Calculer les composantes et les modules des vecteurs :

15

kzzyxfjyzyxfixzyxfzyxf + + = ),,(),,(),,(),,(),,(),,(zyxfgradzyxf= ))),,(),,(),,().(((.kzyxhjzyxgizyxfkzjyixV++ + + = VdivzzyxhyzyxgxzyxfV= + + = ),,(),,(),,(.OAOBOCOAOBOAOBOCOAOBOAOBOCkjiOA+--=2kjiOB43++-=kjiOC32-+-=kjiOBOA719-+-= 131= OBOA()32= OBOAOCkjir-+=321kjir2232+-=kjir3343+-=

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3- D terminer le vecteur unitaire

port par le vecteur

4- Calculer les produit scalaire et vectoriel des vecteurs

et

3- Calculer les produits

et

Solution

1-

2-

3-

4-

5-

,

.

Exercice3

On consid re les vecteurs suivants ;

16

321rrrA++=321rrrB-+=212rrC+=1r2r()CBA .()CBA .141941=++=r174492=++=r3499163=++=rkjiA429+-=10116481=++=AkjiB24-+=214161=++=Bkjic38+-=74=c7438kjiU+-=2266.21-=--=rrkjikjiCB331910318241--=--= ()41323890.-=-+= CBA()kjikjiCBA151337142331910429-+=---= ktjtitV3cossin1+-=ktjtitV432235-+=

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• Calculer le module de ces deux vecteurs

-Trouver les expressions des grandeurs :

et

Solution

17

()21.VVdtd()21VVdtd 2191tV+=82624925tttV++=()()332432124sin3cos3cos5sin156cos3sin5.tttttttttttttdtdVVdtd-+-+=--=()()()()kttttjtttitttVVcos5sin315sin29cos23442421++++-= ()()()()ktttttjtttttitttttVVdtdcos )153(sin)53(60cos2sin818sin2cos823434321++-++++--=

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Analyse dimensionnelle

La nature dune grandeur physique se reconnait par sa dimension. La dimension dune

grandeur physique G se note par lexpression . Une quation aux dimensions exprime les

relations entre les diff rentes grandeurs. Elle sert v rifier lhomog n it des expressions

litt rales, pouvant ainsi d tecter un certain nombre derreurs dans les calculs. Cette

homog n it peut tre v rifier si l galit dans une formule entre deux expressions de m me

dimension et aussi la somme des expressions de m me dimension.

Toutes les dimensions sexpriment partir des grandeurs fondamentales :

• La longueur L ;

• La masse M

• Le temps T

• Lintensit I

• La temp rature

La dimension de toute grandeur physique s crit sous la forme suivante :

= LaMbTcId e

Ou a, b,c,d et e sont des exposants rationnels

Connaissant la dimension dune grandeur on peut lui attribuer lunit adapt .

Exemples

Dimension dune vitesse qui est une distance par le temps

= LT-1

Dune force

Travail

=L2 MT-2

18

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Quelle est la dimension :

(a) de la constante de rappel dun ressort ?

Exercices

(b) du travail ?

(c) dun couple ?

(d) de la tension superficielle ?

(e) dun coefficient de frottement ?

(f) dun coefficient de viscosit ?

(g) du champ gravitationnel ?

(h) dun champ lectrique ?

(i) dun champ magn tique ?

(j) de E/B ?

Note : On utilisera les symboles suivants : M pour une masse, T pour un temps, L pour

une longueur, et Q pour une charge.

Exercice

La masse volumique dun cylindre de masse m, de rayon R et de longueur l est donn e par

la relation suivante :

1- En utilisant les dimensions, trouver les deux constantes x et y

2- En d duire lexpression exacte de la masse volumique .

Solution

La masse volumique est par d finition le rapport entre la masse et le volume c'est- -dire elle

admet comme dimension :

avec

Donc x=1 et -y-2=-3 donc y=1

2-

19

Rlmyxpr=[]3-=MLr[][][][]2 --==yxyxLMRlmr lRmpr=

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Calcul dincertitudes

1. D finition

La mesure dune grandeur est entach e dune erreur. Une erreur est la diff rence entre une

valeur mesur e et une vraie valeur. Le probl me est de trouver la vraie valeur qui reste

impossible valuer. La valeur num rique associ e la mesure nest connu que si elle est

valu e de lincertitude sur cette valeur.

Soit une mesure dune grandeur A. le r sultat est donn sous la forme suivante

A= (a A) unit de A

A le r sultats de la mesure

a : la valeur num rique de la mesure

A : lincertitude de la mesure

Exemple

On d sire mesurer une longueur L. Cette mesure est r alis e laide dune r gle; la valeur

num rique obtenue est 5.32 m et on suppose que lincertitude de la mesure est valu e 0.02

m. donc le r sultat de la mesure est donn e sous la forme

L= (5.32 0.02) m.

2. D termination dune incertitude

Sil sagit dune s rie de mesure ou dune seule les r sultats ne sont pas forcement les m mes.

Dans le cas dune s rie de mesure, lincertitude est valu e de la fa on suivante :

On proc de n mesures ind pendantes dune m me grandeur physique A avec les m mes

conditions exp rimentales. On d signe par ai les valeurs num riques obtenues avec i variant

de 1 n. la valeur num rique de la mesure a est alors gale la moyenne arithm tique de

lensemble des valeurs obtenues :

20

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lincertitude de la mesure A est le rapport de l cart type exp rimentale Sexp par la racine

carr du nombre de mesure n.

3. Propagation des incertitudes

La vitesse se d duit apr s la mesure de deux grandeur qui sont la distance et un temps. Il y a des

grandeurs de mesure qui sexprime en fonction de plusieurs grandeurs mesurables. On dit alors que les

incertitudes sur ces grandeurs se propage sur la mesure de la grandeur quon cherche a d terminer, cas

de la vitesse.

Cas dune somme A=B+C-D

Lincertitude sur A est alors

Cas dun produit ou dun quotient

On applique la fonction logarithme cette quation

21

===niianaa1_1 =--=niiaanS1exp)(11nSAexp=D DCBAD+D+D=DcbatzyxkF)(.+=))(.ln(lncbatzyxkF+=

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On passe au d riv de cette quation, avec k constant,

Enfin, on remplace les l ments diff rentiels par les incertitudes sur les grandeurs associ es et

on transforme tous les signes n gatifs en signes positifs.

On obtient

Exemple

On cherche d terminer lincertitude sur la mesure de lindice n qui est donn e par la formule

suivante :

On utilise le logarithme de cette derni re expression, on aura alors :

22

cbatzyxkF)ln(.lnlnln+-+=)ln(.lnlnlnlntzcybxakF+-++=tzdtdzcydybxdxaFdF++-+=tztzcyybxxaFF+D+D+D+D=D)2sin(2)sin(ADAnm+=)2sin(ln2)sin(lnlnADAnm-+=

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On passe la diff rentielle logarithmique rep r e par la lettre d, on a donc :

Finalement lincertitude de lindice de r fraction est donn e par la formule analytique

suivante

23

)2sin()2sin(2)sin(2)sin(AAdDADAdndnmm -+ += +D+ -+D=D)2(cotsin2)2sin(cot5.0)2sin(cot2mmmDAgDAgDAgAnn

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USTO

I- D finition

Cin matique

La cin matique est

l tude des mouvements des masses, quantit de

la mati re,

ind pendamment des causes qui les engendrent

1- Le point mat riel

On entend par un point mat riel, la mati re qui est concentr en son centre de gravit , sans

dimension g om trique dont on n glige le mouvement de rotation autour de soi-m me.

R f rentiel

Le mouvement dun point est un concept relatif. En dautres termes, on ne peut pas dire

quun corps est en mouvement (ou au repos) sans pr ciser par rapport quoi. Do la

n cessit de d finir un rep re dot dun chronom tre, pour connaitre la position du point par

rapport ce rep re et linstant correspondant cette position (mesure du temps). Il sagit dun

rep re dinertie quon nomme r f rentiel.

Selon la nature du mouvement du point, sa position sera localis e par lun des syst mes a

savoir : cart sien, polaire, cylindrique ou sph rique.

2- Vecteur position

24

kzjyixOM++=

M canique du point Cin matique

USTO

x est la projection de M sur laxe (ox), y sur laxe (oy) et z sur laxe (oz), on les nomme les

coordonn es de M, comme le point M est en mouvement donc sa position varie dans le temps

ces coordonn es sont fonction du temps.

x=f(t) y=g(t) z=h(t)

Quon appelle les quations horaires.

3- Vecteur d placement

Soient deux points M1 linstant t et un autre M2 linstant (t+dt), on peut d finir trois

chemin diff rents entre ces deux points, qui correspondent au m me vecteur

Cest le vecteur d placement form par lorigine M1 et lextr mit M2, qui d fini un

mouvement qui se fait du point M1 au point M2.

est le vecteur unitaire port par le vecteur

4- Trajectoire

Cest lensemble des points occup s par un mobil tous les instants. Math matiquement cest

une relation liant les coordonn s x, y et z entre eux ind pendamment du temps. Cette quation

est obtenue en liminant le temps entre les diff rentes coordonn es ou quations horaires.

y=f(x,z) ou x=g(y,z) sinon z=h(x,y)

25

1221OMOMMM-=UMMMM2121=U21MM

M canique du point Cin matique

USTO

5- Vecteur vitesse

La vitesse est une grandeur qui caract rise un mouvement, cest la variation de la position par

rapport au temps. Par ailleurs, cette grandeur est vectorielle car le mouvement dun point se

caract rise par une direction et un sens.

On distingue deux vitesses, une vitesse moyenne et une vitesse instantan e.

a- Vitesse moyenne

La vitesse moyenne est la variation de la distance globale par rapport au temps coul . Un

mobile qui se d place dOran vers Alger par autoroute, il parcoure 400km pendant 4heures.

On d finit une vitesse moyenne de 100km/h en module, dOran vers Alger en sens. Cette

vitesse moyenne ne prend en consid ration que le point de d part et darriv . En r sumer le

vecteur vitesse moyenne dans ce cas est d finie par un module de 100Km/h, un support qui

est lautoroute et un sens dOran vers Alger.

Soit le point M1 linstant t1 et le point M2 linstant t2

Avec

b- Vitesse instantan e

En r alit ce mouvement ne se fait pas une vitesse constante, chaque instant on aura

une situation de la vitesse, on parlera de vitesse instantan e. Cest la limite de la vitesse

moyenne lorsque la diff rence du temps est tr s petite cela veut dire quelle tend vers z ro.

26

tMMVmD=21

M canique du point Cin matique

USTO

Soit une fonction y=f(x) ; on appelle sa d riv e la quantit gale

Ce nest autre que la d finition de la d riv e dune fonction.

Le vecteur vitesse est donc la d riv e du vecteur position par rapport au temps. Il en r sulte

que le vecteur vitesse est tangent la trajectoire.

Expression du vecteur position en coordonn es cart siennes

Le vecteur vitesse du point M sobtient en d rivant son vecteur position par rapport au temps :

Sa norme est

27

dtOMdtOMOMtMMVvttmt=D-=D== D D D2202100limlimlimxxfxxfxfxD-D+= D)()(lim)('0kzjyixOM++=kdtdzjdtdyidtdxv++=222 + + =dtdzdtdydtdxv

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USTO

6- Vecteur acc l ration

Le vecteur acc l ration est une grandeur d volution qui mesure la variation du vecteur

vitesse, en norme et en direction.

La norme du vecteur acc l ration, appel e acc l ration et not e , a la dimension dun rapport

entre une distance par le carr du temps LT-2

II- Exemple de mouvement

Un mouvement peut se faire suivant des trajectoires rectilignes ou curvilignes ou suivant la

combinaison des deux..

1- Mouvement rectiligne

Dans le r f rentiel d tude, la trajectoire est une portion de droite. Il est vident alors de

rep rer le point M sur cette droite confondue, par exemple, avec laxe Ox des coordonn es

cart siennes. Il ny a alors quune quation horaire x(t) et une seule composante pour les

vecteurs vitesses

Ou le module de la vitesse sexprime

28

dtOMddtvd==gkdtzdjdtydidtxd ++=gidtdxv=dtdxv=

M canique du point Cin matique

USTO

Cest une quation diff rentielle qui permet de donner linformation sur le mouvement et sa

nature.

Si la vitesse est constante donc

Il sagit de l quation horaire dun mouvement rectiligne uniforme.

• Dans le cas o la vitesse varie en fonction du temps, elle sexprime de la fa on suivante :

Si est constante alors :

29

==ttttxxdtvvdtdx000)(00ttvxx-=-00)(xttvx+-= dtdv=g ==ttttvvdtdtdv000gg00)(vttv+-= g +-==ttttxxdtvttvdtdx000))((00g)()() (210000200ttvtttttxx-+---=-gg0000)() (21xttvttx+-+-=g

M canique du point Cin matique

USTO

Cest le mouvement uniform ment vari . Ce mouvement peut tre acc l r ou retard . Dans

le premier cas le produit de la vitesse et lacc l ration doit tre positif, dans le deuxi me cas

le m me produit doit tre n gatif

2- Mouvement curviligne

a) Base de Frenet (intrins que)

Il sagit dun mouvement qui admet comme trajectoire une trajectoire curviligne. La

courbure de la trajectoire n cessite la connaissance du rayon de courbure et le centre de

courbure.

Ce mouvement peut tre mod lis comme un cercle de rayon R, qui d pend du temps

(variable), de centre C et un angle exprim en radian. La mesure s de la longueur de larc de

cercle intercept par cet angle est donn e par : s = R . Langle appara t comme le rapport

de deux longueurs et est sans dimension. Cette grandeur s sappelle la coordonn e curviligne.

Par la suite on utilisera comme rayon R

Soit un mobile M qui suit une trajectoire curviligne, il parcourt un arc

La vitesse instantan e est d finie par

30

tttMMsD+=))

M canique du point Cin matique

USTO

Cette vitesse peut tre crite en fonction dun vecteur unitaire

Tel que

Il est tangent la trajectoire au point M

En d rivant cette vitesse on retrouve lexpression de lacc l ration. La vitesse est le produit de

deux termes qui d pendent du temps :

Comme le vecteur unitaire est fonction dun param tre qui lui-m me d pend du temps, pour

cela on proc dera de la fa on suivante :

Avec

Do

31

dtOMdv=tUvv=jiUtaasincos+=dtUdvUdtdvtt+=gdtdddUdtdUttaa=rra11vdtdsdtd==

M canique du point Cin matique

USTO

Tel que

Lacc l ration a deux composantes, une suivant un axe tangentiel au mouvement et une

composante suivant un axe normale au mouvement et orient vers le centre de courbure. cest

la r sultante de deux acc l ration.

On remarque que

la vitesse et

lacc l ration s crivent dans une nouvelle base

quon nomme base de Frenet ou base intrins que.

Propri t s

Dans le cas dun mouvement curviligne uniforme

32

ntUvvjidtdUrraa=+-=1)cossin(jiUnaacossin+-=ntUvUdtdvrg +=),(ntUU

M canique du point Cin matique

USTO

Lacc l ration se r duit un seul terme, contrairement au mouvement rectiligne uniforme ou

on a aucune acc l ration.

Dans le cas dun mouvement rectiligne le rayon de courbure tend vers linfini ,

lacc l ration se r duit une composante tangentielle.

D termination du rayon de courbure

on va faire le produit vectoriel entre lacc l ration et la vitesse

Comme le produit vectoriel est un vecteur on prendra son module, ainsi on peut d duire le

rayon de courbure

On remarque que le rayon de courbure est une grandeur alg brique, il peut etre calculer dans

nimporte quelle base.

Centre de courbure

33

tNtUVUVUdtdVV += ) (rg()tNUUVV = rg3 ccyxC

M canique du point Cin matique

USTO

Avec

Le centre de courbure est un point quon cherche rep rer dans une base, pour cela il est

judicieux de trouver lexpression du vecteur position de ce point.

b) La base polaire

34

nUOMMCOMOCr+=+=dtUdvUUvdtUdtnntrr= =dtvvddtUdt =dtvvdvOMOC += r

M canique du point Cin matique

USTO

Une position se rep re en coordonn es cart siennes par

On peut aussi exprimer ce vecteur par un vecteur unitaire

Tel que

On peut rep rer la position M par une coordonn e r (distance entre lorigine du rep re choisi

et la position M) et angle orient que fait le rayon r avec laxe des abscisses (ox)

Il existe une relation entre ces coordonn es quon nomme coordonn es polaires et les

coordonn es cart sienne

Expression de la vitesse

35

jyixOM+=rUOMOM=rUrOM=jiUr.sin.cosqq+=qcosrx=qsinry=22yxr+=xytg=qdtUdrUdtdrvrr+=

M canique du point Cin matique

USTO

posons

On remarque que la vitesse sexprime dans une autre base, m me chose pour lacc l ration

36

qqqqqUdtddtdjidtdUr=+-=)cossin(qqUdtdrUdtdrvr+=qqUrUrvr +=dtvd=gdtUdrUrrdtUdrUrrrqqqqqg ++++=)(

M canique du point Cin matique

USTO

On d fini une base quon appelle base polaire qui est

Lutilit de cette base est de faciliter l tude des mouvements. On remarque quon a un

mouvement qui se s pare en deux mouvement, un suivant le vecteur

quon nomme

mouvement radiale et lautre suivant le vecteur

quon appelle mouvement angulaire ou

orthoradiale

c) Base cylindrique

De la m me mani re, pour caract riser un mouvement dans un plan, il es plus facile dutiliser

les coordonn es polaire, par contre si le mouvement se fait dans lespace, le mouvement

suivant la troisi me dimension peut se faire rectilignement ou circulairement. Dans le premier

cas on utilise les coordonn es cylindriques dans le deuxi me cas on utilise des coordonn es

sph riques.

37

rUdtddUddtUd -==qqqqqqqqqgUrrUrrr)2( )( ++-=),,(qUUOrrUqU

M canique du point Cin matique

USTO

On peut rep rer le point M par le vecteur

M cest la projection de M sur le plan (xoy)

De la m me on calcule la vitesse et lacc l ration

Un mouvement qui se fait suivant les trois vecteurs, on introduit la base cylindrique

38

kzOmmMOmOM+=+=kzUrUrvr ++=qqkzUrrUrrr ++-=qqqqg)2( )(),,,(kUUOrq

M canique du point Cin matique

USTO

Exercices

Exercice 1 :

un point mat riel se d place dans le plan (xOy) suivant les quations horaires suivantes :

x(t)= t et y(t)=t

-donner l quation de mouvement du mobile

• calculer la vitesse ainsi que lacc l ration du pt M.

Solution

• y=x2 quation de la trajectoire

-

-

Exercice2

Soit un point M dans un rep re orthonorm , on le repr sente par son vecteur position

tel que a et b deux constantes positives.

1) quelle est la dimension de a et b

2) calculer lincertitude relative sur les coordonn es de M sachant que lincertitude relative

sur a et b est de 10-2 ?

Exercice3

Un joueur de base ball frappe une balle qui atteint une vitesse de 14m/s et fait un angle =30

avec lhorizontale. Un autre joueur distant de x=30.5m du premier et dans le m me plan de la

trajectoire, commence courir quand le premier frappe la balle.

1- Calculer la vitesse maximale pour que le deuxi me joueur puisse attraper la balle, quand

elle est une hauteur de 2.44m, sachant que cette balle tait 0.6m au moment de sa frappe.

2- Quelle est la distance que doit parcourir.

39

jtiv2+=ja2=jbtiattrOM2)(2-==

M canique du point Cin matique

USTO

Solution

1- Les quations horaires de la balle sont :

Celles du deuxi me joueur sont :

et

Pour que le deuxi me joueur puisse attraper la balle il faut que x1=x2 et y1=y2

De ces deux derni res quations on d duit que le temps a deux valeurs t=1.17s et t=0.25s

donc on aura deux vitesses v=13.4m/s et v=109.36m/s. et la vitesse minimale est 13.4m/s.

2- la distance minimale parcourue est d=15.7m

Exercice4

Lacc l ration dun point mat riel M est donn e par la relation suivante :

A t=0s la position et la vitesse du mobile sont (1 ; (-1/w ) ;0) et (1 ;0 ;-1) respectivement.

Donner les expressions des vecteurs vitesses et position du mobile linstant t.

Solution

Pour trouver la vitesse il suffit dint grer lacc l ration m me chose pour la position cest

dint grer la vitesse :

40

9.0)sin(21.)cos(02101++-==tvgtytvxaa5.302+-=vtx44.22=y9.0)sin(2144.2)cos(5.30020++-==+-tvgttvvtaaktjwtiet2cos++=gxttxtxcedtevedtdv+== =

M canique du point Cin matique

USTO

A t=0 vx=1 donc cx=0 do

A t=0 vy=0 donc cy=0 do

A t=0 vy=-1 donc cz=-1 do

donc

La vitesse s crit

Pour trouver le vecteur position il suffit dint grer la vitesse.

A t=0 x=1 donc cx=0 do

A t=0 y=-1/w donc cy=0 do

A t=0 z=0 donc cz=0 do

donc

41

txev=yyycwtwdtwtvwtdtdv+== = sin1coscoswtwvysin1=zzzctdttvtdtdv+== = 331 1313-=tvzktjwtwievt -++=131sin13xtttcedtexedtdx'+== = tex=ycwtwdtwtwywtdtdy'cos 1sin1cos+-== = wtwycos 1-=zcttdttztdtdz'121131131433+ -= -= -= ttz-=4121kttjwtwieOMt -+-=4121cos 1

M canique du point Cin matique

USTO

Exercice 5

un point mat riel se d place sur une ligne droite suivant l quation horaire suivante :

X(t)=-6t +16t (t en seconde)

Quelle est la position de ce corps t=1s

A quelle instant t, il passe par la position O(origine)

Quelle est la vitesse moyenne dans lintervalle de temps compris entre 0s et 2 s

Quelle est lexpression de la vitesse moyenne dans lintervalle de temps compris t0

<t<t+t0

Donner lexpression de la vitesse instantan e, d duire sa valeur a t=0s

Quelle est lexpression de lacc l ration moyenne durant le temps t0 <t<t+t0

Donner lexpression de lacc l ration instantan e.

Solution

• X(1)=10

• X=0 - 6t +16t=0 il passe par lorigine t=0s et t=8/3=2.7s

-

-

-

-

-

v(0)=16m/s

Exercice 6

La position dun mobile en fonction du temps est indiqu e sur la figure ci-dessous. Indiquer :

1/ en quel endroit le mouvement se fait dans la direction des X positifs ou n gatifs ?

2/ quel instant le mouvement est retard ou acc l r ?

42

smtxtxvmoy402)0()2(=-=-==ttttxttxvmoyD--=D-D+=61216)()(000ttvvmoyt1216)(lim0-== D21202)0()2(smtvtvmoy-=-=-==g12lim0-== Dggmoyt

M canique du point Cin matique

USTO

3/ quel instant le corps passe par lorigine ?

4/ quel instant la vitesse est nulle ?

5/ faire un graphique de la vitesse et de lacc l ration en fonction du temps,

6/ estimer dapr s le graphique, la vitesse moyenne pour les intervalles de temps :

1s < t <1,8s , 1s< t< 2, 2s , 1s < t< 3s

Exercice 7

On se propose d tudier le mouvement dun point mat riel dans le syst me des coordonn es

polaires, il d crit une trajectoire suivant une loi suivante : r=2acos avec =wt (a et w

tant des constantes) .

1- D terminer la vitesse et lacc l ration de M ainsi que leurs normes, dans le syst me

des coordonn es polaires

2- D terminer la vitesse et lacc l ration de M ainsi que leur normes, dans le syst me

des coordonnes intrins ques ( Frenet).

3- D terminer le rayon de courbure

4- D terminer la vitesse et lacc l ration de M ainsi que leurs normes, dans le syst me

des coordonn es cart siennes.

Solution

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M canique du point Cin matique

USTO

-

-

D termination du rayon de courbure

avec

do =a

Cercle de rayon a

r=2acos avec x=rcos do r2=2ax

comme r2=x +y si on remplace lexpression de r dans cette derni re quation on aura

(x-a)2+y2=a2

cest l quation dun cercle de rayon a et de centre (a,0).

-

Exercice 8

Un point P se d place dans un plan Oxy, ses coordonn es linstant t sont donn es par :

x = 20a (t - t ) ; y = 10b (t - t ) avec : a = 1 USI, b = 1 USI et t = 1USI

a) quelle est la dimension de t, a et b

b) Trouver l quation cart sienne de la trajectoire, repr senter la courbe

correspondante entre 0 et 4s;

c) Calculer les composantes cart siennes de la vitesse et de lacc l ration ainsi que

leurs modules

44

()qUwtUwtawvr)cos()sin(2+-=awv2= ()qgUwtUwtawr)sin(cos4+-=ntntUvUdtdvggrg+= +=20=tg222222224awnntnt= =- +=gggggggvv =gr3328w...