Mécanique du Point

Il existe des fonctions algébriques et des fonctions vectorielles à plusieurs variables

- Fonction algébrique à une seule variable, c’est une fonction qui ne dépend que d’une

seule variable

13

kzjyixkzjyixVV22211121kxyyxjzxxziyzzyVV)()()(21212121212121kxyyxjxzzxiyzzykyxyxjzxzxizyzyzyxzyxkjiVV)()()(21212121212122112211221122211121

Mécanique du point Outils mathématiques USTO

- Fonction à plusieurs variables qui dépendent de deux ou plusieurs variables

deux variables

trois variables

Sa différentielle totale s’écrit

Exemple

Soit la fonction suivante

sa différentielle totale est :

f(x,y,z)=x²-yz

df=2xdx-zdy-ydz.

On vient de définir des fonctions algébriques à plusieurs variables. Il existe aussi des

fonctions vectorielles à plusieurs variables :

Opérateurs

C’est des grandeurs mathématiques qui agissent sur ces fonctions.

L opérateur nabla qui est un vecteur qui agit sur les fonctions

Lorsqu’il agit sur les fonctions algébriques, les transforme en fonctions vectorielles

14

)(xfy),(yxfg),,(zyxfgdzzzyxfdyyzyxfdxxzyxfzyxdfdg),,(),,(),,(),,(kzyxhjzyxgizyxfV),,(),,(),,(kzjyix

Mécanique du point Outils mathématiques USTO

Et transforme les fonctions vectorielles en fonctions algébriques

Exercices

Exercice 1 Dans un repère orthonormé R(o,x,y,z), soient les trois points suivants : A(-1,-2,1)

B(-3,1,4) C(-1,2,-3) .

1- donner l’expression des vecteur

,

et

.

2- Déterminer les expressions de



, 



 et

.(



).

3- Déterminer l’angle entre les vecteur (



) et

.

Solution

Exercice 2

On donne les vecteurs suivants :

,

,

1- Calculer leurs modules.

2- Calculer les composantes et les modules des vecteurs :

15

kzzyxfjyzyxfixzyxfzyxf),,(),,(),,(),,(),,(),,(zyxfgradzyxf))),,(),,(),,().(((.kzyxhjzyxgizyxfkzjyixVVdivzzyxhyzyxgxzyxfV),,(),,(),,(.OAOBOCOAOBOAOBOCOAOBOAOBOCkjiOA2kjiOB43kjiOC32kjiOBOA719131OBOA32OBOAOCkjir321kjir2232kjir3343

Mécanique du point Outils mathématiques USTO

3- Déterminer le vecteur unitaire

porté par le vecteur

4- Calculer les produit scalaire et vectoriel des vecteurs

et

3- Calculer les produits

et

Solution

1-

2-

3-

4-

5-

,

.

Exercice3

On considère les vecteurs suivants ;

16

321rrrA321rrrB212rrC1r2rCBA.CBA.141941r174492r3499163rkjiA42910116481AkjiB24214161Bkjic3874c7438kjiU2266.21rrkjikjiCB33191031824141323890.CBAkjikjiCBA151337142331910429ktjtitV3cossin1ktjtitV432235

Mécanique du point Outils mathématiques USTO

- Calculer le module de ces deux vecteurs

-Trouver les expressions des grandeurs :

et

Solution

17

21.VVdtd21VVdtd2191tV82624925tttV332432124sin3cos3cos5sin156cos3sin5.tttttttttttttdtdVVdtdkttttjtttitttVVcos5sin315sin29cos23442421ktttttjtttttitttttVVdtdcos²)153(sin)53(60cos2sin818sin2cos823434321

Mécanique du point Outils mathématiques USTO

Analyse dimensionnelle

La nature d’une grandeur physique se reconnait par sa dimension. La dimension d’une

grandeur physique G se note par l’expression [G]. Une équation aux dimensions exprime les

relations entre les différentes grandeurs. Elle sert à vérifier l’homogénéité des expressions

littérales, pouvant ainsi détecter un certain nombre d’erreurs dans les calculs. Cette

homogénéité peut être vérifier si l’égalité dans une formule entre deux expressions de même

dimension et aussi la somme des expressions de même dimension.

Toutes les dimensions s’expriment à partir des grandeurs fondamentales :

- La longueur L ;

- La masse M

- Le temps T

- L’intensité I

- La température θ

La dimension de toute grandeur physique s’écrit sous la forme suivante :

[G]= LaMbTcId θe

Ou a, b,c,d et e sont des exposants rationnels

Connaissant la dimension d’une grandeur on peut lui attribuer l’unité adapté.

Exemples

Dimension d’une vitesse qui est une distance par le temps [v]= LT-1

D’une force

Travail

[W]=L2 MT-2

18

Mécanique du point Outils mathématiques USTO

Quelle est la dimension :

(a) de la constante de rappel d’un ressort ?

Exercices

(b) du travail ?

(c) d’un couple ?

(d) de la tension superficielle ?

(e) d’un coefficient de frottement ?

(f) d’un coefficient de viscosité ?

(g) du champ gravitationnel ?

(h) d’un champ électrique ?

(i) d’un champ magnétique ?

(j) de E/B ?

Note : On utilisera les symboles suivants : M pour une masse, T pour un temps, L pour

une longueur, et Q pour une charge.

Exercice

La masse volumique ρ d’un cylindre de masse m, de rayon R et de longueur l est donnée par la relation suivante :

1- En utilisant les dimensions, trouver les deux constantes x et y

2- En déduire l’expression exacte de la masse volumique ρ.

Solution

La masse volumique est par définition le rapport entre la masse et le volume c'est-à-dire elle

admet comme dimension :

avec

Donc x=1 et -y-2=-3 donc y=1

2-

19

²Rlmyx3ML2²yxyxLMRlm²lRm

Mécanique du point Outils mathématiques USTO

Calcul d’incertitudes

1. Définition

La mesure d’une grandeur est entachée d’une erreur. Une erreur est la différence entre une

valeur mesurée et une vraie valeur. Le problème est de trouver la vraie valeur qui reste

impossible à évaluer. La valeur numérique associée à la mesure n’est connu que si elle est

évaluée de l’incertitude sur cette valeur.

Soit une mesure d’une grandeur A. le résultat est donné sous la forme suivante

A= (a±ΔA) unité de A

A le résultats de la mesure

a : la valeur numérique de la mesure

ΔA : l’incertitude de la mesure

Exemple

On désire mesurer une longueur L. Cette mesure est réalisée à l’aide d’une règle; la valeur

numérique obtenue est 5.32 m et on suppose que l’incertitude de la mesure est évaluée à 0.02

m. donc le résultat de la mesure est donnée sous la forme

L= (5.32±0.02) m.

2. Détermination d’une incertitude

S’il s’agit d’une série de mesure ou d’une seule les résultats ne sont pas forcement les mêmes.

Dans le cas d’une série de mesure, l’incertitude est évaluée de la façon suivante :

On procède à n mesures indépendantes d’une même grandeur physique A avec les mêmes

conditions expérimentales. On désigne par ai les valeurs numériques obtenues avec i variant

de 1 à n. la valeur numérique de la mesure a est alors égale à la moyenne arithmétique de

l’ensemble des valeurs obtenues :

20

Mécanique du point Outils mathématiques USTO

l’incertitude de la mesure ΔA est le rapport de l’écart type expérimentale Sexp par la racine

carré du nombre de mesure n.

3. Propagation des incertitudes

La vitesse se déduit après la mesure de deux grandeur qui sont la distance et un temps. Il y a des

grandeurs de mesure qui s’exprime en fonction de plusieurs grandeurs mesurables. On dit alors que les

incertitudes sur ces grandeurs se propage sur la mesure de la grandeur qu’on cherche a déterminer, cas

de la vitesse.

Cas d’une somme A=B+C-D

L’incertitude sur A est alors

Cas d’un produit ou d’un quotient

On applique la fonction logarithme à cette équation

21

niianaa1_1niiaanS1exp)(11nSAexp²²²DCBAcbatzyxkF)(.))(.ln(lncbatzyxkF

Mécanique du point Outils mathématiques USTO

On passe au dérivé de cette équation, avec k constant,

Enfin, on remplace les éléments différentiels par les incertitudes sur les grandeurs associées et

on transforme tous les signes négatifs en signes positifs.

On obtient

Exemple

On cherche à déterminer l’incertitude sur la mesure de l’indice n qui est donnée par la formule

suivante :

On utilise le logarithme de cette dernière expression, on aura alors :

22

cbatzyxkF)ln(.lnlnln)ln(.lnlnlnlntzcybxakFtzdtdzcydybxdxaFdFtztzcyybxxaFF)2sin(2)sin(ADAnm)2sin(ln2)sin(lnlnADAnm

Mécanique du point Outils mathématiques USTO

On passe à la différentielle logarithmique repérée par la lettre d, on a donc :

Finalement l’incertitude de l’indice de réfraction est donnée par la formule analytique suivante

23

)2sin()2sin(2)sin(2)sin(AAdDADAdndnmm)2(cotsin2)2sin(cot5.0)2sin(cot2mmmDAgDAgDAgAnn

Mécanique du point Cinématique

USTO

I- Définition

Cinématique

La cinématique est

l’étude des mouvements des masses, quantité de

la matière,

indépendamment des causes qui les engendrent

1- Le point matériel

On entend par un point matériel, la matière qui est concentré en son centre de gravité, sans

dimension géométrique dont on néglige le mouvement de rotation autour de soi-même.

Référentiel

Le mouvement d’un point est un concept relatif. En d’autres termes, on ne peut pas dire

qu’un corps est “en mouvement” (ou “au repos”) sans préciser par rapport à quoi. D’où la

nécessité de définir un repère doté d’un chronomètre, pour connaitre la position du point par

rapport à ce repère et l’instant correspondant à cette position (mesure du temps). Il s’agit d’un

repère d’inertie qu’on nomme référentiel.

Selon la nature du mouvement du point, sa position sera localisée par l’un des systèmes a

savoir : cartésien, polaire, cylindrique ou sphérique.

2- Vecteur position

24

kzjyixOM

Mécanique du point Cinématique

USTO

x est la projection de M sur l’axe (ox), y sur l’axe (oy) et z sur l’axe (oz), on les nomme les

coordonnées de M, comme le point M est en mouvement donc sa position varie dans le temps

ces coordonnées sont fonction du temps.

x=f(t) y=g(t) z=h(t)

Qu’on appelle les équations horaires.

3- Vecteur déplacement

Soient deux points M1 à l’instant t et un autre M2 à l’instant (t+dt), on peut définir trois

chemin différents entre ces deux points, qui correspondent au même vecteur

C’est le vecteur déplacement formé par l’origine M1 et l’extrémité M2, qui défini un

mouvement qui se fait du point M1 au point M2.

est le vecteur unitaire porté par le vecteur

4- Trajectoire

C’est l’ensemble des points occupés par un mobil à tous les instants. Mathématiquement c’est

une relation liant les coordonnés x, y et z entre eux indépendamment du temps. Cette équation

est obtenue en éliminant le temps entre les différentes coordonnées ou équations horaires.

y=f(x,z) ou x=g(y,z) sinon z=h(x,y)

25

1221OMOMMMUMMMM2121U21MM

Mécanique du point Cinématique

USTO

5- Vecteur vitesse

La vitesse est une grandeur qui caractérise un mouvement, c’est la variation de la position par

rapport au temps. Par ailleurs, cette grandeur est vectorielle car le mouvement d’un point se

caractérise par une direction et un sens.

On distingue deux vitesses, une vitesse moyenne et une vitesse instantanée.

a- Vitesse moyenne

La vitesse moyenne est la variation de la distance globale par rapport au temps écoulé. Un

mobile qui se déplace d’Oran vers Alger par autoroute, il parcoure 400km pendant 4heures.

On définit une vitesse moyenne de 100km/h en module, d’Oran vers Alger en sens. Cette

vitesse moyenne ne prend en considération que le point de départ et d’arrivé. En résumer le

vecteur vitesse moyenne dans ce cas est définie par un module de 100Km/h, un support qui

est l’autoroute et un sens d’Oran vers Alger.

Soit le point M1 à l’instant t1 et le point M2 à l’instant t2

Avec

b- Vitesse instantanée

En réalité ce mouvement ne se fait pas à une vitesse constante, à chaque instant on aura

une situation de la vitesse, on parlera de vitesse instantanée. C’est la limite de la vitesse

moyenne lorsque la différence du temps est très petite cela veut dire qu’elle tend vers zéro.

26

tMMVm21

Mécanique du point Cinématique

USTO

Soit une fonction y=f(x) ; on appelle sa dérivée la quantité égale à

Ce n’est autre que la définition de la dérivée d’une fonction.

Le vecteur vitesse est donc la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Il en résulte

que le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.

Expression du vecteur position en coordonnées cartésiennes

Le vecteur vitesse du point M s’obtient en dérivant son vecteur position par rapport au temps :

Sa norme est

27

dtOMdtOMOMtMMVvttmt2202100limlimlimxxfxxfxfx)()(lim)('0kzjyixOMkdtdzjdtdyidtdxv222dtdzdtdydtdxv

Mécanique du point Cinématique

USTO

6- Vecteur accélération

Le vecteur accélération est une grandeur d’évolution qui mesure la variation du vecteur

vitesse, en norme et en direction.

La norme du vecteur accélération, appelée accélération et notée γ, a la dimension d’un rapport entre une distance par le carré du temps LT-2

II- Exemple de mouvement

Un mouvement peut se faire suivant des trajectoires rectilignes ou curvilignes ou suivant la

combinaison des deux..

1- Mouvement rectiligne

Dans le référentiel d’étude, la trajectoire est une portion de droite. Il est évident alors de

repérer le point M sur cette droite confondue, par exemple, avec l’axe Ox des coordonnées

cartésiennes. Il n’y a alors qu’une équation horaire x(t) et une seule composante pour les

vecteurs vitesses

Ou le module de la vitesse s’exprime

28

²²dtOMddtvdkdtzdjdtydidtxd²²²²²²idtdxvdtdxv

Mécanique du point Cinématique

USTO

C’est une équation différentielle qui permet de donner l’information sur le mouvement et sa nature.

Si la vitesse est constante donc

Il s’agit de l’équation horaire d’un mouvement rectiligne uniforme.

- Dans le cas où la vitesse varie en fonction du temps, elle s’exprime de la façon suivante :

Si γ est constante alors :

29

ttttxxdtvvdtdx000)(00ttvxx00)(xttvxdtdvttttvvdtdtdv00000)(vttvttttxxdtvttvdtdx000))((00)()()²(210000200ttvtttttxx0000)()²(21xttvttx

Mécanique du point Cinématique

USTO

C’est le mouvement uniformément varié. Ce mouvement peut être accéléré ou retardé. Dans

le premier cas le produit de la vitesse et l’accélération doit être positif, dans le deuxième cas

le même produit doit être négatif

2- Mouvement curviligne

a) Base de Frenet (intrinsèque)

Il s’agit d’un mouvement qui admet comme trajectoire une trajectoire curviligne. La

courbure de la trajectoire nécessite la connaissance du rayon de courbure et le centre de

courbure.

Ce mouvement peut être modélisé comme un cercle de rayon R, qui dépend du temps

(variable), de centre C et un angle α exprimé en radian. La mesure s de la longueur de l’arc de

cercle intercepté par cet angle est donnée par : s = R α. L’angle α apparaît comme le rapport

de deux longueurs et est sans dimension. Cette grandeur s s’appelle la coordonnée curviligne.

Par la suite on utilisera ρ comme rayon R

Soit un mobile M qui suit une trajectoire curviligne, il parcourt un arc

La vitesse instantanée est définie par

30

tttMMs

Mécanique du point Cinématique

USTO

Cette vitesse peut être écrite en fonction d’un vecteur unitaire

Tel que

Il est tangent à la trajectoire au point M

En dérivant cette vitesse on retrouve l’expression de l’accélération. La vitesse est le produit de

deux termes qui dépendent du temps :

Comme le vecteur unitaire est fonction d’un paramètre qui lui-même dépend du temps, pour

cela on procèdera de la façon suivante :

Avec

D’où

31

dtOMdvtUvvjiUtsincosdtUdvUdtdvttdtdddUdtdUtt11vdtdsdtd

Mécanique du point Cinématique

USTO

Tel que

L’accélération a deux composantes, une suivant un axe tangentiel au mouvement et une

composante suivant un axe normale au mouvement et orienté vers le centre de courbure. c’est

la résultante de deux accélération.

On remarque que

la vitesse et

l’accélération s’écrivent dans une nouvelle base

qu’on nomme base de Frenet ou base intrinsèque.

Propriétés

 Dans le cas d’un mouvement curviligne uniforme

32

ntUvvjidtdU1)cossin(jiUncossinntUvUdtdv²),(ntUU

Mécanique du point Cinématique

USTO

L’accélération se réduit à un seul terme, contrairement au mouvement rectiligne uniforme ou

on a aucune accélération.

 Dans le cas d’un mouvement rectiligne le rayon de courbure tend vers l’infini ,

l’accélération se réduit à une composante tangentielle.

Détermination du rayon de courbure

on va faire le produit vectoriel entre l’accélération et la vitesse

Comme le produit vectoriel est un vecteur on prendra son module, ainsi on peut déduire le

rayon de courbure

On remarque que le rayon de courbure est une grandeur algébrique, il peut etre calculer dans

n’importe quelle base.

 Centre de courbure

33

tNtUVUVUdtdVV)²(tNUUVV3ccyxC

Mécanique du point Cinématique

USTO

Avec

Le centre de courbure est un point qu’on cherche à repérer dans une base, pour cela il est

judicieux de trouver l’expression du vecteur position de ce point.

b) La base polaire

34

nUOMMCOMOCdtUdvUUvdtUdtnntdtvvddtUdtdtvvdvOMOC²

Mécanique du point Cinématique

USTO

Une position se repère en coordonnées cartésiennes par

On peut aussi exprimer ce vecteur par un vecteur unitaire

Tel que

On peut repérer la position M par une coordonnée r (distance entre l’origine du repère choisi

et la position M) et θ angle orienté que fait le rayon r avec l’axe des abscisses (ox)

Il existe une relation entre ces coordonnées qu’on nomme coordonnées polaires et les

coordonnées cartésienne

Expression de la vitesse

35

jyixOMrUOMOMrUrOMjiUr.sin.coscosrxsinry22yxrxytgdtUdrUdtdrvrr

Mécanique du point Cinématique

USTO

posons

On remarque que la vitesse s’exprime dans une autre base, même chose pour l’accélération

36

UdtddtdjidtdUr)cossin(UdtdrUdtdrvrUrUrvrdtvddtUdrUrrdtUdrUrrr)(

Mécanique du point Cinématique

USTO

On défini une base qu’on appelle base polaire qui est

L’utilité de cette base est de faciliter l’étude des mouvements. On remarque qu’on a un

mouvement qui se sépare en deux mouvement, un suivant le vecteur

qu’on nomme

mouvement radiale et l’autre suivant le vecteur

qu’on appelle mouvement angulaire ou

orthoradiale

c) Base cylindrique

De la même manière, pour caractériser un mouvement dans un plan, il es plus facile d’utiliser

les coordonnées polaire, par contre si le mouvement se fait dans l’espace, le mouvement

suivant la troisième dimension peut se faire rectilignement ou circulairement. Dans le premier

cas on utilise les coordonnées cylindriques dans le deuxième cas on utilise des coordonnées

sphériques.

37

rUdtddUddtUdUrrUrrr)2(²)(),,(UUOrrUU

Mécanique du point Cinématique

USTO

On peut repérer le point M par le vecteur

M c’est la projection de M sur le plan (xoy)

De la même on calcule la vitesse et l’accélération

Un mouvement qui se fait suivant les trois vecteurs, on introduit la base cylindrique

38

kzOmmMOmOMkzUrUrvrkzUrrUrrr)2(²)(),,,(kUUOr

Mécanique du point Cinématique

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Exercices

Exercice 1 :

un point matériel se déplace dans le plan (xOy) suivant les équations horaires suivantes :

x(t)= t et y(t)=t²

-donner l’équation de mouvement du mobile

- calculer la vitesse ainsi que l’accélération du pt M.

Solution

- y=x2 équation de la trajectoire

-

-

Exercice2

Soit un point M dans un repère orthonormé, on le représente par son vecteur position

tel que a et b deux constantes positives.

1) quelle est la dimension de a et b

2) calculer l’incertitude relative sur les coordonnées de M sachant que l’incertitude relative sur a et b est de 10-2 ?

Exercice3

Un joueur de base ball frappe une balle qui atteint une vitesse de 14m/s et fait un angle α=30°

avec l’horizontale. Un autre joueur distant de x=30.5m du premier et dans le même plan de la

trajectoire, commence à courir quand le premier frappe la balle.

1- Calculer la vitesse maximale pour que le deuxième joueur puisse attraper la balle, quand

elle est à une hauteur de 2.44m, sachant que cette balle était à 0.6m au moment de sa frappe.

2- Quelle est la distance que doit parcourir.

39

jtiv2ja2jbtiattrOM2)(2

Mécanique du point Cinématique

USTO

Solution

1- Les équations horaires de la balle sont :

Celles du deuxième joueur sont :

et

Pour que le deuxième joueur puisse attraper la balle il faut que x1=x2 et y1=y2

De ces deux dernières équations on déduit que le temps a deux valeurs t=1.17s et t=0.25s

donc on aura deux vitesses v=13.4m/s et v=109.36m/s. et la vitesse minimale est 13.4m/s.

2- la distance minimale parcourue est d=15.7m

Exercice4

L’accélération d’un point matériel M est donnée par la relation suivante :

A t=0s la position et la vitesse du mobile sont (1 ; (-1/w²) ;0) et (1 ;0 ;-1) respectivement.

Donner les expressions des vecteurs vitesses et position du mobile à l’instant t.

Solution

Pour trouver la vitesse il suffit d’intégrer l’accélération même chose pour la position c’est d’intégrer la vitesse :

40

9.0)sin(21.)cos(02101tvgtytvx5.302vtx44.22y9.0)sin(2144.2)cos(5.30020tvgttvvtktjwtiet2cosxttxtxcedtevedtdv

Mécanique du point Cinématique

USTO

A t=0 vx=1 donc cx=0 d’où

A t=0 vy=0 donc cy=0 d’où

A t=0 vy=-1 donc cz=-1 d’où

donc

La vitesse s’écrit

Pour trouver le vecteur position il suffit d’intégrer la vitesse.

A t=0 x=1 donc c’x=0 d’où

A t=0 y=-1/w² donc c’y=0 d’où

A t=0 z=0 donc c’z=0 d’où

donc

41

txevyyycwtwdtwtvwtdtdvsin1coscoswtwvysin1zzzctdttvtdtdv331²²1313tvzktjwtwievt131sin13xtttcedtexedtdx'texycwtwdtwtwywtdtdy'cos²1sin1coswtwycos²1zcttdttztdtdz'121131131433ttz4121kttjwtwieOMt4121cos²1

Mécanique du point Cinématique

USTO

Exercice 5

un point matériel se déplace sur une ligne droite suivant l’équation horaire suivante :

X(t)=-6t²+16t (t en seconde)

 Quelle est la position de ce corps à t=1s

 A quelle instant t, il passe par la position O(origine)

 Quelle est la vitesse moyenne dans l’intervalle de temps compris entre 0s et 2 s

 Quelle est l’expression de la vitesse moyenne dans l’intervalle de temps compris t0

<t<∆t+t0

 Donner l’expression de la vitesse instantanée, déduire sa valeur a t=0s

 Quelle est l’expression de l’accélération moyenne durant le temps t0 <t<∆t+t0

 Donner l’expression de l’accélération instantanée.

Solution

- X(1)=10

- X=0 - 6t²+16t=0 il passe par l’origine à t=0s et t=8/3=2.7s

-

-

-

-

-

v(0)=16m/s

Exercice 6

La position d’un mobile en fonction du temps est indiquée sur la figure ci-dessous. Indiquer :

1/ en quel endroit le mouvement se fait dans la direction des X positifs ou négatifs ?

2/ à quel instant le mouvement est retardé ou accéléré ?

42

smtxtxvmoy402)0()2(ttttxttxvmoy61216)()(000ttvvmoyt1216)(lim021202)0()2(smtvtvmoy12lim0moyt

Mécanique du point Cinématique

USTO

3/ à quel instant le corps passe par l’origine ?

4/ à quel instant la vitesse est nulle ?

5/ faire un graphique de la vitesse et de l’accélération en fonction du temps,

6/ estimer d’après le graphique, la vitesse moyenne pour les intervalles de temps :

1s < t <1,8s , 1s< t< 2, 2s , 1s < t< 3s

Exercice 7

On se propose d’étudier le mouvement d’un point matériel dans le système des coordonnées

polaires, il décrit une trajectoire suivant une loi suivante : r=2acosθ avec θ=wt (a et w

étant des constantes) .

1- Déterminer la vitesse et l’accélération de M ainsi que leurs normes, dans le système

des coordonnées polaires

2- Déterminer la vitesse et l’accélération de M ainsi que leur normes, dans le système

des coordonnes intrinsèques ( Frenet).

3- Déterminer le rayon de courbure

4- Déterminer la vitesse et l’accélération de M ainsi que leurs normes, dans le système

des coordonnées cartésiennes.

Solution

43

Mécanique du point Cinématique

USTO

-

-

Détermination du rayon de courbure

avec

d’où ρ=a

Cercle de rayon a

r=2acosθ avec x=rcosθ d’où r2=2ax

comme r2=x²+y² si on remplace l’expression de r dans cette dernière équation on aura (x-a)2+y2=a2

c’est l’équation d’un cercle de rayon a et de centre (a,0).

-

Exercice 8

Un point P se déplace dans un plan Oxy, ses coordonnées à l’instant t sont données par : x 20(t ) ; y 10(t )² avec : = 1 USI, = 1 USI et = 1USI

a) quelle est la dimension de et 

b) Trouver l’équation cartésienne de la trajectoire, représenter la courbe

correspondante entre 0 et 4s;

c) Calculer les composantes cartésiennes de la vitesse et de l’accélération ainsi que

leurs modules

44

UwtUwtawvr)cos()sin(2awv2UwtUwtawr)sin(cos4ntntUvUdtdv20t222222224awnntntvv3328wavjaiajyixOMsincos2cos22

Mécanique du point Cinématique

USTO

c) Donner les expressions de la vitesse et de l’accélération dans la base de Frenet.

d) donner les vecteurs vitesses et accélérations à t = 3s.

e) Calculer le rayon de courbure lorsque t = 3s.

Solution

Let [ L

Equation de la trajectoire

Exercice 9

Le mouvement d’une particule M se déplaçant dans le plan (xoy) est décrit par les

équations suivantes : x(t) = t cost et y(t) = t sint

1- Déterminer les composantes du vecteur vitesse et son module.

2- Déterminer les comp