Mécanique des fluides: Une introduction à l’hydraulique pour les ingénieurs civils

7.2.2 Phénoménologie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.3 Zone logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.4 Zone centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.5

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3 Écoulement permanent uniforme rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1 Équations du mouvement ; effet de la rugosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.2 Calcul du débit pour des canalisations rugueuses . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 Dissipation d’énergie dans les conduites en régime établi . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.1 Bilan d’énergie en régime laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4.2 Bilan d’énergie en régime turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5 Pertes de charge singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.2 Principales formules de perte de charge singulière . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

133

134

135

137

139

139

141

145

145

146

147

147

148

150

153

153

154

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162

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166

171

171

172

172

173

173

175

175

176

176

176

177

177

180

185

185

185

187

4

TABLE DES MATIÈRES

7.6.1 Vidange d’un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187

Bibliographie

189

TABLE DES MATIÈRES

5

Avant-propos

Il s’agit d’un recueil de notes contenant les principales notions du cours ainsi que les formules utiles à connaître. Il ne s’agit pas d’un cours complet de mécanique des fluides. Le support complet de mon cours peut être trouvé à travers :

– les deux ouvrages « Hydrodynamique » et « Hydraulique » de Graf & Altinakar ; – le manuel de cours « Mécanique des fluides » de Rhyming ; – le cours « mécanique des fluides : une introduction » par Botsis & Deville ; – l’ouvrage « Constructions hydrauliques » de Sinniger & Hager.

tous publiés aux PPUR (collection Traités de Génie Civil pour les ouvrages de Graf & Altinakar et Sinniger & Hager). Un grand nombre des données biographiques données à travers les différents chapitres sont issues du livre du prof. Willi Hager de l’ETHZ « Hydraulicians in Europe 1800–2000 » publié par l’International Association of Hydraulic Engineering and Research (Delft, 2003).

J’emploie les notations usuelles modernes :

– les exemples sont le plus souvent introduits à l’aide de «

d’un exemple par le symbole « qed »

;

⊓⊔

Exemple. – » et on indique la fin

♣

– les parties qui peuvent poser des problèmes d’interprétation sont indiquées par le symbole (cid:127) dans

la marge ;

– les démonstrations un peu techniques (qui peuvent être sautées en première lecture) sont signalées

par le symbole h ;

– les vecteurs, matrices, et tenseurs sont en gras ; – les variables scalaires sont en italique ; – les fonctions, opérateurs, et nombres sans dimension sont en roman ; – le symbole O (O majuscule) signifie « est de l’ordre de » ; – le symbole o (o minuscule) signifie « est négligeable devant » ; – je n’emploie pas la notation D/Dt pour désigner la dérivée particulaire, mais d/dt (qu’il ne faudra donc pas confondre avec la différentielle ordinaire selon t). Je considère que le contexte est suffisant pour renseigner sur le sens de la différentielle et préfère garder le symbole D/Dt pour d’autres opérations différentielles plus complexes ;

veut dire « proportionnel à » ; ou

– le symbole – le symbole – les unités employées sont celles du système international : mètre [m] pour les longueurs, seconde [s] pour le temps, et kilogramme [kg] pour la masse. Les unités sont précisées entre crochets ;

veut dire « à peu près égal à » ;

∝ ∼

≈

– pour la transposée d’une matrice ou d’un vecteur, j’emploie le symbole

dire « transposée de A ».

en exposant : A† veut

†

Remerciements pour les relecteurs suivants : Damien Bouffard, Steve Cochard, Nicolas Andreini, Sébastien Wiederseiner, Martin Rentschler, Maxime Trolliet, Madeleine Bouchez, Jonas Haller, Scott Favre, François Gallaire, Roberto Siccardi, Arnaud Eggimann.

Ce travail est soumis aux droits d’auteurs. Tous les droits sont réservés ; toute copie, partielle ou

complète, doit faire l’objet d’une autorisation de l’auteur.

La gestion typographique du français a été réalisée avec LATEXà l’aide du package french.sty de

Bernard Gaulle.

6

Nomenclature

TABLE DES MATIÈRES

variable a B C Cf c D D e f g h hc hn H Hs i j jf k k k ks K ℓ ℓ ℓm L∗ mp n p p P∗ Q Q q R R RH Re S S T

t T u

u∗ ¯u u h u u′

i

signification rayon d’une particule largeur au miroir coefficient de Chézy coefficient de frottement célérité des ondes tenseur des taux de déformation diamètre d’une conduite énergie interne massique coefficient de frottement (Darcy-Weissbach) accélération de la gravité hauteur d’écoulement hauteur critique hauteur normale charge de l’écoulement charge spécifique pente d’un bief vecteur courant (p. ex. flux de chaleur) pente de frottement vecteur normal unitaire énergie cinétique massique conductivité hydraulique rugosité coefficient de Manning-Strickler échelle de longueur largeur longueur de mélange longueur caractéristique masse d’une particule vecteur normal unitaire pression hauteur de pelle (pour un seuil) échelle de pression débit chaleur débit par unité de largeur rayon de courbure constante des gaz parfaits rayon hydraulique nombre de Reynolds section d’écoulement entropie tenseur des extra-contraintes (appelé encore partie déviatorique) temps température vitesse, composante de la vitesse dans la direction x vitesse de glissement, vitesse de cisaillement vitesse moyennée selon la hauteur d’écoulement vitesse moyennée dans le temps vitesse fluctuation de vitesse

TABLE DES MATIÈRES

7

variable U∗ us v

v v

V W

signification échelle de vitesse vitesse de sédimentation vitesse, composante de la vitesse dans la direction y vitesse quadratique moyenne vitesse volume de contrôle tenseur des taux de rotation

Symboles grecs et autres

variable α χ δ δ γ γ ˙γ ǫ κ κ µ φ Φ ψ ψ Ψ Π ̺ σ σ θ τ τp ξ 1

∇

signification diffusion thermique périmètre mouillé fonction de Dirac petite variation déformation tension de surface taux de cisaillement rapport d’aspect conductivité thermique constante de von Kármán viscosité dynamique potentiel de vitesse fonction de dissipation fonction de vitesse potentiel gravitaire énergie totale nombre sans dimension masse volumique contrainte contrainte normale angle de pente contrainte de cisaillement contrainte de cisaillement à la paroi variable de similitude tenseur identité opérateur nabla

9

1Propriétés des fluides

1.1 Définition physique d’un fluide

1.1.1 États de la matière

Il y a trois états de la matière (voir figure 1.1) pour un corps simple :

– solide : matériau à faible température ; – liquide : matériau à température moyenne et pression suffisamment élevée ; – gaz : matériau à température suffisamment élevée et à faible pression.

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

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(a)

(b)

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b

(c)

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b

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b

b

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b

b

b

b

b

b

b

b

Figure 1.1 : représentation idéalisée des trois états de la matière : (a) solide (réseau ordonné de molé- cules/atomes), (b) fluide (collection dense et désordonnée de molécules), (c) gaz (collection diluée et très agitée de molécules).

Les différents états occupés par un corps simple peuvent être représentés dans un diagramme p, T , V comme le montre la figure 1.2. Les surfaces grisées représentent des états purs où un seul état subsiste, alors que la surface blanche représente l’ensemble des états où deux phases peuvent co-exister. Le point C est appelé point critique.

L’état solide est un état organisé de la matière : les arrangements entre molécules présentent un ordre relativement stable dans le temps. Les états gazeux et liquide représentent la matière en désordre : il n’existe pas d’ordre privilégié dans l’agencement des molécules car celles-ci sont perpétuellement en mouvement. Un fluide au repos à l’échelle humaine est en fait, à l’échelle moléculaire, en perpétuelle agitation.

Les états gazeux et liquide présentent des similarités : ce sont des fluides. Un fluide n’a pas de forme propre : placé dans un récipient, il adopte les formes du récipient. Il existe également des différences notables : un liquide a une surface libre ; si l’on place un liquide dans un bol, on observe une interface nette, appelée surface libre, entre ce liquide et le gaz environnant. Un gaz a tendance à occuper tout le volume qui s’offre à lui. Un gaz n’a donc pas de surface libre.

À l’échelle atomique, ces différences peuvent s’expliquer assez simplement : un gaz est une collection très diluée de molécules ou d’atomes. Si d représente la taille d’une molécule, alors la distance entre deux molécules est de l’ordre de 10d. Dans le cas d’un liquide, cette distance intermoléculaire est beaucoup plus faible, de l’ordre de d en général. Cela a des répercussions considérables sur les interactions

10

1. Propriétés des fluides

P

S

S/L

L

Fluide

C

b

L/G

S/G

T

G

V

Figure 1.2 : diagramme schématique des phases d’un corps simple dans un espace pression (p), température (T ), et volume (V ).

entre molécules : pour un gaz, les molécules se rencontrent rarement et interagissent principalement au moment des collisions par des échanges de quantité de mouvement. Pour un liquide, les interactions sont bien plus fréquentes et sont d’une nature différente : il s’agit le plus souvent d’interaction électrostatique d’attraction ou de répulsion. La figure 1.3 montre le potentiel d’interaction V (r), dit de Lennard- Jones 1, et la force d’interaction qui en découle

V (r) = 4ǫ

d r

(cid:18)

12

(cid:19)

−

(cid:18)

d r

6

,

!

(cid:19)

∼

où r est la distance depuis le centre de la molécule et ǫ est le potentiel d’adhésion de deux molécules kT pour du méthane ou de l’argon). Aux faibles distances r/d < 1, l’interaction est une très (ǫ d la force devient négative : forte répulsion qui s’oppose à l’interpénétration des atomes, puis vers r deux molécules voisines se sentent attirées, mais cette force d’attraction diminue très rapidement avec r. Il s’agit des forces de Van der Waals 2. Les molécules polyatomiques simples (comme l’eau) peuvent également porter des charges électriques, qui donnent naissance à des forces électrostatiques d’attraction ou de répulsion sensiblement plus fortes que les forces de Van der Waals dues aux atomes qui les composent.

≈

Notre connaissance des propriétés d’un gaz est bien plus avancée que celle des liquides. Dès la fin du xixe siècle, reprenant des idées formulées par de nombreux physiciens de Bernoulli à Clausius, les physiciens Maxwell et Boltzmann 3 ont élaboré les bases de la théorie dite « théorie cinétique des

1. Edward Lennard-Jones (1894–1954) était un mathématicien anglais, considéré comme un des pionniers de la chimie moléculaire. Ses travaux ont porté sur les forces intermoléculaires, la valence, la catalyse de surface, et la structure moléculaire.

2. Johannes Diderik van der Waals (1837–1923) était un physicien hollandais. Instituteur, il s’est passionné pour la physique et a consacré son temps libre à ses recherches. Son mémoire de thèse présentait une théorie importante sur les gaz ; il fut honoré par le prix Nobel en 1910.

3. Les physiciens anglais et autrichien James Clerk Maxwell (1831–1879) et Ludwig Eduard Boltzmann (1844–1906) sont deux monuments de la physique. Ils sont les auteurs de véritables tours de force. Maxwell est surtout connu pour ses travaux sur le magnétisme ; les quatre équations connues aujourd’hui sous le nom d’équations de Maxwell sont la formalisation (par un mathématicien anglais, Oliver Heaviside) de ses travaux. Maxwell a fait aussi des avancées majeures en thermodynamique. Boltzmann est considéré comme le père de la mécanique statistique puisqu’il a créé la plupart des outils encore utilisés aujourd’hui. Même si l’idée des atomes est très vieille (Démocrite en parlait déjà cinq siècles avant notre ère), c’est bien Boltzmann qui a fourni une théorie complète et rigoureuse. Très critiqué par ses confrères (la théorie de l’éther prévalait à la fin du xixe siècle), Boltzmann s’en trouva très affecté et se suicida. Il fallut attendre les expériences de Planck sur le corps noir et d’Einstein sur l’effet photoélectrique pour qu’on rende justice à ses travaux.

1.1 Définition physique d’un fluide

11

3

2

1

0

Ε / ) r ( V

0

1

2

3

4

5

r/d

Figure 1.3 : potentiel de Lennard-Jones (trait continu) et force dérivée f = dV /dr (courbe en tireté) en fonction de la distance r du centre de la molécule. Pour un corps simple comme l’argon (Ar), on a d = 0,34 nm et ǫ = 120kB K2, avec kB = 1,380 10

− −23 J/K, kB la constante de Boltzmann.

gaz », qui permet d’expliquer les propriétés macroscopiques des gaz (notamment la relation entre pression et température) en se fondant sur une description simplifiée des interactions moléculaires (mouvements aléatoires avec des échanges de quantité de mouvement lors des collisions). Cette théorie a également marqué le fondement de la mécanique statistique, branche de la physique qui vise à établir les propriétés macroscopiques de la matière à partir du comportement élémentaire des molécules. À ce jour, aucune théorie cinétique des liquides aussi simple et performante que la théorie cinétique des gaz n’existe. Cette difficulté à caractériser le comportement liquide se retrouve en thermodynamique lorsqu’on cherche à établir une équation d’état, c’est-à-dire une relation entre pression p, température T , et volume V (ou masse volumique) : f (V, p, T ) = 0. La loi de Boyle-Mariotte 4 est l’équation d’état la plus simple qu’on puisse imaginer

pV = xRT,

avec p la pression, V le volume du gaz, x le nombre de moles, T la température, et R la constante NA le nombre d’Avogadro). Elle a été établie à des gaz parfaits (R = 8,31 = kBNA J/K/mol, avec la fin du xviie siècle indépendamment par les physiciens Boyle et Mariotte à partir d’expériences de laboratoire. De nos jours, on utilise une variante de cette loi, connue sous le nom de loi de Van der Waals, qui est plus précise

avec a et b deux constantes, qui dépendent du gaz. Il n’existe pas d’équation pour un liquide car on ne peut pas relier simplement la pression et la température.

p +

a V 2

(cid:16)

(cid:17)

(V

−

b) = xRT,

La manipulation des concepts de base de la théorie cinétique et de lois empiriques comme la loi des gaz parfaits permet d’aboutir à des ordres de grandeur très bons pour des gaz simples (gaz monoatomique comme l’argon) et relativement corrects pour des gaz plus complexes. Même si la théorie cinétique ne permet pas de prédire le comportement de tous les gaz, les explications qu’elles donnent sont qualitativement correctes et s’appliquent à la plupart des fluides. L’idée de base est que les particules sont sans cesse agitées. Ainsi, pour un gaz au repos, si la vitesse moyenne est nulle, la vitesse instantanée des particules ne l’est pas. On peut faire une décomposition de la vitesse instantanée u en une vitesse moyenne ¯u (nulle quand le gaz est au repos) et une vitesse fluctuante u′ : u = ¯u + u′,

4. Robert Boyle (1626–1691) était un aristocrate anglais passionné par la physique. Il est à l’origine de la Royal Society of London (l’équivalent de l’Académie des Sciences en France) et a fortement plaidé en faveur des sciences expérimentales. Edme Mariotte (1620–1684) était un ecclésiastique, physicien et botaniste français. La loi des gaz parfaits fut déterminée indépendamment par Boyle (1662) et Mariotte (1676).

12

1. Propriétés des fluides

avec ¯u =

u i h

(moyenne dans le temps de la vitesse) et

u′ h

i

= 0. Si on calcule la vitesse quadratique

et qu’on prend la valeur moyenne

u2 = u

·

u = (¯u + u′)2 = ¯u2 + 2 ¯u

u′ + u′2,

·

u2 h

i

= ¯u2 + 2 ¯u

+

u′2 h

, i

i

u′

· h 0

i

u′2 h p

| on peut définir la quantité v = comme étant la vitesse quadratique moyenne ; pour un fluide au repos, cette vitesse donne une échelle de variation des fluctuations de vitesse et on l’appelle vitesse thermique ou vitesse d’agitation thermique. Pour un gaz dilué, les agitations des particules créent des fluctuations de quantité de mouvement, qui on le verra par la suite, peuvent être interprétées à l’échelle macroscopique comme une force. La force par unité de surface d’un gaz au repos s’appelle la pression et la théorie cinétique montre que s’il y a n atomes de masse m par unité de volume, alors la pression se définit à partir de la vitesse quadratique

{z

}

p =

1 3

nmv2,

or d’après la loi de Boyle-Mariotte, la pression à l’échelle macroscopique est p = nkT (puisque le NA molécules dans un volume V ), d’où l’on déduit immédiatement nombre de moles x renferment x

r ce qui montre que l’agitation thermique ne dépend que de la température et de la masse des atomes.

v =

3kBT m

,

♣

Exemple. – Considérons un gaz de masse atomique 14 g/mol (azote) à la pression atmosphérique et à température ordinaire (T = 20 °C= 293 K). On tire que la densité particulaire n vaut n = p/kB/T = 105/293/(1,38

1025 atomes/m3. La vitesse d’agitation est donc

10−23) = 2,47

×

×

v =

3

·

1,38 14

· ×

r

6,02

293 · 10−3

≈

720 m/s !

⊓⊔

1.1.2 Matière divisée : dispersions, suspensions, émulsions

Tous les fluides ne sont pas de purs liquides ou gaz. On rencontre des fluides où deux phases en équilibre thermodynamique coexistent. Par rapport aux liquides purs, la présence de « particules » (bulles de gaz, particules solides, gouttelettes) induit la présence d’une multitude d’interfaces entre le liquide (phase continue) et les particules (phase dispersée), qui peuvent radicalement changer la nature du mélange. On distingue :

– les dispersions : ce sont des mélanges de particules très fines (taille inférieure à 1 µm). Ce sont souvent des particules colloïdales telles que des argiles. Les dispersions ne sédimentent pas spontanément et il est donc très difficile de filtrer une eau contenant des particules argileuses fines. En revanche, ce sont des mélanges très sensibles chimiquement à tout ce qui peut modifier la nature des interactions entre particules. La simple modification du pH d’une solution affecte considérablement le comportement des interfaces des particules, ce qui produit des variations brutales de comportement mécanique à l’échelle macroscopique. Par exemple, en ajoutant du sel de cuisine sur un gel pour cheveux, on peut liquéfier le gel (constitué de chaînes polymériques) ; – les suspensions : ce sont des mélanges de particules fines ou grossières (taille supérieure à 1 µm), en général sans interaction colloïdale entre elles. Contrairement aux dispersions, les suspensions sédimentent (plus ou moins rapidement selon la taille des particules et les conditions de sédimen- tation) et peuvent être filtrées mécaniquement. En général, les suspensions sont peu sensibles aux variations chimiques du liquide. Du sable fin (sable, limon, silt) peut être transporté en suspension dans un cours d’eau ;

1.2 Définition rhéologique d’un fluide

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– les émulsions : ce sont des mélanges de fines gouttelettes d’un liquide dans un autre. Les émulsions en gel sont des émulsions très concentrées où les gouttelettes ne peuvent quasiment plus se déplacer les unes par rapport aux autres. La plupart des liquides étant non miscibles, les émulsions sont très courantes. Le lait ou bien la mayonnaise sont des exemples d’émulsion de globules de graisse dans une phase aqueuse. Comme pour les dispersions colloïdales, la physique de ces mélanges est dictée par le comportement des interfaces. Un problème important est la stabilité des émulsions (coalescence des gouttelettes, séparation des phases). Les mousses sont des cas particuliers d’émulsion où les gouttelettes sont des bulles de gaz (voir figure 1.4). L’eau blanche qui se forme dans les cours d’eau à très forte pente ou bien l’écume des vagues sont des émulsions d’air dans de l’eau ; la cavitation dans les conduites peut amener à la formation d’émulsions.

Figure 1.4 : la mousse d’un café est un mélange de bulles de gaz dans un liquide.

1.2 Définition rhéologique d’un fluide

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Un fluide est le plus souvent décrit comme un milieu continu, déformable, et s’écoulant. Ainsi, quoique discret à l’échelle moléculaire, un gaz comme l’air peut être décrit comme un milieu continu à notre échelle d’observation, c’est-à-dire que l’on peut négliger le comportement individuel des molécules 107 molécules !) et décrire le comportement local à l’aide de (un cube de 1 µm de côté contient 3 champs vectoriels continus. Ainsi le champ vitesse u(x,t) signifie la vitesse du fluide à la position x et au temps t (ce que l’on mesure avec un appareil comme un tube de Pitot) et correspond physiquement à la vitesse moyenne des molécules contenues dans un voisinage infinitésimal autour de x. Cette approximation de milieu continu est très utile car elle permet d’étudier le comportement mécanique des fluides à l’aide d’une relation liant contraintes et vitesses (taux) de déformation et qu’on appelle « loi de comportement ». La loi de comportement la plus simple est la loi newtonienne, selon laquelle les tenseurs des contraintes et des taux de déformation sont reliés linéairement par l’intermédiaire d’un paramètre appelé viscosité ; c’est ce que l’on va voir dans la section suivante. L’écoulement d’un fluide dépend foncièrement de la loi de comportement. Comme le montre la figure 1.5, les lignes de courant varient fortement selon que le fluide s’écoule comme un fluide newtonien en régime laminaire (à droite) ou que son écoulement prend la forme d’un écoulement potentiel (à gauche).

Tous les matériaux sont déformables et peuvent être considérés comme fluide si l’on attend suf- fisamment longtemps. C’est donc l’échelle de temps qui est importante. On introduit à cet effet un nombre sans dimension dit de Déborah 5 :

De =

tr te

,

avec tr temps de relaxation du matériau et te le temps de l’expérience (ou de l’observation). Si De le matériau se comporte comme un fluide et inversement si De Par exemple, un glacier est fluide à l’échelle géologique (voir figure 1.6) !

1, 1, il se comporte comme un solide.

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5. Ce nombre a été appelé ainsi en référence à un passage dans la Bible, où la prophétesse Déborah déclara « les montagnes s’écouleront avant le Seigneur », ce qui fut interpré