tranche de fluide doit se d placer par rapport une autre tranche. Les fluides de grande

viscosit r sistent l' coulement et les fluides de faible viscosit s' coulent facilement.

2

Chapitre I : Propri t s des Fluides

y+y

y

U+U

U

Figure I.1 : Profil de vitesse

Sous l'effet des forces d'interaction entre les particules de fluide et des forces d'interaction

entre les particules de fluide et celles de la paroi, chaque particule de fluide ne s' coule

pas la m me vitesse. On dit qu'il existe un profil de vitesse (figure I.1). Consid rons

deux couches de fluide adjacentes distantes de y, la force de frottement F qui s'exerce

la surface de s paration de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur

l'autre. Elle est proportionnelle la diff rence de vitesse des couches soit U, leur

surface S et inversement proportionnelle y :

Le facteur de proportionnalit est le coefficient de viscosit dynamique du fluide.

+ = , -

.

/

0 =

+

-

= ,

.

/

o :

F : force de frottement entre les couches en (N),

: contrainte de cisaillement (N/m2),

: Viscosit dynamique en (kg/m.s),

S : surface de contact entre deux couches en (m2),

U : cart de vitesse entre deux couches en (m/s),

y : Distance entre deux couches en (m).

Lorsque y tend vers z ro on a :

+ = , - lim

5 *

.

/

= , -

d.

dy

0 =

+

-

= ,

d.

dy

Remarque :

Dans le syst me international (SI), l'unit de la viscosit dynamique est le Pascal seconde

(Pa s) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pa s = 1 Pl = 1 kg/m s

Viscosit cin matique

Elle repr sente le rapport entre la viscosit dynamique et la masse volumique dun fluide :

,

(cid:1)

L'unit de la viscosit cin matique est le (m2/s).

: =

3

Chapitre I : Propri t s des Fluides

On utilise souvent le Stokes (St) comme unit de mesure de la viscosit cin matique :

1 St= 10-4 m2/s

Exemple 3:

Un fluide newtonien ( = 0,048 Pa.s) s coule le long dune paroi. A 75 mm de la paroi, la

particule fluide a une vitesse gale 1,125 m/s. Calculer lintensit de la contrainte de

cisaillement, au niveau de la paroi, 25 mm, 50 mm et 75 mm de celle-ci, en

admettant une distribution de vitesse lin aire et une distribution de vitesse parabolique. La

parabole de la figure a son sommet en A.

Umax

A

Umax

A

B

B

vitesse lin aire

vitesse parabolique

Solution :

1. Vitesse lin aire

U=Ay+B

Pour y=0.0, on a U=0 alors B=0

Pour y=0.075m, on a U=1.125, alors U=1,125=A 0.075 donc A=15

On obtient finalement U=15 y

Le gradient de vitesse : dU/dy=15 S-1 et = dU/dy=0.048 15=0.72 Pa pour toute les

valeurs de y compris entre0 75 mm.

2. Vitesse parabolique

U=Ay2+By+C

Pour y=0.0, on a U=0 alors C=0

Pour y=0.075, on a U=1.125, alors U=1.125=A (0.075)2+B 0.075 (1)

Ainsi pour y=0.075 U=Umax c.- -d. dU/dy=2 A y+B=0.0

dU/dy=2 A 0.075+B=0.0 B=-0,15A

En rempla ant la valeur de B dans l quation (1) de la vitesse, on obtient A=-200

U=-200 y2+30 y et dU/dy=-400 y+30

4

Chapitre I : Propri t s des Fluides

y (m) U (m/s) dU/dy (s-1) =4,8 10-2 dU/dy (Pa)

0.0

0

0.025

0,625

0.05

1,0

0.075

1,125

30

20

10

0

1,44

0,96

0,48

0

I.5 Pression de vapeur satur e

La pression de vapeur saturante est la pression laquelle un fluide passe de l' tat gazeux

l' tat liquide (ou de l' tat liquide gazeux) pour une temp rature donn e.

Si la temp rature du fluide augmente, la pression laquelle le fluide passe de l tat liquide

gazeux(pression de vapeur saturante) augmente. Cest ainsi qu'un liquide comme l'eau

peut se transformer en vapeur pression ambiante par apport de chaleur, mais il est

possible de faire cette transformation sans varier la temp rature en abaissant la pression

ambiante au-dessous de la pression de vapeur saturante.

Lorsque l'on aspire un liquide dans un conduit on cr e une d pression, si cette baisse de

pression fait descendre la pression du liquide au-dessous de sa pression de vapeur

saturante, le liquide se met en bullition (Production de vapeur), en hydraulique , on

appelle ce ph nom ne la cavitation. Dans le cas de leau, la pression de vapeur (Pv) cro t

avec une augmentation de la temp rature (T) :

T ( C)

Pv (kPa)

10

1,2

20

30

40

2,28

4,13

7,17

50

12

60

70

80

90

100

19,4

30,38 46,23 68,55 99,23

I.6 Tension superficielle

Une mol cule liquide au repos est soumise aux forces dattractions que les mol cules

voisines exercent sur elle. Une mol cule la surface libre dun liquide ou la surface de

s paration de deux liquides non miscibles nest plus soumise laction de forces

sym triques, puisquelle nest plus entour e sym triquement par dautres mol cules de

m me nature. Ainsi la r sultante des forces mol culaires nest plus nulle. La surface de

s paration se comporte comme une membrane tendue.

La force dattraction tangentielle la surface n cessaire pour arracher des particules

agissant le long dun segment de longueur unitaire est appel e tension superficielle.

5

Chapitre I : Propri t s des Fluides

Figure I.2 : R sultante des forces de coh sion

I.7 Le Syst me dUnit s SI

En m canique des fluides, le syst me dunit s SI ( Syst me International ) comporte 3

unit s primaires partir desquelles toutes les autres quantit s peuvent tre d crites :

Grandeur de base

Nom de lunit

Symbole

Longueur

M tre

Masse

Temps

Kilogramme

Seconde

m

kg

s

Le tableau suivant r sume les unit s SI des diff rentes caract ristiques utilis es en

m canique des fluides:

Caract ristiques

Vitesse

Acc l ration

Force

Energie

Puissance

Pression

Unit s

m/s

m/s2

kg.m/s2 o N (Newton)

kg.m2/s2 o J (Joule)

kg.m2/s3 o W (Watt)

Kg/m/s2, N/m2 o Pa (Pascal)

Poids sp cifiques

Kg/m2/s2, N/m3

viscosit

Kg/m/s, N.s/ m2 o Pa.s

6

Chapitre I : Propri t s des Fluides

Exercices

Exercice N 1 :

Si le poids volumique dun liquide est 8,1 kN/m3, quelle est sa densit . La masse

volumique de leau est 1000 kg/m3.

Solution :

La masse volumique du liquide gale :

(cid:1) =

(cid:5)

(cid:6)

=

8100

9,81

= 825,68 (cid:19)(cid:6)/(cid:22)(cid:23)

(cid:26) =

825,26

1000

= 0,825

Alors la densit vaut :

Exercice N 2 :

Calculer le poids volumique et la masse volumique de 1 litre du liquide p se 7 N.

Solution :

On calcule le poids volumique comme suit :

(cid:3)(cid:6)

(cid:4)

Alors la masse volumique gale :

(cid:5) =

=

(cid:8)

(cid:4)

=

7

0.001

= 7000 (cid:12) (cid:22)(cid:23)D

(cid:1) =

(cid:5)

(cid:6)

=

7000

9,81

= 713,55 (cid:19)(cid:6) (cid:22)(cid:23)D

Exercice N 3 :

Calculer la masse du 500cm3 du liquide si le poids volumique est 12,4 k N/m3 .

Solution :

On obtient la masse du liquide comme suit :

(cid:5) =

(cid:3)(cid:6)

(cid:4)

(cid:3) =

(cid:5) (cid:4)

(cid:6)

=

12,4 10(cid:23)500 10(=

9,81

= 0,632 (cid:19)(cid:6)

Exercice N 4 :

Un r servoir contenant exactement 5 m3dhuile de p trole p se 5122 kg. Sachant que la

masse du r servoir vides est de 962 kg, calculer la masse volumique et la densit de

lhuile. La masse volumique de leau est 1000 kg/m3.

7

Chapitre I : Propri t s des Fluides

Solution :

La masse de lhuile gal :

Alors :

(cid:3) = 5122 962 = 4160(cid:19)(cid:6)

(cid:1) =

(cid:3)

(cid:4)

=

(cid:26) =

4160

5

832

1000

= 832 (cid:19)(cid:6) (cid:22)(cid:23)D

= 0,832

Exercice N 5 :

On applique une pression de 2 106 N/m2 sur 2000 cm3 de leau, d terminer la variation de

volume. On donne (cid:30) = 2,2 10> (cid:8)"

Solution :

Le module de compressibilit de leau est :

(cid:30) =

(cid:8)

(cid:4)

(cid:4)

Alors :

Exercice N 6 :

(cid:4) = (cid:4)

(cid:8)

(cid:30)

=

2 10=

2,2 10> 2000 = 1,82 ?(cid:22)(cid:23)

Quelle pression doit-on appliquer leau pour r duire son volume de 1,25%. On donne

(cid:30) = 2,2 10> (cid:8)"

Solution :

Le module de compressibilit de leau est :

(cid:30) =

(cid:8)

(cid:4)

(cid:4)

Alors :

(cid:8) = (cid:30)

(cid:4)

(cid:4)

Exercice N 7 :

= 0.0125 2,2 10> = 0,0275 10> (cid:8)" = 2,75 (cid:3)(cid:8)"

Un r servoir cylindrique contient une colonne de L1=500 mm de leau. Le module de

compressibilit de leau est (cid:30) = 2,2 10> (cid:8)" .Si le piston applique une pression de 11,3

MPa sur la surface libre de leau, d terminer le d placement h.

8

Chapitre I : Propri t s des Fluides

L1

2kN

h

L2

Solution :

La diminution du volume due par le piston est :

(cid:4) = (cid:4)

(cid:8)

(cid:30)

(cid:4)

(cid:4)

=

(cid:8)

(cid:30)

-@) -@A

-@)

=

(cid:8)

(cid:30)

O :

S L1 : Le volume initial de leau ;

SL2 : Le volume final de leau ;

S : Section horizontale du r servoir.

Alors :

@) @A

@)

=

@)

=

(cid:8)

(cid:30)

=

(cid:8)

(cid:30)

@) =

11,3 10=

2,2 10> 0,5

= 2,56 (cid:22)(cid:22)

Exercice N 8 :

Deux grandes surfaces planes sont 2,4 cm lune de lautre et lespace entre elles est

rempli dun liquide de viscosit 8,1 Pa.s. Quelle est la force n cessaire pour tirer une

plaque tr s fines de 0,5 m2 de surface la vitesse constante 60 cm/s, si :

1. La plaque est situ au milieu ;

2. La plaque est situ e 0,8 cm dune des surfaces.

Faites l'hypoth se que le profil de vitesse est lin aire.

Solution :

1. La plaque situ e au milieu

D signons par :

Fr1 : la force de frottement sur la face sup rieur de la plaque

Fr2 : la force de frottement sur la face inf rieur de la plaque

+C) = +CA = , -

.

/

= 0,81 0,5

0,6 0

0,012

= 20,25 (cid:12)

La force de frottement totale = Fr1+ Fr2=40,5 N

9

Chapitre I : Propri t s des Fluides

La force n cessaire pour tirer la plaque doit tre au minimum gale 40,5 N.

2. La plaque est situ e 0,8 cm dune des surfaces.

+C) = , -

+CA = , -

.

/

.

/

= 0,81 0,5

= 0,81 0,5

0,6 0

0,016

0,6 0

0,008

= 15,18 (cid:12)

= 30,37 (cid:12)

La force n cessaire pour tirer la plaque doit tre au minimum gale 45,55 N.

Exercice N 9 :

Une grande plaque mobile est situ e entre deux grandes plaques fixes. Deux liquides

newtoniens de viscosit 1= 0,02 Pa.s et 2 = 0,01 Pa.s sont contenus entre les plaques.

D terminez l'intensit des contraintes sur chacune des parois quand la plaque centrale

mobile se d place une vitesse de 4 m/s parall lement aux autres plaques. Faites

l'hypoth se que le profil de vitesse entre les plaques est lin aire.

Solution :

D signons par :

1 : la contrainte de cisaillement sur la face sup rieur de la plaque

2 : la contrainte de cisaillement sur la face inf rieur de la plaque

0) = ,

0A = ,

.

/

.

/

= 0,02

= 0,01

4 0

0,006

4 0

0,003

= 13,33 (cid:12) (cid:22)AD

= 13,33 (cid:12) (cid:22)AD

Exercice N 10 :

Un viscosim tre (couette) est compos e de deux cylindres coaxiaux de rayon 12,2 cm et

12,8 cm respectivement. Les deux cylindres ont 30 cm de long. Un couple de 0,88 N.m est

n cessaire pour tourner le cylindre interne une vitesse de rotation de 2 rad /s.

d terminer la viscosit dynamique du liquide qui rempli lespace entre les deux cylindres.

10

Chapitre I : Propri t s des Fluides

Solution :

Le couple est transmis du cylindre externe travers les couches du liquide.

Couple appliqu e= couple r sistant

D = 0 FGCH"?I JC"F (cid:26)I KILMIC = , -

.

N

N = , 2ON @

.)(.A

N

N

O :

.) = (cid:5) N (LMPIFFI KMQ "MCI (cid:26)G ?/KMQ(cid:26)CI MQP CMIGC)

.A = 0 (?/KMQ(cid:26)CI SPICMIGC IFP HMSI)

N = KTIF%"?I IQPCI KIF ?/KMQ(cid:26)CIF

Donc le couple appliqu e correspond :

D =

, 2O N(cid:23)@(cid:5)

N

Alors :

, =

D N

2O N(cid:23)@(cid:5)

=

0,881 (0,128 0,122)

2 3,14 0,122(cid:23) 0,3 2 3,14

= 0,246 (cid:8)". F

Exercice N 11:

Soit un tube cylindrique de 3 km de long, de 10cm de diam tre, parcouru par un liquide de

viscosit dynamique =8,5 poise.

On suppose que la distribution des vitesses dans la section droite du tube est donn e par

l quation parabolique :

. = 0,3/A + 12/

U tant la vitesse la distance y de la paroi, calculer :

1. La contrainte de cisaillement au niveau de la paroi ;

2. La force totale de frottement sexer ant sur le tube.

11

Chapitre I : Propri t s des Fluides

Solution :

1. La contrainte de cisaillement au niveau de la paroi (y=0) ;

0 = ,

d.

dy

= ,(0,6/ + 12) = 12, = 10,2 (cid:8)"

2. La force totale de frottement sexer ant sur le tube.

+ = 0 - = 0 2O N @ = 10,2 2 3,14 0,05 3000 = 9608,4 (cid:12)

Exercice N 12:

Une plaque carr e de 0,64 m2 de surface p se 300 N glisse sur une surface inclin e

lubrifi e par un film dhuile dune paisseur h=1,5 mm comme montr la figure ci-

dessous. Si la vitesse de la plaque est 0,3 m/s, d terminer la viscosit dynamique de

lhuile.

h

W

30

Solution :

On applique la 2i me loi de Newton suivant la direction du mouvement:

+ = W sin 30 +[ = (cid:22) "\

Lacc l ration est nulle puisque la vitesse de la plaque est constante, alors :

W sin 30 , -

.

/

= 0 150 , 0,64

0,3 0

1,5 10((cid:23) = 0

Donc :

, = 1,17 (cid:8)". -

12

Chapitre II : Statique des fluides

Introduction

Statique des fluides tudie les conditions d quilibre du fluide au repos, cest- -dire

lorsquil ny a pas d coulement. En abordant l tude de la r partition de la pression,

notamment en fonction de la profondeur, ainsi que des forces pressantes qui en r sultent,

cette partie donne les fondements n cessaires l' tude des barrages [ tude la stabilit des

barrages]

II.1Notion de Pression

La pression est d finie comme la force exerc e par un fluide par unit de surface:

(cid:3)

(cid:4)

(cid:1) =

Dans le syst me international les pressions sont valu es en N/m2 ou Pascal (Pa). Il existe

cependant de nombreuses autres unit s de mesure de la pression :

" Le bar : 1 bar=100 000 Pa ;

" L'atmosph re normale (symbole atm) : 1 atm=101 325 Pa ;

" Le m tre de colonne deau (mCE) :1 mCE=9810 Pa

" Le millim tre de mercure (mmHg) : 1 mmHg= 133 Pa

Dans un fluide en quilibre la pression est ind pendante de la direction, pour montrer cela,

on prend un l ment du liquide une profondeur quelconque dun r servoir plein de

liquide ouvert latmosph re

Figure II.1 : Pression en un point dun liquide en quilibre

13

Chapitre II : St

II : Statique des fluides

Consid rons un l ment dun

dun fluide ABCDEF ( prisme triangulaire ) et

e ) et soient Px , Py et

Ps les pressions dans les 3 dire

3 directions x , y et s .

Etablissons la relation entre Px

tre Px , Py et Ps :

Selon la direction x :

(cid:5) (cid:3)(cid:6) = 0 (cid:1)(cid:6)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:11) (cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:9)(cid:14)

(cid:9)(cid:14) (cid:9)(cid:11) sin (cid:25) = (cid:1)(cid:6)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:11) (cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:9)(cid:14) (cid:9)(cid:11)

Alors : Px=Ps

Selon la direction y :

(cid:5) (cid:3)(cid:15) = 0 (cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:11) (cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:9)(cid:14)

(cid:9)(cid:14) (cid:9)(cid:11) cos

= (cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:11) (cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:9)(cid:14) (cid:9)(cid:11)

Alors Py=Ps et finalement : P

Px= Py =Ps

Enonc e de la loi de pascal :

:

(cid:9)(cid:10)

(cid:9)(cid:14)

= 0

(cid:9)(cid:16)

(cid:9)(cid:14)

= 0

La pression dun fluide en un p

un point est la m me dans toutes les directions

tions

II.2 Equation Fondamentale

entale de lHydrostatique (EFH)

Soit un parall l pip de fluide

fluide repr sent dans un rep re Ox,O y ,Oz

y ,Oz. Les arr tes du

parall l pip de sont : dx, dy, d

, dy, dz.

Figure II.2 : Syst

: Syst me des forces sur un parall l pip de flu

de fluide

La condition d quilibre suivan

suivant Oz s crit :

(cid:5) (cid:3)(cid:17) = 0 (cid:1)(cid:18)(cid:11)(cid:19)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10) (cid:12) (cid:1)

(cid:1)(cid:18)(cid:11) (cid:20) (cid:9)(cid:11)(cid:19)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10) (cid:12) (cid:28)(cid:29) (cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:11) = 0

Alors,

(cid:1)(cid:18)(cid:11) (cid:20) (cid:9)(cid:11)(cid:19)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:11)(cid:19)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10)

(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10) = (cid:12)(cid:28)(cid:29) (cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:11)

14

Chapitre II : St

II : Statique des fluides

D vis e par dx dy dz on obtie

obtient:

(cid:1)(cid:18)(cid:11) (cid:20) (cid:9)(cid:11)(cid:19) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:11)(cid:19)

(cid:9)(cid:11)

Pour dz 0

= (cid:12)(cid:28)(cid:29)

(cid:9)(cid:1)

(cid:9)(cid:11)

Finalement

= lim

(cid:17) "

(cid:18) (cid:19)

(cid:1)(cid:18)(cid:11) (cid:20) (cid:9)(cid:11)(cid:19) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:11)

(cid:9)(cid:11)

= (cid:12)(cid:28)(cid:29)

= (cid:12)(cid:28)(cid:29)

(cid:9)(cid:1)

(cid:9)(cid:11)

L quation pr c dente est souv

st souvent appel e quation fondamentale de lhy

e lhydrostatique.

Pour un fluide incompressible

ssible (masse volumique constante), lint gratio

gration de l quation

pr c dente entreZ1 et Z2 s cri

s crit:

$%

'%

(cid:9)(cid:11)

= # (cid:12)(cid:28)(cid:29)

(cid:9)(cid:1)

$&

Nous trouvons:

'&

(cid:19)

(cid:1)( (cid:12) (cid:1)) = (cid:12)(cid:28)(cid:29) (cid:18)( (cid:12) )(cid:19)

Soit,

(cid:1)) = (cid:1)( (cid:20) (cid:28)(cid:29) (cid:18)( (cid:12) )(cid:19) = (cid:1)

On conclure que :

(cid:1)( (cid:20) (cid:28)(cid:29) +

La pression augmente donc lin

nc lin airement en fonction de la profondeur

II.3 Pression absolue et relat

t relative (manom trique)

La pression absolue est d fini

d finie par rapport la pression dans le vide qu

ide qui correspond la

pression nulle. La pression a

sion absolue minimale possible est donc z ro.

z ro. il est courant de

mesurer la pression de liquide

iquide relativement la pression atmosph rique

ique (pression de l'air).

On parle alors de pression re

ion relative. De cette fa on, la pression la su

la surface libre dun

liquide est gale z ro. On sai

n sait que:

(cid:1)) = (cid:1)( (cid:20) (cid:28)(cid:29) +

Si P2=Patm alors:

(cid:1)) = (cid:1),-. (cid:20) (cid:28)(cid:29) + /01(cid:14)(cid:14)234

/01(cid:14)(cid:14)234 69(cid:14)35:1

01567281

(cid:1)) = (cid:28)(cid:29) + /01(cid:14)(cid:14)234 01567281

On conclure que :

pression absolue= pres

= pression relative+pression atmosph rique

15

Chapitre II : Statique des fluides

II.4 Egalit des pressions sur un m me plan horizontal

Si lon consid re la direction horizontale (figure II.2), on aura :

(cid:5) (cid:3)(cid:6) = 0 (cid:1)(cid:18)(cid:16)(cid:19)(cid:9)(cid:11)(cid:9)(cid:10) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:16) (cid:20) (cid:9)(cid:16)(cid:19)(cid:9)(cid:11)(cid:9)(cid:10) = 0

D vis e par dx dy dz on obtient:

(cid:1)(cid:18)(cid:16) (cid:20) (cid:9)(cid:16)(cid:19) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:16)(cid:19)

(cid:9)(cid:16)

Pour dx 0

= 0

(cid:9)(cid:1)

(cid:9)(cid:16)

Sur un m me plan horizontal , toutes les pressions sont gales (Pressions Isobares)

(cid:1)(cid:18)(cid:16) (cid:20) (cid:9)(cid:16)(cid:19) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:16)(cid:19)

(cid:9)(cid:16)

= 0 (cid:1) = ;34(cid:14)76471

= lim

(cid:6) "

Exemple 1 :

Un r cipient contient de leau jusqu 2m et par-dessus de lhuile jusqu 3 m. La densit

de lhuile dh=0,83. Calculez la pression absolue et relative au fond du r cipient

Solution :

Lapplication de lEFH entre 1 et 0 et entre 2 et 1 donne :

P1=P0+ huile g h1

P2=P1+ eau g h2= P0+d eau g h1+ eau g h2

" La pression absolue : P0=105 Pa

P2=105+0,83 103 9.81 (1) + 103 9.81 (2)=1277623 Pa=1.28 bar

" La pression relative : P0=0

P2=0+0,83 103 9.81 (1) + 103 9.81 (2)=277623 Pa=0.28 bar

Exemple 2 :

3 m

2 m

h1

h2

P0

P1

P2

Soit un tube en U ferm une extr mit qui contient deux liquides non miscibles.

Calculer la pression P3 du gaz emprisonne dans la branche ferm . On donne :

Hg=13600 Kg/m3 et essence=700 Kg/m3, Patm=105 Pa

Solution :

Appliquons la loi fondamentale de lhydrostatique

(EFH) ente 1 et 2, puis 2 et 3 :

(cid:1)( = (cid:1)) (cid:20) (cid:28)<(cid:13)(cid:13)(cid:29) (cid:18)0,728(cid:19) (cid:18)1(cid:19)

(cid:1)( = (cid:1)B (cid:20) (cid:28)CD(cid:29) (cid:18)0,015(cid:19) (cid:18)2(cid:19)

Alors :

(cid:1)B = (cid:1)( (cid:12) (cid:28)CD(cid:29) (cid:18)0,015(cid:19)

16

Chapitre II : St

II : Statique des fluides

(cid:1)B = (cid:1)) (cid:20) (cid:28)<(cid:13)(cid:13)(cid:29) (cid:18)0,728(cid:19) (cid:12) (cid:28)CD

(cid:1)B = 10F (cid:20) 700 9,81 0,728 (cid:12)

(cid:1)B = H, IHJK LM

II.4 Mesure de la pression

CD(cid:29) (cid:18)0,015(cid:19)

(cid:12) 13600 9,81 0,015

On utilise des manom tres d

tres dont le plus simple est le tube pi zom

i zom trique ordinaire

(g n ralement vertical) dont l

dont lextr mit inf rieure est plac au point o l

nt o lon veut mesurer

la pression.

1. Le pi zom tre :

Le pi zom tre est linstrument

ument de mesure de la pression le plus simple, c

ple, cest un tube

transparent vertical ou inclin e

clin e, raccord au point ou on veut d terminer l

iner la pression, celle-

ci nest autre que la hauteur d

eur deau qui monte dans ce tube.

2. Manom tre en U

Figure II.3 : Pi zom tre

Il consiste en un tube en U don

U dont une extr mit est raccord e au point de m

t de mesure et lautre

laire libre, le tube contient so

ent soit du mercure ou autre liquide plus dense q

ense que le fluide dont

la pression est mesurer pour

pour la mesure des pression manom triques.

Figure II.4 : Manom tre en U

17

Chapitre II : Statique des fluides

On a : P2=P3 (la ligne isobare)

Appliquons l quation fondamentale de lhydrostatique entre 3 et 4 et entre 2 et 1 :

(cid:1)B = (cid:1)P (cid:20) (cid:28))(cid:29)+)

(cid:1)( = (cid:1)) (cid:20) (cid:28)((cid:29)+( = (cid:1),-. (cid:20) (cid:28)((cid:29)+(

Puisque lon mesure une pression manom trique, on soustrait donc Patm : (cid:1)( = (cid:28)((cid:29)+(

et Comme : (cid:1)( = (cid:1)B (cid:1)P = (cid:28)((cid:29)+( (cid:12) (cid:28))(cid:29)+)

3. Manom tre diff rentiel :

Cest un tube raccord entre deux point o en veut d terminer la diff rence de pression ou

hauteur pi zom trique, il peut tre un seul liquide avec valve dentrer dair, ou deux

liquides.

Figure II.5 : Manom tre diff rentiel

4. Manom tre type bourdon

Pour des applications o les variations de pression sont brusques et lev es. Le Bourdon

est simplement un tube m tallique vid dont une extr mit est ferm e et lautre est reli e

au fluide sous pression. Sous leffet de la pression, le tube tend se redresser provoquant

le mouvement dune aiguille sur un cadran gradu . Les unit s que lon retrouve sur un

cadran de Bourdon peuvent tre tr s vari es et il importe de bien v rifier si les pressions

mesur es sont absolues, relatives et en quelles unit s elles se trouvent.

Figure II.6 : Manom tre type bourdon

18

Chapitre II : Statique des fluides

II.5 Forces hydrostatiques sur les parois

Cette force est d finie comme tant la force de pression exerc e par un fluide au repos sur

une surface de contacte, cette force est toujours normale la surface. Le calcul des forces

hydrostatiques sur une surface quelconque plong e dans leau, consiste d terminer

lintensit de la force et son point dapplication.

On traitera dans ce qui suit le cas des surfaces planes ensuite les surfaces courb es.

II.5.1 Surfaces planes

Soit une plaque de forme quelconque immerg e et inclin e dun angle .

O

hP

hG

dF

F

YG

YP

y

dS

G

P

x

Figure II.7 : Force exerc e par un fluide au repos sur une paroi solide fixe

Soit un l ment de surface de la plaque dS , la pression qui sexerce sur cet l ment

est : P = g h

La force de pouss e exerc e sur l l ment sera :

Donc la force de pouss e totale sur la plaque sera :

(cid:9)(cid:3) = (cid:1) (cid:9)(cid:4) = (cid:28)(cid:29)- (cid:9)(cid:4)

Or,

• = (cid:10) sin P

dou:

(cid:3) = # (cid:9)(cid:3) = # (cid:28)(cid:29)- (cid:9)(cid:4)

(cid:3) = (cid:28)(cid:29) sin P # (cid:10) (cid:9)(cid:4)

Le terme

Q (cid:10) (cid:9)(cid:4)

repr sente le moment statique de la surface par rapport laxe Ox :

Avec yG ordonn e du centre de gravit

(cid:10) (cid:9)(cid:4) = (cid:10)R(cid:4)

19

Chapitre II : Statique des fluides

Lexpression de F devient :

et comme :

-R = (cid:10)R sin P

Donc lexpression finale de F devient :

(cid:3) = (cid:28)(cid:29) sin P (cid:10)R(cid:4)

hG est la profondeur du centre de gravit de la surface

S = TU VWX...