République A
ique Algérienne Démocratique et Populair
pulaire
Ministère de l’Enseigne
seignement Supérieur et de la Recherche S
rche Scientifique
Universit
iversité Abou Bakr Belkaid – Tlemcen -
Faculté de Technologie
Département d’Hydraulique Dé
POLYCOPIÉ
MÉCA
ES CANIQUE DES FLUIDES
COURS ET
ET EXERCICES CORRIG
IGÉES
Dr BENTALHA Chakib D
Pr HABI Mohammed P
Avant propos
La mécanique des fluides est une science de la mécanique appliquée qui concerne le
comportement des liquides et des gaz au repos ou en mouvement. Cette branche reste l'un
des fondements le plus importants dans la formation en hydraulique. L'application les
principes de la mécanique des fluides sont nombreuses dans la conception les ouvrages
hydrauliques , les réseaux hydraulique et le traitement des eaux.
Ce polycopié est un support pédagogique permet d’introduire l’étudiant dans le domaine
de la mécanique des fluides. Ce document a été divisé en chapitre couvrant des domaines
bien établis de théorie et d’étude. Chaque chapitre débute par la formulation de
définitions, de principes et de théorèmes accompagnés d’exemples et de descriptions. Suit
une série des exercices résolus.
Le chapitre I traite les propriétés des fluides à savoir la masse volumique, le poids
volumique et la viscosité…etc. Elles sont utilisées ultérieurement.
Le chapitre II est consacré à l’étude des fluides au repos. La loi fondamentale en statique
des fluides et les forces exercées par les fluides sur des objets solides sont traités. Cette
partie donne les fondements nécessaires à l'étude des barrages.
Dans le chapitre III l’écoulement des fluides parfait est étudié. Les équations qui
régissent ce type d’écoulement comme l’équation de continuité et l’équation de Bernoulli
sont démontrés. Elles sont la base de plusieurs d’applications en hydraulique en particulier
dans le dimensionnement des réseaux d’alimentation en eau potable et l’évacuation des
eaux usées, ainsi dans la plupart des instruments de mesures de pressions et de débits
qu’on peut rencontrer dans beaucoup de processus industriels de fabrication chimique
surtout.
Enfin le chapitre IV est consacré à l’étude l’écoulement des fluides réels. La notion du
régime d’écoulement et les calculs les pertes de charge due par les forces de frottement
sont expliqués. Elles sont indispensable pour le dimensionnement des diverses
installations hydrauliques.
Pour la rédaction de ce polycopié, j’ai utilisé de nombreux documents citée dans la liste
bibliographié. J’espère que ce polycopié constituera une invitation à la lecture de ces
livres.
Table des matières
Chapitre I : Propriétés des fluides…………………………………………..……………………………...……………1
Introduction……………………………………………………….…………………………………………………………1
I.1 La masse volumique…………………………………………….…………………………………………………1
I.2 le poids volumique……………………...…………………….……………………………….……………………1
I.3 Module de compressibilité ………………………...……………………….………………………………… 2
I.4 Viscosité …………………………………………....……………………………………………………………………2
I.5 pression de vapeur saturée ………....……………………………………………….…………………….…. 5
I.6 Tension superficielle ………....…………………………………………………..……………………………… 5
I.7 Le systèmes d’unités SI ………....……………………………………..……………………………….……… 6
Exercices ………....…………………………………………………………………..……………………………….……… 7
Chapitre II : Statiques des fluides ………....……………………………..…..……………………………………… 13
Introduction ………....…………………………………………….…………..…..……………………………………… 13
II.1Notion de Pression ………....……………………………..…..……………...………………………………… 13
II.2 Equation Fondamentale de l’Hydrostatique (EFH) ………...…………………...………… 14
II.3 Pression absolue et relative (manométrique) ………...………………........…...………… 15
II.3 Egalité des pressions sur un même plan horizontal ………...…………………...………… 16
II.4 Mesure de la pression ………...………………………………………………………………….………… 17
II.5 Forces hydrostatiques sur les parois ………...……………………………………………………… 19
II.5.1 Surfaces planes………...……...........……………......………………………………… 19
II.5.2 Surfaces courbes………..................……………......………………………………… 22
II.6 Poussé d’Archimède ………...…………………………………………......………………………………… 24
Exercices ………...………………………………………………………………..…......………………………………… 26
Chapitre III : Dynamique des fluides parfait
Introduction ………...…………………………………………………………..…......………………………………… 45
III.1 Ecoulement permanent, ligne de courant, tube de courant …………………………… 45
III.2 Fluide incompressible et Compressible ……….……..…......………………………………… 45
III.3 Equation de continuité ……….……..…......……………………………………………………..………… 46
III.4 Equation de Bernoulli ……….……..…......……………………………………………………..………… 47
III.5 Applications du théorème de Bernoulli ……….……..…......………………………………… 49
III.6 Théorème d’Euler ……………………………………………………………..……………………………… 51
Exercices ……….……..…......……………………………………………………………..……………………………… 52
Chapitre III : Dynamique des fluides réel
Introduction ……….……..…......……………………............................................………………………………..……68
IV.1 Fluide réel ……….……..…......……………………………………………......................................………..……68
IV.2 Régimes d’écoulement - nombre de Reynolds ……….……..…......……….…………………68
IV.3 Equation de Bernoulli pour les fluides réels ……….……..…......…………………………69
IV.4 Perte de charge ……….……..…......………………………….............…………………………..……71
IV.4.1 Notion de Rugosité des Conduites……….……..…......……………………………72
IV.4.2 Perte de charge linéaire .……..…......………............................................……………72
IV.4.3 Pertes de charge singulières ……….……..…......………………………………………76
IV.5 Equation de bernoulli avec transfert d'énergie ……………………………………79
Exercices ……….……..…......…………………………………………..............................……………………………… 81
Chapitre I : Propriétés des Fluides
Introduction
Les fluides sont des substances capables de s’écouler et de prendre la forme du récipient
qui les contient : ils continuent à se déformer, même sous sollicitations constantes. Un
solide a une forme propre. Il peut être considéré comme indéformable. On peut répartir
les fluides en liquides et en gaz.
Les liquides occupent des volumes bien définis et présentent des surfaces libres. Ils sont
quasi incompressibles. Les gaz se dilatent jusqu’à occuper tout le volume offert. Ils sont
très compressibles.
I.1 La masse volumique
La masse volumique d’une substance est la quantité de matière contenue dans une unité
de volume de cette substance c.-à-d. : c’est le rapport entre la masse (M) et le volume
occupé(V). Elle peut être exprimée de différentes manières :
(cid:1) =
(cid:3) (cid:4)
Ordres de grandeur des masses volumiques (à 20 °C)
Eau Kérosène Mercure Air
998 kg/m3 814 kg/m3 13 550 kg/m3 1,2 kg/m3
La densité d’une substance est égale à la masse volumique de la substance divisée par la
masse volumique du corps de référence à la même température. Pour les liquides et les
solides, l’eau est utilisée comme référence, pour les gaz, la mesure s’effectue par rapport à
l’air. Elle est notée (d) et n’a pas d’unité (grandeur physique sans dimension).
I.2 Poids volumique
Le poids volumique d’un fluide représente le rapport entre le poids et le volume de ce
fluide :
(cid:5) =
(cid:3)(cid:6) (cid:4)
= (cid:1)(cid:6)
Où : ω: Poids volumique en (N/m3).
M : masse en (kg), g : accélération de la pesanteur en (m/s2),
1
Chapitre I : Propriétés des Fluides
V : volume en (m3).
Exemple 1 : Calculer la masse volumique, le poids volumique et la densité de 6 m3 d’huile pèsent 47
kN.
Solution :
(cid:8) = 47000(cid:12) = (cid:3)(cid:6) ⇒ (cid:3) =
(cid:8) (cid:6)
=
47000 9.81
= 4791.03(cid:19)(cid:6)
(cid:1) =
=
4791.03 6
(cid:3) (cid:4) (cid:25) = (cid:1)(cid:6) = 7833.33 (cid:12) (cid:22)(cid:23)⁄
= 798.5 (cid:19)(cid:6) (cid:22)(cid:23)⁄
(cid:26) =
(cid:1) (cid:1)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
=
798.5 1000
= 0.798
I.3 Module de compressibilité
La compressibilité d’un corps représente la variation de volume du corps en réponse à une
variation de pression. On définit le module de compressibilité à température constante
(E) à partir de la variation relative de volume et de la variation de pression :
(cid:30) = −
((cid:8)")
Δ(cid:8) ∆(cid:4) (cid:4)
L’inverse du module de compressibilté $ = 1 (cid:30)⁄ , s’appelle
le coefficient de
compressibilité
On sait par expérience que les liquides sont peu compressibles ; les valeurs de $ sont par conséquent très faibles de l’ordre de 10-10 à 10-11 Pa-1.
Exemple 2 : A 34,5 bars, le volume est de 28,32 dm3, à 241,3 bars, de 28,05 dm3. Calculer le
coefficient de compressibilité de ce liquide.
Solution :
$ = −
∆(cid:4) (cid:4) ∆%
= −
28.32 − 28.05 28.32
(34.5 − 241.3)10' = 4.6 10()* (cid:8)"()
I. 4 Viscosité
C’est une grandeur qui caractérise les frottements internes du fluide, autrement dit sa
capacité à s’écouler. Ces frottements (contrainte de cisaillement) apparaissent lorsqu'une
tranche de fluide doit se déplacer par rapport à une autre tranche. Les fluides de grande
viscosité résistent à l'écoulement et les fluides de faible viscosité s'écoulent facilement.
2
Chapitre I : Propriétés des Fluides
y+∆y
y
U+∆U U
Figure I.1 : Profil de vitesse
Sous l'effet des forces d'interaction entre les particules de fluide et des forces d'interaction
entre les particules de fluide et celles de la paroi, chaque particule de fluide ne s'écoule
pas à la même vitesse. On dit qu'il existe un profil de vitesse (figure I.1). Considérons
deux couches de fluide adjacentes distantes de ∆y, la force de frottement F qui s'exerce à
la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur
l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit ∆U, à leur
surface S et inversement proportionnelle à ∆y :
Le facteur de proportionnalité µ est le coefficient de viscosité dynamique du fluide.
+ = , -
Δ. Δ/
⇒ 0 =
+ -
= ,
Δ. Δ/
où :
F : force de frottement entre les couches en (N), Τ : contrainte de cisaillement (N/m2),
µ : Viscosité dynamique en (kg/m.s), S : surface de contact entre deux couches en (m2),
∆U : Écart de vitesse entre deux couches en (m/s),
∆y : Distance entre deux couches en (m).
Lorsque ∆y tend vers zéro on a :
+ = , - lim ∆5→*
Δ. Δ/
= , -
d. dy
⇒ 0 =
+ -
= ,
d. dy
Remarque :
Dans le système international (SI), l'unité de la viscosité dynamique est le Pascal seconde
(Pa⋅s) ou Poiseuille (Pl) : 1 Pa⋅s = 1 Pl = 1 kg/m⋅s
Viscosité cinématique
Elle représente le rapport entre la viscosité dynamique et la masse volumique d’un fluide :
, (cid:1) L'unité de la viscosité cinématique est le (m2/s).
: =
3
Chapitre I : Propriétés des Fluides
On utilise souvent le Stokes (St) comme unité de mesure de la viscosité cinématique : 1 St= 10-4 m2/s
Exemple 3:
Un fluide newtonien (µ = 0,048 Pa.s) s’écoule le long d’une paroi. A 75 mm de la paroi, la
particule fluide a une vitesse égale à 1,125 m/s. Calculer l’intensité de la contrainte de
cisaillement, au niveau de la paroi, à 25 mm, à 50 mm et à 75 mm de celle-ci, en
admettant une distribution de vitesse linéaire et une distribution de vitesse parabolique. La
Publicité
parabole de la figure a son sommet en A.
Umax
A
Umax
A
B
B
vitesse linéaire
vitesse parabolique
Solution : 1. Vitesse linéaire
U=Ay+B
Pour y=0.0, on a U=0 alors B=0
Pour y=0.075m, on a U=1.125, alors U=1,125=A ˟ 0.075 donc A=15
On obtient finalement U=15 ˟ y Le gradient de vitesse : dU/dy=15 S-1 et τ=µ dU/dy=0.048˟15=0.72 Pa pour toute les
valeurs de y compris entre0 à 75 mm. 2. Vitesse parabolique U=Ay2+By+C
Pour y=0.0, on a U=0 alors C=0 Pour y=0.075, on a U=1.125, alors U=1.125=A ˟ (0.075)2+B ˟0.075 (1)
Ainsi pour y=0.075 U=Umax c.-à-d. dU/dy=2˟A˟y+B=0.0
→ dU/dy=2 A ˟ 0.075+B=0.0→B=-0,15A
En remplaçant la valeur de B dans l’équation (1) de la vitesse, on obtient A=-200
U=-200 y2+30 y et dU/dy=-400 y+30
4
Chapitre I : Propriétés des Fluides
y (m) U (m/s) dU/dy (s-1) τ=4,8 10-2 dU/dy (Pa)
0.0
0
0.025
0,625
0.05
1,0
0.075
1,125
30
20
10
0
1,44
0,96
0,48
0
I.5 Pression de vapeur saturée
La pression de vapeur saturante est la pression à laquelle un fluide passe de l'état gazeux à
l'état liquide (ou de l'état liquide à gazeux) pour une température donnée.
Si la température du fluide augmente, la pression à laquelle le fluide passe de l’état liquide
à gazeux(pression de vapeur saturante) augmente. C’est ainsi qu'un liquide comme l'eau
peut se transformer en vapeur à pression ambiante par apport de chaleur, mais il est
possible de faire cette transformation sans varier la température en abaissant la pression
ambiante au-dessous de la pression de vapeur saturante.
Lorsque l'on aspire un liquide dans un conduit on crée une dépression, si cette baisse de
pression fait descendre la pression du liquide au-dessous de sa pression de vapeur
saturante, le liquide se met en ébullition (Production de vapeur), en hydraulique , on
appelle ce phénomène la cavitation. Dans le cas de l’eau, la pression de vapeur (Pv) croît
avec une augmentation de la température (T) :
T (°C)
Pv (kPa)
10
1,2
20
30
40
2,28
4,13
7,17
50
12
60
70
80
90
100
19,4
30,38 46,23 68,55 99,23
I.6 Tension superficielle
Une molécule liquide au repos est soumise aux forces d’attractions que les molécules
voisines exercent sur elle. Une molécule à la surface libre d’un liquide ou à la surface de
séparation de deux liquides non miscibles n’est plus soumise à l’action de forces
symétriques, puisqu’elle n’est plus entourée symétriquement par d’autres molécules de
même nature. Ainsi la résultante des forces moléculaires n’est plus nulle. La surface de
séparation se comporte comme une membrane tendue.
La force d’attraction tangentielle à la surface nécessaire pour arracher des particules
agissant le long d’un segment de longueur unitaire est appelée tension superficielle.
5
Chapitre I : Propriétés des Fluides
Figure I.2 : Résultante des forces de cohésion
I.7 Le Système d’Unités SI
En mécanique des fluides, le système d’unités SI (‘’ Système International ‘’) comporte 3
unités primaires à partir desquelles toutes les autres quantités peuvent être décrites :
Grandeur de base
Nom de l’unité
Symbole
Longueur
Mètre
Masse
Temps
Kilogramme
Seconde
m
kg
s
Le tableau suivant résume les unités SI des différentes caractéristiques utilisées en
mécanique des fluides:
Caractéristiques
Vitesse
Accélération
Force
Energie
Puissance
Pression
Unités
m/s
m/s2
kg.m/s2 où N (Newton)
kg.m2/s2 où J (Joule)
kg.m2/s3 où W (Watt)
Kg/m/s2, N/m2 où Pa (Pascal)
Poids spécifiques
Kg/m2/s2, N/m3
viscosité
Kg/m/s, N.s/ m2 où Pa.s
6
Chapitre I : Propriétés des Fluides
Exercices
Exercice N°1 : Si le poids volumique d’un liquide est 8,1 kN/m3, quelle est sa densité. La masse volumique de l’eau est 1000 kg/m3.
Solution :
La masse volumique du liquide égale à :
(cid:1) =
(cid:5) (cid:6)
=
8100 9,81
= 825,68 (cid:19)(cid:6)/(cid:22)(cid:23)
(cid:26) =
825,26 1000
= 0,825
Alors la densité vaut :
Exercice N°2 :
Calculer le poids volumique et la masse volumique de 1 litre du liquide pèse 7 N.
Solution :
On calcule le poids volumique comme suit :
(cid:3)(cid:6) (cid:4) Alors la masse volumique égale :
(cid:5) =
=
(cid:8) (cid:4)
=
7 0.001
= 7000 (cid:12) (cid:22)(cid:23)⁄
(cid:1) =
(cid:5) (cid:6)
=
7000 9,81
= 713,55 (cid:19)(cid:6) (cid:22)(cid:23)⁄
Exercice N°3 : Calculer la masse du 500cm3 du liquide si le poids volumique est 12,4 k N/m3 .
Solution :
On obtient la masse du liquide comme suit :
(cid:5) =
(cid:3)(cid:6) (cid:4)
⇒ (cid:3) =
(cid:5) (cid:4) (cid:6)
=
12,4 10(cid:23)500 10(= 9,81
= 0,632 (cid:19)(cid:6)
Exercice N°4 : Un réservoir contenant exactement 5 m3d’huile de pétrole pèse 5122 kg. Sachant que la
masse du réservoir vides est de 962 kg, calculer la masse volumique et la densité de l’huile. La masse volumique de l’eau est 1000 kg/m3.
7
Chapitre I : Propriétés des Fluides
Solution :
La masse de l’huile égalé à :
Alors :
(cid:3) = 5122 − 962 = 4160(cid:19)(cid:6)
(cid:1) =
(cid:3) (cid:4)
=
(cid:26) =
4160 5 832 1000
= 832 (cid:19)(cid:6) (cid:22)(cid:23)⁄
= 0,832
Exercice N°5 : On applique une pression de 2˟106 N/m2 sur 2000 cm3 de l’eau, déterminer la variation de
volume. On donne (cid:30) = 2,2 10> (cid:8)"
Solution :
Le module de compressibilité de l’eau est :
(cid:30) = −
Δ(cid:8) ∆(cid:4) (cid:4)
Alors :
Exercice N°6 :
∆(cid:4) = −(cid:4)
Δ(cid:8) (cid:30)
=
2 10= 2,2 10> 2000 = −1,82 ?(cid:22)(cid:23)
Quelle pression doit-on appliquer à l’eau pour réduire son volume de 1,25%. On donne
(cid:30) = 2,2 10> (cid:8)"
Solution :
Le module de compressibilité de l’eau est :
(cid:30) = −
Δ(cid:8) ∆(cid:4) (cid:4)
Alors :
∆(cid:8) = −(cid:30)
Δ(cid:4) (cid:4)
Exercice N°7 :
= 0.0125 2,2 10> = 0,0275 10> (cid:8)" = 2,75 (cid:3)(cid:8)"
Un réservoir cylindrique contient une colonne de L1=500 mm de l’eau. Le module de compressibilité de l’eau est (cid:30) = 2,2 10> (cid:8)" .Si le piston applique une pression de 11,3
MPa sur la surface libre de l’eau, déterminer le déplacement h.
8
Chapitre I : Propriétés des Fluides
L1
2kN
h
L2
Solution :
La diminution du volume due par le piston est :
∆(cid:4) = −(cid:4)
Δ(cid:8) (cid:30)
⇒
∆(cid:4) (cid:4)
= −
Δ(cid:8) (cid:30)
⇒
-@) − -@A -@)
Publicité
= −
Δ(cid:8) (cid:30)
Où :
S L1 : Le volume initial de l’eau ;
SL2 : Le volume final de l’eau ;
S : Section horizontale du réservoir.
Alors :
@) − @A @)
=
ℎ @)
= −
Δ(cid:8) (cid:30)
⇒ ℎ = −
Δ(cid:8) (cid:30)
@) = −
11,3 10= 2,2 10> 0,5
ℎ = −2,56 (cid:22)(cid:22)
Exercice N°8 :
Deux grandes surfaces planes sont à 2,4 cm l’une de l’autre et l’espace entre elles est
rempli d’un liquide de viscosité8,1 Pa.s. Quelle est la force nécessaire pour tirer une plaque très fines de 0,5 m2 de surface à la vitesse constante 60 cm/s, si :
1. La plaque est situé au milieu ; 2. La plaque est située à 0,8 cm d’une des surfaces.
Faites l'hypothèse que le profil de vitesse est linéaire.
Solution :
1. La plaque située au milieu
Désignons par :
Fr1 : la force de frottement sur la face supérieur de la plaque
Fr2 : la force de frottement sur la face inférieur de la plaque
+C) = +CA = , -
Δ. Δ/
= 0,81 0,5
0,6 − 0 0,012
= 20,25 (cid:12)
La force de frottement totale = Fr1+ Fr2=40,5 N
9
Chapitre I : Propriétés des Fluides
La force nécessaire pour tirer la plaque doit être au minimum égale à 40,5 N.
2. La plaque est située à 0,8 cm d’une des surfaces.
+C) = , -
+CA = , -
Δ. Δ/
Δ. Δ/
= 0,81 0,5
= 0,81 0,5
0,6 − 0 0,016
0,6 − 0 0,008
= 15,18 (cid:12)
= 30,37 (cid:12)
La force nécessaire pour tirer la plaque doit être au minimum égale à 45,55 N.
Exercice N°9 :
Une grande plaque mobile est située entre deux grandes plaques fixes. Deux liquides
newtoniens de viscosité µ1= 0,02 Pa.s et µ2 = 0,01 Pa.s sont contenus entre les plaques.
Déterminez l'intensité des contraintes sur chacune des parois quand la plaque centrale
mobile se déplace à une vitesse de 4 m/s parallèlement aux autres plaques. Faites
l'hypothèse que le profil de vitesse entre les plaques est linéaire.
Solution :
Désignons par :
τ1 : la contrainte de cisaillement sur la face supérieur de la plaque
τ2 : la contrainte de cisaillement sur la face inférieur de la plaque
0) = ,
0A = ,
Δ. Δ/
Δ. Δ/
= 0,02
= 0,01
4 − 0 0,006
4 − 0 0,003
= 13,33 (cid:12) (cid:22)A⁄
= 13,33 (cid:12) (cid:22)A⁄
Exercice N°10 :
Un viscosimètre (couette) est composée de deux cylindres coaxiaux de rayon 12,2 cm et
12,8 cm respectivement. Les deux cylindres ont 30 cm de long. Un couple de 0,88 N.m est
nécessaire pour tourner le cylindre interne à une vitesse de rotation de 2π rad /s.
déterminer la viscosité dynamique du liquide qui rempli l’espace entre les deux cylindres.
10
Chapitre I : Propriétés des Fluides
Solution :
Le couple est transmis du cylindre externe à travers les couches du liquide.
Couple appliquée= couple résistant
D = 0 × FGCH"?I × JC"F (cid:26)I KILMIC = , -
∆. ∆N
N = , 2ON @
.)(.A ∆N
N
Où :
.) = (cid:5) N (LMPIFFI KMQé"MCI (cid:26)G ?/KMQ(cid:26)CI MQPéCMIGC)
.A = 0 (?/KMQ(cid:26)CI éSPICMIGC IFP HMSI) ∆N = KTIF%"?I IQPCI KIF ?/KMQ(cid:26)CIF
Donc le couple appliquée correspond à :
D =
, 2O N(cid:23)@(cid:5) ∆N
Alors :
, =
D ∆N 2O N(cid:23)@(cid:5)
=
0,881 (0,128 − 0,122) 2 3,14 0,122(cid:23) 0,3 2 3,14
= 0,246 (cid:8)". F
Exercice N°11:
Soit un tube cylindrique de 3 km de long, de 10cm de diamètre, parcouru par un liquide de
viscosité dynamique µ=8,5 poise.
On suppose que la distribution des vitesses dans la section droite du tube est donnée par
l’équation parabolique :
. = −0,3/A + 12/
U étant la vitesse à la distance y de la paroi, calculer :
1. La contrainte de cisaillement au niveau de la paroi ; 2. La force totale de frottement s’exerçant sur le tube.
11
Chapitre I : Propriétés des Fluides
Solution :
1. La contrainte de cisaillement au niveau de la paroi (y=0) ;
0 = ,
d. dy
= ,(−0,6/ + 12) = 12, = 10,2 (cid:8)"
2. La force totale de frottement s’exerçant sur le tube.
+ = 0 - = 0 2O N @ = 10,2 2 3,14 0,05 3000 = 9608,4 (cid:12)
Exercice N°12: Une plaque carrée de 0,64 m2 de surface pèse 300 N glisse sur une surface inclinée
lubrifiée par un film d’huile d’une épaisseur h=1,5 mm comme montré à la figure ci-
dessous. Si la vitesse de la plaque est 0,3 m/s, déterminer la viscosité dynamique de
l’huile.
h
W
30°
Solution : On applique la 2iéme loi de Newton suivant la direction du mouvement:
∑ + = W sin 30° − +[ = (cid:22) "\ L’accélération est nulle puisque la vitesse de la plaque est constante, alors :
W sin 30° − , -
∆. ∆/
= 0 ⇒ 150 − , 0,64
0,3 − 0 1,5 10((cid:23) = 0
Donc :
, = 1,17 (cid:8)". -
12
Chapitre II : Statique des fluides
Introduction
Statique des fluides étudie les conditions d’équilibre du fluide au repos, c’est-à-dire
lorsqu’il n’y a pas d’écoulement. En abordant l’étude de la répartition de la pression,
notamment en fonction de la profondeur, ainsi que des forces pressantes qui en résultent,
cette partie donne les fondements nécessaires à l'étude des barrages [étude la stabilité des
barrages]
II.1Notion de Pression
La pression est définie comme la force exercée par un fluide par unité de surface:
(cid:3) (cid:4)
(cid:1) = Dans le système international les pressions sont évaluées en N/m2 ou Pascal (Pa). Il existe
cependant de nombreuses autres unités de mesure de la pression :
• Le bar : 1 bar=100 000 Pa ; • L'atmosphère normale (symbole atm) : 1 atm=101 325 Pa ; • Le mètre de colonne d’eau (mCE) :1 mCE=9810 Pa • Le millimètre de mercure (mmHg) : 1 mmHg= 133 Pa
Dans un fluide en équilibre la pression est indépendante de la direction, pour montrer cela,
on prend un élément du liquide à une profondeur quelconque d’un réservoir plein de
liquide ouvert à l’atmosphère
Figure II.1 : Pression en un point d’un liquide en équilibre
13
Chapitre II : St
II : Statique des fluides
Considérons un élément d’un
d’un fluide ABCDEF ( prisme triangulaire ) et
e ) et soient Px , Py et
Ps les pressions dans les 3 dire
3 directions x , y et s .
Etablissons la relation entre Px
tre Px , Py et Ps :
Selon la direction x :
(cid:5) (cid:3)(cid:6) = 0 ⇒ (cid:1)(cid:6)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:11) (cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:9)(cid:14)
(cid:9)(cid:14) (cid:9)(cid:11) sin (cid:25) = (cid:1)(cid:6)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:11) (cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:9)(cid:14) (cid:9)(cid:11)
Alors : Px=Ps
Selon la direction y :
(cid:5) (cid:3)(cid:15) = 0 ⇒ (cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:11) (cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:9)(cid:14)
(cid:9)(cid:14) (cid:9)(cid:11) cos
θ
= (cid:1)(cid:15)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:11) (cid:12) (cid:1)(cid:13)(cid:9)(cid:14) (cid:9)(cid:11)
Alors Py=Ps et finalement : P
Px= Py =Ps
Enoncée de la loi de pascal : :
(cid:9)(cid:10) (cid:9)(cid:14)
= 0
(cid:9)(cid:16) (cid:9)(cid:14)
= 0
La pression d’un fluide en un p
un point est la même dans toutes les directions
tions
II.2 Equation Fondamentale
entale de l’Hydrostatique (EFH)
Soit un parallélépipède fluide
fluide représenté dans un repère Ox,O y ,Oz
y ,Oz. Les arrêtes du
parallélépipède sont : dx, dy, d
, dy, dz.
Figure II.2 : Syst
: Système des forces sur un parallélépipède flu
ède fluide
La condition d’équilibre suivan
suivant Oz s’écrit :
(cid:5) (cid:3)(cid:17) = 0 ⇒ (cid:1)(cid:18)(cid:11)(cid:19)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10) (cid:12) (cid:1)
(cid:1)(cid:18)(cid:11) (cid:20) (cid:9)(cid:11)(cid:19)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10) (cid:12) (cid:28)(cid:29) (cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:11) = 0
Alors,
(cid:1)(cid:18)(cid:11) (cid:20) (cid:9)(cid:11)(cid:19)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:11)(cid:19)(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10)
(cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10) = (cid:12)(cid:28)(cid:29) (cid:9)(cid:16)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:11)
14
Chapitre II : St
II : Statique des fluides
Dévisée par dx dy dz on obtie
obtient:
(cid:1)(cid:18)(cid:11) (cid:20) (cid:9)(cid:11)(cid:19) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:11)(cid:19) (cid:9)(cid:11)
Pour dz → 0
= (cid:12)(cid:28)(cid:29)
(cid:9)(cid:1) (cid:9)(cid:11) Finalement
= lim (cid:17)→"
(cid:18) (cid:19) (cid:1)(cid:18)(cid:11) (cid:20) (cid:9)(cid:11)(cid:19) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:11) (cid:9)(cid:11)
= (cid:12)(cid:28)(cid:29)
= (cid:12)(cid:28)(cid:29)
(cid:9)(cid:1) (cid:9)(cid:11) L’équation précédente est souv
st souvent appelée équation fondamentale de l’hy
e l’hydrostatique.
Pour un fluide incompressible
ssible (masse volumique ρ constante), l’intégratio
égration de l’équation
précédente entreZ1 et Z2 s’écri
s’écrit:
$%
'%
(cid:9)(cid:11)
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= # (cid:12)(cid:28)(cid:29)
(cid:9)(cid:1) $& Nous trouvons:
'&
(cid:19) (cid:1)( (cid:12) (cid:1)) = (cid:12)(cid:28)(cid:29) (cid:18)*( (cid:12) *)(cid:19) Soit,
(cid:1)) = (cid:1)( (cid:20) (cid:28)(cid:29) (cid:18)*( (cid:12) *)(cid:19) = (cid:1) On conclure que :
(cid:1)( (cid:20) (cid:28)(cid:29) +
La pression augmente donc lin
nc linéairement en fonction de la profondeur
II.3 Pression absolue et relat
t relative (manométrique)
La pression absolue est défini
définie par rapport à la pression dans le vide qu
ide qui correspond à la
pression nulle. La pression a
sion absolue minimale possible est donc zéro.
zéro. il est courant de
mesurer la pression de liquide
iquide relativement à la pression atmosphérique
ique (pression de l'air).
On parle alors de pression re
ion relative. De cette façon, la pression à la su
à la surface libre d’un
liquide est égale à zéro. On sai
n sait que:
(cid:1)) = (cid:1)( (cid:20) (cid:28)(cid:29) + Si P2=Patm alors:
(cid:1)) = (cid:1),-. (cid:20) (cid:28)(cid:29) + ⇒ /01(cid:14)(cid:14)234
/01(cid:14)(cid:14)234 69(cid:14)35:1
01567281 (cid:1)) = (cid:28)(cid:29) + ⇒ /01(cid:14)(cid:14)234 01567281 On conclure que :
pression absolue= pres
= pression relative+pression atmosphérique
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Chapitre II : Statique des fluides
II.4 Egalité des pressions sur un même plan horizontal
Si l’on considère la direction horizontale (figure II.2), on aura :
(cid:5) (cid:3)(cid:6) = 0 ⇒ (cid:1)(cid:18)(cid:16)(cid:19)(cid:9)(cid:11)(cid:9)(cid:10) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:16) (cid:20) (cid:9)(cid:16)(cid:19)(cid:9)(cid:11)(cid:9)(cid:10) = 0
Dévisée par dx dy dz on obtient:
(cid:1)(cid:18)(cid:16) (cid:20) (cid:9)(cid:16)(cid:19) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:16)(cid:19) (cid:9)(cid:16)
Pour dx → 0
= 0
(cid:9)(cid:1) (cid:9)(cid:16) Sur un même plan horizontal , toutes les pressions sont égales (Pressions Isobares)
(cid:1)(cid:18)(cid:16) (cid:20) (cid:9)(cid:16)(cid:19) (cid:12) (cid:1)(cid:18)(cid:16)(cid:19) (cid:9)(cid:16)
= 0 ⇒ (cid:1) = ;34(cid:14)76471
= lim (cid:6)→"
Exemple 1 :
Un récipient contient de l’eau jusqu’à 2m et par-dessus de l’huile jusqu’à 3 m. La densité
de l’huile dh=0,83. Calculez la pression absolue et relative au fond du récipient
Solution :
L’application de l’EFH entre 1 et 0 et entre 2 et 1 donne :
P1=P0+ρhuile g h1
P2=P1+ ρeau g h2= P0+d ρeau g h1+ ρeau g h2 • La pression absolue : P0=105 Pa
P2=105+0,83 103 9.81 (1) + 103 9.81 (2)=1277623 Pa=1.28 bar
• La pression relative : P0=0
P2=0+0,83 103 9.81 (1) + 103 9.81 (2)=277623 Pa=0.28 bar
Exemple 2 :
3 m
2 m
h1
h2
P0
P1
P2
Soit un tube en U fermé à une extrémité qui contient deux liquides non miscibles.
Calculer la pression P3 du gaz emprisonne dans la branche fermé. On donne : ρHg=13600 Kg/m3 et ρessence=700 Kg/m3, Patm=105 Pa
Solution :
Appliquons la loi fondamentale de l’hydrostatique
(EFH) ente 1 et 2, puis 2 et 3 :
(cid:1)( = (cid:1)) (cid:20) (cid:28)<(cid:13)(cid:13)(cid:29) (cid:18)0,728(cid:19) (cid:18)1(cid:19)
(cid:1)( = (cid:1)B (cid:20) (cid:28)CD(cid:29) (cid:18)0,015(cid:19) (cid:18)2(cid:19)
Alors :
(cid:1)B = (cid:1)( (cid:12) (cid:28)CD(cid:29) (cid:18)0,015(cid:19)
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Chapitre II : St
II : Statique des fluides
(cid:1)B = (cid:1)) (cid:20) (cid:28)<(cid:13)(cid:13)(cid:29) (cid:18)0,728(cid:19) (cid:12) (cid:28)CD (cid:1)B = 10F (cid:20) 700 9,81 0,728 (cid:12) (cid:1)B = H, IHJK LM II.4 Mesure de la pression
CD(cid:29) (cid:18)0,015(cid:19)
(cid:12) 13600 9,81 0,015
On utilise des manomètres d
ètres dont le plus simple est le tube piézomé
iézométrique ordinaire
(généralement vertical) dont l’
dont l’extrémité inférieure est placé au point où l
nt où l’on veut mesurer
la pression.
1. Le piézomètre :
Le piézomètre est l’instrument
ument de mesure de la pression le plus simple, c’
ple, c’est un tube
transparent vertical ou inclinée
clinée, raccordé au point ou on veut déterminer l
iner la pression, celle-
ci n’est autre que la hauteur d’
eur d’eau qui monte dans ce tube.
2. Manomètre en U
Figure II.3 : Piézomètre
Il consiste en un tube en U don
U dont une extrémité est raccordée au point de m
t de mesure et l’autre à
l’aire libre, le tube contient so
ent soit du mercure ou autre liquide plus dense q
ense que le fluide dont
la pression est à mesurer pour
pour la mesure des pression manométriques.
Figure II.4 : Manomètre en U
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Chapitre II : Statique des fluides
On a : P2=P3 (la ligne isobare)
Appliquons l’équation fondamentale de l’hydrostatique entre 3 et 4 et entre 2 et 1 :
(cid:1)B = (cid:1)P (cid:20) (cid:28))(cid:29)+)
(cid:1)( = (cid:1)) (cid:20) (cid:28)((cid:29)+( = (cid:1),-. (cid:20) (cid:28)((cid:29)+(
Puisque l’on mesure une pression manométrique, on soustrait donc Patm : (cid:1)( = (cid:28)((cid:29)+(
et Comme : (cid:1)( = (cid:1)B ⇒ (cid:1)P = (cid:28)((cid:29)+( (cid:12) (cid:28))(cid:29)+)
3. Manomètre différentiel :
C’est un tube raccordé entre deux point où en veut déterminer la différence de pression ou
hauteur piézométrique, il peut être à un seul liquide avec valve d’entrer d’air, ou à deux
liquides.
Figure II.5 : Manomètre différentiel
4. Manomètre type bourdon
Pour des applications où les variations de pression sont brusques et élevées. Le Bourdon
est simplement un tube métallique évidé dont une extrémité est fermée et l’autre est reliée
au fluide sous pression. Sous l’effet de la pression, le tube tend à se redresser provoquant
le mouvement d’une aiguille sur un cadran gradué. Les unités que l’on retrouve sur un
cadran de Bourdon peuvent être très variées et il importe de bien vérifier si les pressions
mesurées sont absolues, relatives et en quelles unités elles se trouvent.
Figure II.6 : Manomètre type bourdon
18
Chapitre II : Statique des fluides
II.5 Forces hydrostatiques sur les parois
Cette force est définie comme étant la force de pression exercée par un fluide au repos sur
une surface de contacte, cette force est toujours normale à la surface. Le calcul des forces
hydrostatiques sur une surface quelconque plongée dans l’eau, consiste à déterminer
l’intensité de la force et son point d’application.
On traitera dans ce qui suit le cas des surfaces planes ensuite les surfaces courbées.
II.5.1 Surfaces planes
Soit une plaque de forme quelconque immergée et inclinée d’un angle α. O
hP
hG
dF
F
α
YG
YP
y
dS
G
P
x
Figure II.7 : Force exercée par un fluide au repos sur une paroi solide fixe
Soit un élément de surface de la plaque « dS », la pression qui s’exerce sur cet élément est : P =ρ g h
La force de poussée exercée sur l’élément sera :
Donc la force de poussée totale sur la plaque sera :
(cid:9)(cid:3) = (cid:1) (cid:9)(cid:4) = (cid:28)(cid:29)- (cid:9)(cid:4)
Or,
- = (cid:10) sin P
d’ou:
(cid:3) = # (cid:9)(cid:3) = # (cid:28)(cid:29)- (cid:9)(cid:4)
(cid:3) = (cid:28)(cid:29) sin P # (cid:10) (cid:9)(cid:4)
Le terme
Q (cid:10) (cid:9)(cid:4)
représente le moment statique de la surface par rapport à l’axe Ox :
Avec yG ordonnée du centre de gravité
(cid:10) (cid:9)(cid:4) = (cid:10)R(cid:4)
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Chapitre II : Statique des fluides
L’expression de F devient :
et comme :
-R = (cid:10)R sin P Donc l’expression finale de F devient :
(cid:3) = (cid:28)(cid:29) sin P (cid:10)R(cid:4)
hG est la profondeur du centre de gravité de la surface
S = TU VWX
S est l’aire de la surface
Le point d’application de la force résultante F est appelé : le centre de poussée. La
position de ce point est définie par la position du barycentre des surfaces élémentaires (ds)
pondérées par la pression sur chaque surface, ce qui revient à calculer le moment
équivalent des forces de pression, c’est-à-dire :
(cid:10)Y(cid:3) = # (cid:10) (cid:9)(cid:3) = (cid:28)(cid:29) sin P # (cid:10)' (cid:9)(cid:4)
D’où :
Le terme
Z(cid:6) = Q (cid:10)' (cid:9)(cid:4)
Ox.
(cid:10)Y =
(cid:28)(cid:29) sin P Q (cid:10)' (cid:9)(cid:4) (cid:28)(cid:29) sin P (cid:10)R(cid:4)
Q (cid:10)' (cid:9)(cid:4) (cid:10)R(cid:4)
=
représente le moment d’inertie de la surface A par rapport à l’axe
Le théorème de Huygens nous permet d’écrire que:
Où :
'(cid:4) Z(cid:6) = Z(cid:6)R (cid:20) (cid:10)R
IxG représente le moment d’inertie de la surface A par rapport à l’axe qui passe par le
centre de gravité
Dans ce cas, la formule de yp devient :
(cid:10)Y = (cid:10)R (cid:20)
Z(cid:6)R (cid:10)R(cid:4)
Cette formule montre que le point d’application de la résultante F se trouve toujours plus
bas que le centre de gravité d’une distance égale à :
Z(cid:6)R (cid:10)R(cid:4)
La profondeur du centre de poussée par rapport à la surface libre est donnée par :
-[ = (cid:10)Y sin P
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Chapitre II : St
II : Statique des fluides
Le tableau suivant fournit le ce
it le centre de gravité, la surface et l’inertie pour q
pour quelques formes
de surface plane.
Type de
surface
Rectangle
Forme géom
e géométrique
Centre de
surface Mo
Moment d'inertie
gravité<