Ma triser lal atoireSpringerParisBerlinHeidelbergNew YorkHong KongLondresMilanTokyoMa triser lal atoireExercices r solus de probabilit set statistiqueEva CantoniPhilippe HuberElvezio RonchettiISBN-10 :2-287-34069-6Springer Paris Berlin Heidelberg New YorkISBN-13 :978-2287-34069-7 Springer Paris Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag France,Paris,2006Imprim en FranceSpringer-Verlag France est membre du groupe Springer Science + BusinessMediaCet ouvrage est soumis au copyright. Tous droits r serv s,notamment la reproduction et la repr sentationla traduction,la r impression,lexpos ,la reproduction des illustrations et des tableaux,la transmission parvoie denregistrement sonore ou visuel,la reproduction par microfilm ou tout autre moyen ainsi que laconservation des banques de donn es. La loi fran aise sur le copyright du 9septembre 1965 dans la versionen vigueur nautorise une reproduction int grale ou partielle que dans certains cas,et en principe moyennantle paiement de droits. Toute repr sentation,reproduction,contrefa on ou conservation dans une banque dedonn es par quelque proc d que ce soit est sanctionn e par la loi p nale sur le copyright.Lutilisation dans cet ouvrage de d signations,d nominations commerciales,marques de fabrique,etc.m me sans sp cification ne signifie pas que ces termes soient libres de la l gislation sur les marques defabrique et la protection des marques et quils puissent tre utilis s par chacun.La maison d dition d cline toute responsabilit quant lexactitude des indications de dosage et des modesdemploi. Dans chaque cas,il incombe lusager de v rifier les informations donn es par comparaison lalitt rature existante.SPIN:11752523Maquette de couverture :Jean-Fran ois Montmarch Eva CantoniD partement d conom trieUniversit de Gen ve40,boulevard du Pont dArve1211 Gen ve 4SuisseElvezio RonchettiD partement d conom trieUniversit de Gen ve40,boulevard du Pont dArve1211 Gen ve 4SuissePhilippe HuberD partement d conom trieUniversit de Gen ve40,boulevard du Pont dArve1211 Gen ve 4SuisseCollectionStatistiques et probabilit s appliqu esdirig e par Yadolah DodgeProfesseur HonoraireUniversit de Neuch tel2002 Neuch tel - SuisseComit ditorial:Christian GenestD partement de Math matiqueset de statistiqueUniversit de LavalQu bec GIK 7P4CanadaMarc HallinUniversit libre de BruxellesCampus de la Plaine CP 2101050 BruxellesBelgiqueLudovic Lebart cole Nationale Sup rieuredes T l communications46,rue Barrault75634 Paris Cedex 13FranceStephan Morgenthaler cole Polytechnique F d ralede LausanneD partement des Math matiques1015 LausanneSuisseGilbert SaportaConservatoire nationaldes arts et m tiers292,rue Saint-Martin75141 Paris Cedex 3FranceDans la m me collection :Statistique. La th orie et ses applications,Michel Lejeune,avril 2004Le choix Bay sien.Principes et pratique,Christian P.Robert,novembre 2005Pr efaceCetouvrageestler esultatdelexp eriencep edagogiquedesdixdernieresann eesalUniversit edeGenevedanslecadrededeuxcoursdebasesemestrielsdeprobabilit esetstatistiqueauniveaubachelor.Danscescourssontpr esent eslesconceptsdebasedesprobabilit esainsiquedelinf erencestatistique.Cesdomainesnesontpasdes sportspourdesspectateurs maisexigentunapprentissageactifdesconceptspr esent esenclasse.Doulan ecessit edunegrandequantit edexercicesquipermettentdassimileretma 1trisercesconcepts.Danscetouvrage,onarecueilli212problemesr esolus,structur eenhuitchapitrespourdesraisonsdeclart e.Alint erieurdechaquechapitre,lesexer-cicessonts epar espartheme,avec,pourchaquetheme,unniveaudedicult equivaenaugmentant.Alandechaquechapitre,sontindiqu eesquelquesr ef erencesquicouvrentlesaspectsth eoriques(nontrait esici).Cetouvragepeut etreutilis ecommecompl ementdetoutlivredeprobabili-t esetstatistiquedanslecadredecoursdebasedansdesdomainesaussivari esquelessciences economiques,lapsychologie,lessciencessociales,lesmath e-matiques,lessciencesnaturellesetlam edecine.Ilpeutaussi etreutilis edanslecadredecoursdepr eparationalentr eedansunprogrammedemasterdansundomaineoucesconnaissancessontexig ees,ainsiquepourlautoformationetlapr eparationdexamens.Plusieurspersonnesnousontaid esetinspir esaucoursdeceprojet.Noustenonsaremercierlesassistantsquiontcollabor eaucours,F.X.deRossi,V.Czellar,D.Conne,S.L o.Lechoixdecertainsexercicesa et elargementinuenc eparlestravauxpratiquesdelaChairedeStatistiqueAppliqu eedel EcolePolytechniqueF ed eraledeLausanne(EPFL)etaussiparlexcellentlivredeS.M.Ross(1987);quetoutescespersonnestrouventicilexpressiondenotregratitude.Pourterminer,noustenons egalementaremercierMmeN.Huilleret, editriceaux editionsSpringer-VerlagFrance,etnotrecollegueleProfesseurY.Dodge,responsabledelaCollectionstatistiqueetprobabilit esappliqu ees,pourleurspr ecieuxconseilsetleursencouragements.Geneve,juin2006EvaCantoniPhilippeHuberElvezioRonchettiWeb:http://www.unige.ch/ses/metri/cantoni/Maitriser/index.htmlSommairePr efacevii1Probabilit es el ementaires12Variablesal eatoiresdiscretes233Variablesal eatoirescontinues454Variablesal eatoiresmultivari ees815Th eoremeslimites1136Principesdinductionstatistiqueet echantillonnage1257Estimationponctuelle1338Inf erence179Chapitre1Probabilit es el ementairesIntroductionLesexercicesdecechapitreconcernentlesreglesdebaseducalculdespro-babilit es.Dansbeaucoupdeproblemes el ementairesoncalculelaprobabilit edun ev enementcomme{nombredecasfavorablesal ev enement}/{nombredecaspossibles}.Celaimpliquelaconnaissancedequelquesformulesdebasedelanalysecombinatoire.Unautreoutilutileestlaconstructiondunestructureaarbrequirepr esentegraphiquementtoutesless equencespossiblesduneexp e-riencer ep et ee.Danscecontexte,lanotiondeprobabilit econditionnellepermetdecalculerdesprobabilit escomplexesapartirdesituationsplussimples.Enn,leth eoremedeBayesestunr esultatfondamentalquipermetd inverser uneprobabilit econditionnelle(voirenparticulierlexercice1.19etlasuitelexer-cice2.1).NoteshistoriquesLanotiondal eatoireetleconceptintuitifdeprobabilit eremontentalanti-quit emaiscestauXVIeetauXVIIesieclequedesregles el ementairesdecalculsontd evelopp ees.Lafameusecorrespondanceentrelesmath ematiciensfran caisPascaletFermaten1654,concernantunproblemedujeuauhasardpropos eparunnobledel epoque,leChevalierdeM er ee(voirlexercice1.6),estconsid er eecommelepointded epartdu calcul desprobabilit es.Parmilesgrandssavantsquionttravaill eparlasuitesurdesproblemesdeprobabilit esonpeutmentionnerJacobBernoulliavecsonoeuvreArsConjectandi(1713)ainsiquedautresmembresdecettefamilleuniquedemath ematicienssuisses,deMoivreavecsonoeuvreDoctrinedeschances(1718)etensuiteLaplace,Euler,Gauss,LagrangeetLegendre.Jusquaud ebutduXXesiecleledomainedesprobabilit esrestaunchampdesmath ematiquesconstitu edunensembleder esultats(int eressantsetutiles)maissansaucunebaseaxiomatique.En1900Hilbert enon casonfameuxprogrammequicontenaitcommesixiemeprobleme2Ma 1triserlal eatoireled eveloppementdunestructureaxiomatiquepourlesprobabilit es.En1933lemath ematicienrusseA.N.Kolmogorovrelevaled eenpubliantunarticlequipr esentaitlesfameuxaxiomesalabaseducalculdesprobabilit es.Lesproba-bilit esdevenaientalorsundomainedesmath ematiquesapartentierecommelag eom etrie,lalgebreouencorelanalyse.R ef erences(th eorie)Ilexistebeaucoupdelivressurlesprobabilit es.Deuxbonnesr ef erencessontRoss,chapitres1a3[1]etPitman,chapitre1[2].1.Probabilit es el ementaires3ExercicesCalculssimplesdeprobabilit es1.1Quatrehommesd eposentleurchapeauauvestiaireenentrantdansunres-taurantetchoisissentauhasardensortant1des4chapeaux.Calculerlesprobabilit essuivantes.1.Aucundes4hommesneprendsonproprechapeau.2.Exactement2des4hommesprennentleurproprechapeau.1.2Aur elieetNicolasjouentauxd es.Ilslancenttouratour2d esetobserventleschiressortis.Quandlasommeest7ouleproduit6,Aur eliemarqueunpoint;quandlasommeest6ouleproduit4,Nicolasenmarque1.Pourquiparieriez-vous?1.3Parmilesfamillesde2enfants,lamoiti esetrouve etrebienr epartie,cest-a-direcompos eedautantdegar consquedelles.Enest-ildem emeparmilesfamillesde4enfants?(Onsupposeiciquechaquenaissancedonneavec equiprobabilit eungar conouunelle.)1.4Ontireauhasard2cartesdunjeudecartesdepoker(52cartes).Quelleestlaprobabilit equellesformentunblackjack,ouautrementdit,quelunesoitunasetlautreundix,unvalet,unedameouunroi?1.5Onclasse5hommeset5femmesselonleurr esultatslorsdunexamen.Onfaitlhypothesequetouslesscoressontdi erentsetqueles10!classementspossiblesonttouslam emeprobabilit edeser ealiser.Ond esignelerangdelameilleurefemmeparX(parexempleXvaudra2silemeilleurr esultata et eobtenuparunhommeetlesuivantparunefemme).Donnerlafonctiondefr equencesdeX,cest-a-direP(X=i)pouri=1,...,10.4Ma 1triserlal eatoire1.6Problemepos eparleChevalierdeM er eeaPascalen1654.Quelestl ev enementleplusprobable:obteniraumoins1fois1asenlan cant4foisund eouobteniraumoins1fois1doubleasenlan cant24fois2d es?1.7Onconsidere3 ev enementsA,B,etC.1.AlaidedundessindesensemblesA,BetC,trouveruneformuleper-mettantdecalculerP(A*B*C)silonconna 1tlesprobabilit esdechacundeces ev enementsetlesprobabilit esdesintersectionsdeces ev enements.2.D emontrercetteformuleapartirdesaxiomesdelath eoriedesprobabi-lit es.1.8Onconsidereunefamilleavec2enfants.Onsupposequelavenuedunelleestaussicertainequecelledungar con.1.Quelleestlaprobabilit equeles2enfantssoientdesgar conssachantquela 1n eestungar con?2.Quelleestlaprobabilit equeles2enfantssoientdesgar conssachantquaumoinsundesenfantsestungar con?1.9Onjette2d es equilibr es.1.Quelleestlaprobabilit equaumoinslundentreeuxmontre6,sachantqueles2r esultatssontdi erents?2.Quelleestlaprobabilit equaumoinslundentreeuxmontre6,sachantqueleursommevauti?Calculerler esultatpourtouteslesvaleurspos-siblesdei.Probabilit estotalesetth eoremedeBayes1.10Uncertainsystemea5composantes.Unepannedusystemeestcaus ee35%,30%,20%,10%et5%desfoisparunepannedanslescomposantes1.Probabilit es el ementaires5A,B,C,DetE,respectivement.Onsupposequelespannessimultan eesdansplusdunecomposantealafoissontsiraresquonpeutlesn egliger.1.Siunepannedusystemenestpascaus eeparA,quelleestlaprobabilit equellesoitcaus eeparB?2.Siunepannedusystemenestcaus eeniparA,niparB,quelleestlaprobabilit equellesoitcaus eeparCouD?1.11Oncompterespectivement50,75,et100employ esdans3entrep otsA,BetC,lesproportionsdesfemmes etantrespectivement egalesa50%,60%et70%.Uned emissionaautantdechancedeseproduirecheztouslesemploy es,ind ependammentdeleursexe.Uneemploy eedonnesad emission.Quelleestlaprobabilit equelleviennedelentrep otC?1.12TouslesmeilleursjoueursdumondesontinscritsautournoidetennisdeDiamondCitypourlequelle1erprixestuneriviereendiamants.OnestimeaprioriqueRogerFederera4chancessur10degagner,AndyRoddick3chancessur10etLeytonHewitt2sur10.SiparhasardRogerFedererseblesseetan-nulesaparticipationauderniermoment,quedeviennentleschancesrespectivesdeAndyRoddicketLeytonHewittderemporterlarivieredediamants?1.13Dansunpaysouilna 1tautantdellesquedegar cons,ledocteurGluckpr evoitlesexedesenfantsana 1tre.Ilsetrompe1foissur10sicestungar conet1foissur20sicestunelle.AujourdhuiilvientdedireaMmeParisodquelleauraitunelle.Quelleestlaprobabilit epourquecelasoitvrai?1.14Unecompagniedassurancer epartitlesassur esen3classes:personnesabasrisque,risquemoyenethautrisque.Sesstatistiquesindiquentquelaprobabilit equunepersonnesoitimpliqu eedansunaccidentsurunep eriodedunanestrespectivementde0,05,0,15et0,30.Onestimeque20%delapopulationestabasrisque,50%arisquemoyenet30%ahautrisque.1.Quelleestlaproportiondassur esquionteuunaccidentouplusaucoursduneann eedonn ee?6Ma 1triserlal eatoire2.Siuncertainassur enapaseudaccidentslann eepass ee,quelleestlaprobabilit equilfassepartiedelaclasseabasrisque?1.15Unavionestport edisparu.Onpensequelaccidentapuarriveraussibiendansnimportelaquellede3r egionsdonn ees.Notonspar1 ilaprobabilit equond ecouvrelaviondanslar egionisilyesteectivement.Lesvaleurs irepr esententdonclaprobabilit edemanquerlavionlorsdesrecherches.Onpeutlattribueradiversescausesdordreg eographiqueoualav eg etationproprealar egion.Quelleestlaprobabilit equelavionsetrouvedanslaier egion(i=1,2,3)silesrecherchesdanslar egion1nontriendonn e?1.16ALondresilpleutenmoyenne1joursur2etdonclam et eopr evoitdelapluielamoiti edesjours.Lespr evisionssontcorrectes2foissur3,cest-a-direlesprobabilit esquilpleuvequandonapr evudelapluieetquilnepleuvepasquandonapr evudutempssecsont egalesa2/3.Quandlam et eopr evoitdelapluie,Mr.Pickwickprendtoujourssonparapluie.Quandlam et eopr evoitdutempssecilleprendavecprobabilit e1/3.Calculer:1.laprobabilit equeMr.Pickwickprennesonparapluieunjourquelconque;2.laprobabilit equilnaitpasprissonparapluieunjourpluvieux;3.laprobabilit equilnepleuvepassachantquilportesonparapluie.1.17LesultanditaAliBaba: Voici2urnes,4boulesblanches(b)et4boulesnoires(n).R epartislesboulesdanslesurnes,maisjerendraiensuitelesurnesindiscernables.Tuauraslaviesauveentirantunebouleblanche. 1.Quelleestlaprobabilit equAliBabaaitlaviesauvesilplaceles4boulesblanchesdansla1reurneetles4noiresdansla2e?2.Idemavec2b+2ndansla1reurneet2b+2ndansla2e.3.Idemavec3bdansla1reurneet1b+4ndansla2e.4.CommentAliBabamaximise-t-ilseschances?1.18Lesassistantssociauxtravaillantpourunecliniquepsychiatriquesontsioccup esquenmoyenneseuls60%despatientsprospectifst el ephonantpour1.Probabilit es el ementaires7la1refoisobtiendrontunecommunicationaveclundecesassistants.Onde-mandeauxautresdelaisserleurnum erodet el ephone.Troisfoissur4unassistanttrouveletempsderappelerlejourm eme,autrementlerappelalieulelendemain.Lexp erienceamontr eque,danscetteclinique,laprobabilit equelepatientprospectifdemandeuneconsultationestde0,8silapuparlerim-m ediatementaunassistant,tandisquelletombea0,6et0,4respectivementsilyaeurappeldupatientlejourm emeoulelendemain.1.Quelpourcentagedespatientsquiappellentdemandeuneconsultation?2.Quelpourcentagedespatientsenconsultationnapaseuaattendrequonlesrappelle?1.19Onaadisposition2testssanguinspourled epistageduHIV:dunepartlELISA,relativementbonmarch e(environ20e)etraisonnablementable,etdautrepartleWesternBlot(WB),nettementmeilleurmaisbeaucouppluscher(environ100e).Unpatientvientversvous,unm edecin,avecdessympt omesvoussugg erantquilpeut etreHIV-positif.Pourcepatient,lepr evalenceduHIVestestim eeparlalitt eraturem edicaleaP(A)=P(ilestHIV-positif)=0,01.Lesdonn eesconcernantdespersonnesdontonconna 1tlestatutHIVapportent:P(ELISApositif|HIV-positif)=0,95;P(ELISAn egatif|HIV-n egatif)=0,98.Enutilisantleth eoremedeBayes,calculer:P(HIV-positif|ELISAn egatif)etP(HIV-n egatif|ELISApositif).Quelle(s)cons equence(s)peut-onentirersurlutilisationdelELISA?1.20Lh opitaldeJujuy,petitevilleduNord-OuestdelArgentine,compteparmisesmalades4%quisontdoriginebasque,58%dorigineespagnole,32%dorigineindienneet6%dorigineitalienne.Sachantque3%desIndiensontunsangderh esusn egatif,ainsique87%desBasqueset22%despopulationsdoriginelatine,quelleestlaprobabilit epourquune eprouvettedesangderh esusn egatifproviennedunmaladedoriginebasque?1.21DepuisGeneve(GVA)ouilhabite,SergeveutserendreaDublin(DUB)pourassisteraunconcertdeU2.Sy etantprisunpeutard,touslesavionspourallerenIrlandesontpresquepleins.Troisitin erairesdi erentset equiprobablessorentalui:passerparBruxelles(BRU),Munich(MUC)ouFrancfort(FRA).8Ma 1triserlal eatoireNadine,quiesth otessedaccueilala eroport,aunebonneexp erienceetfaitlestimationsuivante:lacorrespondancepartantdeBRUauneprobabilit ede1/5d etrepleine;cellepartantdeMUC,uneprobabilit ede1/4;cellepartantdeFRA,uneprobabilit ede1/2.Ilexisteencoreunepossibilit esuppl ementaire.SiSerged ecidedepasserparFRA(etlaliaisonFRA-DUBestcomplete),ilauraletempsdeprendreuntrainrapidequilameneraaMUCatempspourprendrelevolMUC-DUB(aconditionquuneplacesoitdisponibledanslavion,bienentendu).Cinqjoursplustard,SergerencontreDavidetluit emoigneleplaisirquilaeudepouvoirassisterauconcertdeU2.Quelleestlaprobabilit equilsoitpass eparMUC?1.22LepetitDavidesttresfrianddebonbons;ilenatoujoursquelques-unsdanslespoches.Manquantdespritded ecisionquantalar omequilpr efere,ilprocedeaujeusuivant.Danssapochegauche,ilmet5bonbonsalorangeet3alafraiseet,dansladroite,ilenmet4alorangeet2alafraise.Iltireensuiteunepieceetsielledonnepile,ilpiocheagaucheetsielledonneface,ilsesertadroite.Lapieceestbiens urparfaitement equilibr ee.1.Quelleestlaprobabilit equapres2jets,ilaitmang e2bonbonsayantlem emeparfum?2.Ilrentreensuitechezluietvidesespochessurunetable.Samere,aucourantdujeudesonls,trouvesurlatable7bonbonsalorangeet5alafraise.Aidez-laatrouverlas equencedes2jetsdepiecelaplusprobablequaeueDavid.3.Lelendemain,Davidnaplusquedesbonbonsalorange.Ilenmet5agaucheet2adroite.Ilpassechezl epicierpourenacheteralafraise.Sachantquillesmettratousdanslapochedroite,combiendoit-ilenacheterpourquauprochainjet,ilsoitleplusprespossibledavoirautantdechancesdentirerunalorangeoualafraise?1.23Untribunalde3jugesd eclareunindividucoupablelorsque2aumoinsdes3jugesestimentquecetted ecisionestfond ee.Onadmettraquesilaccus eesteectivementcoupable,chaquejugeseprononceradanscesensavecprobabi-lit e0,7,ceciind ependammentdes2autres.Cetteprobabilit etombea0,2danslecasoulaccus eestinnocent.70%desaccus essontcoupables.Calculerlaprobabilit equelejuge3votecoupabledanschacunedessituationssuivantes:1.lesjuges1et2lontfait;2.lejuge1avot ecoupableoulejuge2avot ecoupable;1.Probabilit es el ementaires93.lesjuges1et2ontvot etousdeuxnoncoupables.1.24Freddyfaitunesauceauvinquelemondeentiervientgo uter.Commeelleesttresd elicate,illarate1foissur10silutiliseduBordeauxouduBourgogneet1foissur5avecduC otes-du-Rh one.Danssacuisine,Freddyaunebouteilleouvertedontilaperdul etiquette.Connaissantlaproportiondeces3vinsdanssacave,ilestimequeleschancesquecettebouteillesoitunBordeaux,unBourgogneouunC otes-du-Rh onesontrespectivement40%,30%et30%.Freddyutilisecettebouteillepourfairesasauceetlarate.Quellesdoivent etresesnouvellesestimationssurlaprovenancedelabouteille?10Ma 1triserlal eatoireCorrig es1.1Onnum eroteleschapeaux1,2,3et4.Ilya4!=24issuespossiblesw1=(1,2,3,4),w2=(1,2,4,3),...,ouw1,...,w24sontlesissuespossibles.1.Oncomptelesissuesfavorables,asavoircellesquinontnile1en1repo-sition,nile2en2e,nile3en3e,nile4en4e.Ond enombrealors9issuesfavorables.Laprobabilit eestdoncde924=38.2.Onprocededelam ememaniereenchoisissantcommeissuesfavorablescellesquiontexactement2chapeauxplac esaubonendroit.Onend e-nombre6etlaprobabilit eestde624=14.1.2Avec2d esde6faces,ilya36issuespossibles.Aur eliemarque1pointsilesd esmontrentunedes8combinaisonssuivantes(2,3),(6,1),(2,5),(4,3),(3,2),(1,6),(5,2)ou(3,4).Nicolasmarque1pointsilesd esdonnent(2,2),(4,1),(5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5)ou(1,4),soit8issuesfavorables egalement.DoncP(Aur eliemarque1point)=P(Nicolasmarque1point)=836=29.Lesprobabilit esdemarquer1pointsont egales.1.3SoientFl ev enement avoirunelle etGl ev enement avoirungar con .Ilya24=16issuespossiblespourunefamillede4enfants.Ond enombre6issues avoir2lleset2gar cons :(GGFF),(GFGF),(GFFG),(FGGF),(FGFG),(FFGG),etlaprobabilit echerch eeest616=38.Ilyadoncmoinsdefamillesbienr epartiesavec4enfants.1.Probabilit es el ementaires111.4Lenombredissuespossibleslorsquontire2cartesparmi52estC522.Lenombredissuesfavorables (un10OUunvaletOUunedameOUunroi)ETunas estC41 C161.AinsiP(blackjack)=(cid:1)41(cid:2)(cid:1)161(cid:2)(cid:1)522(cid:2)=32663.1.5SoitXlerangdelameilleurefemme.Laprobabilit edavoirX=1estP(X=1)=P(femmeenpremier)=P(F...)=12.Laprobabilit edavoirX=2correspondalaprobabilit equunhommesoit1eretunefemme2e:P(X=2)=P(HF...)=12 59=518.Oncontinuedelam ememaniereP(X=3)=P(HHF...)=12 49 58=536P(X=4)=P(HHHF...)=12 49 38 57=584P(X=5)=P(HHHHF...)=12 49 38 27 56=5252P(X=6)=P(HHHHHF...)=12 49 38 27 16 55=1252Finalement,lameilleurefemmenepouvant etreclass eeau-deladela6eplace,P(X=7)=P(X=8)=P(X=9)=P(X=10)=0.1.6Soientles ev enementsA obteniraumoins1asenlan cant4foisund e etB obteniraumoinsunepairedasenlan cant24fois2d es .AinsiP(A)=1P(A)=1(cid:1)56(cid:2)4(cid:7)0,518etP(B)=1P(B)=1(cid:1)3536(cid:2)24(cid:7)0,491.L ev enementleplusprobableestA.12Ma 1triserlal eatoireACBYXZWFig.1.1Diagrammedelexercice1.7.1.7Soient3 ev enementsA,BetC.1.Dansledessindesensemblesdelagure1.1,W,X,YetZsontdessurfacesquirepr esententP(A)B)parW+X,P(A)C)parX+YetP(B)C)parX+Z.PourlecalculdeP(A*B*C),oncommenceparadditionnerlesproba-bilit esP(A),P(B)etP(C).Enproc edantdelasorte,onacompt eunefoisdetroplesairesW+X,Y+XetZ+Xquilfautdoncsoustraire.Finalement,lasurfaceXa et eadditionn ee3fois,puissoustraite3fois egalement.Pourarriveraur esultatnal,ilfaut,parcons equent,lajouterencoreunefois.AinsiP(A*B*C)==P(A)+P(B)+P(C)P(A)B)P(A)C)P(B)C)+P(A)B)C).2.Parlesaxiomesdelath eoriedesprobabilit es,onobtientlem emer esultatP(A*B*C)==P(A*B)+P(C)P((A*B))C)=P(A)+P(B)P(A)B)+P(C)P((A)C)*(B)C))=P(A)+P(B)+P(C)P(A)B)P(A)C)P(B)C)+P(A)B)C).1.Probabilit es el ementaires131.8SoientFl ev enement avoirunelle etGl ev enement avoirungar con .Dansunefamilleavec2enfants,ilya4issuespossibles(GG,GF,FG,FF).1.OnchercheP(GG|GF*GG)=P(GG)P(GF)+P(GG)=1/41/4+1/4=12.2.Cettefois,P(GG|GF*FG*GG)=13.1.9Soient (cid:9)= l ev enement les2d esdonnentdesr esultatsdi erents etSlavariableal eatoire sommedes2d es .1.P(6|(cid:9)=)=P(6)(cid:9)=)P((cid:9)=)=10/3630/36=13.2.P(6|S=i)=P(6)S=i)P(S=i)=0i=1,2,3,4,5,6P(6|S=7)=13P(6|S=8)=25P(6|S=9)=12P(6|S=10)=23P(6|S=11)=1P(6|S=12)=1P(6|S=i)=0i>12.1.10SoitA(respectivementB,C,DetE)l ev enement lapanneprovientdelacomposanteA(respectivementB,C,DetE) .1.P(B|A)=P(B)A)P(A)14Ma 1triserlal eatoirePuisqueB AP(B)A)P(A)=P(B)1P(A)=0,310,35=3065(cid:7)0,46.2.Parlem emeraisonnement,(C*D) (A*B).Deplus,lespannesnepeuventpas etresimultan eescequiimpliquequetousles ev enementssontind ependants.AinsiP(C*D|A*B)=P(C*D)P(C*D*E)=P(C)+P(D)P(C)+P(D)+P(E)=3035(cid:7)0,86.1.11SoitA(respectivementBetC)l ev enement lemploy etravailledanslen-trep otA (respectivementBetC)etFl ev enement lemploy eestunefemme .OntrouvealorsP(C|F)=P(F|C)P(C)P(F|A)P(A)+P(F|B)P(B)+P(F|C)P(C)=0,71002250,550225+0,675225+0,7100225=12.1.12SoitF(respectivementRetH)l ev enement R.Federer(respectivementA.RoddicketL.Hewitt)gagneletournoi .OnchercheP(R|F).DeP(R)=P(R|F)P(F)+P(R|F)P(F),ond eduitP(R|F)=P(R)P(R|F)P(F)P(F)=3/100 4/106/10=12.Delam ememaniere,ontrouveP(H|F)=13.1.13SoientPAl ev enement MmeParisodaunelle etGLl ev enement ledocteurGluckapr evuunelle .OntrouveP(PA|GL)=P(GL|PA)P(PA)P(GL|PA)P(PA)+P(GL|PA)P(PA)=19/20 1/219/20 1/2+1/10 1/2=1921(cid:7)0,91.1.Probabilit es el ementaires151.14SoientAl ev enement avoir1accidentouplus etB1(respectivementB2etB3)l ev enement apparteniralacat egoriebas(respectivementmoyenethaut)risque .1.P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0,05 0,2+0,15 0,5+0,3 0,3=0,175.2.P(B1|A)=P(A|B1)P(B1)P(A)=0,95 0,20,825(cid:7)0,23.1.15SoientEil ev enement lavionestdanslar egioni etMil ev enement onnetrouvepaslaviondanslar egioni ,aveci=1,2,3.OnsaitqueP(Ei)=13etP(Mi|Ei)= i,i=1,2,3.Oncherchelesprobabilit esquelavionsetrouvedansunedes3r egionsensachantquelesrecherchesdanslazone1nontriendonn eP(E1|M1)=P(E1) P(M1|E1)(cid:3)3i=1P(M1|Ei) P(Ei)= 1 1/3 1 1/3+1/3+1/3= 1 1+2.Danscecalcul,onatenucomptedufaitquilestcertaindenepastrouverlaviondanslazone1sicederniersetrouveenr ealit edansleszones2ou3(P(M1|E2)=P(M1|E3)=1).Onprocededelam ememanierepourP(E2|M1)=P(E2) P(M1|E2)(cid:3)3i=1P(M1|Ei) P(Ei)=1 1+2=P(E3|M1).1.16Soientles ev enementsW= lam et eopr evoitlapluie ,R= ilpleut etU= Mr.Pickwickprendsonparapluie .OnsaitqueP(R)=1/2.Deplus,onpeutdessinerlarbredelagure1.2,aveclequeloncalcule1.P(U)=1223+1213+121313+122313=23,2.P(U|R)=P(U)R)P(R)=1/2 1/3 2/31/2=29,16Ma 1triserlal eatoireWWRRRRUUUUUU1/21/22/32/32/31/32/31/31/31/311Fig.1.2Arbredelexercice1.16.3.P(R|U)=P(R)U)P(U)=1/2 2/3 1/3+1/2 1/3 12/3=512.1.17Soientles ev enementsU1(U2) AliBabatiredansla1re(2e)urne etS AliBabaalaviesauve .Danstouslescassuivants,onauraP(S)=P(S|U1)P(U1)+P(S|U2)P(U2).1.Quatreboulesblanchessontplac eesdansU1et4noiresdansU2P(S)=1 12+0 12=12;1.Probabilit es el ementaires172.Deuxboulesblancheset2boulesnoiressontplac eesdanschacunedes2urnesP(S)=1212+1212=12;3.Troisboulesblanchessontplac eesdansU1etlerestedansU2P(S)=1 12+1512=35;4.AliBabamaximiseseschancesderesterenvieenpla cant1bouleblanchedansla1reurneettouteslesautresdansla2eP(S)=1 12+3712=57.1.18Soientles ev enementsA lepatientdemandeuneconsultation etB1(respectivementB2etB3) lepatientobtientimm ediatement(respectivementlesoirm emeetlelendemain)unentretient el ephonique .1.LepourcentagedespatientsdemandantuneconsultationparmiceuxquiappellentestP(A)=3(cid:4)i=1P(A|Bi)P(Bi)==0,8 0,6+0,6 0,4 0,75+0,4 0,4 0,25=0,7=70%.2.Lepourcentagedespatientsenconsultationquinontpaseuaattendred etrerappel esestP(B1|A)=P(A|B1)P(B1)P(A)=0,8 0,60,7(cid:7)68,6%.1.19Soientles ev enementsHIV+(respectivementHIV) lepatientestHIV-positif(respectivementn egatif) etE+(respectivementE) lELISAestpositif(respectivementn egatif) .OntrouveP(HIV+|E)=P(E|HIV+)P(HIV+)P(E|HIV+)P(HIV+)+P(E|HIV)P(HIV)=0,05 0,010,05 0,01+0,98 0,99=0,05%etP(HIV|E+)=P(E+|HIV)P(HIV)P(E+|HIV+)P(HIV+)+P(E+|HIV)P(HIV)=0,02 0,990,02 0,99+0,95 0,01=0,68.18Ma 1triserlal eatoireGVAFRAMUCBRUPPPPPPPP1/31/31/31/53/41/41/21/23/41/44/5MUCFig.1.3Arbredelexercice1.21.Auvudecesr esultats,ilest evidentquelELISAestuntresbontestpourd eterminersiunpatientnestpasHIV-positif.Parcontre,ilestinecacepourd eciderdelacontaminationdunpatient.Danslexercice2.1,unautretestestutilis epourd eterminersiunpatientestvraimentmalade.1.20Soientles ev enementsB(respectivementIetL) lemaladeestdoriginebasque(respectivementindienneetlatine) etRH+(respectivementRH) lesangcontenudansune eprouvetteestderh esuspositif(respectivementn egatif) .Oncherchelaprobabilit equelesangderh esusn egatifcontenudansune eprouvetteproviennedunmaladedoriginebasque:P(B|RH)=P(RH|B)P(B)P(RH)=0,97 0,040,87 0,04+0,03 0,32+0,22 0,64(cid:7)0,19.1.21Soientles ev enementsBRU(respectivementMUCetFRA) SergepasseparBruxelles(respectivementMunichetFrancfort) etPl ev enement Sergenepeutpaspartircarlavionestplein .Onconstruitlarbredelagure1.31.Probabilit es el ementaires19P5/83/8OOP2/31/3OOPP1/21/2PP1/21/2PP1/2PP1/21/2OO4/73/71/2OO2/31/3OO5/72/7OO2/31/3OO5/83/8OO3/52/5OO5/83/8OO4/51/5Fig.1.4Arbredelexercice1.22.pourtrouverP(MUC|P)=P(MUC)P)P(P)=1/3 3/4+1/3 1/2 3/41/3 4/5+1/3 3/4+1/3 1/2 3/4+1/3 1/2=4597(cid:7)0,46.1.22Soientles ev enementsP lapiecedonnepile etO lebonbontir eestalorange .Aud epart,Davida5bonbonsalorangeet3alafraisedanslapochegauche(5O+3O)et4alorangeet2alafraisedansladroite(4O+2O).Onconstruitlarbredelagure1.4enfaisantattentionaufaitquelestiragessontsansremise;cequiimpliquequelesprobabilit eschangentaufur20Ma 1triserlal eatoireetamesuredes ev enements.1.Laprobabilit edetirer2bonbonsayantlem emeparfumestalorsP(2parfumsidentiques)==14(cid:1)5847+5823+3827+3813+2358+2335+1338+1315(cid:2)(cid:7)0,50.2.Ilreste7bonbonsalorangeet5alafraise.CelasigniequeDavidatir e2bonbonsalorange.Pourtrouverlas equencelaplusprobable,oncalculelaprobabilit epourchacunedesquatres equencespossiblesP(PP|OO)=P(OO|PP)P(PP)P(OO)(cid:7)5/8 4/7 1/40,40(cid:7)0,23P(PP|OO)(cid:7)2/3 5/8 1/40,40(cid:7)0,26P(PP|OO)(cid:7)2/3 5/8 1/40,40(cid:7)0,26P(PP|OO)(cid:7)2/3 3/5 1/40,40(cid:7)0,25avecP(OO)=14(cid:1)5847+5823+2335+2358(cid:2)(cid:7)0,40.Les2s equenceslesplusprobablessontPPetPP(ellessont equivalentes).3.SoitXlenombredebonbonsalafraisequeDaviddoitacheter.OnveutqueP(O)=1/2P(O)=P(O|P)P(P)+P(O|P)P(P)=1 12+22+X 12=12 22+X=0 X .IlfaudraitqueDavidacheteuneinnit edebonbonspour equilibrerleschancesdetirerunbonbonalorangeoualafraise.1.23Soientles ev enementsJCi lejugeivotecoupable (i=1,2,3)etC laccus eesteectivementcoupable .1.Oncherchedabordlaprobabilit equele3ejugevotecoupableensachantqueles2premiersvotentcoupableP(JC3|JC1)JC2)=P(JC3)JC1)JC2)P(JC1)JC2).1.Probabilit es el ementaires21Ilfautfaireattentiondenepasutiliserlind ependancedanscette equationdirectement.Ilyaseulementind ependanceentrelesd ecisionsdesjugesconditionn eesalaculpabilit e(ounonculpabilit e)delaccus e.Ainsi,ilestn ecessairedefaireappara 1tredesprobabilit esconditionnellespourutiliserlhypothesedind ependance:P(JC3|JC1)JC2)==P(JC3)JC1)JC2|C)P(C)+P(JC3)JC1)JC2|C)P(C)P(JC1)JC2|C)P(C)+P(JC1)JC2|C)P(C)=P(JC3|C) P(JC1|C) P(JC2|C) P(C)P(JC1|C) P(JC2|C) P(C)+ P(JC1|C) P(JC2|C) P(C)+P(JC3|C) P(JC1|C) P(JC2|C) P(C)P(JC1|C) P(JC2|C) P(C)+ P(JC1|C) P(JC2|C) P(C)=0,73 0,7+0,23 0,30,72 0,7+0,22 0,3=97142(cid:7)0,68.2.Leraisonnementpourles2dernieresquestionsestlem emequen1.P(JC3|JC1)JC2)==P(JC3)JC1)JC2)P(JC1)JC2)=0,72 0,3 0,7+0,22 0,8 0,30,7 0,3 0,7+0,2 0,8 0,3(cid:7)0,583.P(JC3|JC1)JC2)==P(JC3)JC1)JC2)P(JC1)JC2)=0,7 0,32 0,7+0,2 0,82 0,30,32 0,7+0,82 0,3(cid:7)0,32.1.24Soientles ev enementsR lasauceestrat ee etCR(respectivementBDetBG) labouteilleestduC otes-du-Rh one(respectivementduBordeauxetduBourgogne) .Oncommenceparcalculerlaprobabilit equelevinsoitduBordeauxensachantquelasauceestrat ee:P(BD|R)=P(R|BD)P(BD)P(R|BD)P(BD)+P(R|BG)P(BG)+P(R|CR)P(CR)=0,1 0,40,1 0,4+0,1 0,3+0,2 0,3=413(cid:7)0,31.Onprocededelam ememanierepourles2autresvinsetontrouveP(BG|R)=313(cid:7)0,23etP(CR|R)=613(cid:7)0,46.Ainsi,ensachantquelasaucearat e,labouteilleaenviron31%dechanced etreduBordeaux,23%d etreduBourgogneet46%d etreduC otes-du-Rh one.Chapitre2Variablesal eatoiresdiscretesIntroductionLanotiondevariableal eatoireestfondamentaledanslecalculdesproba-bilit es.Lapremierepartiedecechapitrepr esentedesexercicessurlesoutilsg en erauxdetravailavecdesvariablesal eatoiresdiscretes.Ceux-ciincluentlaloideprobabilit e,lafonctionder epartition,lesp eranceetlavariance(exer-cices2.1a2.4).Ensuiteonarecueillilesexercicesconcernantquelquesloisdiscretesdeprobabilit e.Ontraiteenparticulierlesdeuxloisdiscreteslesplusimportantes,asavoirlaloibinomialeetlaloidePoisson(exercices2.5a2.18).LaloibinomialeLastructurequig enerelaloibinomialepeut etrer esum eedelafa consui-vante.Consid eronsuneexp erienceal eatoireconstitu eeden epreuvesind epen-dantes.Achaque epreuvedeuxissuessontpossibles, succes avecprobabi-lit epet echec avecprobabilit e1p.Lavariableal eatoireXquicomptelenombrede succes danslas erieden epreuvessuituneloibinomialeavecparametresnetp,Xes achaque epreuve.LaloidePoissonestutilis eepourmod eliserparexemplelenombredeclientsquiarriventaunguichet,lenombredepannesdunemachine,oulenombresdaccidentsdelacirculationpendantunecertainep eriode.Laloideprobabilit edePoissondunevariableal eatoireX,XerequelepatientestHIV-n egatif.SinonquilestHIV-positif.Une2estrat egieestcommela1re,saufquesilELISAestpositif,onfaitenplusleWB.Sicedernierestpositif,onconsiderequelepatientestHIV-positif,sinonquilestHIV-n egatif.Onformalisela2estrat egieainsilesissuespossiblessontcompos eesdetriplets(statutHIV,statutELISA,statutWB).Parexemple,onconsidere(+,+,+);uneprobabilit eassoci eeachaqueissue.Pour(+,+,+)cest0,00945;achaqueissueestassoci eeunevaleur,d enissantainsiunevariableal ea-toireU,appel eeutilit e.Pour(+,+,+),cestc1c2=120e.Pour(+,,),cestc1LI=1000020e.1.Compl eterletableausuivantr esumantla2estrat egie.Prob.VraistatutHIVStatutELISAStatutWBUtilit e0,00945+++c1c20,00005++-c1c2LI0,00004+-(+)c1LI+-(-)c1LI0,0001-++c1c2LII0,0197-+-0,00095--(+)c10,96925--(-)2.Calculerlesp erancedelutilit e.3.Pourla1restrat egie,fairedem eme(tableauetesp erancedelutilit e).4.Quellestrat egiefaut-iladopter?(DiscuterenfonctiondeLIetLII.)26Ma 1triserlal eatoire2.2Vousvouspromenezenfor etetvoustombeznez-a-nezavecunoursaf-fam e.Heureusement,vousnesortezjamaissansvotrefusil,maisvousnavezcependantque3cartouchesenpoche.Sachantquachaquetir,vousavezuneprobabilit epdatteindrevotreobjectif,cest-a-diredetuerlours,etennotantXlavariableal eatoirerepr esentantlenombredetirsstrictementn ecessairespourtuerlours,r epondezauxquestionssuivantes.1.CalculezP(X=1),P(X=2),etP(X=3)enfonctiondep.2.Donnez egalementP(Xd3).Querepr esentecetteprobabilit e?3.SachantqueE(X)=1/p,quelleestlavaleurminimaledeppouresp erersortirvivantdecemauvaispas?4.Enr ealit e,langoisseetlestressdiminuentvosaptitudesautirsibienquelaprobabilit edatteindreloursauieessaiestdonn eeparpi.DonnezdanscecasP(X=1),P(X=2)etP(X=3)etcomparezcesprobabilit esaveccellesobtenuesaupoint1.2.3Unepersonnepossede4clefsparmilesquellesuneseuleouvrelaporte.Ellelesessaieauhasarden eliminantcellesquinemarchentpas.OnposeX lenombredessaispourouvrirlaporte .1.Calculerlaloideprobabilit edeX,cest-a-direP(X=k)aveck=1,2,3,4.2.CalculerE(X)etVar(X).2.4Lescr epartitlesm enagesen5classesderevenu.Lesdonn eesdelann eescale2005luiapportent:Classe1:19000m enages.Classe2:45000m enages.Classe3:28000m enages.Classe4:9000m enages.Classe5:2000m enages.NotonsXlavariableal eatoire classedappartenance .1.Trouverlafonctionder epartitiondeX.2.CalculerP(2<Xd4)etP(X>4).3.CalculerE(X)etVar(X).2.Variablesal eatoiresdiscretes27LoibinomialeetloidePoisson2.5Uncanaldetransmissiondinformationnepeuttraiterquedes0etdes1.Acausedeperturbationsduesal electricit estatiquechaquechiretransmislestavecuneprobabilit ederreurde0,2.Admettonsquelonveuilletransmettreunmessageimportantlimit eaunsignalbinaire.Pour eviteruneerreurontransmettra00000aulieude0et11111aulieude1.Siler ecepteurd ecodesuivantlaregledelamajorit e,quelleestlaprobabilit equelemessagesoitmalinterpr et e?2.6Un epicierre coitunlotdepommesdont25%sontavari es.Ilchargeunemploy edepr eparerdesemballagesde5pommeschacun.Celui-ci,n egligent,nesedonnepaslapeinedejeterlesfruitsavari es.Chaqueclientquitrouve,danslemballagequilachete,2fruitsouplusquisontavari es,revientaumagasinseplaindre.1.SoitXle nombredepommesavari eesdansunemballage .D eterminerlaloideprobabilit edeX.2.Quelleestlaprobabilit epourquunclientdonn eseplaigneaupresdeson epicier?3.Sil epiciera100clientsquiachetentdespommescejour-la,combienyaura-t-ildeplaintes?2.7Giovanni,ditGianni,ad ecid edeparcourircet et e10000kmenFiatRitmo.Orlaprobabilit edavoirunaccidentsur1kmestde1/10000.Enprenantconnaissancedecetteprobabilit e,Giannid ecidealorsdannulersonlongvoyageenpr etextantd etres urdavoirunaccident. Etes-vousdaccordavecGianni?Sicenestpaslecas,quelleestlerreurcommiseparnotreamiGianni?Quelleestalorsapproximativementlaprobabilit equeGianniaitunaccident?2.8Unjournalistesevoitremettreunelistedepersonnesainterviewer.Ildoitinterroger5personnesaumoins.Lesinterview espotentielsnacceptentdepar-lerquavecuneprobabilit ede2/3,ind ependammentlesunsdesautres.Quelleestlaprobabilit equilpuisser ealiserses5entretienssilalistecompte5noms?Etsielleencompte8?28Ma 1triserlal eatoire2.9Des etudeseectu eesparlescompagniesa eriennesmontrentquilyauneprobabilit ede0,05quechaquepassagerayantfaituner eservationneectuepaslevol.Alasuitede ca,SAAirlinesvendtoujours94billetspoursesavionsa90sieges,tandisqueBAAirlinesvendtoujours188billetspoursesavionsa180sieges.Avecquellecompagnieunpassagerayantr eserv eunsiegerisque-t-illeplusdenepaspouvoirprendreplacedanslavion?2.10MadameGourmandepr eparedesbiscuitsauxraisinssecsetauxp epitesdechocolat.Ellem elange600raisinset400p epitesdechocolatdanslap ateetpr epare500biscuits.Desquelesbiscuitssontpr ets,MadameGourmandeenchoisitunauhasardpourlego uter.1.Calculerlaprobabilit equilnyaitpasderaisinsdanslebiscuit.2.Calculerlaprobabilit equilyaitexactement2p epitesdechocolat.3.Calculerlaprobabilit equilyaitaumoins2morceaux(raisinsoup epitesdechocolat).2.111.Nadinepartalacueillettedeschampignons.Ellenesaitpasfaireladi erenceentreunchampignoncomestibleetunchampignontoxique.Onestimequelaproportiondechampignonstoxiquessetrouvantdanslesboiss elevea0,7.(a)Nadineramasse6champignonsauhasard.Calculerlaprobabilit equelleramasseexactement4champignonstoxiques.(b)NadineinviteSergeaunecueillette.Sergeconna 1tbienlescham-pignons;sur10champignonsquilramasse,9sontcomestibles.Cejour-la,ilramasse4champignonsetNadineenramasse3.Calculerlaprobabilit equetousleschampignonssoientcomestibles.2.Sergecueilleenmoyenne12champignonsparheure.(a)Calculerlaprobabilit equilramasseexactement8champignonsenuneheure.(b)Calculerlaprobabilit equilramasseaumoins1champignonen20minutes.2.12Lesing enieursdusonpr epos esalasonorisationdunconcertenpleinairh esitententredeuxsolutions:4haut-parleursde4000wattschacunou2haut-2.Variablesal eatoiresdiscretes29parleursde8000wattschacun.Onsupposequelaprobabilit equunhaut-parleurtombeenpanneest egaleap=0,2ind ependammentdutypedehaut-parleuretquelespannesseproduisentind ependammentlesunesdesautres.Enadmettantqueleconcertpeutsed erouleravecaumoins8000watts,quellesolutionconseillerez-vousacesing enieurs?Exercicescombin es2.13Dixchasseursguettentlepassagedunvoldecanards.Lorsquelescanardspassentengroupe,leschasseursfonttousfeuenm emetempsmaischacunchoisitsacibleauhasardind ependammentdesautres.Onadmetquechaquechasseurtouchesoncanardaveclam emeprobabilit ep.1.Combiendecanards,enmoyenne,survivrontautirlorsquelevolsecom-posede20canards?Calculercettemoyennepourdiversesvaleursdep.2.Quelseralenombredecanardstouch essilevolsecomposedunnombredecanardssuivantuneloidePoissondeparametre15?2.14Chacundessoldatsdunetroupede500hommesestporteurdunecertainemaladieavecprobabilit e1/1000.Cettemaladieestd etectablealaideduntestsanguinet,pourfaciliterleschoses,onnetestequunm elangedusangdes500soldats.1.Quelleestlaprobabilit equeletestsoitpositif,indiquantparlaquaumoinsunedespersonnesestmalade?2.Onsupposequeletesta et epositif.Quelleestlaprobabilit equedanscecas,plusdunepersonnesoitmalade?2.15Aluniversit e,letauxdeblocagedem achoireprovoqu eparunb aillementprofondestde1personnepour1000etparmois.Onsupposequun etudiantaauplusunblocagedem achoireparmoisetquelesblocagesdem achoiresontind ependants.1.Quelleestlaprobabilit equenunmoisdelann eeacad emique2005-2006ilyait3blocagesdem achoireouplusparmiles etudiantsdeluniversit e?Indication:supposerquilya4000 etudiants.2.Quelleestlaprobabilit equa...
Maîtriser l’aléatoire : Exercices résolus de probabilités et statistique
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