Exercice 2
´Enonc´e
On considere le systeme d’´equations lin´eaires (S θ
α) : AX = b avec α ∈ R:
A =
3θ
1
0
, X =
4 −2
1
2θ
α
2
x1
x2
x3
et b =
1
, et α ∈ R
1
2
Partie I : θ = 1
1 D´eterminer les valeurs de α pour lesquelles le syst`eme (S 1
α) admet une unique
solution.
2 Sachant que pour θ = 1 et α = 6, montrer que la matrice A peut ˆetre d´ecompos´ee en
un produit LU, puis r´esoudre le syst`eme (S 1
6 ) en utilisant cette d´ecomposition.
3 Sans calculer A2 ni L2 proposer un raisonnement pour r´esoudre le syst`eme d?´equation
lin´eaires A2X = b.
Partie II : θ ∈ R
1 D´eterminer une condition suffisante sur θ et α pour que la m´ethode de Jacobi et de
Gauss-Seidel soient convergentes.
2 Pour un vecteur initial X (0) =
1
1
, donner le r´esultat des deux premi`eres it´erations
1
de la m´ethode de Jacobi appliqu´ee au syst`eme pour θ = 3 et α = 6.
1 / 10
Exercice 2
Partie I: θ = 1
Solution
1- La matrice associ´e `a (S 1
4 −2
1
2
α
2
α) admet une unique solution ssi det(A) (cid:54)= 0.
α) est A =
(S 1
3
1
0
.
det(A) =
(cid:12)
3
(cid:12)
(cid:12)
1
(cid:12)
(cid:12)
0
(cid:12)
(cid:12)
4 −2
(cid:12)
(cid:12)
1
2
(cid:12)
(cid:12)
α
2
(cid:12)
L2 ← L2 −
L1
1
3
4
2/3
2
(cid:12)
3
(cid:12)
(cid:12)
0
(cid:12)
(cid:12)
0
(cid:12)
(cid:12)
2/3
(cid:12)
(cid:12)
2
(cid:12)
=
= 3
(cid:12)
−2
(cid:12)
(cid:12)
5/3
(cid:12)
(cid:12)
α
(cid:12)
(cid:12)
5/3
(cid:12)
(cid:12)
α
(cid:12)
= 3(
2
3
α −
10
3
) = 2α − 10.
det(A) (cid:54)= 0 ⇐⇒ α (cid:54)= 5.
Conclusion : pour tout α ∈ R \ {5}, le syst`eme (S 1
α) admet une unique solution.
2 / 10
Exercice 2
Partie I: θ = 1
Solution
2- On pose α = 6, Dans ce cas A =
3
1
0
4 −2
1
2
6
2
D’abord on peut v´erifier facilement que A admet une unique d´ecomposition LU, en
effet :
A(1) = (3); det(A(1)) = |3| (cid:54)= 0,
(cid:12)
(cid:19)
3
(cid:12)
(cid:12)
1
(cid:12)
= 6 − 4 = 2 (cid:54)= 0,
; det(A(3)) =
(cid:18)3
1
A(2) =
Publicité
(cid:12)
4
(cid:12)
(cid:12)
2
(cid:12)
4
2
A(3) = A; det(A(3)) = det(A) = 5 × 6 − 10 = 20 (cid:54)= 0,
Ainsi tous les mineurs principaux de A sont inversibles et par suite A admet une
unique d´ecomposition LU.
3 / 10
Exercice 2
Partie I: θ = 1
Solution
Premi`ere m´ethode: Par les op´erations ´el´ementaires
On effectue la r´eduction de la matrice A jusqu’`a obtenir une forme ´echelonn´ee. On
calcule au fur et a mesure la matrice triangulaire inf´erieure L (pour la premiere
colonne de L, on a li1 = ai1
a11
de suite pour les colonnes suivantes).
, pour la deuxi`eme colonne de L on a li2 = ai2
a22
et ainsi
A =
3
1
0
L2←L2− 1
3
−−−−−−−−→
L1
4 −2
1
2
6
2
3
0
0
1
1/3
0
0
1
0
0
0
1
−−−−−−→
1
1/3
0
4 / 10
4
2/3
2
0
1
3
−2
5/3
6
0
0
1
L3←L3−3L2
−−−−−−−→
−−−−−−→
3
0
0
1
1/3
0
4
2/3
0
= U
−2
5/3
1
0
1
3
= L
0
0
1
Exercice 2
Partie I: θ = 1
Solution
Deuxi`eme m´ethode: Par identification
A = LU avec L matrice triangulaire inf´erieure de diagonale unit´e et U matrice
triangulaire sup´erieure :
L =
1
l2,1
l3,1
0
1
l3,2
0
0
, U =
1
Alors par identification :
u1,1
0
0
u1,2
u2,2
0
u1,3
u2,3
u3,3
1 × u1,1 = 3 ⇒ u1,1 = 3
1 × u1,2 = 1 ⇒ u1,2 = 4
1 × u1,3 = −2 ⇒ u1,3 = −2
l2,1 × 3 = 1 ⇒ l2,1 = 1
3
3 × 4 + 1 × u2,2 = 2 ⇒ u2,2 = 2
1
3 × −2 + 1 × u2,3 = 1 ⇒ u2,3 = 5
3 × l3,1 = 0 ⇒ l3,1 = 0
l3,2 × 2
3 = 2 ⇒ l3,2 = 3
3 × 5
On obtient :
3 + 1 × u3,3 = 6 ⇒ u3,3 = 1
1
3
3
5 / 10
L =
1
1/3
0
0
1
Publicité
3
0
0
1
, U =
3
0
0
4
2/3
0
−2
5/3
1
Solution
Exercice 2
Partie I: θ = 1
R´esolution
AX = b ⇐⇒ LUX = b
la solution du syst`eme lin´eaire LY = b.
Cherchons Y =
y1
y2
y3
=
L
y1
y2
y3
1
1
⇒
2
y1
y2
y3
=
1
2
3
0
Apres avoir calculer le vecteur Y il reste a trouver la solution du syst`eme lin´eaire
UX = Y
Alors,
3
0
0
4
2/3
0
−2
5/3
1
=
1
2
3
0
x1
x2
x3
En utilisant la m´ethode de remont´ee on obtient: X =
est l’unique solution
−1
1
0
de (S 6
1 ).
6 / 10
Solution
3- A2X = b ⇐⇒ A(AX ) = b ⇐⇒
(cid:40)
AY = b
AX = Y
Exemple: Pour θ = 1 et α = 6 r´esoudre A2X = b
(d’apr`es Q2 partie I)
AY = b ⇐⇒ Y =
−1
1
0
AX = Y ↔ LUX = Y ↔
(cid:40)
LZ = Y
UX = Z
Cherchons Z =
LZ = Y ↔
z1
z2
z3
la solution du syst`eme lin´eaire LZ = Y .
0
1
3
0
0
1
z1
z2
z3
=
⇒ Z =
−1
1
0
−1
2/3
−2
1
1/3
0
Apres avoir calculer le vecteur Z il reste a trouver la solution du syst`eme lin´eaire
UX = Z
Alors,
3
0
0
Publicité
4
2/3
0
−2
5/3
1
x1
x2
x3
=
−1
2/3
−2
En utilisant la m´ethode de remont´ee on obtient: X =
7 / 10
=
x1
x2
x3
−25/3
6
−2
Exercice 2
Partie II: θ ∈ R
Solution
1- Pour que la m´ethode de Jacobi et de Gauss-Seidel soient convergentes il suffit que A
soit `a diagonale strictement dominante c-ˆa-d:
|3θ| > 6
|2θ| > 2
|α| > 2
Donc si α ∈] − ∞, −2[∪]2, +∞[ et θ ∈] − ∞, −2[∪]2, +∞[ alors les m´ethodes de
Jacobi et de Gauss-Seidel sont convergentes.
8 / 10
Solution
2- Pour α = 6 et θ = 3, A =
9
1
0
4 −2
1
6
6
2
A est une matrice `a diagonale strictement dominante, ainsi, la m´ethode de Jacobi et
la m´ethode de Gauss Seidel sont convergentes.
M´ethode de Jacobi
D´ecomposition de Jacobi: On pose A = D − E − F
9
0
0
0
6
0
0
0
6
x k+1
1
x k+1
2
x k+1
3
=
0
−1
0
−4
0
−2
2
−1
0
+
x (k)
1
x (k)
2
x (k)
3
1
1
2
x (k+1)
1
x (k+1)
2
x (k+1)
3
=
=
=
(k)
b1−a1,2 x
2
a1,1
(k)
b2−a2,1 x
1
a2,2
(k)
b3−a3,1 x
1
a3,3
(k)
−a1,3 x
3
(k)
−a2,3 x
3
(k)
−a3,2 x
2
=
=
=
1−4x
+2x
(k)
3
(k)
2
9
1−x
−x
(k)
1
Publicité
(k)
3
6
(k)
2
2−2x
6
It´eration de Jacobi: Pour le vecteur initial X (0) =
1
1
,
1
It´eration 1 : X (1) =
It´eration 2 : X (2) =
9 / 10
−1/9
−1/6
0
0.1235
0.213
0, 3611
Solution
M´ethode de Gauss Seidel
D´ecomposition de Gauss-Seidel : On pose A = D − E − F
9
−1
0
0
6
−2
0
0
6
=
x k+1
1
x k+1
2
x k+1
3
0 −4
0
0
0
0
2
−1
0
x (k)
1
x (k)
2
x (k)
3
+
1
1
2
x (k+1)
1
=
x (k+1)
2
=
x (k+1)
3
=
b1−a1,2x
−a1,3x
(k)
3
1−4x
+2x
(k)
2
(k)
3
(k)
2
a1,1
(k+1)
1
a2,2
(k+1)
1
a3,3
=
(k)
3
=
(k+1)
2
−a2,3 x
−a3,2 x
9
(k+1)
1
−x
(k)
3
1−x
6
(k+1)
2−2x
2
6
=
b2−a2,1x
b3−a3,1x
It´eration de Gauss Seidel : Pour le vecteur initial X (0) =
1
1
,
1
It´eration 1 : X (1) =
It´eration 2 : X (2) =
10 / 10
−1/9
1/53
52/159
−0.2607
0, 1556
0, 327