Les s ries chronologiques ou temporelles :
Description et Repr sentations
I.
Introduction et d finitions
1 ) D finition
Une s rie chronologique, ou s rie temporelle, est une s rie d'observations ordonn es chronologiquement
(les observations sont rep r es dans le temps).
Elles sont extr mement utilis es dans une grande vari t de domaines. On peut citer : l' conomie (taux de
ch mage, PNB &), la finance (cours d'action, taux d'int r t, &), l' cologie (pollution l'ozone, au CO, &), le
transport (avec l'exemple c l bre du trafic a rien international), la d mographie&
Exemple1 :
Cet exemple retrace le nombre mensuel de cr ations dentreprises en France de janvier juin 2005.
Tableau 1: volution mensuelle des cr ations dentreprises en France
janvier
f vrier
mars
avril
mai
juin
Nombre de cr ations d'entreprises
24966
26942
26790
25684
25050
26566
Source : Insee Conjoncture, Bulletin dinformations rapides, num ro 2005, 11 juillet 2005
Figure 1: Time series plot of the market yield on US Treasury Securities at 10-year constant maturity. Source: US Treasury
2 ) P riodicit
Les s ries chronologiques peuvent tre annuelles, trimestrielles, mensuelles, hebdomadaires, journali res
et m me infra-journali res.
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Exemple2
Le cours dune action peut tre connu heure apr s heure et m me minute apr s minute, voire de fa on
instantan e. Le graphique de la figure 2 ci-apr s retrace ainsi l volution du cours de laction France Telecom,
de minute en minute, le 12 juillet 2005, entre 9 h et 10 h.
Figure 2 Cours de laction France Telecom
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Evolution du cours de laction Tunis air
Source : http://www.bvmt.com.tn/fr/historique-cotations?code=TN0001200401
linverse, certaines donn es sont disponibles beaucoup plus rarement. On aura alors des observations
sporadiques qui permettront de retracer l volution sur une longue p riode, mais avec une p riodicit
irr guli re.
Pour repr senter graphiquement les s ries chronologiques, on mettra toujours le temps en abscisse et les
valeurs de la variable en ordonn e. La repr sentation la plus habituelle est le nuage de points. Mais il est
fr quent que lon relie les points entre eux.
http://www.bvmt.com.tn/fr/historique-cotations?code=TN0001200401
3 ) Tendance, variations saisonni res et accidentelles
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Lobservation des s ries chronologiques permet de distinguer trois composantes principales. La premi re de
ces composantes, la tendance ou trend, donne le sens de l volution sur la dur e. La seconde composante,
ce sont les variations saisonni res ou p riodiques. La troisi me composante, ce sont les variations
accidentelles.
Ces trois composantes ne sont pas toujours simultan ment pr sentes dans une s rie chronologique.
Certaines s ries nont pas de tendance, dautres nont aucune composante p riodique. Dautres enfin, ne
connaissent aucune variation accidentelle.
Tableau 2 Trafic a rien international de janvier 1949 d cembre 1960 (milliers)
La premi re tape consiste tracer les donn es, ce qui est fait sur la figure ci-apr s. On peut d j faire
quelques remarques pr liminaires :
Augmentation r guli re du trafic ;
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Fluctuation saisonni re : augmentation de novembre juillet-ao t, avec un creux vers le mois
d'avril, puis diminution jusqu'en novembre.
Les donn es sont de plus en plus dispers es.
Cependant certains points m riteraient d' tre claircis ; par exemple :
L'augmentation se fait-elle de fa on constante, exponentielle, etc.?
La fluctuation saisonni re est-elle constante au fil du temps ?
Que se passe-t-il, ind pendamment de la tendance la hausse et des fluctuations saisonni res?
Pour faire vite, disons que les deux premi res questions reviennent tudier la partie d terministe de la
s rie que l'on visualise ais ment ; la derni re vise analyser la structure al atoire - "le bruit" - qui reste une
fois que l'on a extrait la partie d terministe. Dans ce chapitre on tudiera essentiellement la partie
d terministe en pr parant le terrain pour la partie al atoire.
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4 ) Mod le multiplicatif et mod le additif
Lobservation des s ries chronologiques permet de distinguer deux grand types de s rie : celles qui se
conforment au mod le multiplicatif et celles qui se conforment au mod le additif.
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Dans le mod le additif, les variations autour du trend demeurent dans une bande de variation peu pr s
constante :
Figure 3 Mod le additif
Dans le mod le multiplicatif, au contraire, les variations autour du trend samplifient :
Figure 4 Mod le multiplicatif
Le plus simple pour d terminer le mod le le mieux adapt une s rie chronologique particuli re est de faire
un graphique, dy ajouter le trend lin aire et dobserver les fluctuations autour du trend. Si ces fluctuations
sont r guli res, il sagit dun mod le additif. Si, au contraire, elles samplifient, il sagit dun mod le
multiplicatif.
Remarque
Dans le cas de donn es saisonni res (par exemple des donn es trimestrielles), on peut aussi calculer la
moyenne annuelle de la variable et, ensuite, pour chaque trimestre, on retranche de la valeur du trimestre
la valeur de la moyenne annuelle et on obtient un cart. Il suffit alors de comparer les carts. Si les carts ne
cessent daugmenter avec le temps, on en conclut que le mod le est multiplicatif. Sinon, cest que le mod le
est additif.
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II. D TERMINATION DU TREND DUNE S RIE TEMPORELLE
Le trend , autrement dit la tendance, est ce qui, au-del des variations saisonni res ou accidentelles
dune s rie, indique le sens de son volution. Autrement dit, le trend nous renseigne sur le fait de savoir
si la variable augmente, diminue ou reste stable de fa on tendancielle. Pour d terminer le trend ou la
tendance dune s rie, il y a deux m thodes principales :
La r gression lin aire : o lon calcule les coefficients a et b dune droite, qui repr sentera la
tendance.
La m thode des moyennes mobiles.
1 ) La d termination du trend par la r gression lin aire
On calcule les coefficients a et b de la droite de r gression. Z
535 = 55- + 5
Exemple :
Soit le tableau suivant, qui donne l volution dune s rie chronologique en fonction du temps, rep r
par lindice t.
Tableau 3 fonction du temps
t
z
0
4
1
3
2
9
3
10
4
11
5
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16
6
15
Le graphique en nuages de points de cette s rie chronologique est illustr par cette figure :
Figure 5Nuage de points
Nous allons d terminer le trend de cette s rie par une droite y = ax+b, en calculant les coefficients
dapr s les formules de la r gression lin aire.
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Tableau 4 Tableau de calcul
Sous R :
> t=c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
> z=c(4, 3, 9, 10, 11, 16, 15)
> plot(t,z)
> lm(z~t)
Call:
lm(formula = z ~ t)
Coefficients:
(Intercept) t
3.179 2.179
On obtient donc l quation du trend suivante :
5S5a = 2,179 5a + 3,179
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2 ) La d termination du trend par la m thode des moyennes mobiles
La m thode des moyennes mobiles consiste calculer la moyenne des valeurs qui entourent chaque
valeur et remplacer la valeur par cette moyenne.
Elle est galement connue comme une m thode de lissage car elle agit comme un filtre passe bas et donc
limine le bruit. Le calcul de la moyenne mobile d pend dun param tre l appel la largeur de fen tre.
Ce param tre correspond au nombre dobservations inclues dans le calcul de la moyenne glissante
effectu e.
Plus l est grand plus le lissage est important (jusqu atteindre la fonction constante gale la moyenne).
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Exemple : Les donn es du tableau suivant donne l volution du cours de cl ture de laction.
La troisi me colonne donne les moyennes mobiles dordre 2 qui sont calcul es en prenant les moyennes des
cours deux deux. Elle est rarement utilis e.
titre dexemple, les deux premi res moyennes mobiles dordre 2 sobtiennent ainsi :
La quatri me colonne donne les moyennes mobiles dordre 3 qui sont calcul es en prenant les moyennes des
cours trois trois.
A titre dexemple :
Pour avoir le trend mobile, il suffit de reporter sur un graphique les moyennes obtenues.
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Lorsque la m thode de d termination par le trend lin aire appara t trop grossi re, ou lorsque par
exemple il ny a pas de raison de penser quil existe une composante saisonni re et quon veut juste
gommer les variations accidentelles, alors la m thode des moyennes mobiles peut tre un bon moyen
dobtenir une s rie ajust e ou une s rie liss e comme on dit parfois.
Le plus simple, lorsque lon fait les calculs avec un tableur, est de d terminer le trend par les deux
m thodes. noter que plus la s rie est longue, plus on peut augmenter lordre de calcul des moyennes.
3 ) LES VARIATIONS SAISONNI RES (mod le additif)
La saisonnalit correspond aux variations saisonni res "pures". Beaucoup de ph nom nes pratiques
sont soumis cette composante saisonni re. Certains produits se vendent mieux l t que lhiver (glaces,
boissons, loisirs&) dautres se vendent mieux aux p riodes de vacances scolaires (th tre, cin ma, sport,
voyage&). Lappellation de variation saisonni re ne signifie pas pour autant que la composante
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saisonni re se r partisse sur lann e, m me si cest souvent le cas. Il y a aussi des r currences de type
saisonnier lint rieur dun mois, dune semaine, voire dun jour. Certains produits se vendent mieux
certains jours et certaines heures&(en cours de la semaine, weekend,&).
Dans lobjectif de d terminer la s rie corrig e des variations saisonni re ou s rie CVS, On proc de alors
au calcul de la composante saisonni re et le coefficient saisonnier. Lint r t de ce calcul est dobtenir
une s rie chronologique dont l volution est d barrass e de la composante saisonni re qui parfois
masque la tendance. On parle ainsi de dessaisonalisation.
Pour obtenir une s rie corrig e des variations saisonni res, ou s rie CVS, on proc de en trois tapes :
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(1) on calcule la composante saisonni re,
(2) on en d duit le coefficient saisonnier et
(3) on retranche le coefficient saisonnier de la s rie originale.
Dans lexemple qui suit, nous supposerons que la s rie suit un mod le additif, lapplication au cas
multiplicatif tant l g rement diff rente.
Ci-apr s, les tapes du calcul de la s rie CVS sont d taill es, puis appliqu es un exemple concret :
1) D termination de l quation du trend par r gression lin aire.
2) Calcul des coefficients saisonniers.
3) D termination de la s rie CVS
Exemple : Soit le tableau suivant, qui donne l volution dune s rie chronologique trimestrielle.
T=c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
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Z=c(2, 4, 14, 18, 2, 6, 22, 24, 10, 12, 20, 24)
Le graphique montre la s rie et son trend (pour le calcul de l quation du trend, voir ci-apr s), r v le
deux caract ristiques, quil nous est n cessaire de v rifier pour employer la m thode propos e :
1) Dune part, la s rie tudi e suit un mod le additif. En effet, les variations autour du trend ne semblent
pas samplifier avec le temps.
2) Dautre part, il existe bien une composante saisonni re, ici trimestrielle, qui se superpose une
tendance la hausse. On note en effet qu lint rieur de chacun des trois cycles annuels, la variable
d bute un niveau faible au premier trimestre, puis augmente chaque trimestre pour atteindre un
maximum au dernier trimestre, avant de repartir la baisse au d but de lann e suivante.
1) D termination de l quation du trend
Les calculs interm diaires sont :
On obtient donc l quation du trend suivante :
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2) Calcul des coefficients saisonniers
Pour calculer les coefficients saisonniers, il faut dabord isoler la composante saisonni re de la s rie. Pour
ce faire, il convient de calculer les valeurs tendancielles, soit fi pour i =1 12, gr ce l quation du trend,
puis de retrancher fi de yi
Par exemple, quand i = 1, on a :
La composante saisonni re quand t=1 est donc :
En r it rant le calcul pour les 12 valeurs, on obtient le tableau
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Les 4 coefficients saisonniers sobtiennent en faisant la moyenne arithm tique des composantes
saisonni res (derni re colonne du tableau, Si) pour 2002, 2003 et 200On obtient :
3) D termination de la s rie CVS
La s rie corrig e des variations saisonni res, dite s rie CVS sobtient en retranchant les coefficients
saisonniers de la s rie. D signons par yi * la s rie CVS :
o Ci repr sente le coefficient saisonnier, ventuellement corrig (ici cela na pas t n cessaire). La
derni re colonne du tableau ci-apr s donne la s rie CVS.
Le graphique illustr par la figure fait appara tre que la s rie CVS pouse davantage le trend que la s rie
originale. Cest normal puisque lon a effac les variations saisonni res.
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On notera n anmoins que la m thode est loin d tre parfaite. En effet, les variations saisonni res sont
att nu es mais non supprim es. Cela vient du fait que la m thode ne permet pas de d composer tr s
finement les variations saisonni res et les variations accidentelles que nous allons tudier maintenant.
LES VARIATIONS ACCIDENTELLES
Les variations accidentelles sont ce qui reste lorsquon a enlev le trend de la s rie ajust e des variations
saisonni res. Comme on vient de le voir, la d composition entre les variations accidentelles et les
variations saisonni res est loin d tre parfaite.
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S ries chronologiques : mod le multiplicatif
Introduction
Les variables soumises des variations p riodiques ne sont pas toutes d'un mod le simplement additif,
c'est dire qui sont constantes pour chaque saison.
Certaines variables verront les caract ristiques saisonni res s'amplifier ou se r duire avec le temps.
Dans cette partie, nous tudierons le mod le multiplicatif de la forme
yt = ft x st x t avec t =1, ... , T.
Dans ce mod le, l'amplitude de la composante saisonni re et du bruit n'est plus constante au cours du
temps : elles varient au cours du temps proportionnellement la tendance ft .
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Pour illustrer cette partie, nous d velopperons l'exemple suivant :
Le nuage de points est limit par deux droites qui ne sont pas parall les (entonnoir).
17 | P a g e
2. Correction des variations saisonni res
Si la s rie y t poss de une composante saisonni re de p riode p alors l'application d'une moyenne
mobile d'ordre p supprime cette saisonnalit
Pour comparer la s rie liss e avec la s rie initiale, on cherchera obtenir les valeurs pour les m mes
dates d'observation.
Dans tous les cas on fait la moyenne de p observations (1/p). Pour obtenir une moyenne mobile pour le
temps t, on retiendra 2k + 1 observations, en pond rant les deux extr mes par .
Calcul des coefficients saisonniers
On calculera les coefficients saisonniers St que l'on centre pour obtenir St' et on obtient ainsi la s rie
corrig e des variations saisonni res yt'= yt / St'.
Premi re tape :
On calcule les coefficients saisonniers St en calculant Yt/ mmp,t .
Par exemple, Y3/ mm4,3 = 69/63,125 = 1,093
Les r sultats sont r sum s ci-dessous.
Les coefficients saisonniers ne doivent pas modifier le sens des donn es, ils doivent tre neutres au
sens de la multiplication, c'est dire que leur produit doit tre gal 1.
Ici la somme des coefficients saisonniers est gal
18 | P a g e
S1 + S2 + S3 + S4 = 3,99.
C = 3,99/4 = 0,9975
On proc dera au centrage des coefficients pour obtenir de nouveaux coefficients centr s :
St'= St /C
On obtient ainsi la s rie corrig e des variations saisonni res yt'= yt / St'
calcul des donn es corrig es
Mod le de pr vision
Soit le mod le multiplicatif yt = ft x st x t avec t =1, ... , T.
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Dans ce paragraphe, on souhaite faire de la pr vision. Pour cela, il faut estimer la tendance.
Ici, on se limitera au cas o la tendance est lin aire
f t = t +
On estime a et b de l'ajustement lin aire par la m thode des moindres carr s
" On calcule les f t
" On calcule les ratios : y t / f t (appel rapport saisonnier)
" On calcule la moyenne arithm tique des carts pour chaque saison
" On corrige si la moyenne des moyennes n'est pas gale 1 (on divise par la valeur de la moyenne)
" On obtiendra alors la s rie corrig e des variations saisonni res
calcul des param tres du mod le lin aire
20 | P a g e
a = (14032/16 88,6258,5)/ (1496/16 (8,58,5)) = 5,821
b= 88,625 - (5,821*8,5) = 39,15
Calcul de la tendance lin aire
21 | P a g e
Calcul des ratios
22 | P a g e
On calcule la moyenne des carts pour chaque saison
valeurs de la s rie pr dite
23 | P a g e
" On corrige si la moyenne des saisons n'est pas gale 1 (on divise par la valeur de la moyenne.
Dans notre exemple, la moyenne des saisons est gale 1,0045 que l'on peut consid rer nulle.
" On obtiendra alors la s rie pr dite par le mod le multiplicatif
Pr visions des ventes dhu tres
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