Les séries chronologiques ou temporelles :

Description et Représentations

Introduction et définitions

1°) Définition

Une série chronologique, ou série temporelle, est une série d'observations ordonnées chronologiquement (les observations sont repérées dans le temps).

Elles sont extrêmement utilisées dans une grande variété de domaines. On peut citer : l'économie (taux de chômage, PNB …), la finance (cours d'action, taux d'intérêt, …), l'écologie (pollution à l'ozone, au CO, …), le transport (avec l'exemple célèbre du trafic aérien international), la démographie…

Exemple1 :

Cet exemple retrace le nombre mensuel de créations d’entreprises en France de janvier à juin 2005.

Tableau 1: Évolution mensuelle des créations d’entreprises en France

janvier février mars avril mai juin

Nombre de créations d'entreprises 24966 26942 26790 25684 25050 26566

Source : Insee Conjoncture, Bulletin d’informations rapides, numéro 2005, 11 juillet 2005

Figure 1: Time series plot of the market yield on US Treasury Securities at 10-year constant maturity. Source: US Treasury

2°) Périodicité

Les séries chronologiques peuvent être annuelles, trimestrielles, mensuelles, hebdomadaires, journalières et même infra-journalières.

1 | P a g e

Exemple2

Le cours d’une action peut être connu heure après heure et même minute après minute, voire de façon instantanée. Le graphique de la figure 2 ci-après retrace ainsi l’évolution du cours de l’action France Telecom, de minute en minute, le 12 juillet 2005, entre 9 h et 10 h.

Figure 2 Cours de l’action France Telecom

2 | P a g e

Evolution du cours de l’action Tunis air

Source : http://www.bvmt.com.tn/fr/historique-cotations?code=TN0001200401

À l’inverse, certaines données sont disponibles beaucoup plus rarement. On aura alors des observations sporadiques qui permettront de retracer l’évolution sur une longue période, mais avec une périodicité irrégulière.

Pour représenter graphiquement les séries chronologiques, on mettra toujours le temps en abscisse et les valeurs de la variable en ordonnée. La représentation la plus habituelle est le nuage de points. Mais il est fréquent que l’on relie les points entre eux.

http://www.bvmt.com.tn/fr/historique-cotations?code=TN0001200401

3°) Tendance, variations saisonnières et accidentelles

3 | P a g e

L’observation des séries chronologiques permet de distinguer trois composantes principales. La première de ces composantes, la tendance ou trend, donne le sens de l’évolution sur la durée. La seconde composante, ce sont les variations saisonnières ou périodiques. La troisième composante, ce sont les variations accidentelles.

Ces trois composantes ne sont pas toujours simultanément présentes dans une série chronologique. Certaines séries n’ont pas de tendance, d’autres n’ont aucune composante périodique. D’autres enfin, ne connaissent aucune variation accidentelle.

Tableau 2 Trafic aérien international de janvier 1949 à décembre 1960 (milliers)

La première étape consiste à tracer les données, ce qui est fait sur la figure ci-après. On peut déjà faire quelques remarques préliminaires :

 Augmentation régulière du trafic ;  Fluctuation saisonnière : augmentation de novembre à juillet-août, avec un creux vers le mois

d'avril, puis diminution jusqu'en novembre.  Les données sont de plus en plus dispersées.

Cependant certains points mériteraient d'être éclaircis ; par exemple :

 L'augmentation se fait-elle de façon constante, exponentielle, etc.?  La fluctuation saisonnière est-elle constante au fil du temps ?  Que se passe-t-il, indépendamment de la tendance à la hausse et des fluctuations saisonnières?

Pour faire vite, disons que les deux premières questions reviennent à étudier la partie déterministe de la série que l'on visualise aisément ; la dernière vise à analyser la structure aléatoire - "le bruit" - qui reste une fois que l'on a extrait la partie déterministe. Dans ce chapitre on étudiera essentiellement la partie déterministe en préparant le terrain pour la partie aléatoire.

4 | P a g e

4°) Modèle multiplicatif et modèle additif

L’observation des séries chronologiques permet de distinguer deux grand types de série : celles qui se conforment au modèle multiplicatif et celles qui se conforment au modèle additif.

5 | P a g e

Dans le modèle additif, les variations autour du trend demeurent dans une bande de variation à peu près constante :

Figure 3 Modèle additif

Dans le modèle multiplicatif, au contraire, les variations autour du trend s’amplifient :

Figure 4 Modèle multiplicatif

Le plus simple pour déterminer le modèle le mieux adapté à une série chronologique particulière est de faire un graphique, d’y ajouter le trend linéaire et d’observer les fluctuations autour du trend. Si ces fluctuations sont régulières, il s’agit d’un modèle additif. Si, au contraire, elles s’amplifient, il s’agit d’un modèle multiplicatif.

Remarque

Dans le cas de données saisonnières (par exemple des données trimestrielles), on peut aussi calculer la moyenne annuelle de la variable et, ensuite, pour chaque trimestre, on retranche de la valeur du trimestre la valeur de la moyenne annuelle et on obtient un écart. Il suffit alors de comparer les écarts. Si les écarts ne cessent d’augmenter avec le temps, on en conclut que le modèle est multiplicatif. Sinon, c’est que le modèle est additif.

6 | P a g e

II. DÉTERMINATION DU TREND D‘UNE SÉRIE TEMPORELLE

Le « trend », autrement dit la tendance, est ce qui, au-delà des variations saisonnières ou accidentelles d’une série, indique le sens de son évolution. Autrement dit, le trend nous renseigne sur le fait de savoir si la variable augmente, diminue ou reste stable de façon tendancielle. Pour déterminer le trend ou la tendance d’une série, il y a deux méthodes principales :

 La régression linéaire : où l’on calcule les coefficients a et b d’une droite, qui représentera la

tendance.

 La méthode des moyennes mobiles.

1°) La détermination du trend par la régression linéaire

On calcule les coefficients a et b de la droite de régression. Z

𝐳𝒕 = 𝐚𝐭 + 𝐛

Exemple :

Soit le tableau suivant, qui donne l’évolution d’une série chronologique en fonction du temps, repéré par l’indice t.

Tableau 3 fonction du temps

t z

0 4

1 3

2 9

3 10

4 11

5 16

6 15

Le graphique en « nuages de points » de cette série chronologique est illustré par cette figure :

Figure 5Nuage de points

Nous allons déterminer le trend de cette série par une droite y = ax+b, en calculant les coefficients d’après les formules de la régression linéaire.

7 | P a g e

Tableau 4 Tableau de calcul

Sous R :

> t=c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) > z=c(4, 3, 9, 10, 11, 16, 15) > plot(t,z) > lm(z~t)

Call: lm(formula = z ~ t)

Coefficients: (Intercept) t 3.179 2.179

On obtient donc l’équation du trend suivante :

𝑓𝑡 = 2,179 𝑡 + 3,179

8 | P a g e

2°) La détermination du trend par la méthode des moyennes mobiles

La méthode des moyennes mobiles consiste à calculer la moyenne des valeurs qui entourent chaque valeur et à remplacer la valeur par cette moyenne.

Elle est également connue comme une méthode de lissage car elle agit comme un filtre passe bas et donc élimine le bruit. Le calcul de la moyenne mobile dépend d’un paramètre l appelé la largeur de fenêtre. Ce paramètre correspond au nombre d’observations inclues dans le calcul de la moyenne glissante effectuée.

Plus l est grand plus le lissage est important (jusqu’à atteindre la fonction constante égale à la moyenne).

9 | P a g e

Exemple : Les données du tableau suivant donne l’évolution du cours de clôture de l’action.

La troisième colonne donne les moyennes mobiles d’ordre 2 qui sont calculées en prenant les moyennes des cours deux à deux. Elle est rarement utilisée.

À titre d’exemple, les deux premières moyennes mobiles d’ordre 2 s’obtiennent ainsi :

La quatrième colonne donne les moyennes mobiles d’ordre 3 qui sont calculées en prenant les moyennes des cours trois à trois.

A titre d’exemple :

Pour avoir le trend mobile, il suffit de reporter sur un graphique les moyennes obtenues.

10 | P a g e

Lorsque la méthode de détermination par le trend linéaire apparaît trop grossière, ou lorsque par exemple il n’y a pas de raison de penser qu’il existe une composante saisonnière et qu’on veut juste gommer les variations accidentelles, alors la méthode des moyennes mobiles peut être un bon moyen d’obtenir une série ajustée ou une série lissée comme on dit parfois.

Le plus simple, lorsque l’on fait les calculs avec un tableur, est de déterminer le trend par les deux méthodes. À noter que plus la série est longue, plus on peut augmenter l’ordre de calcul des moyennes.

3°) LES VARIATIONS SAISONNIÈRES (modèle additif)

La saisonnalité correspond aux variations saisonnières "pures". Beaucoup de phénomènes pratiques sont soumis à cette composante saisonnière. Certains produits se vendent mieux l’été que l’hiver (glaces, boissons, loisirs…) d’autres se vendent mieux aux périodes de vacances scolaires (théâtre, cinéma, sport, voyage…). L’appellation de variation saisonnière ne signifie pas pour autant que la composante

11 | P a g e

saisonnière se répartisse sur l’année, même si c’est souvent le cas. Il y a aussi des récurrences de type saisonnier à l’intérieur d’un mois, d’une semaine, voire d’un jour. Certains produits se vendent mieux certains jours et à certaines heures…(en cours de la semaine, weekend,…).

Dans l’objectif de déterminer la série corrigée des variations saisonnière ou série CVS, On procède alors au calcul de la composante saisonnière et le coefficient saisonnier. L’intérêt de ce calcul est d’obtenir une série chronologique dont l’évolution est débarrassée de la composante saisonnière qui parfois masque la tendance. On parle ainsi de « dessaisonalisation.

Pour obtenir une série corrigée des variations saisonnières, ou série CVS, on procède en trois étapes :

(1) on calcule la composante saisonnière,

(2) on en déduit le coefficient saisonnier et

(3) on retranche le coefficient saisonnier de la série originale.

Dans l’exemple qui suit, nous supposerons que la série suit un modèle additif, l’application au cas multiplicatif étant légèrement différente.

Ci-après, les étapes du calcul de la série CVS sont détaillées, puis appliquées à un exemple concret :

1) Détermination de l’équation du trend par régression linéaire.

2) Calcul des coefficients saisonniers.

3) Détermination de la série CVS

Exemple : Soit le tableau suivant, qui donne l’évolution d’une série chronologique trimestrielle.

T=c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)

12 | P a g e

Z=c(2, 4, 14, 18, 2, 6, 22, 24, 10, 12, 20, 24)

Le graphique montre la série et son trend (pour le calcul de l’équation du trend, voir ci-après), révèle deux caractéristiques, qu’il nous est nécessaire de vérifier pour employer la méthode proposée :

1) D’une part, la série étudiée suit un modèle additif. En effet, les variations autour du trend ne semblent pas s’amplifier avec le temps.

2) D’autre part, il existe bien une composante saisonnière, ici trimestrielle, qui se superpose à une tendance à la hausse. On note en effet qu’à l’intérieur de chacun des trois cycles annuels, la variable débute à un niveau faible au premier trimestre, puis augmente à chaque trimestre pour atteindre un maximum au dernier trimestre, avant de repartir à la baisse au début de l’année suivante.

1) Détermination de l‘équation du trend

Les calculs intermédiaires sont :

On obtient donc l’équation du trend suivante :

13 | P a g e

2) Calcul des coefficients saisonniers

Pour calculer les coefficients saisonniers, il faut d’abord isoler la composante saisonnière de la série. Pour ce faire, il convient de calculer les valeurs tendancielles, soit fi pour i =1 à 12, grâce à l’équation du trend, puis de retrancher fi de yi

Par exemple, quand i = 1, on a :

La composante saisonnière quand t=1 est donc :

En réitérant le calcul pour les 12 valeurs, on obtient le tableau

14 | P a g e

Les 4 coefficients saisonniers s’obtiennent en faisant la moyenne arithmétique des composantes saisonnières (dernière colonne du tableau, Si) pour 2002, 2003 et 200On obtient :

3) Détermination de la série CVS

La série corrigée des variations saisonnières, dite « série CVS » s’obtient en retranchant les coefficients saisonniers de la série. Désignons par yi * la série CVS :

où Ci ’ représente le coefficient saisonnier, éventuellement corrigé (ici cela n’a pas été nécessaire). La dernière colonne du tableau ci-après donne la série CVS.

Le graphique illustré par la figure fait apparaître que la série CVS épouse davantage le trend que la série originale. C’est normal puisque l’on a effacé les variations saisonnières.

15 | P a g e

On notera néanmoins que la méthode est loin d’être parfaite. En effet, les variations saisonnières sont atténuées mais non supprimées. Cela vient du fait que la méthode ne permet pas de décomposer très finement les variations saisonnières et les variations accidentelles que nous allons étudier maintenant.

LES VARIATIONS ACCIDENTELLES

Les variations accidentelles sont ce qui reste lorsqu’on a enlevé le trend de la série ajustée des variations saisonnières. Comme on vient de le voir, la décomposition entre les variations accidentelles et les variations saisonnières est loin d’être parfaite.

16 | P a g e

Séries chronologiques : modèle multiplicatif

Introduction

Les variables soumises à des variations périodiques ne sont pas toutes d'un modèle simplement additif, c'est à dire qui sont constantes pour chaque saison.

Certaines variables verront les caractéristiques saisonnières s'amplifier ou se réduire avec le temps.

Dans cette partie, nous étudierons le modèle multiplicatif de la forme

yt = ft x st x εt avec t =1, ... , T.

Dans ce modèle, l'amplitude de la composante saisonnière et du bruit n'est plus constante au cours du temps : elles varient au cours du temps proportionnellement à la tendance ft .

Pour illustrer cette partie, nous développerons l'exemple suivant :

Le nuage de points est limité par deux droites qui ne sont pas parallèles (entonnoir).

17 | P a g e

2. Correction des variations saisonnières

Si la série y t possède une composante saisonnière de période p alors l'application d'une moyenne mobile d'ordre p supprime cette saisonnalité

Pour comparer la série lissée avec la série initiale, on cherchera à obtenir les valeurs pour les mêmes dates d'observation.

Dans tous les cas on fait la moyenne de p observations (1/p). Pour obtenir une moyenne mobile pour le temps t, on retiendra 2k + 1 observations, en pondérant les deux extrêmes par ½ .

Calcul des coefficients saisonniers

On calculera les coefficients saisonniers St que l'on centre pour obtenir St' et on obtient ainsi la série corrigée des variations saisonnières yt'= yt / St'.

Première étape :

On calcule les coefficients saisonniers St en calculant Yt/ mmp,t .

Par exemple, Y3/ mm4,3 = 69/63,125 = 1,093

Les résultats sont résumés ci-dessous.

Les coefficients saisonniers ne doivent pas modifier le sens des données, ils doivent être neutres au sens de la multiplication, c'est à dire que leur produit doit être égal à 1.

Ici la somme des coefficients saisonniers est égal à

18 | P a g e

S1 + S2 + S3 + S4 = 3,99.

C = 3,99/4 = 0,9975

On procédera au centrage des coefficients pour obtenir de nouveaux coefficients centrés :

St'= St /C

On obtient ainsi la série corrigée des variations saisonnières yt'= yt / St'

calcul des données corrigées

Modèle de prévision

Soit le modèle multiplicatif yt = ft x st x εt avec t =1, ... , T.

19 | P a g e

Dans ce paragraphe, on souhaite faire de la prévision. Pour cela, il faut estimer la tendance. Ici, on se limitera au cas où la tendance est linéaire

f t = α t + β

On estime a et b de l'ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés

• On calcule les f t

• On calcule les ratios : y t / f t (appelé rapport saisonnier)

• On calcule la moyenne arithmétique des écarts pour chaque saison

• On corrige si la moyenne des moyennes n'est pas égale à 1 (on divise par la valeur de la moyenne)

• On obtiendra alors la série corrigée des variations saisonnières

calcul des paramètres du modèle linéaire

20 | P a g e

a = (14032/16 –88,625*8,5)/ (1496/16 – (8,5*8,5)) = 5,821

b= 88,625 - (5,821*8,5) = 39,15

Calcul de la tendance linéaire

21 | P a g e

Calcul des ratios

22 | P a g e

On calcule la moyenne des écarts pour chaque saison

valeurs de la série prédite

23 | P a g e

• On corrige si la moyenne des saisons n'est pas égale à 1 (on divise par la valeur de la moyenne. Dans notre exemple, la moyenne des saisons est égale à 1,0045 que l'on peut considérer nulle.

• On obtiendra alors la série prédite par le modèle multiplicatif

Prévisions des ventes d’huîtres

24 | P a g e