Les Probabilités et la Statistique de A à Z

ajustement linéaire, polynomial, exponentiel, logarithmique (fitting) On considère deux grandeurs numériques intervenant dans l’étude d’un phénomène. et On suppose qu’il existe une liaison entre ces deux grandeurs, et que cette liaison est aléatoire (qu’il s’agisse d’un phénomène déterministe pertubé par exemple par des erreurs de mesure, ou d’un phénomène intrinsèquement aléatoire). Le plus souvent, cette liaison sera repré- sentée – ou sera présumée pouvoir être représentée – par une relation mathématique simple, (liaison affine, le plus souvent qualifiée bx + bx = par exemple : a n y (liaison puissance), aussi de linéaire), (liaison polynomiale), x a x a a = = y n 1 (liaison logarithmique). x ln b + a y (liaison exponentielle), = y Le problème se pose alors, connaissant un ensemble de points expérimentaux (un « nuage », dans le vocabulaire statistique), de trouver la forme mathématique de la liaison et les « bons » coefficients (ou paramètres) numériques. Lorsque le phénomène sera déterministe ) que l’on x pertubé aléatoirement, le nuage de points sera très voisin de la courbe cherche à déterminer. Lorsque le phénomène sera intrinsèquement aléatoire, le nuage sera plus dispersé et la courbe ) sera la courbe qui passera au mieux au « milieu » du nuage = y des points. La courbe ainsi déterminée, dans un cas comme dans l’autre, sera appelée courbe d’ajustement ou, dans le cas particulier affine, est la « forme » connue Si (( x ), ..., ( x n 2 1 ou présumée de la relation mathématique, dépendant des paramètres ,…, la méthode standard (due à Gauss et Legendre) s’appelle la méthode des moindres carrés : elle consiste ,… comme celles qui minimisent la somme des à déterminer les valeurs des paramètres ∞

f )) est le nuage de points, et si y , n

. droite d’ajustement

+ ... +

), ( y , 1

y , x 2

+ 0

=

=

=

, … b

x (

, a

b

a

a

,

,

b

y

(

f

f

f

carrés des écarts

–( yi

f xi(

)2.

)

Dans le cas particulier affine et dans une situation de type

∑

n

1=

. droite des moindres carrés

déterministe pertubé aléatoirement, on obtient ainsi la Dans une situation de type intrinsèquement aléatoire, la somme des carrés des écarts n’est pas exactement une variance, mais elle est directement liée aux variances des variables aléatoires que l’on doit introduire pour modéliser la situation. L’ensemble des conditions à satisfaire inclut une minimisation de la variance et on aboutit exactement aux mêmes formules et aux mêmes valeurs des paramètres. Le contexte probabiliste–statistique induit un changement de vocabulaire : plutôt que de droite d’ajustement ou de droite des moindres carrés, on parle de droite de régression Signalons pour terminer que les liaisons linéaire, affine et polynomiale sont directement trai- tées par les techniques (équivalentes) de moindres carrés ou de régression linéaire, tandis que les liaisons puissance et exponentielle sont le plus souvent ramenées aux cas précédents par P devient ln y = ln b + p ln x, y = aekx devient ln y = ln a + kx. = y passage aux logarithmes :

; plutôt que de courbe d’ajustement, on parle de

. courbe de régression

bx

ajustement Voir droite d’ajustement et khi–deux d’ajustement (test du).

aléatoire (random) Cet adjectif qualifie dans la langue courante des phénomènes dont les « résultats » sont varia- bles, non ou mal maîtrisables, imprévisibles, …, et s’oppose à « déterministe ». Il est égale-

2 Dress_A Page 3 Samedi, 28. août 2004 11:19 11

analyse de la variance (test d’)

3

ment employé, avec un sens mathématique codifié, dans des expressions qui désignent certains concepts du calcul des probabilités (expérience aléatoire, variable aléatoire, processus aléatoire, ...). Le calcul des probabilités a pour but la « modélisation » des phénomènes aléatoires, dès lors qu’ils sont reproductibles dans des conditions identiques. Selon les cas, cette reproduction pourra être provoquée par l’homme (expérimentation), ou sera « naturelle » (observation). La reproductibilité est essentielle notamment pour fonder l’estimation des probabilités, ce qui explique l’extrême difficulté – conceptuelle et pratique – d’évaluer la probabilité d’un évènement très rare. On notera que la variabilité des phénomènes qualifiés d’aléatoires peut être soit intrinsèque (variabilité d’un caractère biologique, imprévisibilité d’une désintégration radioactive), soit liée à l’imprécision ou à l’erreur de la mesure de la grandeur qui peut être déterministe. Voir hasard, modélisation, variable aléatoire.

algèbre d’évènements (field of events) Famille (ensemble) A d’évènements qui vérifient les propriétés qui caractérisent une « algèbre de Boole » de parties d’un ensemble E : appartenance de E à A, « stabilité » par réunion finie et par passage au complémentaire. Si on ajoute la stabilité par réunion dénombrable, on obtient une σ-algèbre ou tribu.

σσσσ–algèbre Voir tribu.

alphabet grec Voir grec (alphabet).

amplitude (amplitude) Terme souvent utilisé pour désigner la largeur d’une classe (bornée) : l’amplitude de la classe ]aj, aj + 1] est |aj + 1 – aj|.

analyse combinatoire (combinatorial analysis, combinatorics) Branche des mathématiques qui étudie les « configurations », formées à partir d’« objets » pris dans un ensemble fini donné et disposés en respectant certaines contraintes ou certaines structures fixées. Les deux problèmes principaux sont l’énumération des configurations, et leur dénombrement. Les dénombrements (arrangements, combinaisons, permutations) jouent un rôle important en probabilités combinatoires, où l’hypothèse d’équiprobabilité ramène la détermination des probabilités à des comptes d’évènements élémentaires.

analyse de la variance (test d’) (variance analysis test) Test paramétrique qui permet de comparer globalement plusieurs espérances mathématiques entre elles. La dénomination du test s’explique par son fonctionnement, qui décompose la variance de l’ensemble des observations en deux variances partielles, la première fournissant une estimation « inter-classes » de la variance commune, et la seconde une estimation « intra-classes » (ou « résiduelle »). On teste ensuite le quotient : si la première estimation est sensiblement plus grande que la deuxième, on rejette alors l’hypothèse H0 d’égalité de toutes les espérances.

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

2 Dress_A Page 4 Samedi, 28. août 2004 11:19 11

4

analyse de la variance (test d’)

test de comparaison de q espérances mathématiques µ1 , µ2, ..., µq

• Données. q classes ou groupes, soit pour chaque k (1 ≤ k ≤ q) : un échantillon (xk1, xk2, ..., ) xknk de nk valeurs observées d’une variable aléatoire numérique Xk d’espérance mathématique µk. On note N le nombre total n1 + n2 + ... + nq de valeurs observées. • Hypothèse testée. H0 = « µ1 = µ2 = ... = µq » contre H1 = « il existe au moins deux espé- rances différentes ». • Déroulement technique du test

1a. Pour chaque k, on calcule la moyenne de l’échantillon n° k :

mk

=

+

+ xk1 xk2 … xknk ------------------------------------------------ nk

+

.

1b. On calcule la moyenne générale : n1m1 n2m2 … nqmq -------------------------------------------------------------- N

M

+

+

+

=

.

2. On calcule les 2 sommes de carrés qui « analysent » la variance complète : q

Q1

Q2

∑=

k

1=

q

∑=

k

1=

nk mk M–

(

)2,

nk

 ∑ 

i

1=

(

– xki mk

 )2  

.

(nota : la somme Q1 + Q2 est la somme complète

q

∑

k

1=

nk

 ∑ 

i

1=

(

xki M–

 )2  

).

On calcule ensuite

2 s1

=

Q1 ------------ 1– q

, estimation « inter-classes » de la variance commune, et

2 s2

=

Q2 ------------- N q–

, estimation « intra-classes » (« résiduelle »).

3. On calcule enfin la valeur observée de la variable de test :

Fq 1 N q– ,–

2 s1 ----= 2 s2

.

Les valeurs de référence de la variable de test sont à lire dans les tables de la loi de Fisher-Snedecor. Elles dépendent des deux degrés de liberté q – 1 et N – q, et du risque α. On notera que les tables de la loi de Fisher-Snedecor sont unilatérales. En effet, si H0 est fausse, alors l’estimation inter-classes de la variance ne peut être qu’augmentée.

• Conditions et précautions – En théorie les Xk doivent être des v.a. normales ; en outre elles doivent avoir même variance, exigence difficile à apprécier et à contrôler... S’il semblait que cela ne soit pas le cas, on peut appliquer le (test de) Bartlett, ou bien rechercher dans un ouvrage spécialisé d’autres procédures applicables ;

– lorsque les Xk ne sont pas normales, le test est robuste et reste applicable si les effectifs

des groupes sont « assez grands ».

2 Dress_A Page 5 Samedi, 28. août 2004 11:19 11

analyse de la variance à un facteur

5

analyse de la variance à un facteur (one-way ANOVA) Méthode d’analyse d’une situation où l’on expérimente l’effet d’un facteur sur une variable, facteur supposé agir exclusivement sur l’espérance mathématique. Dans un premier temps de l’analyse, on teste l’existence d’un effet du facteur par le (test d’) analyse de la variance : la variance inter-classes s’interprète alors comme la part de variance due au facteur considéré, et le terme de variance résiduelle se justifie alors pleinement. Si l’hypothèse H0 est rejetée, cela signifie que le facteur a un effet, et dans un deuxième temps de l’analyse, on estime les espérances dont l’ensemble décrit l’effet du facteur. La présentation globale et les notations données ci-dessous sont très légèrement différentes de celles du test d’analyse de la variance, de façon à pouvoir les généraliser naturellement au cas de deux facteurs.

analyse de la variance à un facteur A

xini

• Données. p classes ou groupes, avec pour chaque niveau i (1 ≤ i ≤ p) du facteur : un échan- tillon (xi1, xi2, ..., ) de ni valeurs observées d’une variable aléatoire numérique Xi d’espé- rance mathématique µi. On note N le nombre total n1 + n2 + ... + np de valeurs observées. • Modèle étudié Les observations individuelles sont de la forme Xij = µi + Eij , où Eij est un écart de loi normale centrée et d’écart-type σ (indépendant de l’effet du facteur A). On pose µi = µ + αi, où µ représente la moyenne globale et αi l’effet du facteur A (en conve- nant que la moyenne pondérée des effets est nulle).

Premier temps

• Hypothèse sur l’effet du facteur. H0 = « le facteur ne possède aucun effet » = « µ1 = µ2 = ... = µp » contre H1 = « il existe au moins deux espérances différentes ». • Déroulement technique du test – On calcule la moyenne observée mi de l’échantillon n° i ; – on calcule la moyenne générale observée M (moyenne pondérée des mi) ; – on calcule les sommes de carrés relatives aux parts de variance observées et on regroupe

les résultats comme indiqué dans le tableau suivant :

Origine de la dispersion

Somme de carrés

ddl

Estimation de la variance

Test F

totale

Q

p

ni

∑=

i

1=

(

xij M–

)2

N – 1

∑

j

1=

p

facteur A

QA

(

mi M–

)2

p – 1

∑=

i

1=

résiduelle

QR

=

Q QA–

N – p

Q ------------- N 1–

2 sA

=

QA ------------- p 1–

2 sR

=

QR -------------- N p–

Fp 1 N p– ,–

=

2 sA ------ 2 sR

Les valeurs de référence de la variable de test sont à lire dans les tables de la loi de Fisher- Snedecor.

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

A

B

C

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E

F

G

H

I

J

K

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M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

➤ 2 Dress_A Page 6 Samedi, 28. août 2004 11:19 11

6

analyse de la variance à deux facteurs

• Conditions et précautions. Voir analyse de la variance (test d’).

Deuxième temps (en cas de rejet de H0)

• estimations des effets – µ est estimée par M, – les αi sont estimés par mi – M.

analyse de la variance à deux facteurs (two-way ANOVA) Méthode d’analyse d’une situation où l’on expérimente l’effet de deux facteurs sur une variable, facteurs supposés agir exclusivement sur l’espérance mathématique. Il faut distin- guer les effets séparés des deux facteurs et envisager a priori une interaction possible. Dans un premier temps de l’analyse, on teste l’existence de l’effet des facteurs et l’existence d’une interaction par plusieurs tests de type analyse de la variance. Si l’un ou l’autre de ces tests rejette l’hypothèse de non-existence d’un effet, il faut alors, dans un deuxième temps de l’analyse, estimer les espérances dont l’ensemble décrit les effets des deux facteurs ainsi que leur interaction. Il existe plusieurs « plans d’expérience » possibles pour préciser le détail de l’expérimenta- tion. Les formules qui suivent concernent les deux plans d’expérience les plus courants, qui sont des plans « complets » et « équilibrés » : toutes les associations entre un « niveau » du premier facteur et un niveau du second sont observées, et toutes les classes présentent le même nombre r d’observations. Le premier plan est « à répétitions » (r ≥ 2), le deuxième sans répétition (r = 1), auquel cas l’on ne peut pas évaluer les interactions et l’on estime seulement l’effet des deux facteurs.

1. analyse de la variance à deux facteurs A et B plan d’expérience complet équilibré avec répétitions

• Données. pq classes ou groupes, avec pour chaque couple (i, j) (1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q) de niveaux des facteurs : un échantillon (xij1, xij2, ..., xijr) de r valeurs observées d’une variable aléatoire numérique Xij d’espérance mathématique µij. Le nombre total N de valeurs observées est égal à pqr. • Modèle étudié. Les observations individuelles sont de la forme Xijk = µij + Eijk , où Eijk est un écart de loi normale centrée et d’écart-type σ (indépendant de l’effet des facteurs A et B et de leur interaction). On pose µij = µ + αi + βj + γij, où µ représente la moyenne globale et αi l’effet du facteur A, βj l’effet du facteur B, γij l’interaction entre A et B (en convenant que la moyenne pondérée des effets et de l’interaction est nulle).

Premier temps

• Hypothèse globale sur l’existence d’effet(s). H0 = « il n’y a aucun effet » = « toutes les µij sont égales » contre H1 = « il existe au moins deux espérances différentes ». • Déroulement technique du test – On calcule la moyenne observée mij de chaque classe (i, j) ; – on calcule les moyennes marginales observées mi. et m.j ; – on calcule la moyenne générale observée M ; – on calcule les sommes de carrés relatives aux parts de variance observées et on regroupe

les résultats comme indiqué dans le tableau ci-contre.

– on effectue trois tests séparés, les valeurs de référence de la variable de test sont à lire dans

les tables de la loi de Fisher-Snedecor.

➤ ➤ 2 Dress_A Page 7 Samedi, 28. août 2004 11:19 11

analyse de la variance à deux facteurs

7

Origine de la dispersion

totale

Somme de carrés

ddl

p

q

r

Q

∑=

i 1=

∑

j 1=

∑

k 1=

p

(

xijk M–

)2

pqr – 1

facteur A

QA

facteur B

QB

∑= qr

i

1=

q

∑= pr

j

1=

(

mi. M–

)2

p – 1

(

m. j M–

)2

q – 1

interaction AB

r

QAB =

p

q

∑

i 1=

(

mij m.j –

–

mi. M+

)2

∑

j 1=

p 1–(

) q 1–(

)

résiduelle

QR Q QA–

=

QB–

–

QAB

pq(r – 1)

Test F

Fp 1 pq r 1–(

,–

)

Fq 1 pq r 1–(

,–

)

2 sA ------= 2 sR

2 sB -----= 2 sR

F p 1–(

) q 1–(

, ) pq r 1–(

)

=

2 sAB ------- 2 sR

Estimation de la variance

Q ------------------- pqr 1–

2 sA

=

QA ------------- p 1–

2 sB

=

QB ------------- q 1–

2 = sAB QAB ------------------------------------- ) q 1–( p 1–( )

2 sR

=

QR ------------------------ pq r 1–( )

• Conditions et précautions. Voir analyse de la variance (test d’).

Deuxième temps (en cas de rejet de H0)

• estimations des effets – µ est estimée par M ; – les αi sont estimés par mi. – M, les βj sont estimés par m.j – M ; – les γij sont estimés par mij – m.j – mi. + M.

2. analyse de la variance à deux facteurs A et B plan d’expérience complet équilibré sans répétition

• Données. pq classes ou groupes, avec pour chaque couple (i, j) (1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ q) de niveaux des facteurs : une valeur unique xij observée d’une variable aléatoire numérique Xij d’espérance mathématique µij. On note N le nombre total pq de valeurs observées.

• Modèle étudié. Les observations individuelles sont de la forme Xij = mij + Eij, où Eij est un écart de loi normale centrée et d’écart-type σ (indépendant de l’effet des facteurs A et B). On pose µij = µ + αi + βj, où µ représente la moyenne globale et αi l’effet du facteur A, βj l’effet du facteur B (en convenant que la moyenne pondérée des effets est nulle).

Premier temps

• Hypothèse globale sur l’existence d’effet(s). H0 = « il n’y a aucun effet » = « toutes les µij sont égales » contre H1 = « il existe au moins deux espérances différentes ». • Déroulement technique du test – On calcule les moyennes marginales observées mi. et m.j ; – on calcule la moyenne générale observée M ;

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

➤ ➤ 2 Dress_A Page 8 Samedi, 28. août 2004 11:19 11

8

analyse des données

– on calcule les sommes de carrés relatives aux parts de variance observées et on regroupe

les résultats comme indiqué dans le tableau suivant :

Somme de carrés

ddl

Estimation de la variance

Test F

Origine de la dispersion

totale

(

xij M–

)2

pq – 1

p

q

Q

∑=

i 1=

∑

j 1=

p

facteur A

QA

facteur B

QB

(

mi. M–

)2

p – 1

(

m. j M–

)2

q – 1

∑= q

i

1=

q

∑= p

j

1=

Q ----------------- pq 1–

2 sA

=

QA ------------- p 1–

2 sB

=

QB ------------- q 1–

Fp 1 p 1–( ,–

) q 1–(

)

Fq 1 p 1–( ,–

) q 1–(

)

2 sA ------= 2 sR

2 sB -----= 2 sR

résiduelle

QR Q QA–

=

QB–

(p – 1)(q – 1)

2 sR

=

QR ------------------------------------- p 1–( ) q 1–( )

– on effectue deux tests séparés, les valeurs de référence de la variable de test sont à lire

dans les tables de la loi de Fisher-Snedecor.

• Conditions et précautions. Voir analyse de la variance (test d’).

Deuxième temps (en cas de rejet de H0)

• estimation des effets – µ est estimée par M ; – les αi sont estimés par mi. – M, les βj sont estimés par m.j – M.

analyse des données (multivariate analysis) Cette expression possède aujourd’hui un sens très précis en mathématiques. Elle désigne globalement l’ensemble des méthodes qui permettent de traiter les situations qui impliquent un grand nombre de caractères et un grand nombre de données. Ces méthodes nécessitent beaucoup de calculs et ont fleuri depuis que l’informatique leur permet d’être mises en œuvre. Souvent très élaborées, elles sont néanmoins très « descriptives » et par conséquent utilisables non seulement dans des situations probabilistes standard, mais aussi dans des situations non probabilisables (données sociologiques ou statistiques économiques par exemple). Elles reposent pour beaucoup sur une analyse géométrique et algébrique de la représentation des données dans un espace (abstrait) de grande dimension (où, par exemple, les coefficients de corrélation peuvent être interprétés comme des cosinus d’angles). Elles s’intéressent à la fois aux caractères (détermination des liaisons) et aux individus (par exemple sous-structures du nuage de points). La méthode qui se trouve dans le prolongement direct de la corrélation et de la régression linéaire s’appelle l’« analyse en composantes principales ». Les autres méthodes portent les noms d’analyse (factorielle) discriminante, d’analyse des correspondances, de classification hiérarchique, etc. Toutes les méthodes d’analyse des données débouchent (mais non exclusi- vement) sur des représentations graphiques, et certaines sont fréquemment utilisées dans les médias.

➤ 2 Dress_A Page 9 Samedi, 28. août 2004 11:19 11

appariées (séries) / appariés (échantillons)

9

ANOVA Voir analyse de la variance (test d’), analyse de la variance à un facteur, analyse de la variance à deux facteurs.

(ANalysis Of VAriance)

aplatissement (coefficient d’) (kurtosis coefficient, excess coefficient) Nombre réel sans dimension, indicateur de forme, qui mesure l’aplatissement d’une distribu- tion probabiliste ou statistique. On considère une variable aléatoire réelle (ou une variable statistique), dont les moments centrés d’ordre 2 et 4 sont :

Le coefficient d’aplatissement est le quotient

µ2 = σ2 et µ4 (ou m2 = s2 et m4).

γ 2

=

µ4 ------ σ4

3–

ou

 

m4 ------ s4

 3– 

.

Un coefficient apparemment plus simple : β2 =

µ4 ------ σ4

ou

 

m4  ------  s4

, avait été introduit par Pearson.

Comme sa valeur est égale à 3 pour une loi normale, Fisher a retranché 3 pour traduire l’idée que l’aplatissement standard (coefficient nul) est celui de la loi normale. Le coefficient γ2 est compris entre – 2 et + ∞. Ce coefficient est négatif pour une distribution étalée (on dit parfois « platicurtique »), positif pour une distribution pointue (on dit parfois « leptocurtique »). Il faut toutefois noter que son signe n’est vraiment significatif que pour une distribution à peu près symétrique.

Exemple Pour une distribution continue uniforme sur [0, 1], on a µ2 = σ2 =

1 ------ 12

et

µ4 =

1 ------ 80

, d’où γ2 = – 1,2 (on aurait bien entendu la même valeur pour une distribution

continue uniforme sur un intervalle [a, b] quelconque).

ynY

appariées (séries) / appariés (échantillons) (paired samples) Terminologie qui s’oppose à échantillons indépendants et qui désigne, dans un test d’hypo- thèse, la constitution d’un échantillon « par paires ». Dans un test de comparaison sur des échantillons indépendants, on considère deux varia- bles numériques X et Y et on constitue deux échantillons d’observations (x1, x2, ..., ) et (y1, y2, ..., ) : les nX individus pour lesquels ont été observées les nX valeurs de X sont a priori différents des nY individus pour lesquels ont été observées les nY valeurs de Y (et en général nX ≠ nY) ; les échantillons sont donc indépendants, au sens usuel et au sens proba- biliste, et le test compare par exemple les espérances µX et µY. Dans un test de comparaison sur des séries appariées, on considère autant de couples (de « paires ») de variables numériques (Xi, Yi) qu’il y a d’individus sur lequels seront effectuées les observations (dans certains cas les deux observations seront faites non pas sur le même individu mais sur deux individus « similaires »). Les lois des Xi et des Yi ne font pas l’objet d’un présupposé d’uniformité et on teste seulement la différence entre Xi et Yi (certains de ces tests sont parfois appelés tests de différences couplées). Le postulat du test est alors qu’il y a une unique variable D dont les différences observées di = yi – xi constituent un échan- tillon, et l’on teste la symétrie de D ou une de ses conséquences, par exemple µD = 0. Il arrive

xnX

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

A

B

C

D

E

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G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

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10

arbre

» au lieu de « µD = 0 ») masque cette que la formulation employée (par exemple « µXi problématique simple, et donne l’impression que l’on compare deux variables X et Y, dont les Xi et les Yi seraient des exemplaires particuliers aux individus.

µYi

=

arbre (tree) Technique de représentation des espaces probabilisés lorsque chaque évènement élémentaire peut se décrire comme une suite (temporelle ou logique) d’évènements. Le vocabulaire stan- dard des arbres en combinatoire ou en informatique est le suivant : un arbre est constitué par une « racine », d’où partent des « branches », qui conduisent à des « nœuds » ; aux extré- mités se trouvent les « noeuds terminaux », appelés parfois « feuilles ». L’orientation du dessin est le plus souvent avec la racine en haut ou à gauche.

P(Ai)

Ai

P(Ai)

P(Ck|AiBj)

P(BjlAi)

AiBj

P(AiBj) = P(Ai)P(BjlAi)

AiBjCk

etc.

Lorsqu’on utilise un arbre pour représenter un espace probabilisé, on porte les probabilités conditionnelles sur les branches, et les probabilités « absolues » aux nœuds (le « nœud racine » porte la probabilité 1). À chaque nœud, on calcule la probabilité absolue comme la probabilité absolue du nœud précédent multipliée par la probabilité conditionnelle de la branche qui le relie au nœud considéré. Ce calcul est la version « arborescente » de la (formule des probabilités) composées généralisée :

P(AiBj) = P(Ai) P(Bj |Ai),

P(AiBjCk) = P(Ai) P(Bj |Ai) P(Ck |AiBj),

etc.

Exemple On considère une urne avec 10 boules : 5 Rouges, 3 Vertes et 2 Bleues. On effectue deux tirages sans remise et on cherche la proba- bilité P que les deux boules tirées soient de même couleur. L’évènement « même couleur » est la réunion des 3 évènements élémen- taires RR, VV, BB. Leurs probabilités se lisent immédiatement sur l’arbre ci- contre et on a :

P

=

20 ------ 90

+

6 ------ 90

+

2 ------ 90

=

28 ------ 90

=

0,311

.

5/10

3/10

2/10

3/9

2/9

3/9

4/9

2/9

5/9

2/9

5/9

1/9

RR :

5 ------ 10

×

4 --- 9

RV

RB VR

VV :

3 ------ 10

×

2 --- 9

VB BR

BV

BB :

2 ------ × 10

1 --- 9

2 Dress_A Page 11 Samedi, 28. août 2004 11:19 11

arc sinus (loi de l’)

11

arc sinus (loi de l’) (inverse sine distribution, arc sine distribution) Loi d’une variable aléatoire continue entre 0 et 1, que l’on peut imaginer comme la « projection » sur une droite d’une distribution uniforme sur un cercle.

Version standardisée X sans paramètre, à valeurs sur l’intervalle ]0, 1[.

Loi de probabilité

Formulaire

f

0

f x( )

=

F

1

0

1

x

1

x

densité

fonction de répartition

1 --------------------------- 0 π x 1 x–(

(

)

x < <

1

)

F x( )

=

=

x ≤ ≤

1

)

(

2 --- Arc sin x 0 π 1 --- Arc cos 1 π

2x–(

) 0 (

x ≤ ≤

1

)

Valeurs caractéristiques

– espérance : E(X) =

1 --- 2

;

– variance : Var(X) =

– écart-type :

σ

(X) =

1 --- 8

;

1 ---------- 2 2

.

Il existe une deuxième version standardisée Y, à valeurs sur l’intervalle ]–1, 1[

Loi de probabilité

f x( )

=

1 --------------------- x2– π 1

–(

1

x < <

1

)

F x( )

=

1 --- 2

+

1 --- Arc sin x π

–(

1

x ≤ ≤

1

)

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

➤

➤

➤

2 Dress_A Page 12 Samedi, 28. août 2004 11:19 11

12

arithmétique (triangle)

Valeurs caractéristiques – espérance : E(X) = 0 ;

– variance : Var(X) =

– écart-type : σ(X) =

1 --- 2

;

1 ------- 2

.

Remarque : les fonctions Arc sin et Arc cos sont les « fonctions réciproques » des fonctions sinus et cosinus :

y

=

Arc sin x x

(

1≤

)

x⇔

=

sin y

y

=

Arc cos x x

(

1≤

)

x⇔

=

cos y

et

et

–

π --- 2

≤ ≤

y π --- 2

0

≤ ≤

y π

(ces fonctions apparaissent sur les calculatrices comme sin–1 et cos–1, parfois comme Asn et Acs).

Utilisations

La loi de l’Arc sinus (première version X) est un cas partic