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Fran ois Dress
LES PROBABILIT S ET LA
STATISTIQUE DE A Z
500 d finitions, formules et tests dhypoth se
Ce dictionnaire pr sente, en pr s de 500 entr es, toutes les
notions de probabilit s et de statistique abord es d s les
premi res ann es d'universit (sciences exp rimentales, sciences
conomiques et sociales, math matiques).
L'ouvrage propose tout la fois les d finitions des concepts de
base, la pr sentation d taill e de plus de 40 lois de probabilit ,
et un formulaire tr s riche. Les d finitions ont t r dig es en
restant chaque fois au niveau math matique le plus l mentaire
possible, et en les faisant pr c der tr s souvent par une courte
introduction en langage courant. On trouvera enfin le
fonctionnement comment de plus de 25 tests d'hypoth ses.
Ce dictionnaire est destin aux tudiants en Licence, aux l ves
des classes pr paratoires, aux candidats aux concours de
l'enseignement, et il sera aussi utile aux professionnels non-
math maticiens.
FRAN OIS DRESS
est professeur
l'Universit Bordeaux 1.
LICENCE MASTER DOCTORAT
1 2 3 4 5 6 7 8
6647861
ISBN 978-2-10-051403-8
www.dunod.com
Fran ois Dress
500 D FINITIONS, FORMULES ET TESTS DHYPOTH SE
500 D FINITIONS, FORMULES ET TESTS DHYPOTH SE
1 Dress_Lim Page V Samedi, 28. ao t 2004 11:15 11
Ce dictionnaire est un dictionnaire g n raliste principalement destin aux tudiants des
premi res ann es duniversit et aux utilisateurs professionnels non math maticiens.
Une attention toute particuli re a t port e aux tudiants et aux utilisateurs dans les
domaines des sciences exp rimentales et des sciences conomiques et sociales. Dans le souci
de leur fournir un outil de travail adapt , les articles ont t r dig s en restant au niveau
math matique le plus l mentaire possible. En outre, chaque fois que cela appara t n ces-
saire, la d nition est pr c d e par une courte introduction en langage courant .
&
est lensemble de tous les r sultats possibles, A
Certains termes et concepts math matiques de base, en nombre tr s restreint et dont la
vertu est de clarier les d nitions et d viter les ambigu t s, sont n anmoins utilis s. En
particulier, on se r f re souvent lespace probabilis (
, P), notion qui se comprend
facilement :
est lensemble de tous les
v nements auxquels on pourra attribuer une probabilit , et P est cette mesure de probabilit ,
dont les valeurs sont comprises entre 0 et 1& le niveau dabstraction nest pas insupportable !
Toujours dans le souci de la meilleure efcacit , ce dictionnaire a un parti pris de
redondance : redondance de contenu entre les articles, et souvent redondance du vocabulaire
lint rieur de chaque article.
, A
&
Enn, ce dictionnaire inclut un certain nombre darticles, ou de parties darticles, dont on
pourrait qualier le niveau math matique dinterm diaire, qui lui permettront d tre gale-
ment utile aux tudiants de math matiques des premi res ann es.
Nous avons choisi de garder pour certains concepts le vocabulaire usuel m me lorsquil nest
pas tr s bien choisi et repr sente un h ritage malheureux des si cles pr c dents (la
variable al atoire !). En outre la terminologie nest pas compl tement x e. Nous avons
syst matiquement indiqu les variantes les plus courantes. En tout tat de cause, si lutilisateur
trouve insolite lutilisation dun mot dans tel ou tel manuel, il ne doit pas se laisser perturber,
mais chercher simplement quel sens pr cis a ce mot dans ce manuel. La m me remarque peut
tre faite pour les notations. Seule exception notre ouverture aux notations vari es, nous
noterons P(A) la probabilit de l v nement A, et nutiliserons jamais Pr(A) ou Prob(A).
Un d tail enn : en r gle g n rale, toutes les valeurs num riques qui sont donn es dans les
exemples sont des valeurs approch es (par arrondi la d cimale la plus proche) sans que cela
soit marqu par la (trop lourde) pr sence de points de suspension. Bien entendu, une valeur
approch e peut aussi tre exacte, et il est laiss au lecteur le soin de le d tecter.
Quelques conseils mat riels dutilisation
Lorsquune expression contient plusieurs mots, larticle correspondant est r pertori au
mot le plus signicatif (mais de nombreux renvois facilitent la recherche).
Les crochets dans une entr e darticle ou un synonyme encadrent une partie optionnelle
de lexpression.
Les mots du texte qui renvoient une autre entr e sont mis en italiques.
Enn, quelques rares expressions nont aucun quivalent dans lusage anglo-saxon (par
exemple preuves r p t es ), elles ne sont donc pas traduites.
Fran ois Dress
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2 Dress_A Page 1 Samedi, 28. ao t 2004 11:19 11
absolument continue (variable al atoire)
Voir
variable al atoire (typologie).
acceptation (r gion d)
.
r gion dacceptation
Voir
(absolutely continuous
random variable)
(acceptance region)
&
, A
additivit
(additivity)
). On sint resse aux applications d nies sur lensemble
Soit un espace probabilisable (
A
des v nements et valeurs r elles positives, et on veut caract riser la propri t qui fera
delles des mesures (en langage math matique g n ral) ou des mesures de probabilit alias
probabilit s (en langage sp cique au calcul des probabilit s).
un niveau l mentaire, on se limite la r union nie, avec deux formules qui sont dun
usage extr mement fr quent (P est une mesure de probabilit ) :
si A et B sont disjoints :
de fa on g n rale :
On consid re une population humaine P
P(A
P(A
*
*
B) = P(A) + P(B)
B) = P(A) + P(B) P(A
Exemple
Les probabilit s quun individu tir au hasard dans la population P
types possibles dans ce syst me sont donn es par le tableau ci-dessous :
)
et le syst me ABO de groupes sanguins.
pr sente lun des 6 g no-
B)
OO
OA
AA
OB
BB
AB
0,435
0,364
0,076
0,086
0,004
0,035
Si lon examine maintenant les ph notypes, l v nement ph notype A est constitu par la
r union des v nements OA et AA , qui sont disjoints, et sa probabilit est donc
P(OA) + P(AA) = 0,440.
un niveau plus approfondi, il faut envisager la r union innie d nombrable, pour laquelle
laxiome de
On dit quune application : A
d l ments de A
-additivit nonc ci-dessous doit tre v ri .
[0, +
[ est
, deux deux disjoints, on a :
-additive si, pour toute suite (A
n
= 1, 2, ...)
n
)(
n
On notera une cons quence importante : si les A
n
n
1=
1=
forment une suite croissante (au sens de la
*
An
=
An
(
)
th orie des ensembles,
i.e
. si
An An
1+
), alors
Publicité
*
n
1=
An
=
lim
n
An
(
.
)
Voir
espace probabilis , mesure de probabilit ,
.
Poincar (formule de)
.
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2
afne (fonction)
afne (fonction)
Fonction de la forme
y
de r gression. Une telle fonction est souvent appel e lin aire par abus de langage.
(afne function)
que lon rencontre notamment en statistique comme courbe
+
=
bx
a
kx
y
y
y
x
ae
=
(liaison lin aire),
P
bx
ajustement lin aire, polynomial, exponentiel,
logarithmique
(tting)
On consid re deux grandeurs num riques
intervenant dans l tude dun ph nom ne.
et
On suppose quil existe une liaison entre ces deux grandeurs, et que cette liaison est al atoire
(quil sagisse dun ph nom ne d terministe pertub par exemple par des erreurs de mesure,
ou dun ph nom ne intrins quement al atoire). Le plus souvent, cette liaison sera repr -
sent e ou sera pr sum e pouvoir tre repr sent e par une relation math matique simple,
(liaison afne, le plus souvent quali e
bx
+
bx
=
par exemple :
a
n
y
(liaison puissance),
aussi de lin aire),
(liaison polynomiale),
x
a
x
a
a
=
=
y
n
1
(liaison logarithmique).
x
ln
b
+
a
y
(liaison exponentielle),
=
y
Le probl me se pose alors, connaissant un ensemble de points exp rimentaux (un nuage ,
dans le vocabulaire statistique), de trouver la forme math matique de la liaison et les
bons coefcients (ou param tres) num riques. Lorsque le ph nom ne sera d terministe
) que lon
x
pertub al atoirement, le nuage de points sera tr s voisin de la courbe
cherche d terminer. Lorsque le ph nom ne sera intrins quement al atoire, le nuage sera
plus dispers et la courbe
) sera la courbe qui passera au mieux au milieu du nuage
=
y
des points. La courbe ainsi d termin e, dans un cas comme dans lautre, sera appel e courbe
dajustement ou, dans le cas particulier afne,
est la forme connue
Si ((
x
), ..., (
x
n
2
1
ou pr sum e de la relation math matique, d pendant des param tres
,&, la m thode
standard (due Gauss et Legendre) sappelle la m thode des moindres carr s : elle consiste
,& comme celles qui minimisent la somme des
d terminer les valeurs des param tres
f
)) est le nuage de points, et si
y
,
n
.
droite dajustement
+ ... +
), (
y
,
1
y
,
x
2
+
0
=
=
=
, &
b
x
(
,
a
b
a
a
,
,
b
y
(
f
f
f
carr s des carts
(
yi
f xi(
)2.
)
Dans le cas particulier afne et dans une situation de type
n
1=
.
droite des moindres carr s
d terministe pertub al atoirement, on obtient ainsi la
Dans une situation de type intrins quement al atoire, la somme des carr s des carts nest pas
exactement une variance, mais elle est directement li e aux variances des variables al atoires
que lon doit introduire pour mod liser la situation. Lensemble des conditions satisfaire
inclut une minimisation de la variance et on aboutit exactement aux m mes formules et aux
m mes valeurs des param tres. Le contexte probabilistestatistique induit un changement de
vocabulaire : plut t que de droite dajustement ou de droite des moindres carr s, on parle de
droite de r gression
Signalons pour terminer que les liaisons lin aire, afne et polynomiale sont directement trai-
t es par les techniques ( quivalentes) de moindres carr s ou de r gression lin aire, tandis que
les liaisons puissance et exponentielle sont le plus souvent ramen es aux cas pr c dents par
P devient ln y = ln b + p ln x, y = aekx devient ln y = ln a + kx.
=
y
passage aux logarithmes :
; plut t que de courbe dajustement, on parle de
.
courbe de r gression
bx
ajustement
Voir droite dajustement et khideux dajustement (test du).
al atoire
(random)
Cet adjectif qualie dans la langue courante des ph nom nes dont les r sultats sont varia-
bles, non ou mal ma trisables, impr visibles, &, et soppose d terministe . Il est gale-
2 Dress_A Page 3 Samedi, 28. ao t 2004 11:19 11
analyse de la variance (test d)
3
ment employ , avec un sens math matique codi , dans des expressions qui d signent
certains concepts du calcul des probabilit s (exp rience al atoire, variable al atoire,
processus al atoire, ...).
Le calcul des probabilit s a pour but la mod lisation des ph nom nes al atoires, d s lors
quils sont reproductibles dans des conditions identiques. Selon les cas, cette reproduction
pourra tre provoqu e par lhomme (exp rimentation), ou sera naturelle (observation).
La reproductibilit est essentielle notamment pour fonder lestimation des probabilit s, ce
qui explique lextr me difcult conceptuelle et pratique d valuer la probabilit dun
v nement tr s rare.
On notera que la variabilit des ph nom nes quali s dal atoires peut tre soit intrins que
(variabilit dun caract re biologique, impr visibilit dune d sint gration radioactive), soit
li e limpr cision ou lerreur de la mesure de la grandeur qui peut tre d terministe.
Voir hasard, mod lisation, variable al atoire.
alg bre d v nements
(eld of events)
Famille (ensemble) A d v nements qui v rient les propri t s qui caract risent une alg bre
de Boole de parties dun ensemble E : appartenance de E A, stabilit par r union nie
et par passage au compl mentaire.
Si on ajoute la stabilit par r union d nombrable, on obtient une -alg bre ou tribu.
alg bre
Voir tribu.
alphabet grec
Voir grec (alphabet).
amplitude
(amplitude)
Terme souvent utilis pour d signer la largeur dune classe (born e) : lamplitude de la classe
]aj, aj + 1] est |aj + 1 aj|.
analyse combinatoire
(combinatorial analysis, combinatorics)
Branche des math matiques qui tudie les congurations , form es partir d objets
pris dans un ensemble ni donn et dispos s en respectant certaines contraintes ou certaines
structures x es. Les deux probl mes principaux sont l num ration des congurations, et
leur d nombrement.
Les d nombrements (arrangements, combinaisons, permutations) jouent un r le important
en probabilit s combinatoires, o lhypoth se d quiprobabilit ram ne la d termination des
probabilit s des comptes d v nements l mentaires.
analyse de la variance (test d)
Publicité
(variance analysis test)
Test param trique qui permet de comparer globalement plusieurs esp rances math matiques
entre elles. La d nomination du test sexplique par son fonctionnement, qui d compose la
variance de lensemble des observations en deux variances partielles, la premi re fournissant
une estimation inter-classes de la variance commune, et la seconde une estimation
intra-classes (ou r siduelle ). On teste ensuite le quotient : si la premi re estimation
est sensiblement plus grande que la deuxi me, on rejette alors lhypoth se H0 d galit de
toutes les esp rances.
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4
analyse de la variance (test d)
test de comparaison
de q esp rances math matiques 1 , 2, ..., q
" Donn es. q classes ou groupes, soit pour chaque k (1 d k d q) : un chantillon (xk1, xk2, ...,
)
xknk
de nk valeurs observ es dune variable al atoire num rique Xk desp rance math matique k. On
note N le nombre total n1 + n2 + ... + nq de valeurs observ es.
" Hypoth se test e. H0 = 1 = 2 = ... = q contre H1 = il existe au moins deux esp -
rances diff rentes .
" D roulement technique du test
1a. Pour chaque k, on calcule la moyenne de l chantillon n k :
mk
=
+
+
xk1
xk2 & xknk
------------------------------------------------
nk
+
.
1b. On calcule la moyenne g n rale :
n1m1
n2m2 & nqmq
--------------------------------------------------------------
N
M
+
+
+
=
.
2. On calcule les 2 sommes de carr s qui analysent la variance compl te :
q
Q1
Q2
=
k
1=
q
=
k
1=
nk mk M
(
)2,
nk
i
1=
(
xki mk
)2
.
(nota : la somme Q1 + Q2 est la somme compl te
q
k
1=
nk
i
1=
(
xki M
)2
).
On calcule ensuite
2
s1
=
Q1
------------
1
q
, estimation inter-classes de la variance commune, et
2
s2
=
Q2
-------------
N q
, estimation intra-classes ( r siduelle ).
3. On calcule enn la valeur observ e de la variable de test :
Fq 1 N q
,
2
s1
----=
2
s2
.
Les valeurs de r f rence de la variable de test sont lire dans les tables de la loi de
Fisher-Snedecor. Elles d pendent des deux degr s de libert q 1 et N q, et du
risque . On notera que les tables de la loi de Fisher-Snedecor sont unilat rales. En effet,
si H0 est fausse, alors lestimation inter-classes de la variance ne peut tre quaugment e.
" Conditions et pr cautions
En th orie les Xk doivent tre des v.a. normales ; en outre elles doivent avoir m me
variance, exigence difcile appr cier et contr ler... Sil semblait que cela ne soit pas le
cas, on peut appliquer le (test de) Bartlett, ou bien rechercher dans un ouvrage sp cialis
dautres proc dures applicables ;
lorsque les Xk ne sont pas normales, le test est robuste et reste applicable si les effectifs
des groupes sont assez grands .
2 Dress_A Page 5 Samedi, 28. ao t 2004 11:19 11
analyse de la variance un facteur
5
analyse de la variance un facteur
(one-way ANOVA)
M thode danalyse dune situation o lon exp rimente leffet dun facteur sur une variable,
facteur suppos agir exclusivement sur lesp rance math matique. Dans un premier temps de
lanalyse, on teste lexistence dun effet du facteur par le (test d) analyse de la variance : la
variance inter-classes sinterpr te alors comme la part de variance due au facteur consid r ,
et le terme de variance r siduelle se justie alors pleinement.
Si lhypoth se H0 est rejet e, cela signie que le facteur a un effet, et dans un deuxi me
temps de lanalyse, on estime les esp rances dont lensemble d crit leffet du facteur.
La pr sentation globale et les notations donn es ci-dessous sont tr s l g rement diff rentes
de celles du test danalyse de la variance, de fa on pouvoir les g n raliser naturellement au
cas de deux facteurs.
analyse de la variance un facteur A
xini
" Donn es. p classes ou groupes, avec pour chaque niveau i (1 d i d p) du facteur : un chan-
tillon (xi1, xi2, ...,
) de ni valeurs observ es dune variable al atoire num rique Xi desp -
rance math matique i.
On note N le nombre total n1 + n2 + ... + np de valeurs observ es.
" Mod le tudi
Les observations individuelles sont de la forme Xij = i + Eij , o Eij est un cart de loi
normale centr e et d cart-type (ind pendant de leffet du facteur A).
On pose i = + i, o repr sente la moyenne globale et i leffet du facteur A (en conve-
nant que la moyenne pond r e des effets est nulle).
Premier temps
" Hypoth se sur leffet du facteur. H0 = le facteur ne poss de aucun effet = 1 = 2
= ... = p contre H1 = il existe au moins deux esp rances diff rentes .
" D roulement technique du test
On calcule la moyenne observ e mi de l chantillon n i ;
on calcule la moyenne g n rale observ e M (moyenne pond r e des mi) ;
on calcule les sommes de carr s relatives aux parts de variance observ es et on regroupe
les r sultats comme indiqu dans le tableau suivant :
Origine
de la dispersion
Somme de carr s
ddl
Estimation
de la variance
Test F
totale
Q
p
ni
=
i
1=
(
xij M
)2
N 1
j
1=
p
facteur A
QA
(
mi M
)2
p 1
=
i
1=
r siduelle
QR
=
Q QA
N p
Q
-------------
N 1
2
sA
=
QA
-------------
p 1
2
sR
=
QR
--------------
N p
Fp 1 N p
,
=
2
sA
------
2
sR
Les valeurs de r f rence de la variable de test sont lire dans les tables de la loi de Fisher-
Snedecor.
.
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6
analyse de la variance deux facteurs
" Conditions et pr cautions. Voir analyse de la variance (test d).
Deuxi me temps (en cas de rejet de H0)
" estimations des effets
est estim e par M,
les i sont estim s par mi M.
analyse de la variance deux facteurs
(two-way ANOVA)
M thode danalyse dune situation o lon exp rimente leffet de deux facteurs sur une
variable, facteurs suppos s agir exclusivement sur lesp rance math matique. Il faut distin-
guer les effets s par s des deux facteurs et envisager a priori une interaction possible.
Dans un premier temps de lanalyse, on teste lexistence de leffet des facteurs et lexistence
dune interaction par plusieurs tests de type analyse de la variance.
Si lun ou lautre de ces tests rejette lhypoth se de non-existence dun effet, il faut alors,
dans un deuxi me temps de lanalyse, estimer les esp rances dont lensemble d crit les effets
des deux facteurs ainsi que leur interaction.
Il existe plusieurs plans dexp rience possibles pour pr ciser le d tail de lexp rimenta-
tion. Les formules qui suivent concernent les deux plans dexp rience les plus courants, qui
sont des plans complets et quilibr s : toutes les associations entre un niveau du
premier facteur et un niveau du second sont observ es, et toutes les classes pr sentent le
m me nombre r dobservations. Le premier plan est r p titions (r e 2), le deuxi me
sans r p tition (r = 1), auquel cas lon ne peut pas valuer les interactions et lon estime
seulement leffet des deux facteurs.
1. analyse de la variance deux facteurs A et B
plan dexp rience complet quilibr avec r p titions
" Donn es. pq classes ou groupes, avec pour chaque couple (i, j) (1 d i d p, 1 d j d q) de
niveaux des facteurs : un chantillon (xij1, xij2, ..., xijr) de r valeurs observ es dune variable
al atoire num rique Xij desp rance math matique ij.
Le nombre total N de valeurs observ es est gal pqr.
" Mod le tudi . Les observations individuelles sont de la forme Xijk = ij + Eijk , o Eijk est
un cart de loi normale centr e et d cart-type (ind pendant de leffet des facteurs A et B
et de leur interaction).
On pose ij = + i + j + ij, o repr sente la moyenne globale et i leffet du facteur A,
j leffet du facteur B, ij linteraction entre A et B (en convenant que la moyenne pond r e
des effets et de linteraction est nulle).
Premier temps
" Hypoth se globale sur lexistence deffet(s). H0 = il ny a aucun effet = toutes les ij
sont gales contre H1 = il existe au moins deux esp rances diff rentes .
" D roulement technique du test
On calcule la moyenne observ e mij de chaque classe (i, j) ;
on calcule les moyennes marginales observ es mi. et m.j ;
on calcule la moyenne g n rale observ e M ;
on calcule les sommes de carr s relatives aux parts de variance observ es et on regroupe
les r sultats comme indiqu dans le tableau ci-contre.
on effectue trois tests s par s, les valeurs de r f rence de la variable de test sont lire dans
les tables de la loi de Fisher-Snedecor.
2 Dress_A Page 7 Samedi, 28. ao t 2004 11:19 11
analyse de la variance deux facteurs
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Origine
de la
dispersion
totale
Somme de carr s
ddl
p
q
r
Q
=
i 1=
j 1=
k 1=
p
(
xijk M
)2
pqr 1
facteur A
QA
facteur B
QB
=
qr
i
1=
q
=
pr
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1=
(
mi. M
)2
p 1
(
m. j M
)2
q 1
interaction
AB
r
QAB =
p
q
i 1=
(
mij m.j
mi. M+
)2
j 1=
p 1(
) q 1(
)
r siduelle
QR Q QA
=
QB
QAB
pq(r 1)
Test F
Fp 1 pq r 1(
,
)
Fq 1 pq r 1(
,
)
2
sA
------=
2
sR
2
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-----=
2
sR
F p 1(
) q 1(
,
) pq r 1(
)
=
2
sAB
-------
2
sR
Estimation
de la
variance
Q
-------------------
pqr 1
2
sA
=
QA
-------------
p 1
2
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=
QB
-------------
q 1
2 =
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QAB
-------------------------------------
) q 1(
p 1(
)
2
sR
=
QR
------------------------
pq r 1(
)
" Conditions et pr cautions. Voir analyse de la variance (test d).
Deuxi me temps (en cas de rejet de H0)
" estimations des effets
est estim e par M ;
les i sont estim s par mi. M, les j sont estim s par m.j M ;
les ij sont estim s par mij m.j mi. + M.
2. analyse de la variance deux facteurs A et B
plan dexp rience complet quilibr sans r p tition
" Donn es. pq classes ou groupes, avec pour chaque couple (i, j) (1 d i d p, 1 d j d q) de
niveaux des facteurs : une valeur unique xij observ e dune variable al atoire num rique Xij
desp rance math matique ij.
On note N le nombre total pq de valeurs observ es.
" Mod le tudi . Les observations individuelles sont de la forme Xij = mij + Eij, o Eij est un
cart de loi normale centr e et d cart-type (ind pendant de leffet des facteurs A et B).
On pose ij = + i + j, o repr sente la moyenne globale et i leffet du facteur A, j
leffet du facteur B (en convenant que la moyenne pond r e des effets est nulle).
Premier temps
" Hypoth se globale sur lexistence deffet(s). H0 = il ny a aucun effet = toutes les ij
sont gales contre H1 = il existe au moins deux esp rances diff rentes .
" D roulement technique du test
On calcule les moyennes marginales observ es mi. et m.j ;
on calcule la moyenne g n rale observ e M ;
.
t
i
l
d
n
u
t
s
e
e
s
i
r
o
t
u
a
n
o
n
e
i
Publicité
p
o
c
o
t
o
h
p
a
L
d
o
n
u
D
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
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8
analyse des donn es
on calcule les sommes de carr s relatives aux parts de variance observ es et on regroupe
les r sultats comme indiqu dans le tableau suivant :
Somme de carr s
ddl
Estimation de
la variance
Test F
Origine de
la dispersion
totale
(
xij M
)2
pq 1
p
q
Q
=
i 1=
j 1=
p
facteur A
QA
facteur B
QB
(
mi. M
)2
p 1
(
m. j M
)2
q 1
=
q
i
1=
q
=
p
j
1=
Q
-----------------
pq 1
2
sA
=
QA
-------------
p 1
2
sB
=
QB
-------------
q 1
Fp 1 p 1(
,
) q 1(
)
Fq 1 p 1(
,
) q 1(
)
2
sA
------=
2
sR
2
sB
-----=
2
sR
r siduelle
QR Q QA
=
QB
(p 1)(q 1)
2
sR
=
QR
-------------------------------------
p 1(
) q 1(
)
on effectue deux tests s par s, les valeurs de r f rence de la variable de test sont lire
dans les tables de la loi de Fisher-Snedecor.
" Conditions et pr cautions. Voir analyse de la variance (test d).
Deuxi me temps (en cas de rejet de H0)
" estimation des effets
est estim e par M ;
les i sont estim s par mi. M, les j sont estim s par m.j M.
analyse des donn es
(multivariate analysis)
Cette expression poss de aujourdhui un sens tr s pr cis en math matiques. Elle d signe
globalement lensemble des m thodes qui permettent de traiter les situations qui impliquent
un grand nombre de caract res et un grand nombre de donn es. Ces m thodes n cessitent
beaucoup de calculs et ont euri depuis que linformatique leur permet d tre mises en
Suvre. Souvent tr s labor es, elles sont n anmoins tr s descriptives et par cons quent
utilisables non seulement dans des situations probabilistes standard, mais aussi dans des
situations non probabilisables (donn es sociologiques ou statistiques conomiques par
exemple). Elles reposent pour beaucoup sur une analyse g om trique et alg brique de la
repr sentation des donn es dans un espace (abstrait) de grande dimension (o , par exemple,
les coefcients de corr lation peuvent tre interpr t s comme des cosinus dangles). Elles
sint ressent la fois aux caract res (d termination des liaisons) et aux individus (par
exemple sous-structures du nuage de points).
La m thode qui se trouve dans le prolongement direct de la corr lation et de la r gression
lin aire sappelle l analyse en composantes principales . Les autres m thodes portent les
noms danalyse (factorielle) discriminante, danalyse des correspondances, de classication
hi rarchique, etc. Toutes les m thodes danalyse des donn es d bouchent (mais non exclusi-
vement) sur des repr sentations graphiques, et certaines sont fr quemment utilis es dans les
m dias.
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appari es (s ries) / appari s ( chantillons)
9
ANOVA
Voir analyse de la variance (test d), analyse de la variance un facteur,
analyse de la variance deux facteurs.
(ANalysis Of VAriance)
aplatissement (coefcient d) (kurtosis coefcient, excess coefcient)
Nombre r el sans dimension, indicateur de forme, qui mesure laplatissement dune distribu-
tion probabiliste ou statistique.
On consid re une variable al atoire r elle (ou une variable statistique), dont les moments
centr s dordre 2 et 4 sont :
Le coefcient daplatissement est le quotient
2 = 2 et 4 (ou m2 = s2 et m4).
2
=
4
------
4
3
ou
m4
------
s4
3
.
Un coefcient apparemment plus simple : 2 =
4
------
4
ou
m4
------
s4
, avait t introduit par Pearson.
Comme sa valeur est gale 3 pour une loi normale, Fisher a retranch 3 pour traduire lid e
que laplatissement standard (coefcient nul) est celui de la loi normale. Le coefcient 2 est
compris entre 2 et + . Ce coefcient est n gatif pour une distribution tal e (on dit parfois
platicurtique ), positif pour une distribution pointue (on dit parfois leptocurtique ). Il
faut toutefois noter que son signe nest vraiment signicatif que pour une distribution peu
pr s sym trique.
Exemple Pour une distribution continue uniforme sur [0, 1], on a 2 = 2 =
1
------
12
et
4 =
1
------
80
, do 2 = 1,2 (on aurait bien entendu la m me valeur pour une distribution
continue uniforme sur un intervalle quelconque).
ynY
appari es (s ries) / appari s ( chantillons)
(paired samples)
Terminologie qui soppose chantillons ind pendants et qui d signe, dans un test dhypo-
th se, la constitution dun chantillon par paires .
Dans un test de comparaison sur des chantillons ind pendants, on consid re deux varia-
bles num riques X et Y et on constitue deux chantillons dobservations (x1, x2, ...,
) et
(y1, y2, ...,
) : les nX individus pour lesquels ont t observ es les nX valeurs de X sont a
priori diff rents des nY individus pour lesquels ont t observ es les nY valeurs de Y (et en
g n ral nX ` nY) ; les chantillons sont donc ind pendants, au sens usuel et au sens proba-
biliste, et le test compare par exemple les esp rances X et Y.
Dans un test de comparaison sur des s ries appari es, on consid re autant de couples (de
paires ) de variables num riques (Xi, Yi) quil y a dindividus sur lequels seront effectu es
les observations (dans certains cas les deux observations seront faites non pas sur le m me
individu mais sur deux individus similaires ). Les lois des Xi et des Yi ne font pas lobjet
dun pr suppos duniformit et on teste seulement la diff rence entre Xi et Yi (certains de
ces tests sont parfois appel s tests de diff rences coupl es). Le postulat du test est alors quil
y a une unique variable D dont les diff rences observ es di = yi xi constituent un chan-
tillon, et lon teste la sym trie de D ou une de ses cons quences, par exemple D = 0. Il arrive
xnX
.
t
i
l
d
n
u
t
s
e
e
s
i
r
o
t
u
a
n
o
n
e
i
p
o
c
o
t
o
h
p
a
L
d
o
n
u
D
A
B
C...