Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie
Université Virtuelle de Tunis
Management de projets
Les méthodes de conduite des projets
CPM et PERT
Anis JABLOUN
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4.1 La conduite de projets
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Les méthodes de conduite des projets CPM & PERT
La conduite de projets comporte trois phases : planification, ordonnancement et suivi,
comme le montre la figure 4-1.
Ce chapitre résume ces trois activités en portant particulièrement l'attention sur deux
techniques en réseaux, CPM et PERT .
Fig. 4-1 : Diagramme de la conduite d'un projet
4.1.1 Planification des projets
Un PROJET est un ensemble d'activités qui doit être achevé à l'intérieur d'un intervalle de temps en utilisant des ressources appropriées.
La planification débute par une définition précise et claire des objectifs. La définition du
projet comporte l'identification des variables contrôlables et des variables
incontrôlables, et établit les limites de ce plan. Les critères de performance doivent se
rapporter aux objectifs du projet et sont souvent évalués en termes de temps et de
coûts.
4.1.2 Ordonnancement des projets
L'ordonnancement consiste à rédiger les besoins en ressources ou à anticiper
l'avancement des parties de projets sur leur temps impartis. Les besoins en ressources
sont gérés au mieux en accordant une attention particulière au personnel, au matériel
et aux finances pour les projets.
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4.1.3 Suivi des projets
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Le suivi des projets consiste à mesurer l'état des opérations qui les composent, à
transmettre les informations au centre de contrôle qui vérifie que les opérations se
découlent conformément au programme et à mettre en œuvre les actions rectificatrices
si besoin est. L'attention des responsables n'est attirée que sur les chemins critiques ou
qui le sont presque.
4.2 Notions fondamentales sur les réseaux
Un diagramme en réseau est un modèle mathématique qui utilise des petits cercles (nœuds)
reliés par des lignes ou des branches (vecteurs), pour représenter des relations en
séquences, les réseaux sont fréquemment utilisés pour représenter des stocks ou de la
trésorerie, des plans d'expédition et des réseaux de communication.
La méthode des chemins critique ( CPM ) et l'Evaluation technique du programme ( PERT ) sont
des techniques d'analyse en réseau d'un système en termes d'activités et d'évènements qui
doivent être achevés suivant une séquence spécifiée en vue d'atteindre un but.
Certaines activités peuvent être menées de front alors que d’autres doivent être exécutées
dans un certain ordre. Bien que certaines formulations de la méthode CPM diffèrent de cette
définition, nous devons considérer comme activités les composantes (tâches) qui ont une
durée et sont désignées par des flèches et comme événements des moments où certaines
activités sont achevées ou quand d’autres débutent. Les événements sont les nœuds
représentés par des cercles. Le diagramme en réseau est l’image des relations entre les
activités et les événements comme l’illustre la figure 4-2.
La figure 4-2 présente, sur un diagramme en réseau, l’activité de travail nécessaire pour
construire une centrale électrique (l’objectif). Les relations de succession dans le temps sont
indiquées par des flèches et des cercles. Par exemple, l’activité architecture (1 et 2) doit être
achevée avant que toute autre action ne commence. Ensuite, la sélection du site, du
fournisseur et du personnel peut débuter. L’installation du générateur (5-7) ne peut avoir
lieu avant que le site n’ait été préparé (3-5), et qu’il y ait été lui-même fabriqué (4-5).
Remarquez qu'il y a quatre chemins entre les événements 1 et 8. La préparation du site (3-5)
et la fabrication du générateur (4-5) sont sur des trajets différents, mais comme ils
convergent vers l’événement 5, toutes deux peuvent retarder l’installation du générateur.
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Fig.4-2 : Diagramme en réseau de la construction d'une usine
Parfois, des relations de dépendance dans le temps sont nécessaires même s’il n’y a pas
d’activité consommatrice de temps. Par exemple, dans la figure 4-2, supposez que la
préparation du site ne puisse pas être entamée avant que l’activité 3-5 ne débute. Il est
possible d’indiquer cette dépendance dans le temps par une flèche en pointillé qui
représente une activité fictive entre les événements 4 et 3, flèche à laquelle on affectera un
temps nul. Cette activité fictive créera un autre trajet séquentiel à travers le réseau.
4.2.1 Méthode du Chemin Critique (CPM)
Les étapes de cette méthode sont :
1- Définition du projet en termes d’activités et d’événements,
2- Construction du diagramme en réseau montant les relations de dépendance,
3- Développement d’une estimation ponctuelle du temps de chaque activité,
4- Calcul des temps nécessaires pour chacun des trajets possibles au travers du réseau,
5- Déplacement des ressources comme des besoins, en vue d’optimiser la réalisation
des objectifs.
Le chemin dont la séquence est la plus longue (calculée à l’étape 4) est appelé chemin
critique : les durées de toutes les activités sur ce trajet sont critiques pour la date
d’achèvement du projet. La somme de toutes ces activités est la durée attendue
moyenne du chemin critique ( TE, temps estimé). Les autres chemins auront des
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excédents de temps, et l’excédent de chaque trajet est simplement la différence entre TE
et la durée du trajet en cause.
Exemple : Les temps estimés pour achever la construction de la centrale électrique de la
fig. 4-2 sont donnés (en mois), sur le diagramme en réseau (fig. 4-3).
Fig.4-3 : Diagramme en réseau
a) Déterminer le chemin critique.
b) Combien de temps reste-t-il sur le trajet comportant les opérations de préparation
des manuels techniques ?
Réponse :
a) Le trajet B est critique avec un temps nécessaire de 44 mois : TE = 44 mois
b) La préparation des manuels techniques est sur le trajet C :
Temps disponible = chemin critique (B) – (C)
= 44 – 36 = 8 mois
Le temps disponible sur le trajet C suggère que l'activité de préparation des manuels
(4-6) peut être retardée de 8 mois sans que cela ne modifie le délai.
Tab. 4-1
| Chemin | Temps |
|---|---|
| A : 1-2-3-5-7-8 B : 1-2-4-5-7-8 C : 1-2-4-6-7-8 D : 1-2-6-7-8 |
12+8+12+4+6 = 42 12+4+18+4+6 =44 12+4+5+9+6 = 36 12+3+9+6 = 30 |
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4.2.2 Date au Plus Tôt – Date au Plus Tard des activités
Lors de la gestion des activités d’un projet, il est parfois utile de savoir quand au plus tôt
une activité peut être commencée, ou quand au plus tard elle doit être achevée sans
que cela n’affecte la date d’achèvement du projet. Quatre symboles sont
communément utilisés pour désigner les dates d’activités les plus précoces et les plus
tardives.
DDT : date de démarrage au plus tôt pour une activité. L’hypothèse est que toutes les
activités qui la précèdent ont elles-mêmes démarré à leur date au plus tôt.
DFT : date de fin au plus tôt pour une activité. L'hypothèse est que l'activité a démarré à
sa DDT et prend le temps estimé, t. Donc
DDT = DFT + t
DFTr : date la plus tardive de fin d’une activité (Date de Fin au plus Tard) - sans
conséquence sur la durée du projet. L’hypothèse est que les activités successives
prennent leur temps estimé.
DDTr : date de démarrage la plus tardive (Date de début au plus Tard) pour une activité
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qui ne retarde pas le projet.
DDTr = DFTr - t
DDT et DFT sont calculées suivant une procédure de gauche à droite (parfois appelée
trajet en avant ). La DDT d’une activité est la somme des temps de toutes les activités qui
la précédent sur ce trajet. Quand plusieurs trajets convergent à un nœud, c’est le plus
long qui a la primauté.
Le temps le plus tardif est calculé en sens inverse. On commence par le temps critique
de terminaison TE et on en soustrait toutes les activités successives jusqu’à atteindre
l’activité concernée. Si deux ou plusieurs activités convergent vers un événement en
cours de séquence, le trajet développé à partir du chemin dont le temps est le plus court
a la primauté parce que c’est sur ce chemin qu’il reste le moins de temps disponible.
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Exemple 1 :
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- Calculez la date de démarrage au plus tôt (DDT) et celle au plus tard (DDTr)
pour les activités du réseau de la figure 4-3. Quelles sont les dates au plus tôt et
au plus tard pour achever l’événement 6 sans que le délai soit allongé ?
Voir figure 4-4. Le temps DDT (en mois) pour chaque activité est indiqué sur le côté
gauche des «T» au début de chaque activité. L’activité 1-2 débute à 0 et les temps
des autres activités sont totalisés. Par exemple, la DDT pour l’activité 6-7 est le cumul
des temps jusqu’à l’événement 6. Ainsi : suivant le trajet 1-2-4-6, le temps = 12+4+5
= 21. Suivant le trajet 1-2-6, il est de 12+3 = 15. Donc la DDT = le mois 21 puisque le
trajet le plus long a la primauté.
La DDTr de chaque activité est inscrite sur le côté droit des «T», nous débutons avec
le temps estimé du chemin critique (TE) et procédons de la droite vers la gauche. Ainsi
la DDTr pour l’activité 6-7 est :
TE - temps des activités précédentes = 44 - 6 - 9 = 29
Les autres DDT et DDTr sont données dans le tableau 4-2 ainsi que le temps de
disponibilité. Remarquez que les DDT et DDTr sont égales pour toutes les activités du
chemin critique. Pour les autres activités, DDTr est égale à DDT augmentée de la
disponibilité en temps sur le trajet (ce qui paraît le moyen le plus aisé de les calculer).
Le tableau comprend également les DFT et DFTr. Elles sont aussi calculées facilement,
car DFT est simplement DDT plus la durée de l’activité, et DFTr est égale à DDTr plus
la durée de l’activité.
DDTr = DDT + M et DFTr = DFT + M
Avec M est la marge ou la disponibilité de l‘activité
Mi = min (TE – Ti)
Mi est la marge ou la disponibilité de l’activité i et Ti est la durée du chemin sur lequel
se trouve la tâche i, si la tâche i se trouve sur plusque un chemin, sa marge est égale à
la plus petite valeur des (TE-Ti).
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Fig.4-4
Tab. 4-2
| Activité | Temps | DDT | DDTr | DFT | DFTr | Disponible |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1-2 2-3 2-4 2-6 3-5 4-5 4-6 5-7 6-7 7-8 |
12 8 4 3 12 18 5 4 9 6 |
0 12 12 12 20 16 16 34 21 38 |
0 14 12 26 22 16 24 34 29 38 |
12 20 16 15 32 34 21 38 30 44 |
12 22 16 29 34 34 29 38 38 44 |
0 2 0 14 2 0 8 0 8 0 |
- Calculez les temps disponibles associés à chaque activité.
Les disponibilités sont indiquées dans la colonne la plus à droite du tableau 4-2. Le
total de la disponibilité pour une activité est la différence entre DDTr et DDT (ou
entre DFTr et DFT). Bien que nous associons les disponibilités aux activités, elles
appartiennent réellement au trajet parce qu’aussitôt qu’une activité utilise son temps
de disponibilité dans un trajet toutes les activités de ce trajet deviennent critiques.
Les activités au cours du trajet critique n’ont pas de disponibilité si la «cible» (ou date
de fin de projet) est la même que la date de fin au plus tôt de la dernière activité.
La disponibilité est le laps de temps dont on peut retarder une activité sans retarder
le démarrage au plus tôt de n’importe laquelle de celles qui la suivent.
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- Déterminez la disponibilité associée aux activités 2-6 et 4-6.
La DDT de l’activité qui suit (6-7) est le mois 21, aussi la date de départ de l’activité
(2-6) peut-elle être retardée de 6 mois (jusqu’au mois 18) sans que cela affecte la
DDT pour l’activité 6-7. Cependant, si l’activité 4-6 est retardée un tant soit peu, cela
retardera l’activité 6-7. Ainsi l’activité 2-6 a 6 mois de disponibilité et l’activité 4-6
n’en a pas. Néanmoins, les deux activités ont la même disponibilité parce que ni l’une
ni l’autre ne sont sur le chemin critique.
Le temps estimé pour une activité ou un trajet fournit à l’agent de planning une base
pour déplacer des ressources afin de terminer le projet de façon plus efficace. Par
exemple, le déplacement de ressources vers le chemin critique peut réduire le temps
global du projet.
- La firme a déterminé qu’en déplaçant 3 ingénieurs de la rédaction des notes
techniques (activité 4-6) vers la fabrication (activité 4-5) on pourrait réduire
cette dernière à 15 mois, alors que l’activité 4-6 augmenterait de 5 mois. Quel
serait l’effet net de cette modification sur la date finale ?
Le trajet A reste inchangé avec 42 mois
Le trajet B = 12+4+15+4+6 = 41 mois
Le trajet C = 12+4+10+9+6 = 41 mois
Le trajet D reste inchangé à 30 mois.
C’est le trajet A qui devient critique et la durée du projet passe de 44 à 42 mois, soit
un gain de 2 mois.
4.2.3 La Méthode PERT
La méthode PERT, comme la méthode CPM, est aussi un outil de gestion et de contrôle
des temps. Cependant, l’analyse PERT fournit à la fois une mesure centrale (ou
moyenne) du temps de réalisation d’un projet et une mesure d’une dispersion (écart
type). Une fois connues la moyenne et l’écart-type des temps de réalisation d’un projet,
on peut estimer la probabilité que l’on a de l’achever plus tôt ou plus tard que prévu. Il y
a d’autres différences subtiles entre CPM et PERT, comme l’accent mis pas la CPM sur
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les coûts. Mais la différence fondamentale réside dans l’introduction de statistiques
dans le réseau.
Le PERT incorpore les incertitudes (et probabilités) en prenant compte trois estimations
pour chaque activité, plutôt qu’une seule. Les trois estimations sont désignées par :
a : durée optimiste . C’est le meilleur temps qui pourrait être obtenu si toutes les choses
se passaient exceptionnellement bien. Il n’est atteint que dans 1 % des cas.
m : durée la plus probable (moyenne en quelque sorte). C’est la meilleure estimation
que l’on ait.
b : durée pessimiste . C’est le pire cas que l’on peut raisonnablement attendre si tout va
mal et qui peut se produire 1 fois sur 100.
Le temps moyen attendu ( te ) et la variance ( σ [2] ) de chaque activité sont déterminés ainsi
:
te = (a+4m+b)/6
σ [2] = [(b - a)/6] [2]
avec :
a = temps estimé optimiste
m = temps estimé le plus probable
b = temps estimé pessimiste
Les temps des activités individuelles sont totalisés suivant les trajets respectifs, et celui
qui a le temps le plus long est le trajet critique. Les variances des activités qui composent le
chemin critique (CP) sont alors totalisées. La distribution du temps total est
approximativement normale avec un temps d’achèvement TE et un écart-type σ .
TE= Σ te
σ [ = ] √(Σ σ [2] cp [)]
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où σ [2] cp
temps Tx
TE Tx
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Fig. 4-5 Distribution des temps d’achèvement
Étant donné la moyenne et l’écart-type de la distribution du temps de réalisation, la
probabilité des différentes dates d’achèvement peut être calculée à l’aide d’une table de
distribution normale.
Par exemple, pour déterminer la probabilité pour qu’un projet dépasse le temps imparti Tx
de la figure 4-5, il nous faut calculer :
Z = (Tx - TE)/ σ
puis trouver la probabilité associée à cette valeur de Z à partir de la distribution normale
donnée dans la table de la loi normale, et la soustraire de 0,5000. Le résultat représente
l’aire ombrée sous la courbe de la figure 4-5.
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Exemple 2 :
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Un responsable de projet a interrogé divers ingénieurs, contremaîtres et fournisseurs
pour en déduire les temps estimés du tableau 4-3 pour la construction décrite dans la
figure 4-2.
(a) Déterminez le chemin critique.
(b) Quelle est la probabilité pour que le projet soit achevé dans un délai de 4 ans ?
(c) Quelle est la probabilité pour qu’il prenne plus de 55 mois ?
| Tab. 4-3 | Col2 | Col3 | Col4 | Col5 |
|---|---|---|---|---|
| Activité | Activité | Temps estimés | Temps estimés | Temps estimés |
| Description | Numéro | a | m | b |
| Étude de l’usine Choix du site Choix du fournisseur Choix du personnel Préparation du site Fabrication du générateur Préparation des manuels Installation du générateur Formation des opérateurs Obtention des autorisations |
1-2 2-3 2-4 2-6 3-5 4-5 4-6 5-7 6-7 7-8 |
10 2 1 2 8 15 3 2 6 4 |
12 8 4 3 12 18 5 4 9 6 |
16 36 5 4 20 30 8 8 12 14 |
Tab. 4-4
| Col1 | Tab. 4-5 |
|---|---|
| Chemins | Temps |
| A : 1-2-3-5-7-8 B : 1-2-4-5-7-8 C : 1-2-4-6-7-8 D : 1-2-6-7-8 |
12,33 + 11,67 + 12,67 + 4,33 + 7,00= 48,00* 12,33 + 3,67 + 19,50 + 4,33 + 7,00 = 46,83 12,33 + 3,67 + 5,17 + 9,00 + 7,00 = 37,17 12,33 + 3,00 + 9,00 + 7,00 = 31,33 |
| t e = (a+4m+b)/6 |
σ2 = [(b-a)/6]2 |
|---|---|
| 12,33 11,67 3,67 3,00 12,67 19,50 5,17 4,33 9,00 7,00 |
1,00 32,11 0,44 0,11 4,00 6,25 0,69 1,00 1,00 2,78 |
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- Chemin critique
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(a) Les valeurs de te et σ [2] ont été calculées pour les diverses activités comme indiqué
au tableau 4-4. Les valeurs de te sont introduites dans le diagramme en réseau de
la figure 4-6 . Le chemin critique est déterminé au tableau 4-5, c’est A, et il est
représenté en traits renforcés sur la figure.
TE Tx (48) (55)
Fig. 4-6 Diagramme en réseau montrant le chemin critique
et la distribution du temps de réalisation
(b) La meilleure estimation du temps de réalisation TE = 48 mois, aussi y a-t-il 50 %
de chances pour que le projet soit terminé en 4 ans.
(c) Pour déterminer toute autre probabilité d’un temps donné, nous devons calculer
l’écart-type de la distribution du temps en suivant le chemin critique.
σ [ = ] √ Σ σ [2] cp [= √] [1, 00 + 32, 11 + 4, 00 + 1, 00 + 2, 78 ] [= ] [6,4 mois]
Z = (Tx - TE)/ σ = (55,0 – 48,0)/6,4 = 1,09
P(Z) = 0,3621 (voir table de la loi Normale)
P(X >Tx) = 0,5000 - 0,3621 = 0,1379
La probabilité est de 0,14
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Exemple 3 :
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Bien que le problème de CPM (exemple 1) et celui de PERT (exemple 2) aient les mêmes
temps moyens pour chaque activité, leurs chemins critiques (et les temps qui s’y
rapportent) diffèrent. Expliquez pourquoi.
Les chemins critiques diffèrent parce que le PERT introduit une mesure des incertitudes,
alors que le CPM ne le fait pas. Par exemple, l’activité de sélection du site (2-3) a un
temps le plus probable de 8 mois, mais un temps pessimiste de 36 mois qui donne, te =
11,67 mois, en contradiction avec les 8 mois utilisés par le CPM .
14 Anis JABLOUN