Notes de Cours T.Mellah
LA LOGIQUE PROPOSITIONNELLE
SOMMAIRE
OBJET DE LA LOGIQUE
I- DEFINITION ET NOTATION
II- OPERATIONS LOGIQUES SUR LES PROPOSITIONS
II-1 CONNECTEURS TABLE DE VERITE
II-2 REGLES DE FORMATION
II-3 LOIS LOGIQUES
II-3-1 CONSEQUENCES LOGIQUES
D finition
1. Tautologie et antilogie
2. Equivalence et implication logique
3. Argument
II-3-2 ALGEBRES DES PROPOSITIONS
III THEORIE DE DEMONSTRATION
III-1 DEFINITION
III-2 AXIOMES ET REGLES DINFERENCES
III-3 THEOREMES
IV TABLE DE BETH
IV-1 THEOREME DE BETH
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IV-2 PRINCIPE DE LA METHODE
IV-3 EXERCICE
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A.U 2019-2020
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Notes de Cours T.Mellah
IV Table de Beth
Cest une autre m thode de d monstration formelle sauf quelle est non axiomatique mais repose sur
plusieurs r gles dinf rences. Cette m thode se fonde sur le th or me suivant
IV-1 Th or me de Beth
La formule f est un th or me si et seulement si + est la racine dun arbre dont toutes les branches sont closes.
IV-2 Principe de la m thode
On d montre quune formule f est un th or me ( + ) en suivant un raisonnement par labsurde, cest dire
en montrant que la r futation de f , not , + conduit une contradiction.
La r futation se conduit dans un arbre, appel tableau de Beth. R futer f, cest le nier , selon sa forme en
suivant les r gles dinf rences suivants :
R gle daffirmation
R gle de r futation
J
J
J ( K
J K
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J ' K
J
K
J K
J K
J K
J J
K K
J
J
J ( K
J
K
J ' K
J K
J K
J
K
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J K
J J
K K
Ecrire dans tableau de Beth : A signifie jaffirme A , et J signifie de nie A
Une branche de tableau de Beth est consid r e comme termin e lorsque plus aucune r gle ne peut
sappliquer.
Une branche est dite close lorsquelle contient une contradiction, not e . La r gle de contradiction
J
J
IV-3 Exercice
Les formules suivantes sont-elles des th or mes ? Justifier en appliquant un raisonnement par labsurde.
1. P ( Q P Q)
2.
(A B) (B C) (A C)
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