La Logique Floue

Gaussienne

Sinoide

 Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 18 18

<!-- Slide number: 19 --> # V.3. Les sous ensembles Flous Fonction d’appartenance à l’ensemble grand et agé Nous avons

agé(x) = 0,7 grand(x) = 0,5

Alors c’est quoi grandagé(x) ?????

 Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 19 19

<!-- Slide number: 20 --> # V.3. Les sous ensembles Flous Différence probabilité / flou FLOU : Il viendra à peu près à 9h (peut-­être 8h30, 9h30 ou 10h...) On est sur qu’il viendra demain mais on ne sait pas exactement quand => Imprécision PROBA : il ya 80% de chances pour qu’il vienne On n’est pas sûr qu’il vienne => Incertitude Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 20

<!-- Slide number: 21 --> # V.3. Les sous ensembles Flous




 Ici, Pierre mesure 1m625 se traduit en logique floue par « Pierre est petit » à un degré de 75% « Pierre est moyen » à 25% « Pierre est grand » à 0% 21

Notes:

<!-- Slide number: 22 --> # V.3. Les sous ensembles Flous-Union A est l’ensemble flou des personnes petites. B est l’ensemble flou des personnes moyennes. L’ensemble des personnes petites OU moyennes est un ensemble flou de fonction d’appartenance :

fAB(x) = max(fA(x), fB(x)) xU


 22

Notes:

<!-- Slide number: 23 --> # V.3. Les sous ensembles Flous-Complément L’ensemble des personnes NON petites est un ensemble flou de fonction d’appartenance : fA(x) = 1- fA(x) xU Ensemble flou: "Personnes non petites"


 Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 23

Notes:

<!-- Slide number: 24 --> # V.3. Les sous ensembles Flous-Intersection A est l’ensemble flou des personnes petites. B est l’ensembles flou des personnes moyennes. L’ensemble des personnes petites ET moyennes est un ensemble flou de fonction d’appartenance :

fAB(x) = min(fA(x), fB(x)) xU


 24

Notes:

<!-- Slide number: 25 --> # V.3. Les sous ensembles Flous

 Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 25

<!-- Slide number: 26 --> # V.3. Les sous ensembles Flous-Exemple Exemple de SEF: X dénombrable ou non dénombrable

X={chat,guépard,tigre} A: SEF de X des animaux rapides A= 0.3 / chat + 1.0 / guépard + 0.6 / tigre X=[0, 110] (ensemble des âges) A: SEF de X des adolescents



Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 26

<!-- Slide number: 27 --> # V.3. Les sous ensembles Flous-Exemple Certaines propriétés de la théorie des ensembles classiques sont vérifiées :


Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 27

<!-- Slide number: 28 --> # V.4. La fonction d’appartenance Concepts fondamentaux

Si fA(x) = 0,10 alors x appartient à l’ensemble flou A avec un degré d’appartenance de 10% Faible appartenance : Traduction de la valeur linguistique « Faible »

Si fA(x) =0,90 alors x appartient à l’ensemble flou A avec un degré d’appartenance de 90% Forte appartenance : Traduction de la valeur linguistique « Fort»

Degré d’appartenance = Valeur de vérité

Un ensemble flou est totalement déterminé par sa fonction d’appartenance

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<!-- Slide number: 29 --> # V.4. La fonction d’appartenance La fonction d’appartenance est caractérisée par les propriétés suivantes: Le Noyau: N(A) = {x/fA(x) = 1} est l'ensemble des éléments qui appartiennent totalement à A. Pour les fonctions de type triangulaire, le noyau est un singleton qui est appelé aussi valeur modale. Le Support: S(A) = {x/fA(x) ≠ 0} ; cet ensemble décrit l'ensemble des éléments qui sont partiellement dans A. Le Type: la forme du nombre flou qui peut être triangulaire, trapézoïdale, gaussienne ou sigmoïdale. La Hauteur: H(A) = SupxX (fA(x)) de la fonction d'appartenance. La Cardinalité de A: notée |A| est le degré global avec lequel les éléments de X appartiennent à A.

 Un sous-ensemble flou est dit normalisé s'il est de hauteur 1. Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 29

<!-- Slide number: 30 --> # V.4. La fonction d’appartenance La fonction d’appartenance est caractérisée par les propriétés suivantes:

Le Noyau, Le Support et La Hauteur:

 fA(X)

h 30

<!-- Slide number: 31 --> # V.4. La fonction d’appartenance Soit X = {Tunis, Alger, Casa}, l’ensemble des lieux proposés pour une habitation, notées Tunis, Alger, Casa. On peut définir les sous-ensembles flous suivants correspondants à des choix : F = 0.8/T + 0.6/A + 0.4/C F’ = 0.2/T + 1/A + 0/C F’’ = 0/T + 0/A + 1/C On a h(F) = 0.8, supp(F) = X, noy(F) = , |F| = 1.8. Pour F, tous les lieux sont acceptables, avec un ordre de préférence.



 F ‘’ Tunis Alger Casa

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<!-- Slide number: 32 --> # V.4. La fonction d’appartenance-propriétés


Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 32

<!-- Slide number: 33 --> # V.4. La fonction d’appartenance-opérations



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<!-- Slide number: 34 --> Produit cartésien de sefs Une relation utilisée pour combiner l'information venant de plusieurs ensembles de référence Soit X1 et X2, deux univers de référence et X leur produit cartésien (classique), X=X1×X2, dont les éléments sont les couples (x1,x2), x1 X1 et x2 X2 Soient A1 et A2 respectivement définis sur X1 et X2, on définit le produit cartésien A=A1×A2 comme un sef de X, de fonction d'appartenance: x  X, x=(x1,x2), fA(x)=min( fA1(x1), fA2(x2) )

Notes:

<!-- Slide number: 35 --> Produit cartésien de sefs

X2

x2 (x2 , x1)

A2

x1 X1

A1

Notes:

<!-- Slide number: 36 --> Produit cartésien de sefs


Notes:

<!-- Slide number: 37 --> Produit cartésien de sefs X1={moto,auto,train} (moyens de transport) Transport rapide: A1= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train X2={pasCher, cher} (prix) Prix souhaité : A2= 0.7 / pasCher + 0.4 / cher Donnez la fonction d'appartenance du produit cartésien (transport rapide, prix souhaité)

Notes:

<!-- Slide number: 38 --> Relation d’extension Idée: possédant une fonction sur un univers classique X, on veut l’utiliser avec des sefs de X. Étant donné un sef A de X, et une application  de X vers Y, le principe d'extension permet de définir un sef B de Y associé à A par  : yY, fB(y)= sup{x  X | y= (x)}fA(x) si -1(y)≠∅ 0 sinon Le sef B est l'image du sef A par la fonction .

Notes:

<!-- Slide number: 39 --> Exemple. X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de transport) Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses) On définit la fonction  qui associe une vitesse à un moyen de transport : (camion)=L, (caravane)=L, (voiture)=N, (moto)=R Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture + 0.1|caravane Mesure de la vitesse d'un side-car? fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1 fB(N)= fsc(voiture)= 0.4 fB(R)= fsc(moto)= 0.5

Notes:

<!-- Slide number: 40 --> Exercice



Notes:

<!-- Slide number: 41 --> # Relation floue Une relation floue R entre r ensembles de référence X1, X2, …Xr est un SEF de X1x X2 x… Xr de fonction d’appartenance fR sur X x Z de fonction d’appartenance définie par : (x, y)X x Z, fR(x, z) =supyYmin(fR1(x,y), fR2(y, z)) Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 41

<!-- Slide number: 42 --> # Variable linguistique

 Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 42

<!-- Slide number: 43 --> # Proposition floue


 Leila Jemni Ben Ayed 43

<!-- Slide number: 44 --> # Proposition floue

 Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 44

<!-- Slide number: 45 --> # Implications floues

 Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 45

<!-- Slide number: 46 --> # V.5. Les variables Floues Logique floue  basée sur des variables floues dites variables linguistiques à valeurs linguistiques dans l’univers du discours U. Chaque valeur linguistique constitue alors un ensemble flou de l’univers du discours.

 Univers du discours : Gamme de température de 0°C à 200°C. Variable linguistique : La température. Valeurs linguistiques : « Très froid» « Froid » « Tempéré » « Chaud » « Très Chaud » Leila Jemni Ben Ayed 46

Notes:

<!-- Slide number: 47 --> # V.5. Les variables Floues www.tn.refer.org

Notes:

<!-- Slide number: 48 --> # V.5. Les variables Floues


 Leila Jemni Ben Ayed 48

Notes:

<!-- Slide number: 49 --> # V.5. Les variables Floues

 Leila Jemni Ben Ayed 49

Notes:

<!-- Slide number: 50 --> # Un système d’inférence floue

 Leila Jemni Ben Ayed 50

Notes:

<!-- Slide number: 51 --> # V.6. La Fuzzification « Pierre est petit » à un degré de 75% Interface de fuzzification Pierre mesure 1m625

« Pierre est moyen » à 25%

« Pierre est grand » à 0%

Les systèmes à logique floue traitent de variables d’entrées floues et fournissent des résultats sur des variables de sorties elles-mêmes floues Il faut donc fuzzifier les mesures en entrée et défuzzifier les sorties pour obtenir des sorties précises


La fuzzification est l’étape qui consiste en la quantification floue des valeurs réelles d’une variable. 51

Notes:

<!-- Slide number: 52 --> # V.6. La Fuzzification Pour fuzzifier, il faut donner:

L’univers du discours i.e.: Plage de variations possibles de l’entrée considérée. Une partition en classe floue de cet univers. Les fonctions d’appartenances de chacune de ces classes. Il faut fuzzifier les entrées ET les sorties du processus flou. Exemple: Selon les valeurs des entrées , le système flou indiquera qu’en sortie la puissance de chauffe devra prendre les valeurs de sortie « faible » ou « moyenne » ou « forte ». La fuzzification des variables est une phase délicate du processus mis en oeuvre par la logique floue. Elle est souvent réalisée de manière itérative et requiert de l'expérience.

52

Notes:

<!-- Slide number: 53 --> # V.6. Les règles floues Les systèmes à logique floue utilisent une expertise exprimée sous forme d’une base de règles du type: Si….Alors…

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Notes:

<!-- Slide number: 54 --> # V.7. Les Règles d’Inférence

Prémisses Conjonction Implication Conclusion En logique classique En logique floue La variable floue X appartient à la classe floue A avec un degré de validité fA(x) La variable floue Y appartient à la classe floue B à un degré qui dépend du degré de validité de la prémisse 54

Notes:

<!-- Slide number: 55 --> # V.7. Les Règles d’Inférenceimplication floue

 Kleene-Dienes f(x, y) = max(1-fA(x), fB(y) Mandani f(x, y) = min(fA(x), fB(y)) 55

Notes:

<!-- Slide number: 56 --> # V.7. Les Règles d’Inférence

 Madani T(x, y) = min(x, y)

 56

Notes:

<!-- Slide number: 57 --> # V.7. Les Règles d’Inférence Plus la condition sur les entrées est vraie. Plus l'action préconisée pour les sorties doit être respectée

SI la température est très basse ALORS Chauffer fort La conclusion d’une règle floue est l’appartenance d’une variable floue de sortie « Chauffer » à une classe floue « fort ». Cette appartenance dépend de :

1°) La classe floue de sortie considérée. 2°) du degré de validité de la prémisse prémisse(x0). 3°) de la méthode d’implication choisie.

Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 57

Notes:

<!-- Slide number: 58 --> # V.7. Les Règles d’Inférence – raisonnement flou

Le contrôleur flou


ne permet pas de raisonner lorsque les règles ou les faits sont définis de façon imparfaite. Et si c’est à peu près A En logique classique

 flou

 Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 58

Notes:

<!-- Slide number: 59 --> # V.7. Les Règles d’Inférence


Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 59

Notes:

<!-- Slide number: 60 --> # V.8. Contrôle flou et méthodes d’implication


60

Notes:

<!-- Slide number: 61 --> # V.8. Contrôle flou et méthodes d’implication

En commande floue, la défuzzification COG est presque toujours utilisée. Elle prend en compte l’influence de l’ensemble des valeurs proposées par la solution floue.

La défuzzification consiste à associer à un ensemble flou, résultant de l’inférence, un nombre interprétable par l’utilisateur, l’interface de commande (pour une commande floue)…

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Notes:

<!-- Slide number: 62 --> # V.8. Contrôle flou et méthodes d’implication 2 méthodes principales d’implication floue:

 Méthode de Mamdani :

f f f Méthode de larsen :

f f f Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 62

Notes:

<!-- Slide number: 63 --> # V.7. Les Règles d’Inférences Une règle est activée dès qu’elle a une prémisse ayant une valeur de vérité non nulle. Plusieurs règles peuvent être activées simultanément et préconiser des actions avec différents degrés de validités; ces actions peuvent être contradictoires. Il convient d’agréger les règles pour fournir une appartenance de la variable floue de sortie à une classe floue consolidée Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 63

Notes:

<!-- Slide number: 64 --> # V.8. Contrôle flou et méthodes d’implication On considère un moteur d’inférence à 4 règles qui fournit pour sa sortie tension S1, les résultats suivants :

Matthieu Lescieux R1

fpetite=0.6 fpetite=0.7 fgrande=0.1 Moteur d’inférences 4 règles R2

R3

fmoyenne=0.3 R4



Implication floue de Mamdani

64

Notes:

<!-- Slide number: 65 --> # V.8. Contrôle flou et méthodes d’implication



Agrégation des conclusions

A ce stade, on a la fonction d’appartenance d’un ensemble flou qui caractérise le résultat Il faut défuzzifier ! 65

Notes:

<!-- Slide number: 66 --> # Défuzzification En commande floue, la défuzzification COG est presque toujours utilisée. Elle prend en compte l’influence de l’ensemble des valeurs proposées par la solution floue.

La défuzzification MM est plutôt utilisée lorsqu’il s’agit de discriminer une valeur de sortie (Ex: reconnaissance de formes).

Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 66

<!-- Slide number: 67 --> # Exercice d’application Nous souhaitons développer un système de notation flou en utilisant un système d’inférences floues On choisit : Résultats obtenus (sur 20)

Système d’inférences floues

Méthodes utilisées (sur 20) Évaluation du travail (sur 20)

Présentation (sur 20)

Leila Jemni Ben Ayed Logiques non classiques 2014-2015 - P2 67

<!-- Slide number: 68 --> # Exercice d’application Choix des entrées/sorties 3 entrées: Résultats; Méthodes, Présentation. 1 sortie: Évaluation Univers des discours [0..20] pour chacune des E/S Classes d’appartenances: 68

<!-- Slide number: 69 -->

Choix des fonctions d’appartenances Entrées :



 69

<!-- Slide number: 70 -->

Choix des fonctions d’appartenances Sortie :

 70

<!-- Slide number: 71 -->

Base des règles

1. If (Résultats is excellent) then (Evaluation is excellent) 2. If (Résultats is moyen) then (Evaluation is moyen) 3. If (Résultats is médiocre) then (Evaluation is médiocre) 4. If (Résultats is moyen) and (Méthodes is médiocre) then (Evaluation is mauvais) 5. If (Résultats is moyen) and (Méthodes is excellent) then (Evaluation is bon) 6. If (Résultats is médiocre) and (Méthodes is moyen) then (Evaluation is mauvais) 7. If (Résultats is excellent) and (Méthodes is excellent) and (Présentation is excellent) then (Evaluation is excellent) 8. If (Résultats is médiocre) and (Méthodes is excellent) then (Evaluation is moyen) 9. If (Résultats is excellent) and (Méthodes is médiocre) then (Evaluation is moyen) 71

<!-- Slide number: 72 -->

Les opérateurs flous

 ET flou : MIN OU flou : MAX Implication floue : MIN Agrégation des règles : MAX Défuzzyfication : COG 72 72

<!-- Slide number: 73 -->

Surface de décision floue Obtenue pour une évaluation de la présentation de 10/20)

 73 73

<!-- Slide number: 74 -->


 Décision selon un système d’inférences floues Décision selon un modèle mathématiques Non linéaire Linéaire Plus proche du comportement humain Mieux accepté pour l’évaluation 74 74 74