et si le feu est proche ...

alors j'acc l re.

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<!-- Slide number: 13 -->

V.2. Exemples de r gles Floues

Exemples de r gles floues: Mod le moins flou

Si le feu est rouge, si ma vitesse d passe 85,6 Km/H et si le feu est moins de 62,3 m tres, alors j'appuie sur la p dale de frein avec une force de 33,2

Elle appr cie les variables d'entr es de fa on approximative (faible, lev e, loin, proche), fait de m mes pour les variables de sorties (freinage l ger ou fort) et d finit un ensemble de r gles permettant de d terminer les sorties en fonction des entr es

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<!-- Slide number: 14 -->

un patient atteint d'h patite pr sente g n ralement les sympt mes suivants :

Le patient a une forte fi vre,

sa peau pr sente une coloration jaune,

il a des naus es.



Si le patient 38,9 C de temp rature

Logique classique

Logique floue

Le patient na pas de forte fi vre Le patient na pas dh patite.

Le patient a une forte fi vre 37,5% Le patient a une h patite 10%.

14

<!-- Slide number: 15 -->

V.3. Les sous ensembles Flous

En th orie des ensembles classiques, un objet appartient ou nappartient pas un ensemble

Exemple :

U = ensemble des individus;~ A = ensemble des individus petits

En th orie des sous- ensembles flous, un objet peut appartenir un ensemble et en m me temps son compl ment

Exemple : un individu de 1,66 m peut tre consid r la fois comme grand et petit

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<!-- Slide number: 16 -->

V.3. Les sous ensembles Flous

Soit X, un ensemble de r f rence

un sous-ensemble de X est une classe de X telle que certains l ments de X sont l ments de cette classe et dautres

si on peut indiquer avec quel degr chaque l ment appartient la classe, on parle de sous-ensemble flou

Un sous-ensemble flou A de X est d fini par une fonction

dappartenance qui associe chaque l ment x de X, le degr mA(x), compris entre 0 et 1, avec lequel x appartient A.

mA(x) : X [0, 1]

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<!-- Slide number: 17 -->

V.3. Les sous ensembles Flous

A

En th orie des ensembles classique

"x U, m A(x) est la fonction dappartenance lensemble A

mA(x) =0 si x A

mA(x) =1 si x A

Avec le concept densemble flou,

"x U, mA(x) est la fonction dappartenance lensemble A

mA(x) : X [0, 1]

Si mA(x) = 0,40, x appartient lensemble flou A avec un degr dappartenance de 40%

U

Le degr dappartenance = valeur de v rit

Un ensemble flou est totalement d termin par sa fonction dappartenance

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<!-- Slide number: 18 -->

V.3. Les sous ensembles Flous

Les fonctions dappartenance peuvent avoir diff rentes formes selon leur d finition

Triangulaire trap soidale

Gaussienne

Sinoide


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<!-- Slide number: 19 -->

V.3. Les sous ensembles Flous

Fonction dappartenance lensemble grand et ag

Nous avons

mag (x) = 0,7

mgrand(x) = 0,5

Alors cest quoi

mgrand ag (x) ?????


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<!-- Slide number: 20 -->

V.3. Les sous ensembles Flous

Diff rence probabilit / flou

FLOU :

Il viendra peu pr s 9h (peut- tre 8h30, 9h30 ou 10h...)

On est sur quil viendra demain mais on ne sait pas exactement quand

=> Impr cision

PROBA :

il ya 80% de chances pour quil vienne

On nest pas s r quil vienne

=> Incertitude

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<!-- Slide number: 21 -->

V.3. Les sous ensembles Flous





Ici, Pierre mesure 1m625

se traduit en logique floue par

Pierre est petit un degr de 75%

Pierre est moyen 25%

Pierre est grand 0%

21

Notes:

<!-- Slide number: 22 -->

V.3. Les sous ensembles Flous-Union

A est lensemble flou des personnes petites.

B est lensemble flou des personnes moyennes.

Lensemble des personnes petites OU moyennes est un ensemble flou de fonction dappartenance :

fA B(x) = max(fA(x), fB(x)) "x U



22

Notes:

<!-- Slide number: 23 -->

V.3. Les sous ensembles Flous-Compl ment

Lensemble des personnes NON petites est un ensemble flou de fonction dappartenance :

fA(x) = 1- fA(x) "x U

Ensemble flou: "Personnes non petites"



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Notes:

<!-- Slide number: 24 -->

V.3. Les sous ensembles Flous-Intersection

A est lensemble flou des personnes petites.

B est lensembles flou des personnes moyennes.

Lensemble des personnes petites ET moyennes est un ensemble flou de fonction dappartenance :

fA B(x) = min(fA(x), fB(x)) "x U



24

Notes:

<!-- Slide number: 25 -->

V.3. Les sous ensembles Flous


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<!-- Slide number: 26 -->

V.3. Les sous ensembles Flous-Exemple

Exemple de SEF: X d nombrable ou non d nombrable

X={chat,gu pard,tigre}

A: SEF de X des animaux rapides

A= 0.3 / chat + 1.0 / gu pard + 0.6 / tigre

X=[0, 110] (ensemble des ges)

A: SEF de X des adolescents



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<!-- Slide number: 27 -->

V.3. Les sous ensembles Flous-Exemple

Certaines propri t s de la th orie des ensembles classiques sont v rifi es :


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<!-- Slide number: 28 -->

V.4. La fonction dappartenance

Concepts fondamentaux

Si fA(x) = 0,10 alors x appartient lensemble flou A avec un degr dappartenance de 10%

Faible appartenance : Traduction de la valeur linguistique Faible

Si fA(x) =0,90 alors x appartient lensemble flou A avec un degr dappartenance de 90%

Forte appartenance : Traduction de la valeur linguistique Fort

Degr dappartenance = Valeur de v rit

Un ensemble flou est totalement d termin par sa fonction dappartenance

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<!-- Slide number: 29 -->

V.4. La fonction dappartenance

La fonction dappartenance est caract ris e par les propri t s suivantes:

Le Noyau: N(A) = {x/fA(x) = 1} est l'ensemble des l ments qui appartiennent totalement A. Pour les fonctions de type triangulaire, le noyau est un singleton qui est appel aussi valeur modale.

Le Support: S(A) = {x/fA(x) ` 0} ; cet ensemble d crit l'ensemble des l ments qui sont partiellement dans A.

Le Type: la forme du nombre flou qui peut tre triangulaire, trap zo dale, gaussienne ou sigmo dale.

La Hauteur: H(A) = Supx X (fA(x)) de la fonction d'appartenance.

La Cardinalit de A: not e |A| est le degr global avec lequel les

l ments de X appartiennent A.


Un sous-ensemble flou est dit normalis s'il est de hauteur 1.

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<!-- Slide number: 30 -->

V.4. La fonction dappartenance

La fonction dappartenance est caract ris e par les propri t s suivantes:

Le Noyau, Le Support et La Hauteur:


fA(X)

h

30

<!-- Slide number: 31 -->

V.4. La fonction dappartenance

Soit X = {Tunis, Alger, Casa}, lensemble des lieux propos s pour une habitation, not es Tunis, Alger, Casa. On peut d finir les sous-ensembles flous suivants correspondants des choix :

F = 0.8/T + 0.6/A + 0.4/C

F = 0.2/T + 1/A + 0/C

F = 0/T + 0/A + 1/C

On a h(F) = 0.8, supp(F) = X, noy(F) = f, |F| = 1.8.

Pour F, tous les lieux sont acceptables, avec un ordre de pr f rence.




F

Tunis Alger Casa

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<!-- Slide number: 32 -->

V.4. La fonction dappartenance-propri t s


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<!-- Slide number: 33 -->

V.4. La fonction dappartenance-op rations



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<!-- Slide number: 34 -->

Produit cart sien de sefs

Une relation utilis e pour combiner l'information venant de plusieurs ensembles de r f rence

Soit X1 et X2, deux univers de r f rence et X leur produit cart sien (classique), X=X1 X2, dont les l ments sont les couples (x1,x2), x1 X1 et x2 X2

Soient A1 et A2 respectivement d finis sur X1 et X2, on d finit le produit cart sien A=A1 A2 comme un sef de X, de fonction d'appartenance:

"x X, x=(x1,x2), fA(x)=min( fA1(x1), fA2(x2) )

Notes:

<!-- Slide number: 35 -->

Produit cart sien de sefs

X2

x2

(x2 , x1)

A2

x1

X1

A1

Notes:

<!-- Slide number: 36 -->

Produit cart sien de sefs


Notes:

<!-- Slide number: 37 -->

Produit cart sien de sefs

X1={moto,auto,train} (moyens de transport)

Transport rapide:

A1= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train

X2={pasCher, cher} (prix)

Prix souhait :

A2= 0.7 / pasCher + 0.4 / cher

Donnez la fonction d'appartenance du produit cart sien (transport rapide, prix souhait )

Notes:

<!-- Slide number: 38 -->

Relation dextension

Id e: poss dant une fonction sur un univers classique X, on veut lutiliser avec des sefs de X.

tant donn un sef A de X, et une application j de X vers Y, le principe d'extension permet de d finir un sef B de Y associ A par j :

"y Y, fB(y)= sup{x X | y= j(x)}fA(x) si j-1(y)` 0 sinon

Le sef B est l'image du sef A par la fonction j.

Notes:

<!-- Slide number: 39 -->

Exemple.

X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de transport)

Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses)

On d finit la fonction j qui associe une vitesse un moyen de transport :

j(camion)=L, j(caravane)=L, j(voiture)=N, j(moto)=R

Nouveau v hicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture + 0.1|caravane

Mesure de la vitesse d'un side-car?

fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1

fB(N)= fsc(voiture)= 0.4

fB(R)= fsc(moto)= 0.5

Notes:

<!-- Slide number: 40 -->

Exercice



Notes:

<!-- Slide number: 41 -->

Relation floue

Une relation floue R entre r ensembles de r f rence X1, X2, &Xr est un SEF de X1x X2 x& Xr de fonction dappartenance fR sur X x Z de fonction dappartenance d finie par :

"(x, y) X x Z, fR(x, z) =supy Ymin(fR1(x,y), fR2(y, z))

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41

<!-- Slide number: 42 -->

Variable linguistique


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<!-- Slide number: 43 -->

Proposition floue



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43

<!-- Slide number: 44 -->

Proposition floue


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44

<!-- Slide number: 45 -->

Implications floues


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<!-- Slide number: 46 -->

V.5. Les variables Floues

Logique floue bas e sur des variables floues dites variables linguistiques valeurs linguistiques dans lunivers du discours U.

Chaque valeur linguistique constitue alors un ensemble flou de lunivers du discours.


Univers du discours : Gamme de temp rature de 0 C 200 C.

Variable linguistique : La temp rature.

Valeurs linguistiques : Tr s froid Froid Temp r頻 Chaud Tr s Chaud

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46

Notes:

<!-- Slide number: 47 -->

V.5. Les variables Floues

www.tn.refer.org

Notes:

<!-- Slide number: 48 -->

V.5. Les variables Floues



Leila Jemni Ben Ayed

48

Notes:

<!-- Slide number: 49 -->

V.5. Les variables Floues


Leila Jemni Ben Ayed

49

Notes:

<!-- Slide number: 50 -->

Un syst me dinf rence floue


Leila Jemni Ben Ayed

50

Notes:

<!-- Slide number: 51 -->

V.6. La Fuzzification

Pierre est petit un degr de 75%

Interface de

fuzzification

Pierre mesure 1m625

Pierre est moyen 25%

Pierre est grand 0%

Les syst mes logique floue traitent de variables dentr es floues et fournissent des r sultats sur des variables de sorties elles-m mes floues

Il faut donc fuzzifier les mesures en entr e

et d fuzzifier les sorties pour obtenir des sorties pr cises


La fuzzification est l tape qui consiste en la quantification floue des valeurs r elles dune variable.

51

Notes:

<!-- Slide number: 52 -->

V.6. La Fuzzification

Pour fuzzifier, il faut donner:

Lunivers du discours

i.e.: Plage de variations possibles de lentr e consid r e.

Une partition en classe floue de cet univers.

Les fonctions dappartenances de chacune de ces classes.

Il faut fuzzifier les entr es ET les sorties du processus flou.

Exemple: Selon les valeurs des entr es , le syst me flou indiquera quen sortie la puissance de chauffe devra prendre les valeurs de sortie faible ou moyenne ou forte .

La fuzzification des variables est une phase d licate du processus mis en oeuvre par la logique floue. Elle est souvent r alis e de mani re it rative et requiert de l'exp rience.

52

Notes:

<!-- Slide number: 53 -->

V.6. Les r gles floues

Les syst mes logique floue utilisent une expertise exprim e sous forme dune base de r gles du type: Si&.Alors&

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53

Notes:

<!-- Slide number: 54 -->

V.7. Les R gles dInf rence

Pr misses

Conjonction

Implication

Conclusion

En logique classique

En logique floue

La variable floue X appartient la classe floue A avec un degr de validit fA(x)

La variable floue Y appartient la classe floue B un degr qui d pend du degr de validit de la pr misse

54

Notes:

<!-- Slide number: 55 -->

V.7. Les R gles dInf renceimplication floue


Kleene-Dienes

f (x, y) = max(1-fA(x), fB(y)

Mandani

f (x, y) = min(fA(x), fB(y))

55

Notes:

<!-- Slide number: 56 -->

V.7. Les R gles dInf rence


Madani

T(x, y) = min(x, y)


56

Notes:

<!-- Slide number: 57 -->

V.7. Les R gles dInf rence

Plus la condition sur les entr es est vraie.

Plus l'action pr conis e pour les sorties doit tre respect e

SI la temp rature est tr s basse ALORS Chauffer fort

La conclusion dune r gle floue est lappartenance dune variable floue de sortie Chauffer une classe floue fort .

Cette appartenance d pend de :

1 ) La classe floue de sortie consid r e.

2 ) du degr de validit de la pr misse mpr misse(x0).

3 ) de la m thode dimplication choisie.

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57

Notes:

<!-- Slide number: 58 -->

V.7. Les R gles dInf rence raisonnement flou

Le contr leur flou


ne permet pas de raisonner lorsque les r gles ou les faits sont d finis de fa on imparfaite.

Et si cest peu pr s A

En logique classique


flou


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58

Notes:

<!-- Slide number: 59 -->

V.7. Les R gles dInf rence


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59

Notes:

<!-- Slide number: 60 -->

V.8. Contr le flou et m thodes dimplication


60

Notes:

<!-- Slide number: 61 -->

V.8. Contr le flou et m thodes dimplication

En commande floue, la d fuzzification COG est presque toujours utilis e. Elle prend en compte linfluence de lensemble des valeurs propos es par la solution floue.

La d fuzzification consiste associer un ensemble flou, r sultant de linf rence, un nombre interpr table par lutilisateur, linterface de commande (pour une commande floue)&

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61

Notes:

<!-- Slide number: 62 -->

V.8. Contr le flou et m thodes dimplication

2 m thodes principales dimplication floue:


M thode de Mamdani :

f

f

f

M thode de larsen :

f

f

f

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62

Notes:

<!-- Slide number: 63 -->

V.7. Les R gles dInf rences

Une r gle est activ e d s quelle a une pr misse ayant une valeur de v rit non nulle.

Plusieurs r gles peuvent tre activ es simultan ment et pr coniser des actions avec diff rents degr s de validit s; ces actions peuvent tre contradictoires.

Il convient dagr ger les r gles pour fournir une appartenance

de la variable floue de sortie une classe floue consolid e

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63

Notes:

<!-- Slide number: 64 -->

V.8. Contr le flou et m thodes dimplication

On consid re un moteur dinf rence 4 r gles qui fournit pour sa sortie tension S1, les r sultats suivants :

Matthieu Lescieux

R1

fpetite=0.6

fpetite=0.7

fgrande=0.1

Moteur

dinf rences

4 r gles

R2

R3

fmoyenne=0.3

R4



Implication floue

de Mamdani

64

Notes:

<!-- Slide number: 65 -->

V.8. Contr le flou et m thodes dimplication



Agr gation

des conclusions

A ce stade,

on a la fonction dappartenance dun ensemble flou

qui caract rise le r sultat

Il faut d fuzzifier !

65

Notes:

<!-- Slide number: 66 -->

D fuzzification

En commande floue, la d fuzzification COG est presque toujours utilis e. Elle prend en compte linfluence de lensemble des valeurs propos es par la solution floue.

La d fuzzification MM est plut t utilis e lorsquil sagit de discriminer une valeur de sortie (Ex: reconnaissance de formes).

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66

<!-- Slide number: 67 -->

Exercice dapplication

Nous souhaitons d velopper un syst me de notation flou en utilisant un syst me dinf rences floues

On choisit :

R sultats obtenus (sur 20)

Syst me dinf rences floues

M thodes utilis es (sur 20)

valuation du travail (sur 20)

Pr sentation (sur 20)

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67

<!-- Slide number: 68 -->

Exercice dapplication

Choix des entr es/sorties

3 entr es: R sultats; M thodes, Pr sentation.

1 sortie: valuation

Univers des discours

[0..20] pour chacune des E/S

Classes dappartenances:

68

<!-- Slide number: 69 -->

Choix des fonctions dappartenances

Entr es :




69

<!-- Slide number: 70 -->

Choix des fonctions dappartenances

Sortie :


70

<!-- Slide number: 71 -->

Base des r gles

1. If (R sultats is excellent) then (Evaluation is excellent)

2. If (R sultats is moyen) then (Evaluation is moyen)

3. If (R sultats is m diocre) then (Evaluation is m diocre)

4. If (R sultats is moyen) and (M thodes is m diocre) then (Evaluation is mauvais)

5. If (R sultats is moyen) and (M thodes is excellent) then (Evaluation is bon)

6. If (R sultats is m diocre) and (M thodes is moyen) then (Evaluation is mauvais)

7. If (R sultats is excellent) and (M thodes is excellent) and (Pr sentation is excellent) then (Evaluation is excellent)

8. If (R sultats is m diocre) and (M thodes is excellent) then (Evaluation is moyen)

9. If (R sultats is excellent) and (M thodes is m diocre) then (Evaluation is moyen)

71

<!-- Slide number: 72 -->

Les op rateurs flous


ET flou : MIN

OU flou : MAX

Implication floue : MIN

Agr gation des r gles : MAX

D fuzzyfication : COG

72

72

<!-- Slide number: 73 -->

Surface de d cision floue Obtenue pour une valuation de la pr sentation

de 10/20)


73

73

<!-- Slide number: 74 -->



D cision selon un syst me dinf rences floues

D cision selon un mod le math matiques

Non lin aire

Lin aire

Plus proche du comportement humain

Mieux accept pour l valuation

74

74

74