Introduction aux Plans d’Expériences

Exemple 01 : je maîtrise la consommation de ma voiture

3 • Plan d’expériences pour 3 facteurs

3.1

Exemple 02 : des bijoux en or

3.2 Conclusion de l’étude

4 • Plans factoriels complets à 4 facteurs

4.1

Exemple 03 : la galette des rois

4.2 Fonction désirablité

4.3 Application à l’exemple 03

4.4 Conclusion de l’étude

5 • Notions de statistique appliquées aux plans d’expériences

5.1

Exemple 04 : durée de vie des outils de coupe jetables

5.2 Notions de statistique appliquées aux plans d’expériences

5.3 Facteurs et interactions influents

5.4 Analyse de la variance

5.5 Application à l’exemple 04

5.6 Conclusion de l’étude

IX

1

1

3

4

8

9

10

15

15

31

31

47

49

50

60

64

65

67

68

71

81

82

85

91

V

Goupy Livre Page VI Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

6 • Plans factoriels fractionnaires

6.1

Exemple 05 : le tellure

6.2 Théorie des aliases

6.3 Calcul de Box

6.4 Relation d’équivalence

6.5 Générateurs d’aliases

6.6 Construction pratique d’un plan fractionnaire

6.7 Nombre maximal de facteurs étudiés sur un plan de base

6.8 Application de la théorie des aliases à l’exemple 05

6.9 Conclusion de l’étude

7 • Exemples de plans factoriels fractionnaires

7.1

7.2

7.3

Exemple 06 : la sulfonation

Exemple 07 : le spectrofluorimètre

Exemple 08 : les pommes de terre chips

8 • Ordre des essais

8.1 Nature des erreurs

8.2

8.3

8.4

Exemple 09 : le Penicillium chrysogenum (exemple de blocking)

Exemple 10 : les haricots de Yates

Exemple 11 : le broyeur (exemple de plan anti-dérive)

8.5 Avantages et dangers de la randomisation

9 • Plans pour surfaces de réponse

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

Présentation des plans composites

Présentation des plans de Box-Behnken

Présentation des plans de Doehlert

Exemple 12 : la rectification du contremaître (exemple de plan composite)

Exemple 13 : un yoghourt doux (exemple de plan de Box-Behnken)

Exemple 14 : l’insecticide (exemple de plan de Doehlert)

10 • Plans de mélanges

10.1 Contrainte fondamentale des mélanges

10.2 Représentation géométrique des mélanges

10.3 Plans de mélanges classiques

10.4 Modèles mathématiques des plans de mélanges

10.5 Exemple 15 : les trois polymères

VI

93

94

97

99

102

104

105

112

112

113

115

116

124

140

147

148

151

161

168

175

179

179

180

181

184

194

199

207

207

208

212

215

217

Goupy Livre Page VII Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

11 • Notion de plan optimal

11.1 Exemple d’Hotelling

11.2 Pesées et plans d’expériences

11.3 Optimalité

11.4 Plans optimaux avec un modèle linéaire

11.5 Quand utiliser des plans optimaux ?

11.6 Adaptabilité des plans optimaux

11.7 Exemple 16 : développement d’un détecteur de fissures

11.8 Exemple 17 : les comprimés du pharmacien

11.9 Exemple 18 : la crème à bronzer

12 • Carrés latins et plans associés

12.1 Exemple 19 : les salaires – un facteur discret à plusieurs niveaux

12.2 Suite de l’exemple 19 – deux facteurs discrets à plusieurs niveaux

12.3 Carrés latins

12.4 Carrés gréco-latins

12.5 Carrés de Youden

12.6 Exemple 20 : étude de la pénétrométrie

13 • Synthèse et conseils

13.1 Choix d’une méthode d’expérimentation

13.2 Expérimentation

13.3 Analyse des résultats

13.4 Acquisition progressive des connaissances

13.5 Recommandations

13.6 Limites de l’expérimentique

14 • Préparez et analysez vos plans d’expériences avec JMP®

14.1 Construire un plan d’expériences

14.2 Le tableur de JMP

14.3 Choisir et utiliser un modèle

14.4 Examiner et analyser les résultats

14.5 Principaux graphiques et rapports d’analyse

14.6 Transférer et sauvegarder les résultats et les analyses

221

221

223

225

229

232

232

235

240

248

255

255

257

264

265

266

267

271

271

277

277

279

280

280

281

281

286

288

290

291

293

VII

Goupy Livre Page VIII Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

Annexes

A • Origine des exemples

B • Comparaison de deux moyennes indépendantes

C • Séries d’essais laissant les facteurs principaux insensibles

à une dérive linéaire

D • Introduction au calcul matriciel

Bibliographie

Index

Instructions pour utiliser le logiciel JMP®

297

299

301

307

313

321

324

Goupy Livre Page IX Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

AVANT-PROPOS

La première édition de ce livre a été publiée en 1988. Depuis cette année-là, l’utili- sation des plans d’expériences s’est considérablement développée dans les mondes industriels et universitaires. De nombreux logiciels consacrés aux plans d’expé- riences sont apparus. Ils ont simplifié la construction des plans, effacé les diffi- cultés de calcul et permis la réalisation rapide de graphiques mettant en valeur les principaux résultats de l’expérimentation. Il était donc devenu nécessaire de rajeunir l’ouvrage Introduction aux plans d’expériences pour tenir compte de cette rapide évolution. C’est l’objet de cette troisième édition. Les première et deuxième éditions ne traitaient que des plans factoriels, complets ou fractionnaires. Cette troisième édition comporte, en plus, des chapitres sur les plans pour surfaces de réponse, sur les plans de mélanges, sur les plans D-optimaux et sur les plans pour variables discrètes. Cet élargissement a été possible grâce aux logiciels d’aujourd’hui qui permettent de construire facilement tous ces plans et qui réalisent les calculs les plus complexes rapidement et sans aucune difficulté. Pour que vous puissiez vous rendre compte de la puissance des logiciels actuels, la société SAS nous a permis d’incorporer une version complète de son logiciel JMP® (prononcez jump) dans ce livre. Vous aurez ce logiciel à votre disposition pendant six mois à partir du moment où vous l’aurez activé (voir les instructions en fin d’ouvrage). Ce livre est complété par un blog (http://www.plansdexperiences.com) sur lequel vous trouverez des explications supplémentaires sur les exemples, un manuel (en français) d’introduction au logiciel et les fichiers téléchargeables des exemples. Une documentation plus complète existe en anglais et peut être consultée et téléchargée sur le site http://www.jmp.com. Nous tenons à remercier Michel Genetay, Rémi Longeray, Lalatiana Rakotozafy et Jacques Vaillé qui ont relu le manuscrit original de ce livre et qui nous ont fait profiter de leurs suggestions et de leurs conseils. Nous conseillons aux lecteurs qui veulent compléter leurs connaissances, d’accom- pagner leur lecture par l’exécution des calculs avec le logiciel. Ils pourront ainsi approfondir les analyses et procéder à leur propre interprétation. Nous avons essayé de fournir aux lecteurs tous les outils et toutes les explications pour qu’ils puissent utiliser facilement la méthode des plans d’expériences pour leurs propres travaux. Il nous reste à leur souhaiter : « Bons plans d’expériences ! »

Jacques Goupy, Paris (France) Lee Creighton, Cary (Caroline du Nord, États-Unis)

IX

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

Goupy Livre Page X Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

Goupy Livre Page 1 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • FAITES CONNAISSANCE AVEC LA MÉTHODE DES PLANS D’EXPÉRIENCES

Si vous lisez ce livre c’est que, probablement, vous faites des expériences et que vous cherchez à mieux les organiser. Vous cherchez surtout à ne faire que les bonnes expériences, c’est-à-dire celles qui vont vous apporter la meilleure information expérimentale que vous puissiez espérer. Ce livre est écrit pour vous aider. Il va vous décrire la méthode et les outils pour que vous ne fassiez plus que les bonnes expériences et que vous en tiriez le maximum de renseignements. Vous prendrez vos décisions en connaissance de cause et vous trouverez des solutions à vos problèmes. Nous allons d’abord regarder comment s’intègrent les plans d’expériences dans le processus d’acquisition des connaissances. Puis, nous verrons les concepts de base qui permettent de bien définir une étude et comment l’on interprète les résultats des essais.

1.1 Processus d’acquisition des connaissances

Augmenter ses connaissances, c’est trouver la réponse à une question posée. On commence donc par se poser une ou plusieurs questions (Figure 1.1). Par exemple, si l’on désire connaître l’influence d’un engrais sur le rendement en blé d’une parcelle de terrain, on pourra se poser les questions suivantes qui, bien sûr, ne sont pas limitatives : – « Peut-on obtenir 10 quintaux de blé de plus à l’hectare en augmentant la quantité

d’engrais ? »

– « Quelle est l’incidence de la pluie sur l’efficacité de l’engrais ? » – « La qualité du blé restera-t-elle bonne si j’utilise cet engrais ? » – « Combien dois-je utiliser d’engrais pour obtenir la quantité maximale de blé

par hectare ? »

Ces questions délimitent le problème à résoudre et fixent les travaux à exécuter. Il est donc important de se poser les questions qui correspondent réellement au problème. Bien sûr, avant d’entreprendre des expériences, il est prudent de vérifier que l’information cherchée n’existe pas déjà ailleurs. Dans ce but, on effectue un inventaire des connaissances, soit une bibliographie, soit une consultation d’experts, soit un calcul théorique, soit toute autre démarche ayant pour but de répondre,

1

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

Goupy Livre Page 2 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

1.1 Processus d’acquisition des connaissances

sans expérience, aux questions posées. Après cette phase d’enquête, les questions initiales peuvent être entièrement résolues et il n’y a plus de problème. Dans le cas contraire, certaines questions restent entières ou elles sont modifiées : il est alors nécessaire d’entreprendre des expériences pour obtenir les réponses complètes que l’on souhaite. Ce travail préalable fait partie du métier d’expérimentateur et nous n’insisterons pas. Ce n’est pas sur cette phase du processus que nous voulons faire porter notre effort de réflexion et d’amélioration. N’ayant plus que les questions sans réponse immédiate, il faut faire des expériences. Comment peut-on choisir ces expériences pour :

– arriver rapidement aux meilleurs résultats possibles, – éviter de réaliser des expériences inutiles, – obtenir la meilleure précision possible sur les résultats, – permettre d’avancer à coup sûr, – établir la modélisation du phénomène étudié, – découvrir la solution optimale.

Figure 1.1 – Les plans d’expériences optimisent les trois parties encadrées du processus d’acquisition des connaissances.

Les trois aspects essentiels du processus d’acquisition des connaissances sont les suivantes :

– le choix de la méthode d’expérimentation, – l’analyse des résultats, – l’acquisition progressive de la connaissance.

Examinons plus en détail ces trois aspects sachant que les expériences sont organisées pour faciliter l’exploitation des résultats et pour permettre l’acquisition progressive des résultats d’intérêt.

2

Goupy Livre Page 3 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

1.2 Étude d’un phénomène

1.1.1 Choix de la méthode d’expérimentation

La méthode d’expérimentation choisie doit faciliter l’interprétation des résultats. Elle doit également minimiser le nombre des essais sans toutefois sacrifier la qualité. La théorie des plans d’expériences assure les conditions pour lesquelles on obtient la meilleure précision possible avec le minimum d’essais. On a donc le maximum d’efficacité avec le minimum d’expériences et par conséquent le coût minimum.

1.1.2 Analyse des résultats

L’analyse des résultats d’expériences est facilitée par le choix initial des expériences. Les résultats seront faciles à interpréter et riches d’enseignement si l’on a bien préparé les expériences. Grâce aux ordinateurs et aux logiciels la construction des plans d’expériences et les calculs nécessaires à leur interprétation sont devenus très simples. Ces outils favorisent également les représentations graphiques qui illustrent de manière spectaculaire les résultats et améliorent la compréhension des phénomènes.

1.1.3 Acquisition progressive de la connaissance

L’expérimentateur qui entreprend une étude ne connaît pas les résultats, il est donc sage d’avancer progressivement pour pouvoir réorienter les essais en fonction des premiers résultats. Une première ébauche permettra de mieux orienter les essais vers les seuls aspects intéressants de l’étude et d’abandonner les voies sans issues. Une première série d’expériences conduit à des conclusions provisoires ; en fonc- tion de ces conclusions provisoires, on lance une nouvelle série d’essais. L’ensemble des deux séries d’expériences est utilisé pour obtenir un contour précis des résultats d’étude. L’expérimentateur accumule ainsi les seuls résultats dont il a besoin et s’arrête dès qu’il a obtenu ce qu’il cherche.

1.2 Étude d’un phénomène

L’étude d’un phénomène revient souvent à s’intéresser à une grandeur particulière comme la consommation d’essence d’une voiture ou comme le prix de revient d’un produit chimique ou encore comme le rendement en blé d’une parcelle de terrain. Cette grandeur, consommation, prix ou rendement, dépend d’un grand nombre de variables. La consommation de la voiture est fonction de la vitesse du véhicule, de la puissance du moteur, de la manière de conduire, de la direction et de la force du vent, du gonflage des pneumatiques, de la présence ou non d’un porte-bagages, du nombre de personnes transportées, de la marque de la voiture, etc. Le prix du produit chimique dépend de la qualité des matières premières, des rendements des unités de production, des spécifications imposées, des conditions de fabrication, etc. Il en est de même pour le rendement en blé qui est fonction de la nature du terrain, de la quantité d’engrais incorporé, de l’exposition au soleil, du climat, de la variété de blé ensemencé, etc.

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

3

Goupy Livre Page 4 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

1.3 Terminologie

Sous une forme mathématique, on peut écrire que la grandeur d’intérêt, y, que nous appellerons également réponse par la suite, est une fonction de plusieurs variables xi (variables que nous appellerons aussi facteurs par la suite). On a :

y = f (x1,x2,x3,…,xk) L’étude du phénomène se ramène à déterminer la fonction f( ) qui lie la réponse y aux différents facteurs x1, x2, …, xk. Pour approfondir cette approche il faut introduire quelques notions particulières et une terminologie spécifique aux plans d’expériences.

1.3 Terminologie

La grandeur d’intérêt, qui est généralement notée y, porte le nom de réponse. Les variables qui peuvent modifier la réponse sont appelées facteurs. On parle donc des facteurs qui influent sur une réponse. Les termes facteur et réponse sont universellement employés dans le domaine des plans d’expériences.

1.3.1 Les différents types de facteurs

La construction des plans et l’interprétation des résultats dépendent en grande partie des types de facteurs rencontrés dans l’étude. On distingue plusieurs types de facteurs. Nous retiendrons les types de facteurs suivants : les facteurs continus, les facteurs discrets, les facteurs ordonnables, les facteurs booléens.

m Facteurs continus

La pression est un exemple de facteur continu. Dans un intervalle de pression donné, on peut choisir toutes les valeurs possibles. Il en est de même d’une longueur, d’une concentration ou d’une température. Les valeurs prises par les facteurs continus sont donc représentées par des nombres continus.

m Facteurs discrets

Au contraire, les facteurs discrets ne peuvent prendre que des valeurs particulières. Ces valeurs ne sont pas forcément numériques : on peut représenter un facteur discret par un nom, une lettre, une propriété ou même par un nombre qui n’a alors en soi aucune valeur numérique mais qu’une signification de repère. Par exemple, on peut s’intéresser aux couleurs d’un produit : bleu, rouge et jaune sont des facteurs discrets.

m Facteurs ordonnables

Il s’agit de facteurs discrets que l’on peut mettre dans un ordre logique. Par exemple, grand, moyen, petit, ou encore premier, deuxième, troisième et quatrième.

m Facteurs booléens

Les facteurs booléens sont des facteurs discrets qui ne peuvent prendre que deux valeurs : haut ou bas, ouvert ou fermé, blanc ou noir, etc.

4

Goupy Livre Page 5 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

1.3 Terminologie

La frontière est parfois floue entre ces différents types de facteurs. Une couleur, facteur apparemment discret, peut être transformée en grandeur ordonnable et même continue si l’on introduit la notion de longueur d’onde. Un facteur continu, comme la vitesse, peut être transformé en facteur ordonnable ou discret : rapide et lent, ou vitesse A et vitesse B. Cette possibilité n’est pas un inconvénient, c’est une souplesse supplémentaire dont l’expérimentateur pourra tirer avantage au moment de l’interprétation. En effet, suivant le choix effectué, on pourra mettre plus facilement en relief un aspect particulier de l’étude. Le changement de types de variables est aussi un moyen d’adapter la réponse à l’objectif de l’étude. Par exemple, on possède l’âge des membres d’une population. Si l’on cherche l’âge moyen, la variable « âge » sera choisie continue. Si l’on cherche le pourcentage des personnes ayant un âge donné, la variable « âge » sera choisie ordonnable : il y aura plusieurs catégories définies par les limites d’âge, les jeunes, les adolescents, les adultes et les seniors. Si l’on cherche la proportion de jeunes de moins de 18 ans, la variable « âge » sera choisie booléenne : les moins de 18 ans et les plus de 18 ans. La compréhension des plans d’expériences s’appuie sur la notion essentielle d’espace expérimental des grandeurs étudiées. Nous allons examiner en détail ce concept fondamental. Nous insisterons sur les facteurs continus qui sont les plus couramment utilisés.

1.3.2 Espace expérimental

Pour présenter l’espace expérimental nous utiliserons un espace à deux dimen- sions, ce qui facilitera les représentations graphiques. Il est ensuite facile d’étendre les notions introduites à des espaces multidimensionnels. Un facteur continu peut être représenté par un axe gradué et orienté. S’il y a un second facteur continu, il est représenté, lui aussi, par un axe gradué et orienté. Ce second axe est disposé orthogonalement au premier. On obtient ainsi un repère cartésien qui définit un espace euclidien à deux dimensions. Cet espace est appelé l’espace expérimental (figure 1.2). L’espace expérimental comprend tous les points du plan « facteur 1 × facteur 2 » et chacun d’eux représente une expé- rience.

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

Espace expérimental

Figure 1.2 – Chaque facteur est représenté par un axe gradué et orienté. Les axes des facteurs sont orthogonaux entre eux. L’espace ainsi défini est l’espace expérimental.

5

Goupy Livre Page 6 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

1.3 Terminologie

S’il y a un troisième facteur, on le représente aussi par un axe orienté et gradué, et on le positionne perpendiculairement aux deux premiers. À partir de quatre facteurs, on opère de même, mais il n’y a plus de représentation géométrique possible et l’on doit adopter une représentation purement mathématique de l’espace expérimental qui est un hypervolume à quatre dimensions.

1.3.3 Domaine d’un facteur

La valeur donnée à un facteur pour réaliser une expérience est appelée niveau.

Domaine d'étude de la vitesse du véhicule

80 km/h

120 km/h

Vitesse du véhicule

niveau bas

– 1

+ 1

niveau haut

Figure 1.3 – Le domaine de variation de la vitesse est constitué de toutes les vitesses comprises entre 80 et 120 km/h. Le niveau bas du facteur est noté –1 et le niveau haut +1.

Lorsqu’on étudie l’influence d’un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes. La borne inférieure est le niveau bas. La borne supérieure est le niveau haut. Si l’on étudie l’influence de la vitesse du véhicule sur la consommation, celle-ci peut varier, par exemple, entre 80 et 120 km/h. La vitesse de 80 km/h est le niveau bas et la vitesse de 120 km/h est le niveau haut. C’est l’expérimentateur qui définit ces deux niveaux en fonction des spécificités de l’étude. L’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau haut, s’appelle le domaine de variation du facteur ou plus simplement le domaine du facteur. S’il y a plusieurs facteurs, chacun d’eux à son domaine de variation. Afin d’avoir une représentation commune pour tous les facteurs, on a l’habitude d’indiquer les niveaux bas par –1 et les niveaux hauts par +1. La vitesse de 80 km/h est le niveau –1 et celle de 120 km/h est le niveau +1. À l’intérieur du domaine d’un facteur continu toutes les valeurs sont théorique- ment possibles. On peut donc y choisir deux, trois ou plusieurs niveaux selon les besoins de l’étude. Par exemple, si l’on veut établir un modèle du second degré, on choisira trois ou quatre niveaux, c’est-à-dire trois ou quatre vitesses différentes.

1.3.4 Domaine d’étude

Dans la pratique, l’expérimentateur sélectionne une partie de l’espace expérimental pour réaliser son étude. Cette zone particulière de l’espace expérimental est le domaine d’étude (figure 1.4). Ce domaine est défini par les niveaux hauts et les niveaux bas de tous les facteurs et éventuellement par des contraintes entre les facteurs. Supposons que le second facteur soit la surcharge du véhicule définie comme toute masse supplémentaire à celle du véhicule et du chauffeur. Le niveau

6

Goupy Livre Page 7 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

1.3 Terminologie

bas de la surcharge est 0 kg et le niveau haut 300 kg, par exemple. S’il n’y a pas de contraintes, le domaine d’étude est représenté par tous les points dont les surcharges sont comprises entre 0 et 300 kg et dont les vitesses sont comprises entre 80 et 120 km/h.

Facteur 2

Surcharge

300 kg

+ 1

0 kg

1–

Domaine d'étude

1 –

+ 1

Facteur 1

80 km/h

120 km/h

Vitesse

Figure 1.4 – Le domaine d’étude est défini par la réunion des domaines des différents facteurs (ici, il n’y a pas de contraintes).

Il peut y avoir des contraintes sur le domaine d’étude. Par exemple, il peut être impossible d’atteindre la vitesse de 120 km/h avec une surcharge trop élevée. La figure 1.5 illustre une réduction possible du domaine d’étude initial. Une zone du domaine d’étude initial échappe aux expériences.

Surcharge (kg)

300

+ 1

0

1 –

Domaine d'étude

Zone exclue

1 –

80

+ 1

120

Vitesse ( km/h)

Figure 1.5 – Le domaine d’étude sous contraintes est représenté par la partie grisée.

7

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

Goupy Livre Page 8 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

1.4 Variables centrées réduites

1.4 Variables centrées réduites

Lorsqu’on attribue la valeur −1 au niveau bas d’un facteur et la valeur +1 au niveau haut, on effectue deux modifications importantes : – On déplace l’origine des mesures. Dans l’exemple choisi, le milieu de l’inter- valle [−1 ; +1] correspond à une valeur de 100 km/h. La valeur numérique de la nouvelle origine, zéro, diffère donc de l’origine exprimée en unité courante. – On change l’unité de mesure. Par exemple, si le niveau bas du facteur « vitesse du véhicule » est 80 km/h et le niveau haut 120 km/h, il y a 40 km/h entre ces deux valeurs, soit 40 fois l’unité de vitesse. Entre −1 et +1 il y a deux unités nouvelles : la nouvelle unité vaut 20 km/h, on lui donne le nom de Pas.

Ces deux modifications entraînent l’introduction de nouvelles variables que l’on appelle variables centrées réduites (v.c.r) : centrées pour indiquer le changement d’origine et réduites pour signaler la nouvelle unité. On utilise également le terme de variables codées ou d’unités codées. Le passage des variables d’origine A aux variables codées x, et inversement, est donné par la formule suivante (A0 est la valeur centrale en unités courantes) :

x

=

A A0– --------------- Pas

{1.1}

L’intérêt des unités codées est de pouvoir présenter les plans d’expériences de la même manière quels que soient les domaines d’étude retenus et quels que soient les facteurs. La théorie des plans d’expériences présente ainsi une grande généralité. L’utilisation des v.c.r est très répandue dans les logiciels de plans d’expériences et certaines opérations comme la recherche des meilleurs points d’expériences par le critère de D-optimalité ne sont réalisables qu’avec ces variables. Les variables codées résultent du rapport de deux grandeurs de même unité physique, elles sont donc sans dimension. La disparition des unités naturelles associée au fait que tous les facteurs ont le même domaine de variation (deux unités codées) permet la comparaison directe des effets des facteurs entre eux.

Application 1

Un expérimentateur choisit pour le facteur « vitesse de la voiture » 80 km/h comme niveau bas et 120 km/h comme niveau haut. Quelle est, en variables codées, la valeur de la vitesse de 90 km/h ? Calculons le Pas du facteur vitesse. Il est égal à la moitié de la différence entre le niveau haut et le niveau bas :

Pas

=

A+1 A 1–– ---------------------- 2

=

80– 120 --------------------- 2

=

20

A0 est la valeur centrale entre le niveau haut et le niveau bas, c’est-à-dire la moitié de la somme du niveau haut et du niveau bas :

A0

=

A+1 A 1–+ ---------------------- 2

=

80+ 120 --------------------- 2

=

100

Appliquons la relation {1.1} :

A A0– --------------- Pas Pour cet exemple, la vitesse de 90 km/h est donc égale à −0,5 en variables codées.

– 90 100 --------------------- 20

0,5–

=

=

=

x

8

Goupy Livre Page 9 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

Application 2

1.5 Points expérimentaux

On peut aussi chercher la valeur normale connaissant la valeur codée. Quelle est, en unités normales, la valeur de la vitesse de +0,5 en unités codées ? Écrivons la relation {1.1} :

+0,5

=

– A 100 ------------------ 20

D’où : A = +100 + 0,5 × 20 = 110

La vitesse codée de 0,5 correspond à une vitesse de 110 km/h.

1.5 Points expérimentaux

Dans un espace à deux dimensions, le niveau i du facteur 1, noté x1,i, et le niveau j du facteur 2, noté x2,j, peuvent être considérés comme les coordonnées d’un point de l’espace expérimental ou du domaine d’étude (figure 1.6). Par exemple, si le niveau de la vitesse est 90 km/h et celui de la surcharge est 250 kg, les coordonnées du point expérimental sont :

x1,i = 90 km/h x2,j = 250 kg Une expérience donnée est alors représentée par un point dans ce système d’axes. C’est la raison pour laquelle une expérience est souvent désignée par l’expression point expérimental, point d’expérience ou même simplement point. Un plan d’expé- riences est donc représenté par un ensemble de points expérimentaux, eux-mêmes situés dans l’espace expérimental. Dans l’exemple que nous avons pris, l’expérience est conduite sur un véhicule qui roule à 90 km/h avec une surcharge de 250 kg.

Facteur 2

Surcharge

250 kg

x2, j

Point expérimental

Facteur 1

x1, i

90 km / h

Vitesse

Figure 1.6 – Dans l’espace expérimental, les niveaux des facteurs définissent des points expérimentaux.

Jusqu’à trois facteurs, il est possible de dessiner le domaine d’étude. Au-delà de trois facteurs, on utilise une représentation en tableau, dite matricielle, plus générale puisqu’elle permet de représenter les points d’expériences dans un hypervolume à un nombre quelconque de dimensions.

9

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

Goupy Livre Page 10 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

1.6 Plans d’expériences

1.6 Plans d’expériences

1.6.1 Méthodologie des plans sans contrainte

Le choix du nombre et de l’emplacement des points d’expériences est le problème fondamental des plans d’expériences. On cherche à réaliser le minimum d’expé- riences tout en réduisant l’influence de l’erreur expérimentale sur les modélisations mathématiques qui serviront à prendre des décisions. On atteint ce but en consi- dérant les propriétés mathématiques et statistiques qui relient la réponse aux facteurs. Lorsqu’il n’y a pas de contraintes sur le domaine d’étude, il existe des plans classiques qui possèdent d’excellentes qualités statistiques et qui permettent de modéliser les réponses dans les meilleures conditions (figure 1.7). Lorsqu’il existe des contraintes, il faut construire des plans sur mesure en recherchant la position des points expérimentaux qui conduisent, là aussi, à de bonnes qualités statistiques et à une bonne modélisation des réponses.

Facteur 2

+ 1

1 –

Figure 1.7 – Exemple de disposition des points expérimentaux dans un domaine sans contraintes.

1 –

+ 1

Facteur 1

1.6.2 Méthodologie des plans avec contrainte

La procédure de construction des plans dont le domaine est contraint est la suivante : 1. On définit le domaine de chacun des facteurs (niveau bas et niveau haut). 2. On définit les contraintes qui pèsent sur les facteurs. Ces contraintes sont expri- mées par des relations d’inégalité entre les facteurs et elles définissent les zones autorisées, c’est-à-dire celles où les expériences sont possibles, et les zones inter- dites, c’est-à-dire celles où les expériences ne doivent pas être exécutées. 3. On définit les niveaux des facteurs les plus intéressants pour l’étude, autres que les niveaux bas et hauts. Le plus souvent entre 2 et 5 niveaux supplémentaires par facteur. 4. On construit une grille en prenant en compte toutes les combinaisons des niveaux des facteurs. Cette grille ne doit contenir que les points expérimentaux réalistes, c’est-à-dire les points du domaine autorisé. Ces points constituent les points candidats (figure 1.8).

10

Goupy Livre Page 11 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

1.6 Plans d’expériences

Facteur 2

Surcharge (kg)

1 000

+ 1

0

1 –

Facteur 1

1 –

80

+ 1

120

Vitesse

(km/h)

Figure 1.8 – La grille des points candidats est constituée d’expériences possibles dans le domaine d’étude.

5. On choisit une fonction reliant a priori la réponse aux facteurs. 6. On sélectionne, en fonction d’un critère d’optimalité choisi, le nombre et l’emplacement des points expérimentaux les plus utiles à la modélisation du phénomène étudié (figure 1.9). Cette sélection exige de longs calculs et n’est possible qu’avec l’aide d’un logiciel de plans d’expériences.

Facteur 2

Surcharge (kg)

1 000

+ 1

0

1 –

Facteur 1

1 –

80

+ 1

120

Vitesse (km/h)

Figure 1.9 – Les meilleurs points sont sélectionnés par le logiciel.

11

. t i l é d

n u

t s e

e é s i r o t u a

n o n

e i p o c o t o h p

a L –

d o n u D ©

Goupy Livre Page 12 Jeudi, 21. septembre 2006 6:23 18

1 • Découvrir la méthode des plans d’expériences

1.6.3 Surfaces de réponse

1.6 Plans d’expériences

À chaque point du domaine d’étude correspond une réponse. À l’ensemble de tous les points du domaine d’étude correspond un ensemble de réponses qui se localise sur une surface appelée surface de réponse (figure 1.10).

Réponse

Facteur 2

+1

D

1 –

A

B

Facteur 1

1 –

+1

Figure 1.10 – L’ensemble des réponses qui correspond à tous les points du domaine d’étude forme la surface de réponse.

En général, on ne connaît que quelques réponses, celles qui correspondent aux points expérimentaux retenus par l’expérimentateur. On interpole à l’aide d’un modèle mathématique, les réponses inconnues pour obtenir la surface de réponse. Les points d’expériences retenus par la théorie des plans d’expériences assurent la meilleure précision possible sur la