Chapitre 1.
Introduction à la théorie des probabilités
Khaled Jabeur
HDR (IHEC de Carthage, Tunisie), Ph.D. (Université Laval, Canada), M.B.A (Université Laval, Canada), Ing. (FST, Tunisie)
Maître de Conférences à l’Institut Supérieur de Gestion (ISG) de Bizerte
Plan
1.
Introduction
2. Expérience aléatoire
3. Analyse combinatoire
4. Probabilité
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Introduction
Un peu d’histoire …
La théorie des probabilité est née de l’étude par
les
mathématiciens des jeux de hasard. D’ailleurs, le mot hasard
provient du mot arabe « az-zahr » signifiant le dé à jouer. On
attribut au mathématicien et philosophe français Blaise Pascal
(1623-1662) les premières pierres de cet édifice théorique. Cette
théorie s’est ensuite développée au cours des siècles pour
devenir une discipline mathématique à part entière. On doit au
mathématicien russe Kolmogorov en 1933, une formalisation
de la théorie des probabilités.
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Introduction
Définition de la théorie des probabilités
La théorie des probabilités est une science qui a pour but l’étude des
expériences aléatoires ; elle vise à construire des modèles mathématiques
pour analyser des situations impliquant l’incertitude, et à définir des
mesures exactes de cette incertitude par l’intermédiaire de ces modèles.
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Introduction
▪ Intuitivement : une probabilité est une fréquence relative
▪ Exemple 1 : Dans un échantillon de 100 personnes, on a identifié 10 malades.
Par extrapolation, on peut conclure que la probabilité de tomber sur une personne
malade dans la population d’où l’échantillon a été tiré est de 10%.
▪ Exemple 2 : Lancer une pièce de monnaie.
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Expérience aléatoire
Définition d’une expérience aléatoire
En théorie des probabilité, une expérience est dite « aléatoire » si elle
vérifie les trois conditions suivantes :
1.
Son résultat dépend du hasard, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être prédit
avec certitude;
2. L'univers des résultats possibles peut être décrit avant l'expérience.
3. On peut reproduire plusieurs fois l’expérience dans les mêmes
conditions.
▪ Exemples : Lancer une pièce de monnaie un certains nombre de fois, Observer le nombre
de pièces défectueuses dans un lot de pièces, Observer le nombre de clients qui entrent dans
un supermarché durant une journée, …
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Expérience aléatoire
Définition d’un résultat
Un résultat est ce qu’on observe suite à une expérience aléatoire.
▪ Exemples :
▪
Lancer une pièce de monnaie 4 fois : Un résultat possible 3 piles et 1 face ;
▪ Observer le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 1000 pièces : Un
résultat possible 5 pièces ;
▪ Observer le nombre de clients qui entrent dans un Supermarché durant une
journée : Un résultat possible 1500 clients.
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Expérience aléatoire
Définition de l’ensemble fondamental
On appel ensemble fondamental (ou univers des possibles), l’ensemble
de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. Cet ensemble
est généralement noté par .
▪ Exemples :
▪
Lancer un dé une seul fois : = 1, 2, 3, 4, 5, 6;
▪ Observer le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 1000 pièces : = 0, 1, 2,
3, 4, …, 1000;
▪
▪
Lancer une pièce de monnaie deux fois de suite : = (P, P), (P, F) (F, P), (F, F);
Lancer successivement un dé et une pièce de monnaie : = (P, 1), (P, 2) (P, 3), (P, 4),
(P, 5), (P, 6), (F, 1), (F, 2) (F, 3), (F, 4), (F, 5), (F, 6).
▪ Remarque : Tout résultat de l’expérience aléatoire correspond à un élément et
un seul de l’ensemble fondamental .
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Expérience aléatoire
Type d’ensembles fondamentaux
Il existe deux types d’ensembles fondamentaux :
1. Un ensemble fondamental discret
lorsque contient un
ensemble fini ou infini dénombrable d’éléments, c’est-à-dire
que les éléments de peuvent être énumérés sous la forme
d’une suite 𝑤𝑖, 𝑖 ∈ ℕ .
▪ fini → = 𝑤1 , 𝑤2, … , 𝑤𝑛
▪ infini dénombrable → = 𝑤1 , 𝑤2, … , 𝑤𝑛 , …
:
2. Un ensemble fondamental continu :
lorsque contient un
ensemble infini non-dénombrable d’éléments, c’est-à-dire que
les éléments de représentent tous les réels possibles d’un
intervalle I ⊆ ℝ.
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Expérience aléatoire
▪ Exemples d’expériences aléatoires conduisant aux différents types
d’ensembles fondamentaux :
▪
▪
▪
Ensemble fondamental fini (Discret) : Lancer un dé une seul fois : = 1, 2, 3, 4,
5, 6;
Ensemble fondamental infini dénombrable (Discret) : Tirer au hasard des pièces
dans un lot et observer le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première
pièce défectueuse. On suppose que le lot contient au moins une pièce
défectueuse et que les tirage s’effectuent avec remise : = 1, 2, 3, 4, … ;
Ensemble fondamental
infini non-dénombrable (Continu) : Noter le temps
d’attente devant un Distributeur Automatique de Billets (DAB) : 0, 5
minutes.
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Expérience aléatoire
Définition d’un Evènement
On appelle un événement
fondamental Ω, c’est-à-dire que A ⊆ Ω.
tout
sous-ensemble A de l’ensemble
On dit qu’un événement A se réalise si et seulement si l’expérience
aléatoire donne un des résultats constituant cet événement.
Types d’évènements
Un événement A est dit élémentaire (ou simple) s’il contient un seul
résultat, c’est-à-dire il se réduit à un singleton.
Un événement A est dit composé s’il contient au moins deux résultats.
L’événement impossible c’est événement qui ne se réalise jamais, c’est-à-
dire c’est un événement qui ne contient aucun élément de Ω. Il est noté
par .
L’événement certain c’est événement qui se réalise toujours, c’est-à-dire
c’est un événement qui contient tous les éléments de Ω. Il est noté par Ω.
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Expérience aléatoire
▪ Exemple :
▪
▪
Lancer un dé une seul fois : = 1, 2, 3, 4, 5, 6;
Soient les évènements suivants :
o A = « Obtenir le chiffre 1 » = 1 → A est un évènement simple
o B = « Obtenir un chiffre pair » = 2, 4, 6 → B est un évènement composé
o C = « Obtenir le chiffre 7 » = → C est un évènement impossible
o D = « Obtenir le chiffre entre 1 et 6 » = → D est un évènement certain
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Expérience aléatoire
Opérations sur les évènements
Soient A et B deux événements de Ω :
▪ Union "∪"
Publicité
: l’événement A ∪ B se réalise si et seulement si A ou B se réalise
ou les deux se réalisent.
o Exemple : "Malade" ∪ "Fumeur" → être soit malade soit fumeur soit les deux
▪
Intersection "∩"
réalisent en même temps.
: l’événement A ∩ B se réalise si et seulement si A et B se
o Exemple : "Malade" ∩ "Fumeur" → être malade et fumeur
▪ Différence "−" :
l’événement A − B se réalise si et seulement si A se réalise
mais pas B
o Exemple : "Malade" − "Fumeur" → être malade et non fumeur
▪ Complémentaire " ҧ𝐴"
: l’événement
ҧ𝐴 se réalise si et seulement si A ne se
réalise pas, c’est-à-dire tout le Ω sauf le A.
o Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé une seule fois. Si
l’événement A = "Obtenir un chiffre pair" alors ഥA = "Obtenir un chiffre impair"
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Expérience aléatoire
▪
Illustration graphique des opérations sur les événements
A
B
A ∪ B
Ω
Ω
A ∪ B
Ω
Ω
A
B
A ∩ B
A
B
∩
A
B
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Expérience aléatoire
▪
Illustration graphique des opérations sur les événements (suite …)
A
B
A − B
A − B
Ω
Ω
Ω
A
ҧ𝐴
A
ҧ𝐴
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Expérience aléatoire
Quelques propriétés des opérations sur les évènements
Soit A un événement de Ω :
▪
▪
▪
▪
▪
▪
(P1) :
(P2) :
(P3) :
(P4) :
(P5) :
(P6) :
Règles de Morgan
Soient A et B deux événements de Ω :
▪
▪
(R1) :
(R2) :
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AA=AA=AA=AA=A=A=ABAB=ABAB=Expérience aléatoire
Définition d’un Système Complet d’Évènements (SCE)
Soient 𝐴1 , 𝐴2, … , 𝐴𝑛 un ensemble de n événements de Ω. On dit que
cet ensemble d’événements forment un Système Complet d’Événements
(SCE) si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
▪ Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer une seule fois un
dé non truqué à 6 faces. Ainsi, l’ensemble fondamental de cette expérience
aléatoire = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Soient A et B deux événements de Ω définis
comme suit :
o A = "Obtenir un nombre pair " = 2, 4, 6
o
B = "Obtenir un nombre impair" = 1, 3, 5
▪ L’ensemble des deux événements 𝐴, 𝐵 est un système complet
d’événements puisque : A ∩ B = et A ∪ B = Ω.
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11.,2.ijniiAAijA===Expérience aléatoire
▪
Illustration graphique d’un SCE :
Ω
Ω
A1
A2
A2
A3
▪ On peut facilement vérifier que 𝐴1 , 𝐴2, 𝐴3 est un SCE puisque :
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12AA=23AA=13AA=123etAAA=Expérience aléatoire
Définition d’évènements incompatibles
Soient A et B deux événements de Ω. On dit que A et B sont
incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même temps, c’est-
à-dire qu’ils n’ont aucun résultat en commun. Formellement on
écrit A ∩ B = .
▪ Exemple : Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer une seule fois un
dé non truqué à 6 faces. Ainsi, l’ensemble fondamental de cette expérience
aléatoire = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Soient A et B deux événements de Ω définis
comme suit :
o A = "Obtenir un nombre pair" = 2, 4, 6
o
B = "Obtenir un nombre impair" = 1, 3, 5
▪ On peut vérifier facilement que les deux événements A et B sont incompatibles
puisque A ∩ B = .
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Analyse Combinatoire
Définition d’une disposition
Une disposition est une collection d’éléments. Une disposition peut
être :
▪ Ordonnée ou non-ordonnée
o Les dispositions sont ordonnées, si deux dispositions contenant les
mêmes éléments sont considérées comme différentes lorsque ces
éléments sont placés dans un ordre différent.
o Les dispositions sont non ordonnées, si deux dispositions contenant les
mêmes éléments sont considérées comme identiques quel que soit
l’ordre dans lequel sont placés leurs éléments.
▪ Avec répétition ou sans répétition
o Une disposition sans répétition est une disposition où chaque élément
peut apparaître au plus une seule fois.
o Une disposition avec répétition est une disposition où chaque élément
peut apparaître plus qu’une seule fois.
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Analyse Combinatoire
▪ Exemples de dispositions :
o
o
Les ensembles sont des exemples typiques de disposition non ordonnées puisque l’ordre
des nombres (éléments) dans un ensemble (disposition) n’est important. Ainsi, les deux
ensembles A = 1, 2, 3 et B = 3, 1, 2 sont identiques selon la théorie des ensembles.
Les mots sont des exemples typiques de dispositions ordonnées puisque l’ordre des lettres
(éléments) dans un mot (disposition) est important. Ainsi, bien que les trois mots « chien »,
« niche » et « chine » contiennent les mêmes lettres mais placées dans des ordres différents,
ils ont des significations complétement disparates.
o On considère un ensemble à trois éléments (lettres) E = {a, b, c}.
➢ Combien de mots (dispositions ordonnées) de deux lettres peut-on construire à partir
de E (sans répétition). Réponse : ab, ac, bc, ba, ca et cb.
➢ Combien de mots (dispositions ordonnées) de deux lettres peut-on construire à partir
de E (avec répétition). Réponse : aa, bb, cc, ab, ac, bc, ba, ca et cb.
➢ Combien de sous ensemble de deux lettres (dispositions non ordonnées) peut-on
construire à partir de E (sans répétition). Réponse : {a, b}, {a, c} et {b, c}.
Publicité
➢ Combien de sous ensemble de deux lettres (dispositions non ordonnées) peut-on
construire à partir de E (avec répétition). Réponse : {a, a}, {b, b} et {c, c}, {a, b}, {a, c} et
{b, c}.
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Analyse Combinatoire
Définition de l’analyse combinatoire
L’analyse combinatoire est un ensemble de formules qui ont
pour but de dénombrer les différentes dispositions que l’on
peut former à partir d’un ensemble fini d’éléments.
▪ Exemple d’illustration de l’utilité des
formules de l’analyse
combinatoire :
o Considérons l’ensemble F = {a, b, c, d, e}. Si on vous demande de déterminer le
nombre (ou dénombrer) de sous-ensembles de deux lettres (dispositions non
ordonnées) qu’on peut construire (sans répétition) à partir de notre ensemble initial
F. Dans ce cas, il est facile de répondre comme suit : {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e} {b, c},
{b, d}, {b, e}, {c, d} {c, e}, {d, e}, donc en tout 10 dispositions.
o
Imaginons maintenant qu’on a un ensemble F contenant les 26 lettres de l’alphabet
et qu’on vous demande de déterminer le nombre de mots (dispositions ordonnées)
de 5 lettres (en considérant même ceux qui n’ont aucun sens) qu’on peut construire
(sans répétition) à partir de F. BONNE CHANCE ….
➢ Une des formules de l’analyse combinatoire donnera une réponse rapide et simple à cette
question.
o N.B. dans la suite de ce cours, nous allons se limiter aux dispositions (ordonnées ou non) mais
sans répétition.
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Analyse Combinatoire
Principes fondamentaux de l’analyse combinatoire
En analyse combinatoire, il est important de distinguer deux principes
fondamentaux :
▪ Le principe de multiplication : Si une opération A peut être effectuée de m
façons, et si après que A a été effectuée, une deuxième opération B peut
être effectuée de n façons, alors les deux opérations successives peuvent
être effectuées de m n façons.
▪ Le principe d’addition : Si deux opérations A et B sont incompatibles (on
ne peut pas les réaliser en même temps) et s’il y a m façons de réaliser A et
n façons de réaliser B, alors il y a m + n façons de réaliser l’une ou l’autre
de ces deux opérations.
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Analyse Combinatoire
▪
▪
Exemple 1 : Dans une entreprise, deux postes différents doivent être comblés. Cinq
personnes ont posé leur candidature. De combien de façons différentes peut-on attribuer
ces deux postes P1 et P2 ? On suppose ici qu’une personne ne peut occuper qu’un seul
poste.
Réponse : Pour occuper le poste A, il y a cinq candidats possibles (m = 5). Une fois que le
poste A est comblé, il reste 4 candidats possibles pour combler le poste B (n = 4). Donc, il
existe (m n) 5 4 = 20 façons différentes pour combler les deux postes).
Exemple 2 : De combien de façons peut-on partager 3 volumes (V1, V2, V3) différents
entre 2 enfants (E1, E2) si l’on doit en attribuer au moins un à chacun d’eux ?
Réponse : Pour partager les volumes, on peut :
1. Soit donner un volume à l’enfant E1 et deux volumes à l’enfant E2 (opération A);
2. Soit donner deux volumes à l’enfant E1 et un volume à l’enfant E2 (opération B).
Il est claire ici que les deux opérations A et B sont incompatibles.
P1 = (A, V1) et (B, V2, V3)
P2 = (A, V2) et (B, V1, V3)
P3 = (A, V3) et (B, V1, V2)
Opération A
(m = 3)
P4 = (A, V1, V2) et (B, V3)
P5 = (A, V1, V3) et (B, V2)
P6 = (A, V2, V3) et (B, V1)
Opération B
(n = 3)
6 Partages possibles
(m + n)
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Analyse Combinatoire
Arrangement sans répétition : Définition
Soit un ensemble Ω contenant n éléments distincts. On appelle
arrangement sans répétitions une disposition ordonnée de r éléments
les n éléments de Ω (r ≤ n). Le nombre
distincts choisis parmi
d’arrangements de dimension r qu’on peut former à partir de l’ensemble
Ω de dimension n (r ≤ n) est donné par la formule suivante :
Avec
▪
Idée intuitive : Pour trouver le nombre d’arrangements, il suffit de déterminer
le nombre de façons de ranger n objets dans r cases (r ≤ n) ?
Case 1
Case 2
Case 3
n possibilités
(n-1) possibilités
(n-2) possibilités
…
…
Case r
(n-r+1) possibilités
Pour remplir la première case,
on a le choix entre n objets
Une fois que la première case est rempli,
on doit choisir entre (n-1) objets
pour remplir la deuxième case
…
Une fois que les (r-1) premières cases sont
remplis, on doit choisir entre (n-r+1) objets
pour remplir la rième case
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!(1)(2)....(1)()!rnnAnnnnrnr=−−−+=−!(1)(2)....21nnnn=−−!()!nnr=−Analyse Combinatoire
▪
▪
Exemple 1 : Considérons un ensemble Ω = {a, b, c, d}. On veut déterminer le nombre de
mots (dispositions ordonnées ou arrangements) de 2 lettres (r = 2) qu’on peut construire
à partir des 4 lettres de Ω (n = 4).
Réponse :
Exemple 2 : Dans une compétition de patinage artistique, trois médailles (or, argent,
bronze) sont convoitées par 12 candidates. De combien de façons peut-on attribuer ces
médailles aux différentes candidates (on suppose ici qu’il ne peut y avoir d’ex æquo) ?
Réponse :
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244!4!432112(42)!2!21A====−abacadbcbdcdbacadacbdbdc31212!12!1211101320(123)!9!A====−Analyse Combinatoire
▪
Exemple 3 : Revenons à l’exemple de l’ensemble F qui contient les 26 lettres de l’alphabets
soulevé précédemment. Dans cet exemple, on vous a demandé de déterminer le nombre
de mots (dispositions ordonnées) de 5 lettres (en considérant même ceux qui n’ont aucun
sens) qu’on peut construire (sans répétition) à partir de F.
Réponse :
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52626!26!26252423227893600(265)!21!Amotspossibles====−Analyse Combinatoire
Permutation sans répétition : Définition
Soit un ensemble Ω contenant n éléments distincts. Une permutation sans
répétitions de ces n éléments est un arrangement sans répétitions de ces n
éléments pris n à la fois.
Une permutation sans répétition de n éléments n’est qu’une façon
particulière d’ordonner ces éléments. Ainsi le nombre de permutations
est donné par la formule suivante :
▪
Idée intuitive : Pour trouver le nombre de permutations, il suffit de déterminer
le nombre de façons de ranger n objets dans n cases ?
Case 1
Case 2
Case 3
n possibilités
(n-1) possibilités
(n-2) possibilités
…
…
Case n
1 possibilité
n! possibilités
Pour remplir la première case,
on a le choix entre n objets
Une fois que la première case est rempli,
on doit choisir entre (n-1) objets
pour remplir la deuxième case
…
Une fois que les (n-1) premières cases sont
remplis, il reste un seul objet pour
remplir la dernière case
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Publicité
!nnnPAn===Analyse Combinatoire
▪
▪
Exemple 1 : Il y a combien de façons de ranger trois livres différents L1, L2 et L3 sur une
étagère de bibliothèque.
Réponse :
Exemple 2 : De combien de façons différentes, 3 garçons et 2 filles peuvent-ils s’assoir sur
un banc de 5 places si les garçons s’assoient les uns à coté des autres et s’il en est de même
pour les filles ?
Réponse : Il a deux configurations possibles pour que les garçons s’assoient les uns à coté
des autres et il en est de même pour les filles : GGGFF ou FFGGG. Pour chacune de ces
deux configurations cherchons le nombre de façons de faire assoir les filles et les garçons.
G G G
F
F
3!
F
F
2!
G G G
2!
3!
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3333!3216AP====123132213231312321LLLLLLLLLLLLLLLLLL−−−−−−−−−−−−+12=24=12=Analyse Combinatoire
Combinaison sans répétition : Définition
Soit un ensemble Ω contenant n éléments distincts. On appelle
combinaison sans répétitions une disposition non ordonnée de r éléments
les n éléments de Ω (r ≤ n). Le nombre de
distincts choisis parmi
combinaisons de dimension r qu’on peut former à partir de l’ensemble Ω
de dimension n (r ≤ n) est donné par la formule suivante :
▪
Idée intuitive : Pour trouver le nombre de combinaisons, il suffit de déterminer le
nombre de sous-ensembles (dispositions non ordonnées) de cardinalité r qu’on peut
construire à partir d’un ensemble initial de cardinalité n (r ≤ n).
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!!()!!rrnnAnCrnrr==−Analyse Combinatoire
▪
▪
Exemple 1 : Considérons un ensemble Ω = {a, b, c, d}. On veut déterminer le nombre de
sous-ensembles (dispositions non ordonnées) de 2 lettres (r = 2) qu’on peut construire à
partir des 4 lettres de Ω (n = 4).
Réponse :
Exemple 2 : Dans une université, il y a 5 économistes et 6 sociologues. On doit former un
comité composé de 3 économistes et de 3 sociologues. Combien de comités différentes
pourrait-on former si :
a) Tous peuvent y participer.
b) Un économiste ne peut y participer
c) Deux sociologues doivent absolument faire partie de ce comité.
Réponse :
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244!62!(42)!C==−,,,,,,abacadbcbdcd335633463154)200)80)40aCCbCCcCC===Probabilité
Probabilité : Introduction
En théorie des probabilités, deux approaches ont été proposées
pour determiner la probabilité d’un événement A :
1. Approche Fréquentiste ;
2. Approche basée sur l’axiomatique de Kolmogorov.
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Probabilité
Probabilité : Approche Fréquentiste
Dans l’approche fréquentiste, on se base sur l’expérience pour donner
une estimation de la probabilité d’un événement A.
Ainsi, la probabilité d’un événement A sera égale au nombre de fois que
l’événement A s’est réalisé divisé par le nombre de fois qu’on a répété
l’expérience aléatoire.
▪
Exemple : Lancé une pièce de monnaie (on ignore si elle est truquée ou non).
Objectif : Estimer la probabilité d’obtenir le coté "Pile".
Démarche :
1. On effectue N lancés de cette pièce de monnaie ;
2. On note NPile le nombre de fois que le coté "Pile" a été obtenu (donc NPile ≤ N);
3. La proportion (NPile /N) nous donne une estimation de la probabilité d’obtenir le
coté "Pile".
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Probabilité
▪ Que
se passe-t-il
s’i on
augmente le nombre N de
lancés ?
▪ Constat : Au fur est à mesure que
nombre de lancés N augmente,
la
le coté "Pile
probabilité d’obtenir
" tend vers 0.5. Ainsi, on définit la
probabilité d’obtenir le coté "Pile" de
la manière suivante :
▪
Problème : Il faut réaliser un grand nombre d’expérimentations pour avoir une
estimation plus précise de la probabilité d’un événement.
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Probabilité("Pile")limPileNNN→=Probabilité
Probabilité : Approche basée sur l’axiomatique de Kolmogorov
Cette approche suppose qu’on a une certaine connaissance a priori de la
probabilité d’un événement A. En effet, la probabilité d’un événement A
est considérée comme une mesure qui exprime le degré de conviction
qu’un individu particulier attribue, en se basant sur ses expériences, son
jugement, ses sentiments, …, à la réalisation de cet événement. Donc,
c’est une probabilité théorique qui ne nécessite pas d’expérimentations.
▪
Exemple : Lorsqu’on lance un dé parfait, nous savons a priori que :
Probabilité " d’obtenir 8 " = 0 et Probabilité " d’obtenir 2 " = 1/6 .
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Probabilité
Définition axiomatique de la Probabilité (selon Kolmogorov)
Soient Ω un ensemble fondamental associé à une experience aléatoire et
l’ensemble de tous les événements de Ω .
On appelle probabilité sur , une application P de dans [0, 1], qui
vérifie les trois axiomes suivants :
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()1.()12.,()03.,,',:()iiIiiiIiIPAPASoitAIunefamilledévénementsincompatiblesdeuxàdeuxalorsPAPA==Probabilité
Propriétés issues de l’axiomatique de Kolmogorov
Soient A et B deux événements de Ω.
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()0P=()1()PAPA=−0()1PA,()()()()SiABalorsPABPAPBPAB=+−()()SiBAalorsPBPA()()()()()PABPAPABPBPAB=−=−()()()PABPAPAB−=−Probabilité
Théorème des probabilités totales (Forme 1)
Soit B1, B2, …, Bn un Système Complet d’Événements (SCE) sur Ω.
▪
Exemple : Soient les trois événements suivants :
o L’événement A « Être un homme »;
o L’événement B1 « Être fumeur » ;
o L’événement B2 « Être non-fumeur ».
On peut facilement constater que B1, B2 est un SCE puisque B1 B2 = et B1
B2 =Ω. On peut écrire alors que :
P("homme") = P("homme" "fumeur") + P("homme" "non-fumeur")
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1:()()niiAPAPAB==12()()()PAPABPAB=+Probabilité
Calcul de la probabilité d’un événement
Soit Ω = ωiiI, Iℕ un ensemble fondamental fini ou infini dénombrable.
Soit A Ω. La probabilité de l’événement A est définie par :
Autrement dit, la probabilité de A est égale à la somme des probabilités de
tous les événements élémentaires ωi qui composent le A.
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()()iiAPAP=Probabilité
Ensemble fondamental Ω équiprobable
Si tous les résultats de Ω ont la même probabilité d’être réalisé, alors on dit
que Ω est un ensemble fondamental equiprobable.
Ainsi, si l’ensemble Ω contient N résultats, la probabilité d’un résultat ωi
est égale :
Par conséquent, on peut déduire la probabilité de n’importe quel
événement A Ω contenant NA éléments comme suit :
NA fois
N.B. Card(X) signifie le nombre d’éléments qui se trouvent dans
l’ensemble X.
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1(),iiPN=111()Nombre de cas favorables à (),...()Nombre de cas possiblesANCardAAPANNNNCard=+++===Probabilité
▪ Exemple : On jette un dé parfait à 6 faces et on s’intéresse à l’évènement A =
"Obtenir un chiffre ≤ 2". Ainsi, A = 1, 2. Puisque le dé est parfait, on a un
Publicité
ensemble fondamental Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 équiprobable et par conséquent la
probabilité d’obtenir n’importe quelle face du dé est 1/6. Ainsi, la probabilité
de l’événement A est déterminée comme suit :
▪ Remarque très importante : Pour calculer les probabilités, il faut savoir
compter le nombre d’éléments contenus dans les évènements (ou dénombrer
les
l’analyse
combinatoire.
événements) → d’où l’importance des Formules de
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112()1()("1")("2")666()3CardAPAPPCard=+=+===Probabilité
▪ Exemple : Dans un jeu de 32 cartes :
1. Déterminer le nombre de mains possibles contenant 5 cartes ?
2. Déterminer le nombre de mains de 5 cartes contenant exactement 3 As ?
3. Déterminer la probabilité de tirer une main de 5 cartes contenant
exactement 3 As ?
Réponse :
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5323242832!1.2013765!(325)!4!28!2.15123!(43)!2!(282)!15123.("3")0.0075201376CCCPObtenirexactementAs==−==−−==Probabilité
Probabilité conditionnelle : Introduction
▪ Comme mesure de l’incertitude, la probabilité d’un événement A dépend de
l’information qu’on détient sur A.
▪ Par exemple, la probabilité que nous pourrions donner à l’évènement A :
A = " Prêter de l’argent à une personne X"
Dépend de ce qu’on connaît sur la solvabilité de cette personne envers ses
dettes. Ainsi, si cette personne est solvable la probabilité de A va tendre vers 1.
Dans le cas contraire, cette probabilité va tendre vers 0.
▪ Ainsi, il possible de définir la probabilité d’un événement A selon l’information
qu’on détient sur A. Par exemple, cette information peut être représentée par
l’évènement B suivant :
B = " La personne X est solvable "
Dans ce cas, on peut exprimer la probabilité de prêter à une personne X de
l’argent (évènement A) sachant que la personne X est solvable (évènement B)
par P(A/B) (dont la valeur sera proche de 1).
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Probabilité
Probabilité conditionnelle : Introduction
▪ D’une manière générale, il est possible de définir la probabilité d’un
événement A sachant qu’on possède une certaine information
événement B. Cette probabilité
représentée par un
conditionnelle sera représentée formellement de la manière suivante :
autre
L’évènement B représente l’information
qu’on détient sur A
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(/)PABProbabilité
▪ Probabilité Conditionnelle : Exemple Introductif
Dans le tableau suivant, les individus d’une population (N = 1000 individus)
sont classés selon le genre et s’ils sont atteints ou non d’une pathologie M :
Genre
Homme
Femme
Total
Pathologie M
Atteint
Non-Atteint
22
128
150
428
422
850
Total
450
550
1000
On tire au hasard un individu (expérience aléatoire) dans cette population. On définit les
évènements suivants :
o H = " L’individu sélectionné est un Homme " ;
o F = " L’individu sélectionné est une Femme " ;
o M = " L’individu sélectionné est atteint de la pathologie M " ;
o NM = " L’individu sélectionné est Non-atteint de la pathologie M " .
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Probabilité
▪ Probabilité Conditionnelle : Exemple Introductif (suite…)
Chaque individu a la même probabilité d’être tiré (1/1000) → ensemble fondamental
Ω équiprobable. On peut donc calculer les probabilités des deux évènements H et M :
On tire au hasard un individu et on constate que c’est un homme (information
additionnelle). On veut maintenant déterminer la probabilité que cet homme soit atteint
par la pathologie M.
Puisque on a l’information que l’individu sélectionné est un homme, le nombre de cas
possibles est réduit de 1000 à 450. Selon le tableau, parmi les 450 hommes il y a 22 hommes
qui sont atteints par la pathologie M.
Ainsi, la probabilité qu’un individu soit atteint par la pathologie M (évènement M) sachant
que c’est un homme (évènement H) sera égale à :
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()450()0.45()1000CardHPHCard===()150()0.15()1000CardMPMCard===22(22/1000)()(/)450(450/1000)()PMHPMHPH===Probabilité
Probabilité conditionnelle : Définition
▪ Soient A et B deux évènements de Ω avec B un événement de
probabilité non vide (c’est-à-dire P(B) > 0). La probabilité de
réalisation de A lorsque B est
réalisé s’appelle la probabilité
conditionnelle de A sachant B, notée P(A/B) :
Théorème de la multiplication des probabilités
Propriété de la probabilité conditionnelle
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()(|) 0()PABPABavec P(B) PB=() (|)() (|)()PABPABPBPBAPA==(/) 1(|)PABPAB=−Probabilité
Probabilité conditionnelle : Formule de Bayes (Forme 1)
▪ Soient A et B deux évènements non vides de Ω :
Théorème des probabilités totales (Forme 2)
Soit B1, B2, …, Bn un Système Complet d’Événements (SCE) sur Ω.
Probabilité conditionnelle : Formule de Bayes (Forme 2)
Soit B1, B2, …, Bn un Système Complet d’Événements (SCE) sur Ω.
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()()(/)()(|)()()()PBAPABPABPBPBAPAPAPA===11:()()(/)()nniiiiiAPAPABPABPB====1(/)()(|),(/)()iiiniiiPABPBPBAAPABPB==Probabilité
▪ Probabilité conditionnelle : Exemple d’application
Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer simultanément deux dés différents. quelle
est la probabilité d’avoir une somme égale à 8 sachant que les deux dés indiquent des
chiffres différents ?
Réponse : On définit les deux évènements suivants :
o A= " Les deux dés indiquent une somme égale à 8 " ;
o B = " Les deux dés indiquent des chiffres différents " .
36 résultats
5 résultats
30 résultats
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(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)=)2,6(),3,5(),4,4(),5,3(),6,2(=A),...6,2(),...,3,2(),1,2(),6,1()...,3,1(),2,1(=B133.0)36/30()36/4()()()/(===BPBAPBAPProbabilité
▪ Théorème de la multiplication des probabilités : Exemple d’application
Soit l’expérience qui consiste à tirer au hasard, l’une après l’autre, sans remise, deux
ampoules électriques dans une boîte contenant 10 ampoules dont 3 sont défectueuses et 7
sont bonnes. On définit les quatre évènements suivants :
o D1 = " L’ampoule tirée au premier tirage est défectueuse " ;
o D2 = " L’ampoule tirée au deuxième tirage est défectueuse " ;
o B1 = " L’ampoule tirée au premier tirage est bonne " ;
o B2 = " L’ampoule tirée au deuxième tirage est bonne " .
Déterminer la probabilité de tirer deux ampoules défectueuses aux deux tirages.
Réponse :
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12121321()()(/)10915PDDPDPDD===Probabilité
▪ Théorème des probabilités totales : Exemple d’application
Une boîte contient trois pièces de monnaie. L’une est régulière, une autre a deux faces et la
dernière est faussée de façon à ce qu’elle tombe 2 fois plus souvent sur le côté face que sur
le côté pile. Une pièce est tirée au hasard dans cette boîte et est lancée. Trouver la
probabilité d’obtenir le côté face.
Réponse :
On définit les quatre évènements suivants :
o A = " La pièce tirée est régulière " ;
o B = " La pièce tirée est à double faces " ;
o C = " La pièce tirée est faussée " ;
o P = " Obtenir le coté Pile " ;
o F = " Obtenir le coté Face " .
Arbre d’évènements qui schématise l’expérience aléatoire
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()()()()()(/)()(/)()(/)1111210.72232333PFPFAPFBPFCPAPFAPBPFBPCPFC=++=++=++=Probabilité
▪ Formule de Bayes (forme 2) : Exemple d’application
Un professeur sait par expérience que la probabilité de r...