Interpolation Polynômiale et Approximation - Chapitre 1

xi − xj

.

n

(cid:89)

j=0

j(cid:54)=i

Equipe AN

Analyse Numérique (AN)

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Polynômes d’interpolation de Lagrange

Soient n + 1 points de coordonnées (xi, yi)0≤i≤n tels que xi (cid:54)= xj, pour tout 0 ≤ i, j ≤ n

tels que i (cid:54)= j.

Il existe un unique polynôme d’interpolation de Lagrange Pn ∈ Rn[X] vérifiant

Pn(xi) = yi, ∀i ∈ {0, · · · , n}.

Le polynôme Pn s’exprime comme suit:

n

(cid:88)

Pn(x) =

i=0

yiLi(x), x ∈ R

où Li(x) =

x − xj

xi − xj

.

n

(cid:89)

j=0

j(cid:54)=i

La famille de polynômes de Lagrange {L0, L1, · · · , Ln} associés aux points

(xi, yi), i ∈ {0, · · · , n}, est une base de l’espace vectoriel Rn[X].

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Exercice

Soit f une fonction qui vérifie le tableau suivant:

xi

x0 = −1

x1 = 0

x2 = 1

f (xi)

f (x0) = 2

f (x1) = 1

f (x2) = −1

1 Justifier l’existence d’un unique polynôme d’interpolation des points d’abscisses

x0, x1 et x2.

2 Déterminer la base de Lagrange pour l’interpolation des points d’abscisses x0, x1

et x2.

3 Déterminer le polynôme de Lagrange qui interpole f aux points d’abscisses x0 ,x1

et x2.

4 En déduire une approximation de f (0.5).

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2 Les éléments de la base de Lagrange L0, L1 et L2 associés respectivement à x0, x1

et x2 sont définies comme suit:

L0(x) =

L1(x) =

L2(x) =

(x − x1)(x − x2)

x(x − 1)

x(x − 1)

(x0 − x1)(x0 − x2)

(−1)(−1 − 1)

2

=

(x − x0)(x − x2)

(x − (−1))(x − 1)

(x + 1)(x − 1)

(x1 − x0)(x1 − x2)

(0 − (−1))(0 − 1)

(x − x0)(x − x1)

(x + 1)x

(x + 1)x

(x2 − x0)(x2 − x1)

(1 − (−1))(1 − 0)

2

−1

·

=

=

=

=

=

Solution:

1 On a x0 (cid:54)= x1 , x1 (cid:54)= x2 et x0 (cid:54)= x2, alors il existe un unique polynôme

d’interpolation.

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L1(x) =

L2(x) =

(x − x0)(x − x2)

(x − (−1))(x − 1)

(x + 1)(x − 1)

(x1 − x0)(x1 − x2)

(0 − (−1))(0 − 1)

(x − x0)(x − x1)

(x + 1)x

(x + 1)x

(x2 − x0)(x2 − x1)

(1 − (−1))(1 − 0)

2

−1

·

=

=

=

=

Solution:

1 On a x0 (cid:54)= x1 , x1 (cid:54)= x2 et x0 (cid:54)= x2, alors il existe un unique polynôme

d’interpolation.

2 Les éléments de la base de Lagrange L0, L1 et L2 associés respectivement à x0, x1

et x2 sont définies comme suit:

L0(x) =

(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)

=

x(x − 1)

(−1)(−1 − 1)

=

x(x − 1)

2

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L2(x) =

(x − x0)(x − x1)

(x + 1)x

(x2 − x0)(x2 − x1)

(1 − (−1))(1 − 0)

=

(x + 1)x

·

=

2

Solution:

1 On a x0 (cid:54)= x1 , x1 (cid:54)= x2 et x0 (cid:54)= x2, alors il existe un unique polynôme

d’interpolation.

2 Les éléments de la base de Lagrange L0, L1 et L2 associés respectivement à x0, x1

et x2 sont définies comme suit:

L0(x) =

L1(x) =

(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)

(x − x0)(x − x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)

=

=

=

x(x − 1)

(−1)(−1 − 1)

(x − (−1))(x − 1)

(0 − (−1))(0 − 1)

x(x − 1)

2

(x + 1)(x − 1)

−1

=

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Solution:

1 On a x0 (cid:54)= x1 , x1 (cid:54)= x2 et x0 (cid:54)= x2, alors il existe un unique polynôme

d’interpolation.

2 Les éléments de la base de Lagrange L0, L1 et L2 associés respectivement à x0, x1

et x2 sont définies comme suit:

L0(x) =

L1(x) =

L2(x) =

(x − x1)(x − x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)

(x − x0)(x − x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)

(x − x0)(x − x1)

(x2 − x0)(x2 − x1)

=

=

=

=

x(x − 1)

(−1)(−1 − 1)

(x − (−1))(x − 1)

(0 − (−1))(0 − 1)

(x + 1)x

(1 − (−1))(1 − 0)

x(x − 1)

2

(x + 1)(x − 1)

−1

(x + 1)x

2

=

=

·

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3 D’après ce qui précède,

f (0.5) ≈ P2(0.5) = 0.125.

3 Le polynôme de Lagrange qui interpole f aux points d’abscisses x0,x1 et x2 est

donné par:

P2(x) = L0(x)f (x0) + L1(x)f (x1) + L2(x)f (x2)

=

= 2

x(x − 1)

2

x(x − 1)

2

f (x0) +

(x + 1)(x − 1)

−1

f (x1) +

− (x + 1)(x − 1) −

(x + 1)x

2

(x + 1)x

2

1

2

= −

x2 −

f (x2)

3

2

x + 1.

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3 Le polynôme de Lagrange qui interpole f aux points d’abscisses x0,x1 et x2 est

donné par:

P2(x) = L0(x)f (x0) + L1(x)f (x1) + L2(x)f (x2)

=

= 2

x(x − 1)

2

x(x − 1)

2

f (x0) +

(x + 1)(x − 1)

−1

f (x1) +

− (x + 1)(x − 1) −

(x + 1)x

2

(x + 1)x

2

1

2

= −

x2 −

f (x2)

3

2

x + 1.

3 D’après ce qui précède,

f (0.5) ≈ P2(0.5) = 0.125.

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Exercice (Asynchrone)

Répondre aux questions de l’exemple introductif en utilisant la méthode

d’interpolation de Lagrange.

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Inconvénient majeur de la méthode d’interpolation de Lagrange

Un inconvénient majeur de la méthode d’interpolation par les polynômes de

Lagrange réside en l’ajout d’un point (xn+1, yn+1) à l’ensemble de n points

d’interpolation. Dans ce cas, il n’est numériquement pas évident de déduire Pn+1 de

Pn. Tous les calculs seront refaits de zéro.

Pour combler cette lacune, on pourra appliquer la méthode d’interpolation de Newton

qui sera introduite ci-dessous.

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