H PRÉPA

EXERCICES ET PROBLÈMES 1

ANNÉE

PHYSIQUE

MPSI/PCSI/PTSI

POUR S’ENTRAÎNER ET RÉUSSIR SA PRÉPA • Plus de 300 exercices et extraits de concours corrigés • Un rappel des connaissances essentielles • Conseils, astuces et méthodes

H PRÉPA

EXERCICES ET

PROBLÈMES 1

ANNÉE

PHYSIQUE

MPSI/PCSI/PTSI

Jean-Marie BRÉBEC Tania CHABOUD Thierry DESMARAIS Alain FAVIER Marc MÉNÉTRIER Régine NOËL

Composition et mise en page : Laser Graphie

Maquette intérieure : Véronique Lefebvre

Maquette de couverture : Guylaine Moi

Relecture : Anne Panaget

I.S.B.N. 978-2-0118-1306-0

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays.

Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5 d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

vant-propos

Quel est l’objet de cet ouvrage ? Nous avons élaboré cet ouvrage d’exercices de première année de classes préparatoires aux grandes écoles avec deux objectifs principaux, l’assimilation du cours par la mise en pratique, et la préparation aux interrogations écrites et orales, pendant l’année et aux concours : – Les rappels de cours complets permettent de voir rapidement les résultats importants à connaî- tre pour toute préparation d’épreuves oralse ou écrites, que ce soit une colle, ou un concours de première ou deuxième Année. – Les exercices, choisis pour leur contenu, préparent à toutes ces épreuves.

Comment travailler de manière optimale avec cet ouvrage ? À la suite de l’énoncé, il existe une partie « conseils » ; les solutions sont présentées après l’en- semble des énoncés. Comment utiliser de manière optimale cette disposition ? – Comme pour une épreuve d’écrit, il faut commencer par lire entièrement un énoncé : pour résoudre une question donnée certaines informations peuvent être présentes dans les questions suivantes. – Après une période de réflexion « correcte », fructueuse ou non, il est possible de lire la partie « conseils » : cette partie peut se présenter ainsi : – soit une idée de résolution est proposée ; – soit une question est posée pour la mise en évidence d’un phénomène ; – soit un théorème est énoncé,….

– Si l’aide ne permet pas de résoudre l’exercice, il faut alors s’aider de la solution, qu’il ne suf- fit pas de lire : après lecture il faut essayer de refaire l’ensemble de l’exercice seul.

Dans un souci d’aide maximale à ces préparations, et à cette méthode de travail : – Les exercices choisis sont conformes aux nouveaux programmes. – Nous avons choisi des exercices « réalistes » :

– ayant une application en physique, soit fondamentale, soit industrielle, – ou étant en relation avec l’explication d’un phénomène observable.

– Lors de la résolution d’un exercice, nous avons privilégié les arguments physiques, les sché- mas et simulations (en faisant appel à la mémoire visuelle), aux arguments mathématiques ; mais lorsque les calculs sont nécessaires, l’ensemble des étapes intermédiaires est présenté. – Lorsqu’un exercice peut être résolu par plusieurs méthodes intéressantes, ces méthodes sont présentées et développées. – Pour certains exercices nous mettons le lecteur en garde contre certaines erreurs que nous voyons trop souvent lors d’épreuves écrites ou orales de concours.

Nous souhaitons que cet ouvrage puisse aider de manière efficace une majorité d’étudiants

Les auteurs

OMMAIRE

PARTIE 1 MÉCANIQUE Chapitre 1 ■ Cinématique du point – Changement de référentiel ..... Chapitre 2 ■ Dynamique du point matériel................................................... Chapitre 3 ■ Puissance et énergie en référentiel galiléen....................... Chapitre 4 ■ Oscillateurs ....................................................................................... Chapitre 5 ■ Théorème du moment cinétique ............................................. Chapitre 6 ■ Forces centrales conservatives –

9 18 28 40 59

Interaction newtonienne ............................................................ 69 Chapitre 7 ■ Mécanique en référentiel non galiléen................................. 83 Chapitre 8 ■ Référentiels non galiléens usuels ............................................ 95 Chapitre 9 ■ Système de deux points matériels .......................................... 111

PARTIE 2 OPTIQUE Chapitre 1 ■ Les bases de l’optique géométrique –

Réflexion et réfraction ................................................................ 125 Chapitre 2 ■ Formation d’images ..................................................................... 134 Chapitre 3 ■ Miroirs et lentilles ......................................................................... 142 Chapitre 4 ■ Instruments d’observation ........................................................ 164 Chapitre 5 ■ Focométrie ....................................................................................... 181 Chapitre 6 ■ Le prisme, utilisation en spectroscopie ................................ 190

PARTIE 3 THERMODYNAMIQUE Chapitre 1 ■ Équation d’état d’un fluide........................................................ 201 Chapitre 2 ■ Statique des fluides ...................................................................... 215 Chapitre 3 ■ Premier principe de la thermodynamique.

Bilans d’énergie .............................................................................. 227 Chapitre 4 ■ Second principe. Bilans d’entropie.......................................... 250 Chapitre 5 ■ Corps pur diphasé.......................................................................... 266 Chapitre 6 ■ Machines thermiques ................................................................... 279

PARTIE 4 ÉLECTRICITÉ Chapitre 1 ■ Réseaux linéaires en régime continu ..................................... 301 Chapitre 2 ■ Réseaux linéaires en régime variable .................................... 320 Chapitre 3 ■ Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé..................... 346 Chapitre 4 ■ Amplificateur opérationnel........................................................ 363 Chapitre 5 ■ Fonctions de transfert .................................................................. 383

PARTIE 5 ÉLECTROMAGNÉTISME Chapitre 1 ■ Distributions, champ et potentiel électrostatiques ......... 413 Chapitre 2 ■ Le champ magnétique permanent ......................................... 438 Chapitre 3 ■ Dipôles électrique et magnétique .......................................... 462 Chapitre 4 ■ Force de Lorentz ............................................................................ 485

Annexes...................................................................................................................... 510

1 Mécanique

E I T R A P

1 ■■ Cinématique du point – Changement de référentiel ........................

2 ■■ Dynamique du point matériel....................................................................

3 ■■ Puissance et énergie en référentiel galiléen ........................................

4 ■■ Oscillateurs ........................................................................................................

5 ■■ Théorème du moment cinétique ..............................................................

6 ■■ Forces centrales conservatives – Interaction newtonienne .................

7 ■■ Mécanique en référentiel non galiléen ..................................................

8 ■■ Référentiels non galiléens usuels .............................................................

9 ■■ Système de deux points matériels ........................................................... 111

1 Cinématique du point

Changement de référentiel

LES OBJECTIFS • Préciser les caractéristiques d’un mouvement : vitesse, accélération, trajectoire dans un référentiel donné.

• Apprendre à choisir le bon système de coordonnées

en fonction du problème étudié.

LES PRÉREQUIS • Notions sur l’intégration des vecteurs vitesse et accé- lération en tenant compte de conditions initiales.

LES OUTILS MATHÉMATIQUES • Notions sur l’intégration vues en mathématiques.

ESSENTIEL

Systèmes usuels de coordonnées

• Coordonnées cartésiennes —➞ y + z e➞ OM

z ; base (e➞

x + y e➞

= x e➞

x , e➞

y , e➞

z) (doc. 1).

• Coordonnées cylindriques q , e➞

z ; base (e➞

r + z e➞

—➞ OM

= r e➞

r , e➞

z) (doc. 2).

ez O ex

ez O

eθ

erH

eθ

eθ er

Doc. 1. Coordonnées cartésiennes (x , y , z) :

—➞ OM

= x e➞

x + y e➞

y + z e➞ z .

Doc. 2. Coordonnées cylindriques (r ,q, z ) :

—➞ OH

= r e➞

—➞ r ; OM

= r e➞

r + z e➞ z .

ESSENTIEL

Cinématique du point – Changement de référentiel

—➞ • Coordonnées sphériques : OM

Doc. 3.a.

eϕ

eθ

= r e➞

r ; base (e➞

r , e➞

q , e➞

j ) (doc. 3).

θ rsin

eϕ

er M

eθ

Doc. 3.b. Plans : z = 0 et j = cte .

Représentations du mouvement

—➞ • La trajectoire est constituée de l’ensemble des positions successives OM étudié. —➞ • Dans l’espace des vitesses, l’ensemble des positions successives ON phe du mouvement. —➞ • Dans l’espace des phases, le point P repéré par OP ) décrit la trajectoire de phase du mobile. Pour un mouvement à un degré de liberté, le point de phase P se déplace dans le plan de phase : —➞ OP

(t) =v➞(t) constitue l’hodogra-

(t) = ➞r (t) du point mobile M

= (x(t), v(t)).

—➞ = (OM

—➞ , ON

Vitesse d’un point

Soit O un point fixe du référentiel (cid:32). Le vecteur vitesse de M par rapport à ce référentiel est :

—➞ dOM (cid:12) dt • Expression en coordonnées cartésiennes : v➞(M)/ (cid:32) = ·x e➞

v➞(M)/ (cid:32) = (cid:8)

(cid:9)/ (cid:32) x + ·y e➞

y + ·z e➞ z .

• Expression en coordonnées cylindriques : v➞(M)/ (cid:32) = ·r e➞

r + r

· qe➞

q + ·z e➞ z .

Accélération d’un point

Le vecteur accélération de M par rapport à ce référentiel est :

a➞(

/M )

(cid:32)

 (cid:15) 

OM d2 t2 d

 (cid:18) 

 (cid:15) 

/ (cid:32)

➞ v (M)

/ (cid:32)

 (cid:18) 

/ (cid:32)/ (cid:32)

• Expression en coordonnées cartésiennes : a➞(M)/ (cid:32) = ¨x e➞

x + ¨y e➞

y + ¨z e➞ z .

• Expression en coordonnées cylindriques : a➞(M)/ (cid:32) = (¨r –r

ou encore : a➞(M)/ (cid:32) = (¨r –r

· q 2) e➞

r + (r ¨q + 2 ·r d (r2 · (cid:12) dt

1 (cid:12) r

r +

· q )e➞

q + ¨z e➞ z ;

q)e➞

q + ¨z e➞ z .

Mouvement circulaire

Le point M se déplace sur un cercle de centre O ,de rayon R , d’axe (Oz) . Il est repéré par ses coor- données polaires sur le cercle (r = R ,q ) . —➞ OM

= R e➞ r ;

Cinématique du point – Changement de référentiel 1

ESSENTIEL

—➞ · v➞(M)/(cid:32)= R q = w➞ ∧ OM q e➞ · r + R ¨q e➞ a➞(M)/(cid:32)= – R q 2 e➞ Si le mouvement est circulaire uniforme, v = R elle est centripète (doc. 5).

, où w➞ = w e➞ q (doc. 4).

z ;

· q est constante, donc a➞ (M)/(cid:32) est dirigée suivant – e➞ r ;

e θ

a(M)

ey z

ez = ex ey

ω ω

= ez

Doc. 4. Mouvement circulaire d’un point M dans un cercle de rayon a : v➞= R

q et a➞= – R

r + R ¨q e➞ q .

· q 2e➞

· q e➞

Doc. 5. Si |v➞| = cte , l’accélération du point M est

—➞ dirigée suivant – OM

: a➞= –

v 2 (cid:12) R

r . e➞

Conseils et pièges à éviter

• La vitesse (ou l’accélération) d’un point M dans un référentiel R donné peut s’exprimer sur dif- férents vecteurs de projections, mais c’est toujours la même vitesse (ou la même accélération) ! • Lors d’une trajectoire courbe, il existe toujours une composante de l’accélération dirigée vers

l’intérieur de la concavité de la trajectoire.

yN2

ya(M1)

ya(M2)

yN1

Exercices

Une course automobile

1 Deux pilotes amateurs prennent le départ d’une course automobile sur un circuit présentant une longue ligne droi- te au départ. Ils s’élancent de la même ligne. Le premier, A, démarre avec une accélération constante de 4 m.s–2, le deuxième, B, a une voiture légèrement plus puissante et démarre avec une accélération constante de 5 m.s–2. A a cependant plus de réflexes que B et démarre une seconde avant.

1 • Quelle durée faudra-t-il à B pour rattraper A ?

2 • Quelle distance auront-ils parcourue quand B dou- blera A ?

3 • Quelle seront les vitesses à cet instant-là ?

4 • Représenter x(t) etv (t) et la trajectoire de phase de A et B, en précisant la position de l’événement « B dépasse A » sur ces représentations des mouvements.

s l i e s n o C

Déterminer l’équation horaire du mouvement de chaque voiture.

Mouvement d’un point matériel sur une parabole

Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire

cos2 r variant

où

q  (cid:18) = (cid:15) 2 de – π à + π .

est une constante positive, q

1 • Montrer que la trajectoire de M est une parabole. La construire.

s l i e s n o C

1 q (cid:12) (1 + cos q) et (cid:12) par (cid:12) 1) Penser à remplacer cos2 (cid:12) 2 2

à utiliser les relations entre (x , y) et (r,q ) pour don- ner l’équation de la trajectoire en coordonnées carté- siennes. · 2) La condition v = kr permet d’exprimer q en fonction de q , donc de ne plus faire apparaître expli- citement le temps dans les équations, mais seule- ment q .

Ascension d’un ballon sonde

3 Un ballon sonde a une vitesse d’ascension verticale v 0 indé- pendante de son altitude. Le vent lui communique une vitesse

horizontale v x =

z t

proportionnelle à l’altitude z atteinte.

1 • Déterminer les lois du mouvement x(t) etz (t) ainsi que l’équation de la trajectoire x(z).

2 • Calculer le vecteur accélération du ballon.

Trajectoire et hodographe d’un mouvement plan

Un point M se déplace dans le plan (xOy) à la vitesse : ➞v = v 0(e➞ q est le vecteur orthoradial de la base locale des coordonnées polaires (r,q ).

q), où e➞

x + e➞

1 • Établir les équations polaire et cartésienne de la trajec- toire à caractériser.

2 • Faire de même pour l’hodographe.

3 • Faire le lien entre l’angle q = (je➞ j = (je➞

x , ➞v ).

x , ➞r ) et l’angle

2 • On suppose de plus que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r : v = kr ,où k est une cons- tante positive.

s l i e s n o C

a. Calculer, en fonction de q , les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M .

Il suffit de passer du système de coordonnées carté- siennes (x, y) au système de coordonnées polaires (r,q ), et inversement, pour obtenir l’une ou l’autre des équations recherchées.

b. Déterminer la loi du mouvement q(t) en supposant que q est nul à l’instant t = 0 et que q croît. On donne (cid:7) q

ln tan

dq cos q

 (cid:15)

q 2

π 4

 (cid:18)

Aller et retour sur un fleuve

5 Un rameur s’entraîne sur un fleuve en effectuant le parcours aller et retour entre deux points A et B , distants de (cid:43). Il rame à vitesse constante v par rapport au courant. Le fleuve coule de A vers B à la vitesse u . Son entraîneur l’ac- compagne à pied le long de la rive en marchant à la vitesse v sur le sol, il fait lui aussi l’aller et retour entre A et B .

Cinématique du point – Changement de référentiel 1

EXERCICES

Seront-ils de retour en même temps au point de départ ? Si non, lequel des deux (rameur ou entraîneur) arrivera le pre- mier en A ? Commenter.

l’eau, en quel point M doit-il entrer dans l’eau pour attein- dre au plus vite le nageur ? On situera ce point à l’aide d’une relation entre v 1, v 2, i1 et i2 indiqués sur le schéma.

s l i e s n o C

Utiliser la composition des vitesses en faisant atten- tion au sens des vecteurs vitesse.

Chasseur et oiseau

6 Un oiseau se trouve sur une branche d’arbre, à une hauteur H au dessus du niveau du sol. Un chasseur se trouve sur le sol à la distance D du pied de l’arbre. Il vise l’oiseau et tire. Au moment du coup de feu, l’oiseau, voyant la balle sortir du canon, prend peur et se laisse tomber instantané- ment en chute libre. À chaque instant, l’accélération de la balle et de l’oiseau dans un référentiel fixe est – g e➞ z (l’axe (Oz) est la verticale ascendante). L’oiseau est-il touché ? L’étude sera faite : a. dans le référentiel fixe ; b. dans le référentiel lié à l’oiseau.

s Déterminer les trajectoires de l’oiseau et de la balle dans le référentiel choisi et déterminer leur intersec- tion.

l i e s n o C

Quand il faut aller vite

7 Pour aller au secours d’un nageur en détresse, un maître- nageur part du poste de secours situé au point A pour aller jusqu’au nageur situé en B. Sachant que le sauveteur court à v 1 = 2 m.s– 1 sur la plage et nage à v 2 = 1 m.s– 1 dans

yuy

yux

Mouvement calculé à partir de la trajectoire et de l’hodographe (D’après ENAC 02)

x, e➞

y , e➞

Dans le plan (xOy) du référentiel (cid:32)(O, e➞ z ) un mobi- le ponctuel P décrit la parabole d’équation cartésienne : y2 = 2px avec p constante positive. Sa vitesse ➞v (P/R), de composantes X, Y est telle que l’en- semble des points N(X, Y), hodographe du mouvement de pôle O, a pour équation cartésienne : X2 = 2qY avec q cons- tante positive.

1 • Exprimer X et Y en fonction de y.

2 • Exprimer l’accélération ➞a (P/R) du point P en fonction ➞ du vecteur position OP. Préciser la nature du mouvement de P.

3 • Établir les expressions de x et y en fonction du temps t, sachant que le mobile passe en O à l’instant initial t = 0.

Corrigés

1 1 • Nous avons :

Une course automobile

xA(t) =

1 (cid:12) 2

aAt 2 et xB(t) =

1 (cid:12) 2

aB(t–t 0)2,

cette deuxième expression étant applicable à t (cid:11) t 0 = 1 s. Les deux voitures sont au même niveau à l’instant t1, soit :

2 = aB(t1 – t 0)2 aAt 1

≈ 9,5 s.

ce qui donne :

t1 = t 0 .

1(cid:12) 1 – 2(cid:12) a A (cid:12) a B 2 • À l’instant t1 :

d = xA(t1) =x B(t1) =

1 (cid:12) 2

2 ≈1,8 . 102 m. aAt 1

3 • vA(t1) =a At 1 ≈38 m .s– 1 et vB(t1) =a B(t1 –t 0)≈42 m .s– 1. 4 •

xB(t)

xA(t)

vB(t)

vB(t1) vA(t1)

vB(t1)

vA(t1)

vA(t)

Mouvement d’un point matériel sur une parabole q (cid:12) 2

(1 + cos q), l’équation polaire

1 (cid:12) 2

1 • Sachant que cos2

s’écrit : r = 2a–rcos q ; avec x = r cosq et y = r sinq, et en )2, ce qui donne : élevant au carré : r2 = x2 + y2 = (2a–x

– y 2 + 4a2 (cid:12)(cid:12) 4a parabole représentée ci-dessous.

x =

– 2a

2 • a.

(cid:2) r = =

(cid:2) q

dr θ d

sin

cos

  q (cid:18) (cid:15) 2   q (cid:18) (cid:15) 2

(cid:2) q

II reste à éliminer

(cid:2) q

a  (cid:15)

(cid:2) q

cos

 q (cid:18) 2 · q en utilisant :

v =

(cid:2) r

(cid:2) 2 q

cos

(cid:2) q  (cid:15)

q 2

 (cid:18)

q ∈ ]– π ; +π [ ,

cos

 (cid:15)

q 2

 (cid:18)

thèse, donc :

est positif et

· q est positif par hypo-

q = k cos (cid:8) (cid:9) et v r = ka · q (cid:12) 2

(cid:12)(cid:9) sin(cid:8)(cid:12) q 2 (cid:12) (cid:12)(cid:9) cos2(cid:8)(cid:12) q 2

;v q =

ka (cid:12) (cid:12)(cid:9) cos(cid:8)(cid:12) q 2

· q

cos

 (cid:15)

q 2

 (cid:18) ⇔

θ d  q (cid:15) 2

cos

 (cid:18)

⇔

 ln tan (cid:15) 

 (cid:15)

q π + 4 4

 (cid:18)

 (cid:18) = 

cte

Cinématique du point – Changement de référentiel 1

CORRIGÉS

∈

π ] – ;

π [

donc

θ 4

π + ∈ 4

0 ] ;

π 2

[

d’où sa tangente est positive. Si q = 0 àt = 0 , la constante est nulle.  (cid:18)

 ln tan (cid:15)

θ π + 4 4

Donc

kt 2

 (cid:18)

 (cid:15)

Ascension d’un ballon sonde z d t d

x d t d

1 • En coordonnés cartésiennes, v➞ =

➞ux +

➞uz avec

z t

= v 0.

z d t d

x d t d Soit z = v 0t car à t = 0,z= 0 ( le ballon décolle). x d 1 v t d 2 0 En éliminant le temps t, on obtient :

donne x =

t t c

= v 0

t t

en supposant qu’à t = 0,x = 0.

x =

1 2

z v

La trajectoire est une parabole.

2 • a➞ =

D’où a➞ =

x 2

➞ux +

z 2

d d

➞uz.

➞ux.

d t d v t

Trajectoire et hodographe d’un mouvement plan r + (1 – sinq ) e➞ q) = v 0(cosq e➞ x + e➞ 1 • ➞v = v 0(e➞ q). —➞ r +r dq .e➞ r) = dr.e➞ Le déplacement élémentaire dOM q du point M est colinéaire au vecteur vitesse, donc :

= d(re➞

cosq (cid:12) 1 – sinq

dr (cid:12) rdq ce qui donne l’équation en coordonnées polaires :

cosq dq (cid:12) 1 – sinq

= d ln (cid:8)

dr (cid:12) r

, soit :

1 – sinq 0(cid:12) 1 – sinq

(cid:9).

r = r0

1 – sinq 0(cid:12) 1 – sinq

r (cid:12) 1 – sinq

où r est un paramètre (longueur) caractéristique de la trajec- toire. On en déduit : r = r + r sin q, soit, avec x = r cos q et y = r sinq, en élevant au carré : r2 = x 2 + y 2 = (r+y )2, ce qui donne finalement :

y =

x 2 – r2 (cid:12) 2r

qui est l’équation d’une parabole d’axe (Oy).

ye(cid:78)

(cid:78)

yer

– r

– r/2

2 • v➞ = v 0(e➞ donne l’équation cartésienne de l’hodographe :

q ) = v 0((1 – sinq )e➞

x + cosq e➞

x + e➞

y), ce qui

(v x – v 0)2 + v 2

y = v

2 0

qui permet d’identifier le cercle de rayon v 0 et de centre de coordonnées (v 0, 0).

yev

On remplace v x = v cosj et v y = v sinj dans l’équation car- tésienne de l’hodographe, il vient :

qui est l’équation polaire de l’hodographe.

v = 2 v 0 cosj

3 • On évite des calculs trigonométriques en faisant un sché- ma :

ye(cid:78)

j q

yex

Le vecteur

v➞ (cid:12) v 0

= e➞

x + e➞

q est dirigé selon la bissectrice des

axes (O, e➞

x) et (O,e➞

q), donc : 2j=

π (cid:12) 2

+ q, soit : j =

π (cid:12) 4

q (cid:12) 2

5 Aller et retour sur un fleuve Le rameur effectue l’aller à la vitesse v + u et le retour à la vitesse v – u par rapport au sol. v doit donc être évidemment supérieur à u pour que le rameur puisse remonter le courant et ainsi revenir à son point de départ. La durée de son trajet aller et retour est :

tr =

(cid:47) (cid:12) v + u

(cid:47) (cid:12) v – u

2 (cid:47)v (cid:12) v 2 – u2

CORRIGÉS

Cinématique du point – Changement de référentiel

Son entraîneur effectue l’aller et retour à la vitesse v par rap-

port au sol donc la durée de son trajet est te = 1 (cid:12) u 2 (cid:12) 1 – (cid:12) v2

tr = te

(cid:7) te .

2(cid:47) (cid:12) v

. Donc :

L’entraîneur est arrivé avant le rameur. Le rameur perd plus de temps au retour qu’il n’en gagne à l’aller. Dans le cas extrême où la vitesse v est à peine supé- rieure à u , le trajet du retour pour le rameur sera très long.

Chasseur et oiseau

6 a. On détermine les trajectoires de l’oiseau et de la balle dans le référentiel lié au sol. • Oiseau : ¨zo = – g ,d’où zo (la vitesse initiale de l’oiseau est nulle) ;

2gt H +

1 2

–

¨xo = 0 , d’où xo = D .

position initiale de l’oiseau

point de rencontre

y 2

1,5

0,5

• Balle :

d'où z

¨zb = – g , ¨xb = 0 , d’où xb = v0 cosat ,

= –

1 2

+v 0 sinat ;

où v 0 est la vitesse initiale de la balle et a l’angle de tir : le

chasseur visant l’oiseau, tan a

α =

H D

Les deux trajectoires se rencontrent-elles ? Si oui, au point de rencontre xb = D , donc la rencontre a lieu à l’instant :

D cos

À cet instant, zb – zo = D tana – H = 0 : l’oiseau est touché ! Attention : pour que l’oiseau soit effectivement touché, il faut que la portée de la balle soit supérieure à D (sinon les deux trajectoires ne se coupent pas). Pour cela, il faut une vitesse v0 suffisante. Plus précisément, la balle touche le sol à l’instant

t 1

v sin α 2 0 g

donc en

x 1

)

2 v 0

sin ( g

Il faut que x1 (cid:11) D donc que :

v0 (cid:11)

sin (

2α

)

Cette condition correspond à z(tf ) (cid:11) 0 . b. Dans le référentiel lié à l’oiseau, la balle a une accélération

nulle donc une trajectoire rectiligne uniforme à la vitesse v➞ 0, toujours dirigée vers l’oiseau qui est donc touché. Conclusion : il faut dire aux oiseaux de toujours se percher sur des branches basses.

Quand il faut aller vite AM v

Le maître-nageur parcourt AM en t1 =

MB en t2 =

MB v

A]1/2 B]1/2

AM = [(x–x A)2 +y 2 BM = [(x–x B)2 +y 2 La durée totale du trajet est : T = t1 + t2. 1 v

[(x – xA)2 + y2

A]1/2 +

T =

1 v

[(x – xB)2 + y2

B]1/2.

On cherche x tel que T soit minimale.

T d x d

⇔

– x x 2 ) x x A

[( –

A +

2 1 2 ] A

– x x 2 ) x x B

[( –

B +

2 1 2] / B

= 0

Soit

= 0 (cid:1)

x x – A v AM

– x x B v BM Si on introduit i1 et i2, il vient : – x x – x x A BM AM

sin

i 2

i 1

Remarque: la valeur de x trouvée correspond bien à un minimum pour T. La dernière relation écrite est analogue à la loi de Descartes pour la réfraction en optique : n1 sin i1 = n2 sin i2.

Mouvement calculé à partir de la trajectoire et de l’hodographe (d’après ENAC 02)

1 • ➞v (P/(cid:32)) =X e➞

x +Y e➞

y avec

x d d t

y d d t

y 2 = 2px. On peut dériver par rapport au temps l’équation de la trajec- toire.

Il vient :

y 2

d y d t

= = 2

2 p

d x d t

soit yY = pX (cid:1)

D’autre part :

X X

2 2= 2= q qY

= =

 (cid:15)

y p

 (cid:18)

Si Y ≠ 0, on obtient

= =

y p

Y Y

, soit

Y Y

= =

qp 2 y

qp y

avec y ≠ 0. Si Y = 0,(cid:1)⇒X= 0. Si y = 0,(cid:1)⇒X = 0 et p uisque X 2 = 2qY Y = 0.

(cid:1) s’écrit alors

i 1

sin v

i 2

sin v

Cinématique du point – Changement de référentiel 1

CORRIGÉS

e➞ y. On se place en dehors du

3 •

dy dt

qp 2 y

donc y2dy = 2qp2dt (cid:2).

On intègre (cid:2) en tenant compte des conditions initiales t = 0 y = x = 0.

Il vient

1 3

2 qp t

d’où (cid:12) y = (6qp2t)1/3

y 2

2 2 p

2 qp t

) / 2 3

2 • ➞a (P/(cid:32)) =

point O.

X d t d

e➞ x +

Y d t d

2 qp 2 = y

2 2

qp = 2 y

dX = dt

Y d = d t

2 = –

2 qp 2 y

dy dt

–

2 qp 2 y

–

2 q p 4 y

4 =

–

qp 3 y

–

2 q p 5 y

–

2 q p 6 y

y 2

donc

dX dt

= –

8 2 q p 6 y

On peut alors écrire : ➞a (P/(cid:32)) =

–

8 2 q p 6 y

➞ OP.

Le mouvement du point P est à accélération centrale par rap- port à O.

2 Dynamique du point

matériel

LES OBJECTIFS • Utiliser les lois de Newton pour :

– déterminer les caractéristiques d’un mouvement ; – calculer certaines forces.

LES PRÉREQUIS • Expressions des vecteurs vitesse et accélération dans

divers systèmes de coordonnées.

LES OUTILS MATHÉMATIQUES • Notions sur l’intégration vues en mathématiques.

ESSENTIEL

Quantité de mouvement (ou impulsion)

La quantité de mouvement par rapport au référentiel R d’un point matériel M, de masse m, est : p➞(M)/(cid:4) = mv➞(M) / (cid:4).

Lois de Newton

Les trois lois de Newton sont les lois fondamentales de la mécanique du point matériel.

• Première loi : principe d’inertie Il existe une classe de référentiels, appelés référentiels galiléens par rapport auxquels un point matériel isolé est en mouvement rectiligne uniforme.

• Deuxième loi : relation fondamentale de la dynamique Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un point M de masse m et son accélération sont liées par :

F(cid:2)→ M =

d p➞(M) (cid:12) dt

= ma➞(M).

• Troisième loi : principe des actions réciproques Les forces d’interaction exercées par deux points matériels M1 et M2 l’un sur l’autre sont oppo- sées et colinéaires à l’axe (M1M2).

Dynamique du point matériel 2

ESSENTIEL

Évolution d’un système mécanique

Les systèmes mécaniques ont une évolution unique pour des conditions initiales données (déter- minisme mécanique). Pour un système autonome (ou libre), deux trajectoires de phase ne peuvent se couper.

Conseils et pièges à éviter

• Il faut toujours bien étudier les forces qui s’exercent sur un système, ici un point matériel.

Exercices

Un peintre ingénieux

1 Un peintre en bâtiment (de masse M = 90 kg) est assis sur une chaise le long du mur qu’il doit peindre. Sa chaise est suspendue à une corde reliée à une poulie parfaite. Pour grimper, le peintre tire sur l’autre extrémité de la corde avec une force de 680 N. La masse de la chaise est m = 15 kg.

1 • Déterminer l’accélération du peintre et de la chaise. Commenter son signe.

2 • Quelle force le peintre exerce-t-il sur la chaise ?

3 • Quelle quantité de peinture peut-il hisser avec lui ?

s l i e s n o C

Faire un bilan des forces extérieures pour le système {peintre + chaise}, puis pour le système {chaise seule}.

Plan incliné et poulies

2 Le solide S1 , de masse m1 , glisse sans frottements sur le plan incliné. Le solide S2 , de masse m2 , se déplace verti- calement. Les solides en translation sont considérés comme des points matériels. Les poulies sont idéales, les fils sont inextensibles et sans masse. Données : m1 = 400 g, m2 = 200 g et a = 30°. 1 • On considère le dispositif ci-après en haut : Déterminer l’accélération du solide S2 et la tension du fil.

2 • On rajoute une poulie. La poulie P2 est fixe, la poulie P1 se déplace parallèlement au plan incliné. Le fil est attaché en A . Déterminer l’accélération du solide S2 et les tensions des fils.

s l i e s n o C

1) Les deux solides ont la même accélération (en norme). 1) et 2) En utilisant le caractère parfait des poulies (sans masse) et l’inextensibilité des fils, chercher une relation simple entre les tensions des fils aux points d’attache sur chacun des deux solides.

Étude d’un pendule simple, réaction au point d’attache

Un pendule simple (masse m, longueur (cid:5)) est lâché sans

vitesse initiale à partir de la position q =

: point matériel

M(m) et point de suspension sont alors dans le même plan horizontal. (IOM = (cid:5)ej à t = 0). On demande de déterminer les réactions Rx (q ) etR y (q ) enO . Le fil est sans masse et inextensible.

π 2

Un jeu d’enfant

4 Un enfant esquimau joue sur le toit de son igloo. L’enfant se laisse glisser sans frottement depuis le sommet S de l’igloo, qui a la forme d’une demi-sphère de rayon a et de centre O. La position de l’enfant, assimilé à un point maté- riel M , de masse m, est repérée par l’angle q = (Oz, OM), (Oz) étant la verticale ascendante.

1 • À partir de quelle position (repérée par l’angle q 0 ) l’enfant perd-il le contact avec l’igloo (on néglige bien sûr les frottements).

2 • Quel est le mouvement ultérieur de l’enfant ? Quelle est sa vitesse quand il retombe sur le sol ? Effectuer l’application numérique avec m = 30 kg, a = 2 m et g = 9,8 m . s – 2. Commenter.

l i e s n o C

s 1) L’enfant perd le contact avec l’igloo quand la réac- tion de l’igloo s’annule. Il faut donc exprimer cette réaction en fonction de q seulement. Pour cela, on sera amené à multiplier la projection de la relation · fondamentale de la dynamique sur e➞ q pour pou- voir l’intégrer. 2) Attention aux conditions initiales du mouvement.

q par

Équilibre d’un point

5 Un point M de masse m est lié à un cercle fixe dans le plan vertical, de centre O et de rayon R . La liaison est supposée sans frottements. Le point M est attiré par l’extrémité A du diamètre horizontal AB par une force toujours dirigée vers A et dont le module est proportionnel à la distance AM . La position du point M est repérée par l’angle q = (AB, OM) .

1 • Déterminer les positions q = qe d’équilibre du point M sur le cercle.

2 • Quand le point n’est pas en équilibre, déterminer l’équation différentielle vérifiée par q en utilisant la rela- tion fondamentale de la dynamique, puis le théorème du moment cinétique en O .

3 • On suppose que q reste proche de qe et on pose q = qe + u avec u << qe . Déterminer alors l’équation dif- férentielle vérifiée par u . Les conditions initiales sont u = u0 et ·u = 0. Déterminer entièrement u(t) . Que peut-on dire quant à la stabilité de la (des) position(s) d’équilibre déterminée(s) au 1) ? Une position d’équilibre est stable si, quand on écarte légèrement le point de cette position, il tend à y revenir, elle est instable dans le cas contraire.

s l i e s n o C

1) Exprimer toutes les forces qui s’exercent sur le point M dans la base des coordonnées polaires (e➞ q) , sans oublier de déterminer la distance AM en fonction de R et de q .

r , e➞

Dynamique du point matériel 2

EXERCICES

2) Projeter la relation fondamentale de la dynamique sur la direction qui élimine la force inconnue (c'est- à-dire la r