Géométrie différentielle des surfaces
Mehdi HAJJI
Atelier 3D 4D – Im 3
Plan du cours
Introduction
Surfaces de IR3
Formes fondamentales des surfaces
La courbure
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Introduction
Plusieurs applications font appel à l’imagerie 3D.
Restauration virtuelle de monuments historiques
et de sites archéologiques
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Introduction
Imagerie médicale
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Introduction
Indexation des données multimédias
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Introduction
Sélection de la méthode de modélisation de l’objet 3D.
Validité de l’analyse, la description, le classement ou la
caractérisation de l’objet 3D.
Représentation des surfaces
Continue
Permet de définir la forme de l’objet 3D en tout point de sa surface
extérieure.
Polynomiale (Spline, Bézier, NURBS,…)
Discrète
Permet de connaître la géométrie et la topologie d’une surface à
partir d’un nombre fini de points de l’objet 3D.
Triangulations, maillages simplexe,…
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Introduction
Problème: mouvement rigide de l’objet lors de
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l’acquisition des données 3D.
Exemple d’objet 3D pris dans deux positions différentes
Nous comparons les données extraites par le même processus
pour un objet pris dans deux positions différentes
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Introduction
En comparant les traces de l’intersection des plans
d’échantillonnage par rapport à la surface de l’objet 3D
Le changement de position de l’objet mène à deux ensembles
de données différents
Impact sur la modélisation de l’objet, dans la mesure où sa
reconstruction est directement liée à ces traces.
Les traces relevés dépendent de la position de l’objet
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Introduction
Cette dépendance est confirmée dans cette figure
2 représentations différentes de la surface de l’objet: 2 grilles
différentes
La représentation de la surface de l’objet dépend du mouvement rigide
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Introduction
Dépendance vis-à-vis d’un éventuel mouvement rigide de
l’objet lors de l’acquisition des données 3D.
En imagerie médicale: primitives non liées à la position du
malade et au matériel médical utilisé (échographie, scanner,…)
Procédure de normalisation:
Décrire, caractériser, classer ou analyser des objets 3D
indépendamment de leur position ou éloignement de l’objectif
lors de l’acquisition.
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Surfaces de IR3
Une représentation paramétrique d’une surface 𝑆 de IR3 :
𝑠: 𝐷 ⊂ 𝐼𝑅3 → 𝐼𝑅3
𝑢, 𝑣 → (𝑋 𝑢, 𝑣 , 𝑌 𝑢, 𝑣 , 𝑍 𝑢, 𝑣 )
Exemple:
Plan, sphère, cylindre, tore, …
Les fonctions paramétriques permettent de se déplacer
sur la surface en faisant varier 𝑢 et 𝑣
Pratique pour les maillages polygonaux,…
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Un reparamétrage de 𝑠 est un nouveau paramétrage
continu 𝑠 de la surface 𝑆:
𝑠 = 𝑠 𝜓 𝑢, 𝑣 , 𝜙(𝑢, 𝑣)
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Formes fondamentales
Première forme fondamentale
On appelle première forme fondamentale sur une surface S
la forme quadratique Φ qui, à tout vecteur V tangent à S
en M, associe le carré de sa longueur
𝐸 = 𝑠𝑢. 𝑠𝑢
𝐹 = 𝑠𝑢. 𝑠𝑣
𝐺 = 𝑠𝑣. 𝑠𝑣
E
F
G
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Formes fondamentales
Deuxième forme fondamentale
𝐿 = 𝑠𝑢𝑢𝑛
𝑀 = 𝑠𝑢𝑣𝑛
𝑁 = 𝑠𝑣𝑣𝑛
L
M
N
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La courbure
La courbure d'un objet géométrique est une mesure
quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet
objet
Dans le plan euclidien,
une ligne droite est un objet à une dimension de courbure
nulle,
un cercle un objet de courbure constante positive
Courbure en un point M de la surface:
l’intersection d’un plan perpendiculaire au plan tangent à la
surface en ce point M.
Plusieurs valeurs de courbures
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La courbure
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La courbure
Courbures principales
Les valeurs minimum et maximum de la courbure portent
le nom de courbures principales.
Courbure maximale: 𝑘𝑚𝑎𝑥
Courbure minimale: 𝑘𝑚𝑖𝑛
En général, elles sont différentes et, dans ce cas, les plans
correspondant aux deux courbures principales sont
perpendiculaires entre eux.
Leur intersection avec le plan tangent définit les
directions principales.
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La courbure
Courbure moyenne
C’est la moyenne des courbures principales 𝑘𝑚𝑎𝑥 et 𝑘𝑚𝑖𝑛
𝐻 =
𝑘𝑚𝑎𝑥 + 𝑘𝑚𝑖𝑛
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La courbure
Courbure gaussienne
C’est le produit des courbures principales 𝑘𝑚𝑎𝑥 et 𝑘𝑚𝑖𝑛
𝐾 = 𝑘𝑚𝑎𝑥𝑘𝑚𝑖𝑛
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Procédé de pseudo reparamétrage
Réalisé à partir des courbures principales,
Stabilité, localité, invariance vis-à-vis des changements de
positions et d’orientations,
Description de la surface dans deux directions orthogonales,
Procédé de pseudo reparamétrage
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Procédé de pseudo reparamétrage
Représentation des deux courbures principales
𝑘𝑚𝑎𝑥 (𝑘1)
𝑘𝑚𝑖𝑛 (𝑘2)
Quantification par des plans parallèles et équidistant
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Procédé de pseudo reparamétrage
Extraction des traces de quantification
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Procédé de pseudo reparamétrage
Résultat:
Réseaux de courbes orthogonales (𝑘𝑚𝑎𝑥 et 𝑘𝑚𝑖𝑛)
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Atelier: Process global
Modules
de génération
de surfaces
synthétiques
Module
de rotation
des objets 3D
Module
de calcul
des coefficients
fondamentaux
Module
de calcul
des courbures
Module
d’affichage
Coefficients
fondamentaux.
Courbures
Objets synthétiques.
Lignes de niveaux.
Lignes d’isocourbures.
Module
d’échantillonnage
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Merci…
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