General Mechanics and Strength of Materials

Th or me de

qque. Th or me de

Equilibrage des

.. 247

cin tique. Torseur cin tique.

la quantit de mouvement et du moment cin tique. Matrice dinertie. Energie cin -

la dynamique. Principaux cas.

conservative. Quantit de mouvement. Moment

l nergie cin tique. Principe

gyroscopiques. Exercices.

solides. Mouvements

fondamental de

RESISTANCE DE~ MAT RXAwx

sist~~ce des

compos es. Notion de

contrainte. Hypoth se de Barr de Saint-Venant. Notions

sur

arts int rieurs ou de coh sion. Sollicitations

simples et

les

coefficients de

s curit . Exercices.

D finition. Effort normal. Contrainte normale. tude des constructions. Allongements.

contraintes. Contraintes

Contraction

inclin e. Exercices.

dorigine

thermique. Syst mes hyperstatiques. Contraintes dans une

lat rale. Loi de Hooke. Essai de

traction. Concentrations de

section

22. Cisaillement

D finition. Effort

ment. Relation

tranchant. Contrainte

contrainte

d formation. Application.

tangentielle. Calcul des

Exercices.

constructions. Angle de glisse-

2

le unitaire de

moment et angle unitaire de

constructions. Concentrations des contraintest~ AppWitIon.

Exercices.

torsion. Moment de

torsion. Relation entre contrainte et moment de

tangentielles. Relation entre

torsion. Calcul des

Cas des poutres non circulaires.

torsion. Contraintes

Sch matisation usuelle. Effort tranchant. Moment fl chissant. Diagrammes. Correspondance

entre diagrammes. Principaux

cas dapplication. Exercices.

337

25. Flexion

Contraintes normales en flexion. Calcul des constructions. Concentrations de contraintes.

Contraintes de

: contraintes

flexion. Exercices.

cisaillement

en

.

.

.

26. Flexion : d formations

Notion de d form e. M thode par

int gration. Principe de

27. Flexion : syst mes hyperstatiques

Exemples. Methode par

superposition. M thode par

fnt gration.

Exercices.

349

superposition. Formulaire. Exercices.

361

28. Flexion d vi e

Poutres ayant au moins un pIan de sym&rie : c&rtraintes,

non

sym triques.

Exercices.

plan neutre, exemples. Cas de poutres

3 6

Hicitations compos es

plus traction. Flexion plus torsion. Tr&ion plus torsion. Traction plus cisaille

plus

cisaillement. Exercices.

I

Torsion

g e

e dEuler.

Principaux cas de

colonnes moyennes. Proc dures de calcul. Charges excentr es

flambage. Contraintes critiques. Flambage plastique des

formule de

la s cante.

:

.387

31. Analyse des

Analyse des contrain

de cisaillement maximales. Cercle de Mohr. Loi de Hooke. Contraintes

Mohr. Application aux enveloppes minces. Crit res de limite lastique : Tresca,

Coulomb et Mohr. Exercices.

ations de

transformation. Contraintes principales. Contr

triaxiales. Tricercle de

Von Mises,

421

32. Analyse des d formations,

Analyse des d formations planes. Equations de transformation. D formations principales.

Glissement maximum. Cercle de Mohr. Application aux jauges de contraintes. Loi de Hooke

g n ralis e. Comparaison

et d formations planes. Exercices.

contraintes planes

entre

.

.

fVT CANIQUE DES FLUIDES

G n ralit s. Viscosit s. Types de

sion, profondeur et pesanteur. Pouss e dArch m de.

Exercices.

fluides. Pression en un point dun

Forces et pression sur une paroi

fluide. Relation entre pres-

immerg e.

les

sur

Notions

de Reynolds. Pertes de charges r guli res et singuli res. Equation de Bernoulli. Th or me dEuler

ou de

coulements. quation de continuit . coulement

la quantit de mouvement. Exercices.

turbulent. N

laminaire et

.

A N N E X E S

1. Centre de gravit , centre de masse, barycentre

Centre de gravit ou centre de masse

compos s. Formulaire.

: d finition, position, propri t s. Barycentre. C&.dessolides

463

2. Moments quadratiques __

Moments quadratiques par rapport un axe et par rapport un

s es. Formule de Huygens. Produits dinertie. Formules de rotation daxe. Axes principaux. Cas

des profil s usuels. Formulaire.

467

*.., ,... .,.. . . . . . . . . . . . .

Cas des surfaces compo-

point.

3, Moment dinertie et matrice dinertie _. _. . .

Moment dinertie par rapport un axe. Rayon de gyration.

compos s. Produits dinertie. Matrice dinertie. Th or me de Huygens g n ralis . Formulaire.

473

Changement daxe. &rsd, solides

Index _... ._

.__

__

_.

.___

,_ ._ ._. ___ _._ _. ___. _. _.__ ,. __ ___._.___._ . . . .._._.__ _..

.

478

4

VECTEU

WD finir les notions de scalaire et de vecteur.

m D crire les principales op rations r alis es sur les vecteurs,

les coordonn es cart siennes dun vecteur et

de

vecteur-position.

la notion

~D finir le produit scalaire et le produit vectoriel de deux

vecteurs.

En m canique, les vecteurs sont utilis s pour repr senter les forces (3 AT& les

1 es vitesses ($ V,,,), les acc l rations (a: a,,,), les contraintes

moments (2, MCQfi),

(0, Z), etc.

Les scalaires sont des nombres positifs, n gatifs ou nuls, utilis s pour repr senter des

quantit s diverses : temps, temp rature, masse, nergie, volume, etc.

Par exemple, les nombres 20, 18, 50 sont les scalaires des grandeurs suivantes : hau-

teur de 20 m, volume de 18 m3, force de 50 N.

a) La direction est la droite qui porte le vecteur.

Elle est d finie par langle 8 mesur entre un axe

de r f rence et le support.

b) Le sens repr sente lorientation origine-extr -

mit du vecteur et est symbolis par une fl che.

c) Lintensit , norme ou module, repr sente la

valeur de la grandeur mesur e par le vecteur.

Graphiquement, elle correspond la longueur de

celui-ci. Notation : V, I vl ou 11 VI].

extr mit

direction ou support

Fig. 1

d) Le point dapplication est le

point qui sert dorigine un repr -

sentant (ou image) du vecteur.

Remarque : d finir un vecteur,

cest conna tre

les quatre para-

m tres pr c dents.

Fig. 2

Vecteur glissant ou glisseur

conque sur un support ou une ligne daction impos e,

Vecteur li ou pointeur : vecteur ayant un point dapplication.

: vectew dont le point dapplication peut &e quei-

• Op rations sur les vecteurs

1. Addition

Des vecteurs de m me nature peuvent tre additionn s pour brmer un trok&ne vec-

teur appel vecteur-somme.

Exemple : d terminons la somme sdes deux vecteursx et $propos s.

Remarque : laddition peut tre r alis e partir dun triangle de construdion (condi-

tions : xet gdu triangle doivent tre parall les et de m mes longueurs que les vecteurs

?? et ! dorigine) QU par un parall logramme Oabr (Ou // br et Ob II ar), encore appel

r gle du parall logramme.

Cas de vecteurs parall les

A

• t

l

(3)

(4)

R

(4+3=7)

=

l

*

--------)------------*

A

Fig. 4

6

2. Soustraction

La diff rence entre les vecteurs xet Bfse ram ne une addition en ajoutant le vecteur

oppos (-B).

triangle de construction

parall logramme

-7

R

3. Commutativit

Lop ration daddition entre vecteurs est commutative.

Autrement dit : x+ B)= B+ z= R

Fig. 6

Remarque : cette propri t est illustr e par la r gle du parall logramme.

4. Associativit

Lop ration daddition entre plusieurs vecteurs x, 3, cest associative.

Autrement dit : x+ sou E>+ C>peuvent tre remplac es par leur vecteur somme dans

laddition globale.

------

--

Fig. 7

5. Multiplication dun vecteur par un scalaire

Les sommes (A++ A+) et (I?+i- Bt + B) s crivent simplement sous la forme @et 3E+,

produit des scalaires 2 et 3 par les vecteurs xet rr.

De la m me fa on, on peut crire -3F, - i J . . .

Si A a pour intensit 100 $ les

intensit s de 0,5x, de 2,SAet de

-22 seront respectivement de

50 N, 250 N et 200 N.

1. Vecteurs unitaires

Les vecteurs T,Tet k sont des vecteurs

unitaires dintensit gale 1.

YY

I , 1 et < sont les vecteurs de base du

rep re orthonorm (0, x, y, z).

Remarque : les vecteurs unitaires des

axes x, y, 2 sont parfois not s 2, j? et ,Z

X

9g. 9

117ll = ll7ll = II~I1 = 1

2. Coordonn es dans le plan

Dans le plan, le vecteur va pour

coordonn es q et q,

I

_,

• - - - - - - - -

v.= vcos 6

Vy= Vsin 0

i

I

I

I

-

X

i

I

Fig.10

1

la direction du vecteurF)ayant pour coordonn es cart siennes

Exemple

le module et

D terminons

4 suivant x et 3 suivant y.

8

? a un angle 6 = 36,87O par rapport (0, x)

intensit ou norme :

pq=F=m%5

Remarques

Fx=Fcos8=5cos36,87=4

F, = F sin 8= 5 sin 36,87 = 3

3.Coordonn esdansl'espace

/

F,=4

Fig. 11

Autre expression :

F,= F. COS 13,

F,= F. COS 6,

F,=F. COS 8,

Avec :

Fig. 12

Ekemnle : D terminons le vecteur unitaire de la direc-

tionduvecteurFf= 37+4j+ 5 k

,

a

F=&?-z-z=7,071

COS ex = 7,07 1

3 = 0 , 4 2 4 d o

6X = 64,9

0,566 do ey = 55,5

~

COS e = 7,071

--ik- = 0,707 do ez = 45

V rification : COS~ 6, + cos2 8 y + cos2 8, = 0,4242 + O,5662 + 0,7072 = 1

Le vecteur unitaire s crit : $ = 0,424 . f + 0,556 .7+ 0,707 . 2

4.Additiondevecteurs

Soitnvecteurs~,Fci,...,~,decoordonn es:F:=F,x.~cF,y.9+F,z.~

encoordonn escart siennes

s=S, I+S,j+S,kj

avec &=X~;X ; S,= rjir ; S,=Cc2

La somme -Sdes n vecteurs F]j, c, . . . , -)F, est obtenue en ajoutant les coordonn es car-

t siennes de m me axe entre elles.

Exemple : d terminons la somme des trois vecteurs FT, FTet F3>propos s.

Fig. 14

-s=$+$+g=(-1+3+4)~+(2+3+1)~=61+6~

S,=6 ; S,=6 ; S=d==&5 ;

S

tan $=-$=~=l

et $=450.

5.Formulesutilespourlesadditionsdevecteur

Fig. 15

V - Vecteurs positions

Les vecteurs positions sont utilis s pour rep rer la position dun point ou pour repr -

senter un segment ou une distance.

10

1. Position dun point A dans lespace

Remarque : dans un plan (x, y),

z=$donnes=X,.I+ Y,.7

F?g. 16

2. Repr sentation dun segment ou dune distance Al3

Exemple

G 0 62

ii10

160

ii

7

unit : m tre

a=(6-O)?+(lO-O)f+(7-lO$

=61+10f-32

II~I1A

= 2/62+ lo+ 3 = 12,04 m tres

X

Fig.18

------

1. D finiion

Le produit scalaire du vecteur xpar le vecteur z, not x B , est gal au produit des

modules des deux vecteurs multipli par le cosinus de langle (0) entre leurs directions

respectives.

Si:??=A,.I+A,.j+A,.ft

B)=B, .I+B,.j+BJG

Remarques : le produit des deux vecteurs est un

nombre ou un scalaire et pas un autre vecteur.

Si xet B)sont perpendiculaires (0 = 90) alors 2. 3 = A . B COS 90 = 0.

Fig. 19

2, Propri t s

XB)=ZA+

A+.(E++c)=~. ?+ Y

k(r . I?) = (kA) . B= ?. (kg) = kA. fS(k tant un scalaire)

Remarques

T+?

I . I=l ; y& 1

; Z.Z=l ; 1.L() ; I.=o; C.f=o

Exemple : d terminons le produit scaiaire des vecteurs xet gfpropos s.

7x+=47+47

B= 71-37

A. Ei= (4 x 7) - (4 x 3) = 16

Y4

A=&?-?=5,66

B=dm=7,62

8 = 45 + 23,2 = 68,2

A. i? = 5,66x 7,62x COS 68,2 = 16

Fig. 20

• Produit vectoriel

vecteurs

1, D finition

Le produit vectoriel du vecteur x par le vecteur f?, not TA~, est un vecteur C) per-

pendiculaire au plan $, 3 et tel que :

avec Ilcil=A.BsinBet{l~ll=

1

1. Vecteurs

droite

r gle des trois doigts de la main droite

Propri t s : C(ou UC) est la fois perpendiculaire xet B!

@, @, c) pris dans cet ordre forment un tri dre direct (analogie avec les axes x, y, z)

ou ob issent la r gle des trois doigts de la main droite (ou r&gle du tire-bouchon).

Le produit vectoriel nest pas commutatif ; PC* B= -Br\ A+

A+i@+c)=lm3++~*c

k(& ?) = k z! B = x, kB (k tant un scalaire).

Remarque : si 2X+ et I? sont parall les alors X* B = 0 .

2. Calcul en coordonn es cart siennes

Si??=A,.f+A,.j+A,.

k

etE+=B,.IetB,.j+B,.Z alors:

Principe de d termination partir des produits en croix

Cx=AyBz-AzBy=

&j$=& Cy=AzBx-AxBz=-

Exemple

A2 85

0

ii

0

ii

A=47 +zj

B=3i +5j

$0 =2x0-5x0 = o

l

l

A/d

• 0;

l

I

=-(4x0-3x0)=0

25 =4x5-3x2=14

/

/

i

~

A*B=14k

1

Fig. 22

Fig. 23

4.Formuledudoubleproduitvectoriel

A+A(BAc+) =B+(A: C)--c'txT)

FORCES ET

VECTEtJitS-FORCES

OBJECTIFS

D D finir la notion de force et de vecteurs-forces.

mD crire

dune

les composantes et

force.

les coordonn es cart siennes

*

OII

rce

En m canique, les forces sont utilis es pour mod liser ou sch matiser des charges

concentr es et des r sultantes dactions m caniques tr s diverses (poids, attraction

magn tique, etc.).

Les forces sont repr sent es par des vecteurs-forces ayant les propri t s g n rales des

vecteurs (voir chapitre pr c dent) : op rations, coordonn es, produit scalaire, produit

vectoriel.

v e daN, kN, etc.), une direction, un sens et un point dapplication (ou un p o

Remarque

:

les

forces sont aussi appel es glisseurs

(voir chapitre

torseurs).

Exemple 1

sch matisation

j!j&

Laction de contact exerc e par le c ble (2) sur le support (

teur-force A,/;, de point dappkcation A, de direction ceIl& au* ~abl&,^ CiT?tensit

1 000 daN, de sens A vers I (le c ble tire sur le support).

le vec-

Exemple 2

Fig. 2

Au moment du tir, laction de contact exerc e par le pied du footballeur (2) sur le bal-

lon (1) est sch matis e par

rapport la verticale (y), dintensit 15 N, de sens T vers K (vers lint rieur du ballon).

le vecteur-force T2,1, point dapplication 7: inclin de 40 par

Le poids du ballon est sch matis par le vecteur-poids c(r sultante des actions de

pesanteur sur le ballon), vertical (axe y), intensit 5 N, sens du haut vers le bas et de point

dapplication G,

le centre de gravit du ballon.

II - Composantes dune force

Une force ragissant en un point A peut toujours tre remplac e par deux autres forces ou

composantes (uet v) agissant au m me point et v rifiant la condition F)= u+ v.

Cest le cas inverse de la rksultante et il existe une infinit de solutions possibles en fonction

des directions choisies au d part.

Fig. 3

les

Remarque : lorsque uet &Ont ortho-

compo-

gonales ou perpendiculaires,

santes sont dites orthogonales.

Par exemple, dans le cas de la figure 4 :

F+=q+q

gX et q sont des composantes orthogo-

nales particuli res suivant

les directions x

ety.

.

16

1

gI - Coordonn es cart siennes dune force

On peut consid rer les coordonn es cart siennes F, et F, comme tant des composantes

urthogonales particuli res de la force F)dans les directions x et y.

rxg. 3

Exemple : reprenons lexemple 1 du paraqraphe 1 et d terminons les coordonn es cart -

-

siennes de la force A,, .

Ax=Az,lcos300 =lOOO x0,866 = 866daN

A,=-Az/,sin30 =-1000x0,5 = -5OOdaN

A;l=866?-500]

tan30 =AX=$$2$ =0,577

IIA2/;11=d8662+50d =lOOO

Fig. 6

emarque : dans lespace, la force F poss dera trois coordonn es Fx>, E, z dans les

directions (x, y, z). M me principe que les vecteurs dans le cas g n rai, voir chapitre pr c -

dent.

crire les coordonn es cart siennes F, et FY des forces Findiqu es en fonction

du module F et des angles a et /3. F = 1 000 N dans les quatre cas.

a=45"

a=80;P=35

L chelle utilis e pour repr senter

les forces est 1 mm nour 20 N.

D terminer les modules des forces G,

g, F3 propos es. crire ces modules en

N, daN et kN.

Laction exerc e par Ia route 0 sur

la roue motrice 1 est sch matis e par la

force Fz Si Ieffort normal No/; sui-

vant+ pou-leur 400 daN, d termi-

et T,,,, (suivant t) sachant que

ner Fo,,

FG=G+Gi.

Fig. 8

L chelle utilis e pour repr senter

les forces indiqu es est 1 mm pour 40

daN. Compte tenu de cette chelle, le

trac des forces 3 y, K Set gest-il

correct ?

Fig. 11

q Sachant que la composante TX de

la tension T du c ble en A est de

90 daN, d terminer 7;et T.

T, = 30 daN ; T = 94,87 daN.

Fig. 9

q a) D terminer Ies coordonn es T,,

et T,, de la tension T, de la barre (1).

b) D terminer T3 et Tsx si TsY = 100 daN

c) D terminer T2 si (T1, + ? , + 13, = 0).

TEX = T,, = 141,4 daN;

T3 = 200 daN; Tsx = 173.2 daN;

T2 = - 314,6 daN.

el . 12

q a) Determiner les coordonn es car-

t siennes de F par rapport aux axes

suivant les directions x et y.

a) Fx = 153 ; Fy = 129 ; Fx = 68,4 ; Fy = 188

R p o n s e

Fig. 10

18

MOMENTS

ET COUPLES

OBJJXTIFS

H D finir le moment dune force par rapport un point et non-

cer le th or me de Varignon.

m D velopper ia notion de vecteur-moment et de moment dune

force par rapport un axe.

n D crire et d finir

les notions de couple et de vecteur-couple.

Les effets dune force sur un solide d pendent de la position de la force par rapport au

corps.

par

la force F engendre

le mouvement de Iappareil.

Pour la navette spatiale ci-dessous, au repos dans lespace lointain, la pouss e des

moteurs sch<matis e

Si la force F passe par le centre de gravit G de Ia navette, le vaisseau est anim dun

mouvement de translation rectiligne uniform ment acc l r de m me direction que f

(fig. l-a).

Si la force prie passe pas par G, le vaisseau est la fois anim dun mouvement de trans-

lation et dun mouvement de rotation. Ces mouvements sont fonction de linclinaison

des moteurs ou de la distance a (fig. l-b).

sens du mouvement

-

-

-

-

translation

Fig. I

\

Pour traduire avec pr cision les effets dune force, compte tenu de sa position, il est

n cessaire de

la notion de moments.

intervenir

faire

1, D finition

Le moment de la force Fpar rapport au point A, not

M,.,(q, est gal au produit de F par le bras de levier d :

(cl = distance entre A et 71

a) Convention de signe

Si F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigo-

nom trique, le moment est dit positif (cest le cas de la

figut 2).

Si F est invers e, le moment devient n gatif (cest le cas

de la navette autour du point G).

(fig. 3)

b) Exemple 1 : D terminons If 511 de fa on que

MJC) + M/&) = 0

MA(G) = F,.d, = 240x 0,l = 24 Nm,

M,&) = -Fz. d, = - OJZF,,

M,&) + M,&) = - OJZF, + 24 = 0

et Fz = 200 N.

Fig. 2

Fig. 3

Remarque : si B est le pointdapplication de F et si la

longueur AB est connue, M,(F) peut tre calcul par :

I

-.*:

:..

M,(F) = F. AB _ sin 9

,

1

en remarquant que : AB . sin a = d

w!J- 4)

c) FxempIe 2

D terminons le couple de serrage exerc par une cl

pIate sur un crou en fonction de linclinaison de leffort

(BG) exerc par la main de lop rateur.

Le couple de serrage est gal au moment

en A de laction B, :

MA = M,(B,,) = Q2 . AB . sin a.

-

I

a) Si AB est perpendiculaire B?

(a= 9O"):M, = &,. AB . sin 90

=lOOx0,2x1=20Nm.

b)Si a= 60" :

MA1 = 100 x 0,2 x sin 60 = 17,3 Nm.

c)Si a = 45" :

MA2 = 100 x 0,2 x sin 45 = 14,l Nm.

Remarque : plus la main est inclin e, plus

le couple de serrage diminue. Les cl s

dynamom triques permettent de r akr

des couples de serrage pr cis ind pendam-

ment de linclinaison de bras.

Fig. 5

2 0

Th or me

Varignon

Fig. 6

Le moment de la force Fau point A est gal la somme des moments de ses compo-

santes @et V+par rapport au m me point.

Pour le cas de la figure 6 : M,(z) = Fd = - U.d, + V.d,

Exemple : d terminons MA$) de la force F

propos e figure 7.

F, = F COS 60 = 1 000 x 0,5 = 500 N,

F, = F sin 60 = 1 000 x 0,866 = 866 N,

+ _

y#? = M,(Fx) + M,(q)

= - 500 x 0,l + 866 x 0,16

= 88,6 Nm = F . d.

ue : le calcul partir des compo-

santes est ici plus simple que lapplication

directe partir de F.d (d termination de d

plus

difficile).

En statique ou en dynamique dans lespace, la notion de moment scalaire ou alg brique

du paragraphe Z ne suffit plus. Le moment dune force doit tre d crit sous forme vec-

torielle (vecteur-moment) et d fini partir dun produit vectoriel.

l.D finiion

Soit u%point B, quelconque, appartenant la direction de la

force F. Le moment en A de Test d fini par le vecteur :

M,(F) est UJ vectex la fois perpen-

diculaire F et AB.

Lemarque : A3 ?et M,(F) suivent la

r gle des trois doigts (fi. 9).

Le produit vectoriel nest pas commu-

tatif :

Fig. 8

-

Posons ?@= r= r,. ?+ r . I+ r,. 2

et~=F,.?+F,.~+F,.~

partir du produit vectoriel d fini au chapitre Vecteurs :

Exemple : d terminons le moment

en A de la force Ta$ssant sur la

poutre encastr e de

figure 10.

la

Y4

m+= 0,5 i- 0,3 7

r=Fsin30?-Fcos30f

=5OOt-866J+

ABF;j -y( -Ek#( E)

M,(F)=-283jt

M,(F) = - 283 Nm.

emarque

AiL f= (0,5 T+- 0,3 7) A (5007- 8667)

= 0,5 1 500 t- 0,3 j+ 500 c- 0,5 TA 866 j++ 0,3 j+* 866 f

=~+0,3~500~-0,5~866It+~=-283k)

3 . Moments et couples

port un

*

1

ornent du

D finition : le moment de la force fl-par 1

rapport un axe U est gal au produit sca-

laire de ? par le vecteur moment M,(F) dans

lequel A est un point quelconque apparte-

nant au support de ti.

Remarque

M,(F) est la projection de M,(Fh sur u.

2 est un vecteur unitaire de la direction (u).

I

Fig. 11

Exemple : d terminons le moment de la force Fpar rapport laxe u de larbre.

Donn es :

7A

F= 2OOOi-i 4.0007-lOOOk(N)

6Z= 50 if(mm)

=t. (-0A F,.?+ OA F,.j)

MU$) = - OA . F, = - 200 Nm

en remarquant que 2 est parall le Z

Fig. 12

MU@) correspond au couple engendr sur larbre par laction ?Seule la composante F,

est lorigine de ce couple, F, et F, nintervenant pas.

IV - Notion de couple et de vecteur-couple

LD finition

Le moment engendr par deux forces gales et oppos es

ayant des

(non colin aires)

constitue un couple (IV).

Lintensit F.d du couple est ind pendante du point 0 choi-

si ou de la valeur de a. Elle ne d pend que de la distance d

entre les deux forces et de lintensit F.

lignes daction diff rentes

M=M,C~+~~(-~=@(u+d)-Fa =I=.d

Fig. 13

2.Vecteurauple

Soit A et B deux points quelconques

des supports de (n et (-Fi.

Z

t

3 est perpendiculaire au plan form

par Tet -I?

Fmarques

I~M/i=AB.F.sinB=F.d

~

= OEA FzOAz (--

=(OB-OA)*F=ABhF:

S=M,(F)LM,-Fj.

Fig. 14

3. Signes

main d

mite

~

Fig.

1 5

t

I~~

t

-A r

-7

X

\

5_--

Un couple positif am ne une rotation dans

le sens

trigonom trique.

4.Propi t s

-

Fig. 16

La valeur dun couple ne change pas si on d place Fet -Fdans des plans pk-all les

(fig. 16-a et 16-b).

La valeur dun couple ne change pas si on tourne en bloc Fet -Fdistantes de d dans

des plans parall les (fig. 14-c et 14-d).

La valeur dun couple reste la m me si on d place Fet -?le long de leur support

(fig. 16-b et 16-c).

La valeur dun couple reste identique si on modifie dans des proportions inverses les

valeurs de F et d : M = Frd, = F,d, (fig. 17).

24

_

10N

1ON

5. Exemple

Une cl +bougie se compose dun corps et dune tige de manSuvre coulissante et

r glable. F et -Fsch?matisent

Si F = 100 N, d terminons le couple de desserrage (M) exerc par la cl sur l crou en

E, pour les positions indiqu es.

les actions exerc es par les mains de fop6rateur.

a) Sous forme alg brique ou scalaire

Pour lesquatre posons :

M = M,(F) + M,(4) = MO(3 + MO(-q

=Fx,OB+FxOA=EAB=0,4F=40Nm

Pour la position 1 : M = 0,2 F + 0,2 F = 0,4 F.

Pour la position 2 : M = 0,3 F + 0,l F = 0,4 F.

Pour la position 3 : M = 0,15 F + 0,25 F = 0,4 F.

Pour la position 4 : M = 0 + 0,4 F = 0,4 F.

b) Sous forme vectorielle

Mi= M,(Fj +z?) =~A~+ ?~A(-~)

=(EO+OB)r,~+( 8+oAj,+~)

=~-;r~F+~r\(-~)+OA*(-F)

= SF+ GxA(-F) = (a?-OA) F

=s*F=AB%F.j+

=AB.F.k=40g(Nm)

NOnONs ~TSW&GS

Le moment r sultant (MA) en un point A de n forces Fr, F2, . . . , F, est gal la somme

des moments en A de chacune des forces.

>

-t

Si les forces appartiennent toutes un m me plan (sont coplanaires), le moment peut

tre crit sous forme alg brique :

MA = MA($) + M,(Fzj + .f. + M,(E)

Exemple : balance romaine

100 _

i=

F

a=700mm

1

Fig. 19

Une balance romaine se compose dun balancier 2 articul en 0 (pivot) sur un crochet 1

li un support fie et dune masse d quilibrage mobile 3 (a variable) de poids

q = 5 daN. La masse peser, poids z est suspendue en B par linterm diaire dun cro-

chet 4. Si a = 70 cm, d terminons la valeur de pf

R solution : lorsquil y a quilibrage d...