General Mechanics and Strength of Materials

.387

31. Analyse des Analyse des contrain de cisaillement maximales. Cercle de Mohr. Loi de Hooke. Contraintes Mohr. Application aux enveloppes minces. Critères de limite élastique : Tresca, Coulomb et Mohr. Exercices.

ations de

transformation. Contraintes principales. Contr

triaxiales. Tricercle de Von Mises,

421 32. Analyse des déformations, Analyse des déformations planes. Equations de transformation. Déformations principales. Glissement maximum. Cercle de Mohr. Application aux jauges de contraintes. Loi de Hooke généralisée. Comparaison

et déformations planes. Exercices.

contraintes planes

entre

.

.

fVTÉCANIQUE DES FLUIDES

Généralités. Viscosités. Types de sion, profondeur et pesanteur. Poussée d’Archîmède. Exercices.

fluides. Pression en un point d’un

Forces et pression sur une paroi

fluide. Relation entre pres- immergée.

les

sur

Notions de Reynolds. Pertes de charges régulières et singulières. Equation de Bernoulli. Théorème d’Euler ou de

écoulements. Équation de continuité. Écoulement

la quantité de mouvement. Exercices.

turbulent. N

laminaire et

.

A N N E X E S 1. Centre de gravité, centre de masse, barycentre Centre de gravité ou centre de masse composés. Formulaire.

: définition, position, propriétés. Barycentre. C&.des‘solides

463

2. Moments quadratiques __ Moments quadratiques par rapport à un axe et par rapport à un sées. Formule de Huygens. Produits d’inertie. Formules de rotation d’axe. Axes principaux. Cas des profilés usuels. Formulaire.

467 *.., ,... .,.. . . . . . . . . . . . . Cas des surfaces compo-

point.

3, Moment d’inertie et matrice d’inertie _. _. . . Moment d’inertie par rapport à un axe. Rayon de gyration. composés. Produits d’inertie. Matrice d’inertie. Théorème de Huygens généralisé. Formulaire.

473 Changement d’axe. &rs’d, solides

Index _... ._

.__

__

_.

.___

,_ ._ ._. ___ _._ _. ___. _. _.__ ,. __ ___._.___._ . . . .._._.__ _..

.

478

4

VECTEU

WDéfinir les notions de scalaire et de vecteur. m Décrire les principales opérations réalisées sur les vecteurs,

les coordonnées cartésiennes d’un vecteur et de

vecteur-position.

la notion

~Définir le produit scalaire et le produit vectoriel de deux

vecteurs.

En mécanique, les vecteurs sont utilisés pour représenter les forces (3 AT& les 1 es vitesses ($ V,,,), les accélérations (a: a,,,), les contraintes moments (2, MCQfi), (0, Z), etc.

Les scalaires sont des nombres positifs, négatifs ou nuls, utilisés pour représenter des quantités diverses : temps, température, masse, énergie, volume, etc. Par exemple, les nombres 20, 18, 50 sont les scalaires des grandeurs suivantes : hau- teur de 20 m, volume de 18 m3, force de 50 N.

a) La direction est la droite qui porte le vecteur. Elle est définie par l’angle 8 mesuré entre un axe de référence et le support. b) Le sens représente l’orientation origine-extré- mité du vecteur et est symbolisé par une flèche. c) L’intensité, norme ou module, représente la valeur de la grandeur mesurée par le vecteur. Graphiquement, elle correspond à la longueur de celui-ci. Notation : V, I v’l ou 11 VI].

extrémité

direction ou support

Fig. 1

d) Le point d’application est le point qui sert d’origine à un repré- sentant (ou image) du vecteur.

Remarque : définir un vecteur, c’est connaître les quatre para- mètres précédents.

Fig. 2

Vecteur glissant ou glisseur conque sur un support ou une ligne d’action imposée, Vecteur lié ou pointeur : vecteur ayant un point d’application.

: vectew dont le point d’application peut &e quei-

- Opérations sur les vecteurs

1. Addition Des vecteurs de même nature peuvent être additionnés pour brmer un trok&ne vec- teur appelé vecteur-somme.

Exemple : déterminons la somme sdes deux vecteursx et $proposés.

Remarque : l’addition peut être réalisée à partir d’un triangle de construdion (condi- tions : xet gdu triangle doivent être parallèles et de mêmes longueurs que les vecteurs ?? et Ë! d’origine) QU par un parallélogramme Oabr (Ou // br et Ob II ar), encore appelé règle du parallélogramme.

Cas de vecteurs parallèles

A

- t

l

(3)

Ë

(4)

R

(4+3=7)

=

l

*

--------)------------*

A

Ë

Fig. 4

6

2. Soustraction La différence entre les vecteurs xet Bfse ramène à une addition en ajoutant le vecteur opposé (-B’).

triangle de construction

parallélogramme

-7 R

3. Commutativité L’opération d’addition entre vecteurs est commutative. Autrement dit : x+ B)= B’+ z= R’

Fig. 6

Remarque : cette propriété est illustrée par la règle du parallélogramme.

4. Associativité L’opération d’addition entre plusieurs vecteurs x, 3, c’est associative. Autrement dit : x+ sou E>+ C>peuvent être remplacées par leur vecteur somme dans l’addition globale.

Ë

------

--

Fig. 7

5. Multiplication d’un vecteur par un scalaire Les sommes (A++ A+) et (I?+i- Bt + B’) s’écrivent simplement sous la forme @et 3E+, produit des scalaires 2 et 3 par les vecteurs xet rr’. De la même façon, on peut écrire -3F’, - i J . . .

Si A a pour intensité 100 Ï$ les intensités de 0,5x, de 2,SA’et de -22 seront respectivement de 50 N, 250 N et 200 N.

1. Vecteurs unitaires Les vecteurs T,Tet k sont des vecteurs unitaires d’intensité égale à 1. YY I , 1 et < sont les vecteurs de base du repère orthonormé (0, x, y, z).

Remarque : les vecteurs unitaires des axes x, y, 2 sont parfois notés 2, j? et ,Z

X

9g. 9

117ll = ll7ll = II~I1 = 1

2. Coordonnées dans le plan Dans le plan, le vecteur v’a pour coordonnées q et q,

I

_,

- - - - - - - - -

v.= vcos 6 Vy= Vsin 0

i

I

I

I

-

X

i

I Fig.10

1

la direction du vecteurF)ayant pour coordonnées cartésiennes

Exemple

le module et Déterminons 4 suivant x et 3 suivant y.

8

? a un angle 6 = 36,87O par rapport à (0, x)

intensité ou norme :

pq=F=m%5

Remarques Fx=Fcos8=5cos36,87=4 F, = F sin 8= 5 sin 36,87 = 3

3.Coordonnéesdansl'espace

/

F,=4

Fig. 11

Autre expression : F,= F. COS 13, F,= F. COS 6, F,=F. COS 8,

Avec :

Fig. 12

Ekemnle : Déterminons le vecteur unitaire de la direc- tionduvecteurFf= 37+4j+ 5 k’

,

a

F=&?-z-z=7,071

COS ex = 7,07 1

3 = 0 , 4 2 4 d ’ o ù

6X = 64,9”

0,566 d’où ey = 55,5”

~

COS e = 7,071

--ik- = 0,707 d’où ez = 45”

Vérification : COS~ 6, + cos2 8 y + cos2 8, = 0,4242 + O,5662 + 0,7072 = 1

Le vecteur unitaire s’écrit : $ = 0,424 . f + 0,556 .7+ 0,707 . 2

4.Additiondevecteurs Soitnvecteurs~,Fci,...,~“,decoordonnées:F:=F,x.~cF,y.9+F,z.~

encoordonnéescartésiennes

s’=S, I+S,j+S,kj

avec &=X~;X ; S,=Çrjir ; S,=Cc2

La somme ‘-Sdes n vecteurs F]j, c, . . . , -)F, est obtenue en ajoutant les coordonnées car- tésiennes de même axe entre elles.

Exemple : déterminons la somme des trois vecteurs FT, FTet F3>proposés.

Fig. 14

-s=$+$+g=(-1+3+4)~+(2+3+1)~=61+6~

S,=6 ; S,=6 ; S=d==&5 ;

S tan $=-$=~=l

et $=450.

5.Formulesutilespourlesadditionsdevecteur

Fig. 15

V - Vecteurs positions

Les vecteurs positions sont utilisés pour repérer la position d’un point ou pour repré- senter un segment ou une distance.

10

1. Position d’un point A dans l’espace

Remarque : dans un plan (x, y), z=$donnes=X,.I+ Y,.7

F?g. 16

2. Représentation d’un segment ou d’une distance Al3

Exemple

G 0 62 ii10

160 ii

7

unité : mètre

a=(6-O)?+(lO-O)f+(7-lO$

=61+10f-32

II~I1A

= 2/62+ lo”+ 3’ = 12,04 mètres

X

Fig.18

------

1. Définiion Le produit scalaire du vecteur xpar le vecteur z, noté x B’ , est égal au produit des modules des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle (0) entre leurs directions respectives.

Si:??=A,.I+A,.j+A,.ft B)=B, .I+B,.j+BJG

Remarques : le produit des deux vecteurs est un nombre ou un scalaire et pas un autre vecteur. Si xet ‘B)sont perpendiculaires (0 = 90”) alors 2. 3 = A . B COS 90” = 0.

Fig. 19

2, Propriétés XB)=ZA+ A+.(E++c’)=~.Ë?+ÂY k(r . I?) = (kA’) . B’= ï?. (kg) = kA’. fS’(k étant un scalaire)

Remarques T+? I . I=l ; y& 1

; Z.Z=l ; 1.L() ; I.“=o; C.f=o

Exemple : déterminons le produit scaiaire des vecteurs xet gfproposés.

7x+=47+47 B’= 71-37

A’. ‘Ei’= (4 x 7) - (4 x 3) = 16

Y4

A=&?-?=5,66 B=dm=7,62 8 = 45” + 23,2” = 68,2”

A’. i? = 5,66x 7,62x COS 68,2” = 16

Fig. 20

- Produit vectoriel

vecteurs

1, Définition Le produit vectoriel du vecteur x par le vecteur f?, noté TA~, est un vecteur C) per- pendiculaire au plan $, 3 et tel que :

avec Ilc’il=A.BsinBet{l~ll=

1

1. Vecteurs

droite

règle des trois doigts de la main droite

Propriétés : C(ou UC) est à la fois perpendiculaire à xet B’! @, @, c) pris dans cet ordre forment un “trièdre” direct (analogie avec les axes x, y, z) ou obéissent à la règle des trois doigts de la main droite (ou r&gle du “tire-bouchon”). Le produit vectoriel n’est pas commutatif ; PC* B’= -Br\ A+ A+i@+c’)=lm3++~*c’ k(& Ë?) = k z! B’ = x, kB’ (k étant un scalaire).

Remarque : si 2X+ et I? sont parallèles alors X* B’ = 0’ .

2. Calcul en coordonnées cartésiennes

Si??=A,.f+A,.j+A,.

k

etE+=B,.IetB,.j+B,.Z alors:

Principe de détermination à partir des produits en croix

‘Cx=AyBz-AzBy=

&j$=& Cy=AzBx-AxBz=-

Exemple

A2 85 0 ii

0 ii

A=47 +zj B=3i +5j

$0 =2x0-5x0 = o

l

l

A/d

- “0; l

I

=-(4x0-3x0)=0

25 =4x5-3x2=14

/

/

i

~

A*B=14k

1 Fig. 22

Fig. 23

4.Formuledudoubleproduitvectoriel

A+A(BAc+) =B+(A: C)--c'txT)

FORCES ET VECTEtJitS-FORCES

OBJECTIFS

D Définir la notion de force et de vecteurs-forces. mDécrire d’une

les composantes et

force.

les coordonnées cartésiennes

*

OII

rce

En mécanique, les forces sont utilisées pour modéliser ou schématiser des charges concentrées et des résultantes d’actions mécaniques très diverses (poids, attraction magnétique, etc.). Les forces sont représentées par des vecteurs-forces ayant les propriétés générales des vecteurs (voir chapitre précédent) : opérations, coordonnées, produit scalaire, produit vectoriel.

vée daN, kN, etc.), une direction, un sens et un point d’application (ou un p o

Remarque

:

les

forces sont aussi appelées glisseurs

(voir chapitre

torseurs).

Exemple 1

schématisation

j!j&

L’action de contact exercée par le câble (2) sur le support ( teur-force A,/;, de point d’appkcation A, de direction ceIl&’ au* ~abl&,^ CiT?tensité 1 000 daN, de sens A vers I (le câble tire sur le support).

le vec-

Exemple 2

Fig. 2

Au moment du tir, l’action de contact exercée par le pied du footballeur (2) sur le bal- lon (1) est schématisée par rapport à la verticale (y), d’intensité 15 N, de sens T vers K (vers l’intérieur du ballon).

le vecteur-force T2,1, point d’application 7: incliné de 40” par

Le poids du ballon est schématisé par le vecteur-poids c(résultante des actions de pesanteur sur le ballon), vertical (axe y), intensité 5 N, sens du haut vers le bas et de point d’application G,

le centre de gravité du ballon.

II - Composantes d’une force

Une force ragissant en un point A peut toujours être remplacée par deux autres forces ou composantes (u’et v’) agissant au même point et vérifiant la condition F)= u”+ v’. C’est le cas inverse de la rksultante et il existe une infinité de solutions possibles en fonction des directions choisies au départ.

Fig. 3

les

Remarque : lorsque u’et &Ont ortho- compo- gonales ou perpendiculaires, santes sont dites orthogonales. Par exemple, dans le cas de la figure 4 : F+=q+q gX et q sont des composantes orthogo- nales particulières suivant les directions x ety.

.

16

1

gI - Coordonnées cartésiennes d’une force

On peut considérer les coordonnées cartésiennes F, et F, comme étant des composantes urthogonales particulières de la force F)dans les directions x et y.

rxg. 3

Exemple : reprenons l’exemple 1 du paraqraphe 1 et déterminons les coordonnées carté- - siennes de la force A,, .

Ax=Az,lcos300 =lOOO x0,866 = 866daN A,=-Az/,sin30” =-1000x0,5 = -5OOdaN

A;l=866?-500]

tan30°=AX=$$2$ =0,577

IIA2/;11=d8662+50d =lOOO

Fig. 6

emarque : dans l’espace, la force F possédera trois coordonnées Fx>, E, z dans les directions (x, y, z). Même principe que les vecteurs dans le cas générai, voir chapitre précé- dent.

Écrire les coordonnées cartésiennes F, et FY des forces Findiquées en fonction

du module F et des angles a et /3. F = 1 000 N dans les quatre cas.

a=45"

a=80”;P=35”

L’échelle utilisée pour représenter les forces est 1 mm nour 20 N. Déterminer les modules des forces G, g, F3 proposées. Écrire ces modules en N, daN et kN.

L’action exercée par Ia route 0 sur la roue motrice 1 est schématisée par la force Fz Si I’effort normal No/; sui- vant+ pou-leur 400 daN, détermi- et T,,,, (suivant t’) sachant que ner Fo,, FG=G+Gi.

Fig. 8

L’échelle utilisée pour représenter les forces indiquées est 1 mm pour 40 daN. Compte tenu de cette échelle, le tracé des forces 3 y, K Set gest-il correct ?

Fig. 11

q Sachant que la composante TX de la tension T’ du câble en A est de 90 daN, déterminer 7;et T.

T, = 30 daN ; T = 94,87 daN.

Fig. 9

q a) Déterminer Ies coordonnées T,, et T,, de la tension T, de la barre (1). b) Déterminer T3 et Tsx si TsY = 100 daN c) Déterminer T2 si (T1, + ?û, + 13, = 0).

TEX = T,, = 141,4 daN; T3 = 200 daN; Tsx = 173.2 daN; T2 = - 314,6 daN.

el . 12

q a) Determiner les coordonnées car- tésiennes de F par rapport aux axes

suivant les directions x’ et y.

a) Fx = 153 ; Fy = 129 ; Fx’ = 68,4 ; Fy’ = 188

R é p o n s e

Fig. 10

18

MOMENTS ET COUPLES

OBJJXTIFS H Définir le moment d’une force par rapport à un point et énon-

cer le théorème de Varignon.

m Développer ia notion de vecteur-moment et de moment d’une

force par rapport à un axe.

n Décrire et définir

les notions de couple et de vecteur-couple.

Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au corps.

par

la force F engendre

le mouvement de I’appareil.

Pour la navette spatiale ci-dessous, au repos dans l’espace lointain, la poussée des moteurs sch<matisée Si la force F passe par le centre de gravité G de Ia navette, le vaisseau est animé d’un mouvement de translation rectiligne uniformément accéléré de même direction que f (fig. l-a). Si la force prie passe pas par G, le vaisseau est à la fois animé d’un mouvement de trans- lation et d’un mouvement de rotation. Ces mouvements sont fonction de l’inclinaison des moteurs ou de la distance a’ (fig. l-b).

sens du mouvement -

-

-

-

translation

Fig. I

\

Pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position, il est nécessaire de

la notion de moments.

intervenir

faire

1, Définition Le moment de la force F’par rapport au point A, noté M,.,(q, est égal au produit de F par le bras de levier d :

(cl = distance entre A et 71

a) Convention de signe Si F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigo- nométrique, le moment est dit positif (c’est le cas de la figut 2). Si F est inversée, le moment devient négatif (c’est le cas de la navette autour du point G).

(fig. 3)

b) Exemple 1 : Déterminons If 511 de façon que MJC) + M/&) = 0 MA(G) = F,.d, = 240x 0,l = 24 Nm, M,&) = -Fz. d, = - OJZF,, M,&) + M,&) = - OJZF, + 24 = 0 et Fz = 200 N.

Fig. 2

Fig. 3

Remarque : si B est le pointd’application de F et si la longueur AB est connue, M,(F) peut être calculé par : I

-.*:

:..

M,(F) = F. AB _ sin 9

, 1

en remarquant que : AB . sin a = d

w!J- 4)

c) FxempIe 2 Déterminons le couple de serrage exercé par une clé pIate sur un écrou en fonction de l’inclinaison de l’effort (BG) exercé par la main de l’opérateur. Le couple de serrage est égal au moment en A de l’action B, : MA = M,(B,,) = Q2 . AB . sin a.

-

I

a) Si AB est perpendiculaire à B? (a= 9O"):M, = &,. AB . sin 90”

=lOOx0,2x1=20Nm.

b)Si a= 60" : MA1 = 100 x 0,2 x sin 60” = 17,3 Nm. c)Si a = 45" : MA2 = 100 x 0,2 x sin 45” = 14,l Nm.

Remarque : plus la main est inclinée, plus le couple de serrage diminue. Les clés dynamométriques permettent de réakr des couples de serrage précis indépendam- ment de l’inclinaison de bras.

Fig. 5

2 0

Théorème

Varignon

Fig. 6

Le moment de la force Fau point A est égal à la somme des moments de ses compo- santes @et V+par rapport au même point.

Pour le cas de la figure 6 : M,(z) = Fd = - U.d, + V.d,

Exemple : déterminons MA$) de la force F proposée figure 7. F, = F COS 60” = 1 000 x 0,5 = 500 N, F, = F sin 60” = 1 000 x 0,866 = 866 N,

+ _

y#? = M,(Fx) + M,(q)

= - 500 x 0,l + 866 x 0,16 = 88,6 Nm = F . d.

ue : le calcul à partir des compo- santes est ici plus simple que l’application directe à partir de F.d (détermination de d plus

difficile).

En statique ou en dynamique dans l’espace, la notion de moment scalaire ou algébrique du paragraphe Z ne suffit plus. Le moment d’une force doit être décrit sous forme vec- torielle (vecteur-moment) et défini à partir d’un produit vectoriel.

l.Définiion Soit u%point B, quelconque, appartenant à la direction de la force F. Le moment en A de Test défini par le vecteur :

M,(F) est UJ vectex à la fois perpen- diculaire à F et à AB.

Lemarque : A3 ?et M,(F) suivent la règle des trois doigts (fi. 9). Le produit vectoriel n’est pas commu- tatif :

Fig. 8

-

Posons ?@‘= r’= r,. ?+ r . I+ r,. 2 et~=F,.?+F,.~+F,.~ à partir du produit vectoriel défini au chapitre « Vecteurs » :

Exemple : déterminons le moment en A de la force Ta$ssant sur la poutre encastrée de

figure 10.

la

Y4

m+= 0,5 i- 0,3 7

r=Fsin30?-Fcos30f

=5OOt-866J+

AB*F;j -y*( -Ek#( E)

M,(F)=-283jt M,(F) = - 283 Nm.

emarque

AiL f= (0,5 T+- 0,3 7) A (5007- 8667)

= 0,5 1* 500 t- 0,3 j+* 500 c- 0,5 TA 866 j++ 0,3 j+* 866 f =~+0,3~500~-0,5~866It+~=-283k)

3 . Moments et couples

port à un

*

1

ornent d’u

Définition : le moment de la force fl-par 1 rapport à un axe U est égal au produit sca- laire de ï? par le vecteur moment M,(F) dans lequel A est un point quelconque apparte- nant au support de ti.

Remarque M,(F) est la projection de M,(Fh sur u. 2 est un vecteur unitaire de la direction (u).

I Fig. 11

Exemple : déterminons le moment de la force Fpar rapport à l’axe u de l’arbre.

Données :

7A

F= 2OOOi-i 4.0007-lOOOk(N) 6Z= 50 if(mm)

=t. (-0A F,.?+ OA F,.j)

MU$) = - OA . F, = - 200 Nm

en remarquant que 2 est parallèle à Z

Fig. 12

MU@) correspond au couple engendré sur l’arbre par l’action ?Seule la composante F, est à l’origine de ce couple, F, et F, n’intervenant pas.

IV - Notion de couple et de vecteur-couple

LDéfinition Le moment engendré par deux forces égales et opposées ayant des (non colinéaires) constitue un couple (IV). L’intensité F.d du couple est indépendante du point 0 choi- si ou de la valeur de a. Elle ne dépend que de la distance d entre les deux forces et de l’intensité F.

lignes d’action différentes

M=M,C~+~~(-~=@(u+d)-Fa =I=.‘d

Fig. 13

2.Vecteurauple

Soit A et B deux points quelconques des supports de (n et (-Fi.

Z

t

3 est perpendiculaire au plan formé par Tet -I?

Fmarques I~M/i=AB.F.sinB=F.d’ ~ = OEA FzOAz (-- =(OB-OA)*F=ABhF:

S=M,(F)LM,-Fj.

Fig. 14

3. Signes

main d

mite

~ Fig.

1 5

t I~~’

t -A r

-7

X

\ 5_--

Un couple positif amène une rotation dans

le sens

trigonométrique.

4.Propiétés

-

Fig. 16

La valeur d’un couple ne change pas si on déplace Fet -Fdans des plans pk-allèles (fig. 16-a et 16-b).

La valeur d’un couple ne change pas si on tourne en bloc ‘F”et -Fdistantes de d dans des plans parallèles (fig. 14-c et 14-d). La valeur d’un couple reste la même si on déplace Fet -?le long de leur support (fig. 16-b et 16-c).

La valeur d’un couple reste identique si on modifie dans des proportions inverses les valeurs de F et d : M = Frd, = F,d, (fig. 17).

24

_

10N

1ON

5. Exemple Une clé à+bougie se compose d’un corps et d’une tige de manœuvre coulissante et réglable. F et -Fsch?matisent Si F = 100 N, déterminons le couple de desserrage (M) exercé par la clé sur l’écrou en E, pour les positions indiquées.

les actions exercées par les mains de f’op6rateur.

a) Sous forme algébrique ou scalaire Pour lesquatre posons : M = M,(F) + M,(4) = MO(3 + MO(-q

=Fx,OB+FxOA=EAB=0,4F=40Nm Pour la position 1 : M = 0,2 F + 0,2 F = 0,4 F. Pour la position 2 : M = 0,3 F + 0,l F = 0,4 F. Pour la position 3 : M = 0,15 F + 0,25 F = 0,4 F. Pour la position 4 : M = 0 + 0,4 F = 0,4 F.

b) Sous forme vectorielle Mi= M,(Fj +z?) =~A~+Ë?~A(-~)

=(EO+OB)r,~+(Ë8+oAj,+~) =~*-;r~*F+~r\(-~)+OA*(-F) = S*F+ GxA(-F) = (a?-OA) *F’ =s*F=AB%F.j+ =AB.F.k=40g(Nm)

NOnONs ~TSW&GS

Le moment résultant (MA) en un point A de n forces Fr, F2, . . . , F, est égal à la somme des moments en A de chacune des forces.

>

-t

Si les forces appartiennent toutes à un même plan (sont coplanaires), le moment peut être écrit sous forme algébrique :

MA = MA($) + M,(Fzj + .f. + M,(E)

Exemple : balance romaine

100 _

i=

F

a=700mm

1

Fig. 19

Une balance romaine se compose d’un balancier 2 articulé en 0 (pivot) sur un crochet 1 lié à un support fie et d’une masse d’équilibrage mobile 3 (a variable) de poids q = 5 daN. La masse à peser, poids z est suspendue en B par l’intermédiaire d’un cro- chet 4. Si a = 70 cm, déterminons la valeur de pf

Résolution : lorsqu’il y a équilibrage des deux masses, poids pet Test nul. M,=~~(~+M,(qj=Px0,1-qx0,7=0 d’où P = 7q = 7 x 5 = 35 daN.

.le moment résultant en 0 des

q La force Ffschématise Faction exer- cée par la chaussure sur le ballon au moment du tir. a) Calculer le moment en G de Ia forcT b) Quel est le mouvement pris par Ie ballon ?

M#i = - 3 Nm ; translation 7 rotation(“tir brossé").

Réponse

Fig.20

q La force Fschématise l’action de serrage l’opérateur. Calculer Ie moment en B (“couxle” de serrage sur

l’écrou) de

la force F.

exercée

par

Fig.21

H J-a force ??schématise la résültante des forces de pression dues+au vent. le moment en A de ‘R, A étant Calculer fragile du panneau la zone

indicateur.

M&i?) = - 180 Nm;Mii= -1SOT;fNm).

R.+pXWe

3. Moments et couples

RLa zone fragile de la vis est située en A, au début de la partie encastrée. Calculer le moment en A de la force F’ agissant

l’anneau.

sur

RépOtlSfZ

Fig.23

1411 Déterminer le moment en 0 de la force F’ agissant sur le point B de la

q Calculer le moment en 0 de la force F agissant au point B.

RépWMe

MO$)= 3400Nm;M,(F2= 3400 c(Nm).

q a) Calculer le moment en B de la force Fde 2 kN appIiquée au point A. b) Même question en C et en D.

Réponse

MB=-832Nm;MD=O;Mc=332,8Nm.

Fig. 26

X

27

a)Calculer le momc snt en C de, la force T’et le moment en C de la force s: b) Déduire le moment résultant en C des deux forces.

Y -_--F-I”- _“”

Le rayon R d’enroulement de la+ courroie sur la poulie est de 100 mm, T et ?Schématisent les efforts de tension. Calculer le moment résultant en A des forces, en déduire le couple disponible sur l’arbre de transmission.

MA = - 80 Nm = couple disponible

-w *^,. . . . T izuaaiv 1

100

X

-

-

Fig. 27

q a) Déterminer le moment résultani 9 0 (Ma) exercé par le couple de forces F et -F. b) Calculer le moment en A, B et C. c) Quelle doit êtrela+valeur de T pour que le couple 1” et (-T) puisse équilibrer le couple précédent ?

M,=M,=M,=M,--5OONm;T=400N.

RépO?lSt?

500N

T

q Le couple transmis par l’arbre moteur au foret aléseur est C = 40 Nm. En déduire les efforts de coupe Ffexer- tés sur les trois lèvres du foret.

Fii. 28

q Les forces F’et T: appliquées en 1 et J, schématisent les actions exercées par d’autres roues dentées.9 Calculer le moment en 0 de la force F. b)‘À par- tir de auelle valeur la force yéquilibre- t-elle le couple moteur engendre par F?

Réponse

F-15000N

q Le couple moteur C transmis par l’arbre moteur est de 200 Nm. En déduire les efforts rexercés sur le croisillon du cardan.

Fig. 32

NOTION DE RÉSULTANTE

OBJECTIFS résultante et B Définir m Donner les méthodes permettant de déterminer la résultante

la notion de

indiquer

rôle

son

fondamental.

d’un système de plusieurs forces connues.

8 Donner le principe de réduction d’un ensemble de forces à un

système [force + couple).

indispensables aux réso-