Formules D(cid:19)eveloppement limit(cid:19)e
Un voisinage de x0 2 R (not(cid:19)e V (x0)) est tout intervalle ouvert contenant x0) ;
R = (cid:22)R [ f(cid:0)1; +1g
comparaisons et equivalences
Soient f et g deux fonction de(cid:12)nie sur D (cid:26) R et x0 2 (cid:22)R on dit que :
)
(
a) f est n(cid:19)egligable devant g (not(cid:19)e f =
x0
g) si
b) f est (cid:19)equivalent (cid:18)a g (not(cid:19)e f (cid:24)
x0
o(g)) si
(
lim
x!x0
lim
x!x0
( f
g ) = 0 ou f (x0) = 0
)
Publicité
( f
g ) = 1 ou f (x0) = g(x0)
D(cid:19)eriv(cid:19)ees succesives
On d(cid:19)e(cid:12)nit la pieme deriv(cid:19)ee de f :
{
f 0 = f
f p = (f p(cid:0)1)′
f 2 C n(I) (f de classe C n sur I) si f (p) est continue sur I pour tout p (cid:20) n
Theorem 0.1 Soient f; g n-fois d(cid:19)erivables en x0 alors f + g; (cid:11):f; f g sont n-fois
d(cid:19)erivables en x0 et on a :
a)
b)
c)
(f + g)(n)(x0) = f (n)(x0) + g(n)(x0)
((cid:11)f )(n)(x0) = (cid:11)f (n)(x0)
(f + g)(n)(x0) =
k=0 f (n(cid:0)k)(x0)g(k)(x0)
∑
n
Theorem 0.2 (Formule de Taylor-Lagrange) Soit f une fonction de classe C n(]a; b[)
tel que f (n+1) d(cid:19)e(cid:12)nie sur [a,b) alors il existe c 2]a; b[ tel que :
Publicité
(
f (b) =
f (a)+
f ′(a)
1!
(b(cid:0)a)+
f ′′(a)
2!
(b(cid:0)a)2+(cid:1) (cid:1) (cid:1)+
)
(b(cid:0)a)n
+
f (n)(a)
n!
f (n+1)(c)
(n + 1)!
(b(cid:0)a)(n+1)
Theorem 0.3 (Formule de Taylor-Young) Soit f une fonction de classe C n(I) et
I ∋ x0 alors 8x 2 I on a :
(
f (x) =
Publicité
f (x0)+
f ′(x0)
1!
f ′′(x0)
2!
f ′(0)
1!
Pn(x) est le d(cid:19)eveloppement limit(cid:19)e (cid:18)a l’ordre n de f en z(cid:19)ero.
f (n)(x0)
n!
f (n)(0)
n!
(x(cid:0)x0)+
(
(x(cid:0)x0)2+(cid:1) (cid:1) (cid:1)+
f ′′(0)
2!
x2+(cid:1) (cid:1) (cid:1)+
f (0)+
x+
xn
Publicité
si x=0, on a f (x) =
)
+o(x(cid:0)x0)n
(x(cid:0)x0)n
)
+o(xn) = Pn(x)+o(xn)
Application :
ex = 1 + x + x2
2! + (cid:1) (cid:1) (cid:1) + xn
n! + o(xn);
(lim
x!0
( sin x)
x = 1) (lim
x!0
( 1(cid:0)cos x)
x2 = 1
2