FORMULAIRE POUR LA THÉORIE DU SIGNAL

• αk = 1

λkk

+

∞k=1 αkψk(t),

hx, ψki = 1

λkk

• λkk = hψk, ψki = kψkk2 =

t2

t1 |x(t)|2dt =

•

R

P

R

+

∞k=1 |αk|2λkk.

t2

t1 x(t)ψ∗k(t)dt,

R

t2

t1 |ψk(t)|2dt,

4.5. Développement en séries de Fourier (DSF) dans L2(t1, t1+

T )

On utilise ψk(t) = exp

j2π k

T t

.

(cid:0)

+

∞k=1 αk exp

(cid:1)

j2π k

T t

,

| exp

(cid:0)

j2π k

T t

(cid:1)

|2dt = T ,

hx, exp

(cid:0)

j2π k

T t

(cid:1)

i = 1

T

(cid:0)

(cid:1)

• x(t) =

• λkk =

P

t1+T

t1

R

• αk = 1

λkk

j2π k

dt.

T t

(cid:1)

t1+T

t1

R

x(t) exp

−

(cid:0)

5. TRANSFORMÉES DE FOURIER

5.1. Transformée de fonctions sommables

Pour des fonctions x(t) bornées et absolument sommables

(

|x(t)|dt < +∞), on définit la transformée de Fourier (TF),

R

notée X(f ) :

x(t) ⇋ X(f ) =

+

∞

Z

−∞

x(t) exp(−j2πf t)dt.

De même, étant donnée X(f ), on peut calculer x(t) par trans-

formée de Fourier inverse :

X(f ) ⇌ x(t) =

+

∞

Z

−∞

X(f ) exp(+j2πf t)df.

5.2. Notations

On notera

• x(t) ⇋ X(f ),

• X(f ) = F{x(t)} : transformée de Fourier,

• x(t) = F −

1{X(f )} : transformée de Fourier inverse.

5.3. Propriétés

• La TF est linéaire : ax(t) + by(t) ⇋ aX(f ) + bY (f )

• La TF conserve la parité.

• Si la fonction x(t) est réelle (imaginaire, resp.)

paire, X(f ) est imaginaire (réelle, resp.) impaire.

im-

5.4. Règles de calculs

Soit une fonction x(t), telle que x(t) ⇋ X(f ).

• x(−t) ⇋ X(−f ) : retournement temporel,

• x∗(t) ⇋ X ∗(−f ) : complexe conjuguée,

• x(at) ⇋ |a|−

1X(f /a) : effet Doppler,

• x(t − t0) ⇋ X(f ) exp(−j2πf t0) : translation tem-

porelle,

• x(t) exp(j2πf0t) ⇋ X(f −f0) : translation en fréquence

ou modulation,

• dn

dtn x(t) ⇋ (j2πf )nX(f ) : dérivation sur t.

Soient deux fonctions x(t) et y(t), telles que x(t) ⇋ X(f ) et

y(t) ⇋ Y (f ), on montre le Théorème de Plancherel :

• x(t) ∗ y(t) ⇋ X(f )Y (f ),

• x(t)y(t) ⇋ X(f ) ∗ Y (f ).

5.5. Transformées de Fourier de quelques signaux usuels

• rect(t/T ) ⇋ T sinc(f T ) : fonction rectangle,

• tri(t/T ) ⇋ T sinc2(f T ) : fonction triangle,

5.8.2. Transformées de Fourier

Les transformées de Fourier de signaux périodiques sont des

spectres de raies, aux fréquences n/∆, dont l’enveloppe spec-

trale est la transformée de Fourier d’une période du signal di-

visée par la période ∆.

• X(f ) =

dessus,

P

+

∞n=

−∞

• Y (f ) =

dessus.

P

+

∞n=

−∞

Xnδ(f − n/∆), avec Xn défini ci-

Ynδ(f − n/∆), avec Yn défini ci-

• exp(−at)ǫ(t) ⇋ 1

a+j2πf :

impulsion exponentielle

5.8.3. Transformées de signaux périodiques usuels

unilatérale,

• exp(−a|t|) ⇋

double,

2a

a2+(2πf )2 :

impulsion exponentielle

• cos(2πf0t) ⇋ 1

2 [δ(f + f0) + δ(f − f0)] : signal cosi-

nusoïdal,

• exp(−πt2) ⇋ exp(−πf 2) : impulsion gaussienne,

• sin(2πf0t) ⇋ j

2 [δ(f + f0) − δ(f − f0)] : signal sinu-

soïdal,

• exp(−at) sin(2πf0t)ǫ(t) ⇋

soïde amortie,

2πf0

(a+j2πf )2+(2πf0)2 : sinu-

• exp(j2πf0t) ⇋ δ(f − f0) : phaseur à la fréquence f0,

• exp(−at) cos(2πf0t)ǫ(t) ⇋

nusoïde amortie.

a+j2πf0

(a+j2πf )2+(2πf0)2 : cosi-

5.6. Transformées de Fourier de distributions

•

• ǫ(t) ⇋ 1

j2πf + δ(f )

2

: échelon unité,

• sgn(t) ⇋ 1

jπf : fonction signe,

• δ(t) ⇋ 1 : impulsion de Dirac,

• k ⇋ kδ(f ) : constante.

5.7. Transformée de Fourier de signaux à moyenne non

nulle

• Soit x(t) = ¯x + x0(t) où ¯x est la moyenne de x(t), on

a F{x(t)} = F {

′

0(t)

x

j2πf + ¯xδ(f ),

}

• ǫ(t) ⇋ 1

2 δ(f ) + 1

j2πf ,

• sgn(t) ⇋ 1

jπf .

•

k δ(t−k∆) ⇋ 1

∆

n δ(f −n/∆) : peigne de Dirac,

P

• δ∆(t) ⇋ 1

tions abrégées,

P

∆ δ1/∆(f ) : peigne de Dirac avec les nota-

+

∞n=

Xn exp(j2πnt/∆) ⇋

signal x(t) périodique,

P

−∞

+

∞n=

−∞

P

Xnδ(f −n/∆):

• Arep∆{rect(t/θ} ⇋

Aθ

∆ sinc(nθ/∆).

P

+

∞n=

−∞

Xnδ(f −n/∆) avec Xn =

6. CORRÉLATIONS ET DENSITÉS SPECTRALES

6.1. Signaux à énergie finie

6.1.1. Auto- et inter-corrélation

• Auto-corrélation : Γxx(τ ) =

R

• Inter-corrélation : Γxy(τ ) =

R

+

∞

−∞

+

∞

−∞

x(t)x∗(t − τ )dt,

x(t)y∗(t − τ )dt.

6.1.2. Relation entre corrélation et convolution

• Γxy(τ ) = x(τ ) ∗ y∗(−τ ).

5.8. Transformées de Fourier de signaux périodiques

6.1.3. Propriétés des fonctions de corrélation

Soient deux signaux x(t) et y(t), périodiques de même péri-

ode ∆.

5.8.1. Développement en séries de Fourier (DSF)

Les signaux étant périodiques, si les conditions de Diriclet

sont satisfaites, on peut calculer les DSF de x(t) et y(t) :

• x(t) =

+

∞n=

avec Xn = [

P

−∞

Xn exp(j2πnt/∆),

+∆/2

∆/2 x(t) exp(−j2πnt/∆)dt]/∆,

• y(t) =

Yn exp(j2πnt/∆),

avec Yn = [

P

−∞

+∆/2

∆/2 y(t) exp(−j2πnt/∆)dt]/∆.

−

R

+

∞n=

−

R

• Symétrie hermitienne :

◦ Γxy(τ ) = Γ∗yx(−τ ),

◦ Γxx(τ ) = Γ∗xx(−τ ),

• Bornes

◦ Cas général : |Γxy(τ )|2 ≤ Γxx(0)Γyy(0),

◦ Pour x(t) = y(t) : |Γxx(τ )| ≤ Γxx(0),

◦ Γxx(0) ∈ R est l’énergie du signal.

• Dans le cas de signaux réels, la fonction d’autocorrélation

est paire et maximale en 0, où Γxx(0) est l’énergie du

signal.

6.1.4. Densité spectrale d’énergie

• Γxx(τ ) ⇋ Sxx(f ) =

Γxx(τ ) exp(−j2πf τ )dτ ,

R

• Sxx(f ) = |X(f )|2 : densité spectrale d’énergie,

• Γxy(τ ) ⇋ Sxy(f ) =

Γxy(τ ) exp(−j2πf τ )dτ :

densité inter-spectrale d’énergie,

+

∞

−∞

+

∞

−∞

R

• Sxy(f ) = X(f )Y (f )∗,

6.1.5. Relations de Parseval

x(t)y∗(t)dt =

X(f )Y ∗(f )df ,

+

∞

−∞

+

R

•

•

∞

−∞

R

0,

Γxy(0) =

+

∞

−∞

R

+

∞

−∞

R

Sxx(f )df : énergie du signal.

+

∞

−∞

R

|x(t)|2dt =

|X(f )|2df , ou, pour le cas τ =

6.1.6. Dérivation de la fonction de corrélation

• dΓxy(τ )

dτ = Γx′y(τ ) = −Γxy′ (τ )

6.2. Signaux à puissance moyenne finie

6.2.1. Fonctions de corrélation

• Γxx(τ ) = limT

corrélation,

→∞

• Γxy(τ ) = limT

corrélation.

→∞

1

T

1

T

+T /2

T /2 x(t)x∗(t − τ )dt : auto-

−

R

+T /2

T /2 x(t)y∗(t − τ )dt : inter-

−

R

6.2.2. Densités spectrale et interspectrale de puissance

• Sxx(f ) = F{Γxx(τ )} : densité spectrale de puissance,

• Sxy(f ) = F{Γxy(τ )} : densité inter-spectrale de puis-

sance,

• Sxx(f ) = limT

X(f, T ) = F{x(t, T )} = F{rect(t/T )x(t)}.

1

T |X(f, T )|2, avec

→∞

6.2.3. Relation de Parseval

• Px = Γxx(0) =

Sxx(f ).

+

∞

−∞

R

6.3. Signaux périodiques

• Inter-corrélation

◦ Γxy(τ ) = 1

∆

+∆/2

∆/2 x(t)y∗(t − τ )dt,

−

t0+∆

t0

x(t)y∗(t − τ )dt,

R

◦ Γxy(τ ) = 1

∆

◦ Γxy(τ ) =

R

+

∞n=

isant le DSF de x(t) et y(t).

−∞

P

XnY ∗n exp(j2πnτ /∆), en util-

6.3.2. Densités spectrale et inter-spectrale de puissance

Les densités spectrale et inter-spectrale de puissance sont les

transformées de Fourier de fonctions périodiques de périodes

∆. On obtient donc des spectres de raies, aux fréquences

k/∆, dont l’enveloppe spectrale est la transformée de Fourier

d’une période de la fonction de corrélation divisée par la péri-

ode ∆.

• Densité spectrale

◦ Sxx(f ) =

+

∞n=

|Xn|2δ(f − n/∆), en util-

−∞

isant le DSF de x(t),

P

∆2 |X(f, ∆)|2δ1/∆(f ), avec

X(f, ∆) = F{x(t, ∆)} = F{rect((t)/∆)x(t)}.

◦ Sxx(f ) = 1

• Densité inter-spectrale

◦ Sxy(f ) =

+

∞n=

XnY ∗n δ(f − n/∆), en util-

−∞

isant le DSF de x(t),

P

◦ Sxy(f ) = 1

∆2 X(f, ∆)Y ∗(f, ∆)δ1/∆(f ), avec

X(f, ∆) = F{x(t, ∆)} = F{rect((t)/∆)x(t)}

et Y (f, ∆) = F{y(t, ∆)} = F{rect((t)/∆)y(t)}.

6.3.3. Relations de Parseval

• Px = Γxx(0) =

+

∞

−∞

R

Sxx(f )df =

+

∞n=

−∞

|Xn|2.

P

7. SIGNAUX ALÉATOIRES

7.1. Variables aléatoires

7.1.1. Densités de probabilité

On note pX (u) la densité d’une variable aléatoire (VA) X.

• Si X et Y sont deux VA indépendantes, la densité de la

VA Z = X + Y est : pZ(u) = (pX ∗ py)(u),

Soient deux signaux x(t) et y(t), périodiques de même péri-

ode ∆.

• Si Y = f (X), avec f inversible,

pY (u) = pX (f −

1(u))/|f ′(f −

1(u))|

6.3.1. Fonctions de corrélation

7.1.2. Moments

Les auto et inter-corrélations sont périodiques de période ∆,

et on peut les calculer par intégration sur une période ∆.

• Auto-corrélation

◦ Γxx(τ ) = 1

∆

◦ Γxx(τ ) = 1

∆

◦ Γxx(τ ) =

R

+

∞n=

isant le DSF de x(t).

P

−∞

+∆/2

∆/2 x(t)x∗(t − τ )dt,

−

t0+∆

t0

x(t)x∗(t − τ )dt,

R

|Xn|2 exp(j2πnτ /∆), en util-

Moyenne d’une VA continue ou discrète

+

• µ1 = E[X] =

• µ1 = E[X] =

R

upX (u)du,

∞

−∞

i uiPr(X = ui).

P

Moment d’ordre k d’une VA continue ou discrète

• µk = E[X k] =

• µk = E[X k] =

R

+

∞

−∞

i uk

ukpX (u)du,

i Pr(X = ui).

P

Moment centré d’ordre k d’une VA continue ou discrète

7.3. Auto-corrélation

• µ′k = E[(X − µ1)k] =

• µ′k = E[(X − µ1)k] =

R

(u − µ1)kpX (u)du,

∞

−∞

i(ui − µ1)kPr(X = ui).

+

P

Variance : c’est le moment centré d’ordre 2. On la note

fréquemment σ2 plutôt que µ′2.

• σ2 = µ′2 = E[(X − µ1)2] =

• σ2 = µ′2 = E[(X −µ1)2] =

R

(u − µ1)2pX (u)du,

∞

−∞

i(ui−µ1)2Pr(X = ui).

+

Relation entre variance et moments d’ordre 1 et 2

P

• σ2 = E[(X − µ1)2] = E[X 2] − E[X]2 = µ2 − µ2

1.

7.1.3. Distributions de quelques lois usuelles

• Pr(k) = C k

npk(1 − p)n

−

k : loi Binomiale, de la VA

somme de n VA binaires, avec p = Pr(X = x1) et

1 − p = Pr(X = x0),

• Pr(n) = an

n! exp(−a) :

a > 0,

loi de Poisson de paramètre

• p(u) = 1

− (u

−

2σ2

moyenne m et de variance σ2, notée N (m, σ2).

√2πσ

exp

m)

(cid:16)

(cid:17)

:

loi gaussienne de

2

7.2. Vecteurs aléatoires

7.2.1. Densités de probabilité

On note pX(u1, . . . , un) la densité d’un vecteur aléatoire (VcA)

X de dimension n.

Soit Y = f (X), avec f inversible. On note f −

mation inverse, |Jf −1| son jacobien et (f −

i de la transformation f −

1 la transfor-

1)i la composante

1 :

• pY(u1, . . . , un) =

pX((f −

1)1(u1), . . . , (f −

1)n(un))|Jf −1|.

Dans le cas d’une transformation linéaire Y = AX où A est

une matrice régulière et u = (u1, . . . , un)T :

• pY(u1, . . . , un) =

1u)| det A−

pX(A−

1|.

Dans le cas de la somme Z = X + Y de deux variables

aléatoires, la densité pZ(u) vaut :

• pZ(u) =

pXY (x, u − x)dx,

R

• pZ(u) =

pX (x)pY (u − x)dx = (pX ∗ pY )(u), si X

et Y sont des VA indépendantes.

R

7.2.2. Théorème de la limite centrale

Théorème 7.2.1 La distribution statistique d’une somme de

n variables aléatoires indépendantes, possédant la même loi

tend asymptotiquement vers une distribution gaussienne quelle

que soit la distribution des termes individuels.

On note de façon générale Xi = x(ti) la VA associée au

processus aléatoire x(t) pour t = ti.

7.3.1. Auto-corrélation statistique

Cas général

• RXX (t1, t2) = E[X1X2] =

x1x2p(x1, x2)dx1dx2.

Cas d’un signal stationnaire, en notant τ = t1 − t2

R R

• RXX (τ ) = E[X(t)X(t−τ )] =

x1x2p(x1, x2)dx1dx2.

Les VA sont orthogonales ssi RXX (τ ) = 0.

R R

7.3.2. Auto-covariance statistique

C’est l’auto-corrélation des processus aléatoires centrés. On

la note CXX (τ ).

Cas général

• CXX (t1, t2) = E[(X1 − E(X1))(X2 − E(X2))]

(x1 − E(X1))(x2 − E(X2))p(x1, x2)dx1dx2

=

= RXX (t1, t2) − E(X1)E(X2).

R R

Cas d’un signal stationnaire, en notant τ = t1 − t2

• CXX (τ ) = E[(X(t) − E(X))(X(t − τ ) − E(X))]

x1x2p(x1, x2)dx1dx2

=

= RXX (τ ) − E(X)2.

R R

Les VA sont non corrélées ssi CXX (τ ) = 0.

7.3.3. Cas de processus ergodiques et stationnaires

Dans ce cas, on peut remplacer les moyennes statistiques par

des moyennes temporelles, car on a asymptotiquement :

• RXX (τ ) = limT

→∞

1

T

R

T /2

T /2 x(t)x(t−τ )dt = ΓXX (τ ).

−

7.3.4. Coefficient de corrélation

Par définition, c’est l’auto-covariance normalisée, notée ρX (τ ) :

• ρX (τ ) = CXX (τ )

CXX (0) = CXX (τ )

σ2

X

.

7.3.5. Propriétés pour les signaux réels

Les fonction d’auto-corrélation et d’auto-covariance ont les

propriétés intéressantes pour des processus aléatoires réels.

De plus, en τ = 0, on a les relations énergétiques.

• elles sont paires,

• le maximum est atteint en τ = 0 :

◦ |CXX (τ )| ≤ CXX (0)

◦ |RXX (τ )| ≤ RXX (0)

◦ CXX (0) = σ2

X ,

◦ RXX (0) = σ2

X + µ2

X .

7.4. Densité spectrale de puissance (DSP)

• RXY (τ ) = E[X(t)Y (t − τ )] (cas stationnaire).

Pour un processus aléatoire x(t), on ne peut pas calculer di-

rectement la transformée de Fourier, puisque x(t) ne peut pas

être décrit. Par conséquent, on ne peut pas calculer directe-

ment sa DSP. On peut en revanche calculer sa fonction d’auto-

corrélation par une moyenne statistique ou temporelle, et en

déduire sa DSP en appliquant le théorème ci-dessous.

et d’inter-covariance :

• CXY (t1, t2) = E[(X(t1) − µX )(Y (t2) − µY )]

= RXY (t1, t2) − E[X(t1))E(Y (t2)] (cas général),

• CXY (τ ) = E[(X(t) − µX )(Y (t − τ ) − µY )]

= RXY (τ ) − µX µY (cas stationnaire).

7.4.1. Théorème de Wiener-Kintchine

Le théorème de Wiener-Kintchine établit le lien entre la fonc-

tion d’auto-corrélation et la DSP pour des signaux aléatoires.

7.5.2. Coefficient d’inter-corrélation

Le coefficient d’inter-corrélation est défini par :

Théorème 7.4.1 La DSP d’un processus aléatoire station-

naire au sens large est le transformée de Fourier de sa fonc-

tion d’auto-corrélation :

• ρXY (τ ) = CXY (τ )

σX σY

.

7.5.3. Densité inter-spectrale

RXX (τ ) exp(−j2πf τ )dτ.

La densité inter-spectrale de puissance est la transformée de

Fourier de la fonction d’inter-corrélation :

SXX (f ) =

+

∞

Z

−∞

7.4.2. Conséquence

Si on connaît la DSP SXX (f ) d’un processus aléatoire x(t),

on peut déduire la fonction d’auto-corrélation par transformée

de Fourier inverse :

RXX (τ ) =

+

∞

Z

−∞

SXX (f ) exp(j2πf τ )df.

On peut aussi l’exprimer en fonction de l’auto-covariance, car

RXX (τ ) = CXX (τ ) + µ2

X :

• SXY (f ) = F{RXY (τ )}.

7.5.4. Cohérence

• γXY (f ) = |

2

SXY (f )

SXX (f )SY Y (f ) .

|

La cohérence est proche de 1 si les signaux x(t) et y(t) sont

liés par une relation linéaire (filtre). Dans le cas d’une relation

non linéaire ou en présence d’un bruit additif, la cohérence

devient très inférieure à 1.

SXX (f ) = F{CXX (τ )} + µ2

X δ(f ).

8. FILTRES LINÉAIRES INVARIANTS

En τ = 0, on a :

• RXX (0) = PX =

SXX (f )df .

On considère un filtre de réponse impulsionnelle g(t) et en

fréquence G(f ), dont les signaux d’entrée et de sortie sont

x(t) et y(t), respectivement.

+

∞

−∞

R

Si le processus est aussi ergodique, on a

• RXX (0) = limT

→∞

SXX (f )df .

=

+

∞

−∞

R

1

T

T /2

T /2 |x(t)|2dt

−

R

7.4.3. Bruit blanc

Définition 7.4.2 On appelle bruit blanc un processus aléa-

toire b(t) dont la densité spectrale de puissance est constante,

∀f :

SBB(f ) = η/2.

Par transformée de Fourier inverse, on déduit la fonction d’auto-

corrélation d’un bruit blanc b(t) :

RBB(τ ) = F −

1{SXX (f )} = δ(τ )η/2.

7.5. Inter-corrélation et densité inter-spectrale

7.5.1. Inter-corrélation et inter-covariance

On définit les fonctions d’inter-corrélation :

• RXY (t1, t2) = E[X(t1)Y (t2)] (cas général)

• Y (f ) = G(f )X(f ) = X(f )G(f ),

• y(t) = (g ∗ x)(t) = (x ∗ g)(t).

Pour une cascade de filtres, on a g(t) = (g1 ∗ g2 ∗ . . . ∗ gn)(t)

ou, en fréquence, G(f ) = G1(f )G2(f ) . . . Gn(f ).

8.1. Formule des interférences

On considère deux filtres de réponses impulsionnelles g1(t) et

g2(t) et de réponses en fréquence (TF) G1(f ) et G2(f ), dont

les signaux d’entrée sont x1(t) et x2(t), et de sortie y1(t) et

y2(t).

• SY1Y2 (f ) = SX1X2(f )G1(f )G∗2(f ).

8.2. Relation entrée-sortie des DSP

En conséquence de la formule des interférences, on a pour les

DSP :

• SY Y (f ) = |G(f )|2SXX (f ),

• SY X (f ) = G(f )SXX (f ).

8.3. Relation entrée-sortie entre corrélations

9.2. Opérateur de moyenne temporelle

En conséquence des formules entre DSP, par transformée de

Fourier inverse, on a pour les auto-corrélations :

• RY Y (τ ) = Γgg(τ ) ∗ RXX (τ ) pour des signaux aléa-

toires, et

• ΓY Y (τ ) = Γgg(τ ) ∗ ΓXX (τ ) si les signaux sont er-

godiques, ou certains à puissance moyenne finie ou à

énergie finie (attention aux définitions de Γ).

et pour les inter-corrélations :

• g(t) = rect((t − T /2)/T ),

• G(f ) = sinc(T f ) exp(−jπf T ),

• µy = G(0)µX = µX (moyenne),

• Γgg(τ ) = tri(τ /T )/T (auto-corrélation).

9.3. Opérateur de filtrage passe-bas idéal

Le filtre causal de largeur de bande B n’étant pas réalisable,

on décale g(t) de t0.

• RY X (τ ) = g(τ ) ∗ RXX (τ ), pour des signaux aléa-

toires, et

• G(f ) = rect[f /(2B)] exp(−j2πf t0),

avec |G(f )| = rect[f /(2B)] et φ(G(f )) = −2πf t0,

• ΓY X (τ ) = g(τ )∗ΓXX (τ ) si les signaux sont ergodiques,

ou certains à puissance moyenne finie ou à énergie finie

(attention aux définitions de Γ).

• g(t) = 2Bsinc[2B(t − t0)],

• Γgg(τ ) = 2Bsinc[2Bτ ] (auto-corrélation).

8.4. Statistiques en sortie d’un opérateur de filtrage

On considère y(t) = (g ∗ x)(t). Les statistiques de y(t) sup-

posé stationnaire et ergodique sont :

• µY = µX G(0) (moyenne),

• PY = RY Y (0)

=

=

RXX (τ )Γgg(τ )dτ

SXX (f )|G(f )|2df (moment d’ordre 2),

R

R

Y = CY Y (0) = PY − µ2

• σ2

X

=

CXX (τ )Γgg(τ )dτ (variance)

R

• SY X (f ) = G(f )SXX (f ) (auto-corrélation).

8.4.1. Filtre passe-bas sans perte

G(0) = 1 et la moyenne en sortie : µY = µX .

8.4.2. Filtre passe-haut

G(0) = 0 et la moyenne en sortie µY = 0.

8.4.3. Signal d’entrée blanc, centré et de DSP η/2

moyenne en sortie : µY = 0,

auto-corrélation de l’entrée : ΓXX (τ ) = δ(τ )η/2,

auto-corrélation en sortie : RY Y (τ ) = Γgg(τ )η/2,

variance : σ2

Y = Γgg(0)η/2.

9.4. Opérateur de filtrage passe-bande idéal

Le filtre causal de largeur de bande B, centré sur les fréquences

±f0 n’étant pas réalisable, on décale g(t) de t0.

• G(f ) =

rect[f /B] exp(−j2πf t0) ∗ [δ(f − f0) + δ(f + f0)],

avec |G(f )| = rect[f /(2B)] et φ(G(f )) = −2πf t0,

• g(t) = 2Bsinc[2B(t − t0)] cos(2πf0t),

• Γgg(τ ) = 2Bsinc[Bτ ] cos(2πf0τ ) (auto-corrélation).

10. FILTRE ADAPTÉ

Problème : concevoir un filtre h(t) qui détecte un signal x(t)

connu dans une observation bruitée, x(t) + n(t), où n(t) est

un bruit de DSP SN N (f ), avec le meilleur rapport signal/bruit

au temps t0. On note y(t) = (x + n) ∗ h(t) la sortie du filtre

h(t).

Le filtre optimal est le filtre adapté (au signal x(t)) :

H(f ) = k

X ∗(f )

SN N (f )

exp(−j2πf t0),

(1)

avec le rapport S/B :

S

B (cid:17)

(cid:16)

+

∞

2

=

Z

|X(f )|2

SN N (f )

df.

(2)

−∞

Dans le cas où le bruit n(t) est un bruit blanc de DSP égale à

N0 :

9. AUTRES OPÉRATEURS

ou, dans le domaine temporel :

H(f ) = k′X ∗(f ) exp(−j2πf t0),

9.1. Opérateur de retard t0

• g(t) = δ(t − t0),

• G(f ) = exp(−j2πf t0), soit |G(f )| = 1

et φ(G(f )) = −2πf t0 (phase linéaire),

h(t) = k′x∗(t0 − t),

avec le rapport S/B :

2

S

B (cid:17)

(cid:16)

=

1

N0 Z

+

∞

−∞

|X(f )|2df.

(3)

(4)

(5)

• Γgg(τ ) = δ(τ ) (auto-corrélation).

Pour un signal x(t) réel, on a simplement h(t) = k′x(t0 − t).