FORMULAIRE FOURIER
Soit h ∈ L1 (R) . On a:
F(h)(y) =
(cid:1)
e−
2iπxyh(x)dx et F(h)(y) =
e2iπxyh(x)dx.
(cid:1)
+
(cid:1)
Fh(y) = 0 (Riemann Lebesgue),
= |Fh|2, lim
y
|
|→
∞
(h))(p)(y)
xph(x)dx = (
F
2iπ)p
(
−
h ∗ σh
F
(cid:2)
(cid:3)
, mp (f ∗ g) =
mp(h) =
Si h et Fh ∈ L1(R) on a (cid:5)h(cid:5)2 = (cid:5)Fh(cid:5)2, FF(h) = h pp et FF(h) = h partout
où h est continue.
Si h est C1par morceaux, avec des discontinuités de 1ére espéce en a0, ..., an et
si h et h′ ∈ L1 (R) alors on a pour tout t réel:
p mk(f )mp
−
k=0 Ck
p
(cid:4)
k(g).
limR
+
R
R Ff (x)e2iπtxdx = h(t+0)+h(t
2
−
0)
.
→
∞ (cid:1)
Si f et g ∈ L1 (R) alors Ff = Fg ⇒ f = g pp.
On a le tableau suivant et on renvoie au cours pour les conditions d’applica-
−
tions.
h
σh
Publicité
h
σh
e2iπaxh
dilah
f ∗ g
xkh
h(k)
f g
τ ah
Fh
σFh
Fh
F h
τ aFh
1
dil 1
a
|
Ff Fg
2iπ)k (Fh)(k)
(
−
(2iπy)kFh
F f ∗ Fg
2iπayFh(y)
Fh
e−
1
a
|
F(h)
σFh
Fh
σFh
τ aFh
1
dil 1
a
|
|
Ff Fg
(k)
Fh
(cid:3)
Fh
1
(2iπ)k (cid:2)
(−2iπy)kFh
Ff ∗ Fg
e2iπayFh(y)
a
f
Πa = χ[−
Ff
Publicité
sin(πay)
πy
a
2 ]
2 , a
sin2 at
t2
t
a
| (a > 0)
e−
|
at2 (a > 0)
e−
t
(cid:5)1 − 2 |
|a (cid:6) 1[−
2 ]
2 , a
at1R+ (a > 0)
e−
1
1+t2
sin t
t
a
t
|a (cid:6) 1[−
a
π ]
π , a
πa (cid:5)1 − π |
2a
a2+4π2y2
π2
a y2
π
a e−
(cid:7)
2 sin2 πay
2
π2ay2
1
a+2iπy
2π
πe−
πdil 1
y
|
|
Π
π
FORMULAIRE FOURIER GENERAL
icxyh(x)dx et Fh(y) = b
Publicité
Soit h ∈ L1 (R) . On a:
e−
F(h)(y) = a
vérifiant 2πab = |c| .
h ∗ σh
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
= |Fh|2, lim
y
|
F
.
Si h et Fh ∈ L1(R) on a (cid:5)h(cid:5)2 = b
|→
∞
+
partout ou h est continue.
eicxyh(x)dx où a, b, c sont des réels
(cid:1)
Fh(y) = 0 (Riemann Lebesgue),
a (cid:5)F h(cid:5)2, FF(h) = h pp et FF(h) = h
Si f et g ∈ L1 (R) alors Ff = Fg ⇒ f = g pp.
On a le tableau suivant et on renvoie au cours pour les conditions d’applica-
tions.
h
σh
h
σh
eicαxh
dilαh
f ∗ g
xkh
h(k)
f g
τ αh
Fh
h
σ
(cid:8)
a
b Fh
F h
αFh
α
τ
−
1
Fh
dil 1
α
|
|
1
Publicité
aFf Fg
1
ic)k Fh(k)
(
−
(icy)kFh
bFf ∗ Fg
icαyFh(y)
e−
Fh
σFh
b
aFh
σFh
τ αFh
1
Fh
dil 1
α
|
|
1
b Ff Fhg
1
(ic)k Fh(k)
(−icy)kFh
aFg ∗ Fhg
eicαyFh(y)
α
D’une maniére générale les transformées les plus utilisées sont données par le
tableau suivant:
a
1
1
√2π
1
√2π(cid:2)
b
1
1
√2π
1
√2π(cid:2)
domaines
c
2π signal, électronique
1
1
(cid:2) mécanique quantique
physique
Le formulaire le plus simple s’obtient avec le premier cas.
2