Université Pierre et Marie Curie
Master EF 1ère année - CAPES
2011 - 2012
Formulaire de trigonométrie
1 Fonctions trigonométriques
On définit les fonctions cos, sin et tan par les formules
eix
= Re(eix), sin(x) =
cos(x) =
eix + e−ix
2
e−ix
−
2i
= Im(eix) et tan(x) =
sin(x)
cos(x)
(on rappelle que ez est défini pour tout nombre complexe z comme la somme
∞
n=0
n
z
n! ). On a notamment
eix = cos(x) + i sin(x).
P
On définit le nombre π/2 comme le plus petit réel positif x tel que cos(x) = 0.
Les fonctions cos et sin sont de classe
1, 1].
−
dans R.
La fonction tan est de classe
}
Les fonctions trigonométriques satisfont les propriétés suivantes, qui se vérifient simplement sur le cercle
trigonométrique.
∞ et 2π-périodiques de R dans [
Z
∞ et π-périodique de R
π
2 + kπ, k
\ {
∈
C
C
•
•
•
•
•
sin(x) = sin(π
x) =
sin(π + x) =
−
x) =
−
cos(π
cos(x) = cos(
−
tan(x) = tan(x + π) =
−
x) =
−
−
tan(
−
−
x) = sin(x) et donc sin( π
cos( π
2 −
x) =
tan(π
x) ;
−
x) = cos(x).
−
2 −
sin(
x) ;
−
−
cos(π + x) ;
cos2(x) + sin2(x) = 1, d’où l’on déduit
1
cos2(x) = 1 + tan2(x).
1
sin(x)
π-x
π+x
tan(x)
π/2-x
x
-x
1
cos(x)
On peut donner explicitement quelques valeurs remarquables :
cos(0) = 1 ; cos
π
6 (cid:17)
(cid:16)
=
√3
Publicité
2
; cos
π
4 (cid:17)
(cid:16)
=
√2
2
; cos
π
3 (cid:17)
(cid:16)
=
1
2
; cos
π
2 (cid:17)
(cid:16)
= 0.
On en déduit
et
sin(0) = 0 ; sin
π
6 (cid:17)
(cid:16)
=
1
2
; sin
π
4 (cid:17)
(cid:16)
=
√2
2
tan(0) = 0 ; tan
π
6 (cid:17)
(cid:16)
=
1
√3
; tan
π
4 (cid:17)
(cid:16)
= 1 ; tan
π
3 (cid:17)
(cid:16)
=
√3
2
= √3 ; tan
; sin
π
2 (cid:17)
(cid:16)
; sin
π
3 (cid:17)
(cid:16)
π
2 (cid:17)
(cid:16)
= 1
= indéterminé.
2 Sommes et produits
Angle somme :
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) ;
cos(x + y) = cos(x) cos(y)
sin(x) sin(y) ;
tan(x + y) = tan(x)+tan(y)
−
1−tan(x) tan(y) ;
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) ;
cos(2x) = cos2(x)
sin2(x) ;
−
cos(2x) = 1
2 sin2(x) = 2 cos2(x)
tan(2x) = 2 tan(x)
−
1−tan2(x) .
1 ;
−
Produit en somme :
sin(x) cos(y) = 1
2 (sin(x + y) + sin(x
sin(x) sin(y) = 1
2 (cos(x
y)
−
−
cos(x) cos(y) = 1
2 (cos(x + y) + cos(x
y)).
−
y)) ;
Publicité
−
cos(x + y)) ;
Somme en produit :
sin(x) + sin(y) = 2 sin( x+y
cos(x)
−
cos(y) = 2 sin( x+y
cos(x) + cos(y) =
2 ) ;
2 ) cos( x−y
2 ) sin( x−y
2 ) ;
2 ) cos( x−y
2 );
tan(x) + tan(y) = sin(x+y)
2 cos( x+y
−
cos(x) cos(y) .
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Formules utilisant la tangente de l’arc moitié :
cos(x) = 1−tan
(x/2)
1+tan2(x/2) ;
2
sin(x) = 2 tan(x/2)
1+tan2(x/2) ;
tan(x) = 2 tan(x/2)
1−tan2(x/2) .
•
•
•
Ces dernières formules fournissent notamment une paramétrisation du cercle par des fractions rationnelles
γ(t) =
t2
1
1 + t2 ,
−
2t
1 + t2 (cid:19)
.
(cid:18)
On peut exprimer cos(nx) comme un polynôme en cos(x) :
cos(nx) = Tn(cos(x)), où T0 = 1, T1 = X, Tn+2 = 2XTn+1 −
Tn
(les Tn sont appelés polynômes de Tchebychev ).
Formule de De Moivre :
(cos(a) + i cos(b))n = cos(na) + i sin(na)
On peut linéariser les puissances de cos et sin, ainsi que leur produits :
cosn(x) =
n
eix + e−ix
2
(cid:18)
(cid:19)
=
sinn(x) =
eix
(cid:18)
e−ix
−
2i
n
(cid:19)
=
1
2in
2
n
Xk=0
1
2n
n
C k
n(
−
Xk=0
neix(2k−n),
C k
1)n−keix(2k−n).
3 Fonctions réciproques
π
−
1, 1] dans [
La fonction sin est bijective de tout intervalle de la forme [kπ
sa réciproque de [
La fonction cos est bijective de tout intervalle de la forme [kπ, (k + 1)π] dans [
réciproque de [
Publicité
La fonction tan est bijective de tout intervalle de la forme ]kπ
2 , π
réciproque de [
2 ].
Ces trois fonctions vérifient les formules suivantes :
1, 1] dans [0, π].
2 , kπ + π
1, 1] dans [
2 , π
2 ].
−
−
−
−
−
−
π
π
π
2 , kπ + π
2 ] dans [
1, 1]. On note arcsin
−
1, 1]. On note arccos sa
−
2 [ dans R. On note arctan sa
arccos(x) + arcsin(x) =
π
2
, arctan
1
x (cid:19)
(cid:18)
+ arctan(x) = signe(x)
π
2
.
arctan(x) + arctan(y) = arctan
(cid:18)
x + y
1
xy (cid:19)
−
+ kπ,
1 si xy > 1 et x < 0 ; k = 0 si xy < 1.
où k = 1 si xy > 1 et x > 0 ; k =
−
4 Dérivées
Les dérivée des fonctions trigonométriques sont données par
′
sin
(x) = cos(x), cos
′
(x) =
sin(x), tan(x) =
−
1
cos2(x)
= 1 + tan2(x),
′
arcsin
(x) =
1
√1
x2
, arccos
′
1
, arctan
′
(x) =
1
1 + x2 .
−
La fonction tan étant de la forme u
u , on a tan(x) = (ln
′
′
)
|
pour x
R
∈
\ {
π
2 + kπ, k
Z
.
}
∈
√1
(x) = −
−
cos(x)
x2
|
3