Projet de Physique P6-3
STPI/P6-3/2009 N 30
Nom des tudiants
Cl o DESGAGNY
Sophie JACQUIN
Meng Di SONG
Sarah MAYOT
Enseignant-responsable du projet
Benoit VIEILLE
Sujet n 30
Fonctionnement et
mod lisation d'un bol vibrant
pour le transport de
composants
1
2
Date de remise du rapport : 22/06/09
R f rence du projet : STPI/P6-3/2009 30
Intitul du projet : Fonctionnement et mod lisation d'un bol vibrant pour le transport de
composants
Type de projet : Calcul
Objectifs du projet :
M. Vieille et nous m me, avons fix s les objectifs suivant :
" Comprendre lint r t des bols vibrants ;
" Etudier les travaux r alis s sur les transporteurs vibrants lin aires gr ce aux
documents fournis par M. Vieille et comprendre leur fonctionnement ;
" Adapter les quations math matiques crites pour les transporteurs lin aires du bol
vibrant, c'est- -dire, r crire les quations math matiques d crivant une trajectoire
lin aire pour quelles d crivent une trajectoire h lico dale ;
" R criture du programme JAVA permettant de mod liser le bol vibrant sur
ordinateur ;
" Cr ation dune maquette de bol vibrant.
INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE ROUEN
D partement Sciences et Techniques Pour lIng nieur
BP 8 place Emile Blondel - 76131 Mont-Saint-Aignan - t l : 33 2 35 52 83 00 - fax : 33 2 35 52 83 69
TABLE DES MATIERES
Notations et acronymes .................................................................................................. 5
Introduction ................................................................................................................... 6
1. METHODOLOGIE ET ORGANISATION DU TRAVAIL ......................................... 7
1.1 Description de lorganisation adopt e pour le d roulement du travail
1.2 Organigramme des t ches r alis es et des tudiants concern s
2. TRAVAIL REALISE ET RESULTATS OBTENUE ....................................................... 9
2.1 Description dun bol vibrant ......................................................................... 9
2.1.1 Caract risation dun bol vibrant
2.1.2 Exemple dutilisation dans lindustrie
2.2 Mise en quation du mouvement de la piste et de la masse ..................... 11
2.2.1 Mise en quation du mouvement de la piste
2.2.1.1 Hypoth ses de calculs
2.2.1.2 Trajectoire de la piste
2.2.1.3 Acc l ration de la piste
2.2.2 Mise en quation du mouvement de la masse sur la piste .................. 14
2.2.2.1 Hypoth ses de calculs
2.2.2.2 Etape 1 : Repos relatif de la masse
2.2.2.3 Etape 2 : Glissement en avant de la masse sur la piste
2.2.2.4 Etape 3 : Saut de la masse
2.2.2.5 Etape 4 : Glissement en arri re de la masse sur la piste
2.3 Programmation Maple ............................................................................... 18
Conclusion ................................................................................................................. 22
Bibliographie .............................................................................................................. 23
Annexe ...................................................................................................................... 24
NOTATIONS, ACRONYMES
5
m
aa
ar
ae
ac
N
RT
ey
ex
t
A
p
Masse du composant
Acc l ration absolue de M dans
Acc l ration relative du point M : l'acc l ration de M dans R
Acc l ration d'entra nement : l'acc l ration qu'aurait le point M s'il tait fixe
(cid:1)(cid:2)
dans R
Acc l ration de Coriolis
Inclinaison de la piste du transporteur vibrant
R action normale la piste
R action tangentielle la piste
Coefficient de frottement
Vecteur unitaire selon l'ordonn e
Vecteur unitaire selon l'abscisse
Fr quence angulaire
Temps
Amplitude de l'excitation
Pas de lh lice.
Acc l rations de la masse suivant x, y et z
Vitesse de la masse suivant x, y et z
Coordonn es de la masse
(cid:3)(cid:4)(cid:5);
(cid:7)(cid:4)(cid:5); (cid:9)(cid:4)(cid:5)
(cid:3)(cid:10)(cid:5) ; (cid:7)(cid:10)(cid:5); (cid:9)(cid:10)(cid:5)
(cid:3)(cid:5); (cid:7)(cid:5); (cid:9)(cid:5)
Acc l rations de la piste suivant x, y et z
(cid:3)(cid:4)(cid:11) ; (cid:7)(cid:4)(cid:11); (cid:9)(cid:4)(cid:11)
Vitesse de la piste suivant x, y et z
(cid:3)(cid:10)(cid:11) ; (cid:7)(cid:10)(cid:11); (cid:9)(cid:10)(cid:11)
Coordonn es de la piste
(cid:3)(cid:11); (cid:7)(cid:11); (cid:9)(cid:11)
INTRODUCTION
6
Il existe deux grands types de transporteurs vibrants : le transporteur vibrant lin aire
et le bol vibrant. Ce dernier est une machine ayant la forme dun bol tr s utilis e dans le
milieu industriel. En effet, cette machine d tient de nombreux avantages pour augmenter la
productivit . Les raisons sont tr s simples : cette machine permet daligner des pi ces plus
ou moins volumineuses sur un rail pour les rediriger vers un autre centre de production.
Ainsi, en investissant dans ce type de transporteur, lentreprise conomise un co t de main
dSuvre non n gligeable.
Il est commercialis de nombreux type de bol vibrant comportant des caract ristiques
diff rentes : elles sont r pertori es selon le rayon du bol ; la hauteur du bol ; le diam tre du
rail ; la fr quence de rotation ; etc. En effet, suivant les besoins de lentreprise ; le bol vibrant
doit sadapter aux caract ristiques des composants transport s.
Le sujet qui nous a t attribu ; soit Le fonctionnement et la mod lisation d'un bol
vibrant pour le transport de composants tait inconnu de nous tous. Malgr nos
connaissances sommaires sur le bol vibrant, il a fallu tudier avec attention les documents
qui nous avaient t fournis.
Pour mener bien notre travail, nous avons dabord cherch d crire avec
exactitude le fonctionnement dun bol vibrant. Puis nous avons cherch tablir les
quations math matiques des mouvements du transporteur ainsi que de la masse qui se
d place sur celui-ci. Enfin, nous avons cr une programmation JAVA pour visualiser de
fa on claire les mouvements la fois du bol vibrant et de la masse.
Photographie dun bol vibrant.
7
1. METHODOLOGIE ET ORGANISATION DU TRAVAIL
1.1 Description de lorganisation adopt e pour le d roulement du travail
Organisation g n rale.
De mani re plus g n rale, ce projet a pour but de nous apprendre utiliser nos
connaissances et les ressources dont nous disposons afin de les appliquer un probl me
physique.
Cependant, comme nous lavons dit auparavant, le sujet qui nous a t attribu tait
inconnu de nous tous. Nous avons donc d tudier avec attention les documents qui nous
avaient t fournis. Soit une th se sur les transporteurs lin aires et les bols vibrants, ainsi
que le rapport de P6-3 datant de deux ans. La premi re t che de notre travail fut donc de
comprendre toutes les informations fournis par les documents. En effet, les documents tant
riche en informations plus ou moins complexes notre niveau, il a fallu traduire ces
informations pour quelles nous paraissent plus claires. Ceci explique pourquoi cette tape
fut la plus longue de notre projet.
Mr. Vieille nous a alors expliqu que notre travail serait la continuit de celui effectu
par le groupe d l ves ayant trait ce sujet il y a deux ans. D s lors, nous avons tudi ,
analys et critiqu leur travail afin de ladapter notre sujet.
Nous avons ainsi observ que la diff rence entre un transporteur lin aire et un bol
vibrant est la forme de la piste. En effet, la piste est rectiligne pour un transporteur lin aire et
h lico dal pour un bol vibrant. Apr s avoir compris le fonctionnement exact du bol vibrant,
nous avons commenc chercher les quations d crivant le mouvement de ce bol vibrant et
dune masse transport e par celle-ci. De plus, cette machine pouvant para tre abstrait, il
nous est tout de suite venu lid e de r aliser une maquette permettant de vulgariser le
fonctionnement de celle-ci. De la m me fa on, nous avons souhait reprendre le programme
informatique cr par le groupe pr c dent, en ladaptant notre sujet, afin de mod liser le
mouvement du bol.
Mise en place de la r partition des t ches au sein du groupe.
Dans un premier temps, nous avons d cid tous ensembles de la fa on dont nous
allions organiser notre travail. Pour commencer, nous avons s par notre groupe en 2
bin mes : le premier avait pour objectif de comprendre le fonctionnement du bol vibrant afin
de pouvoir lexpliquer lautre bin me ; le deuxi me avait pour objectif de d chiffrer le
programme informatique cr par le groupe pr c dent. Dans un second temps, nous avons
travaill toutes de notre c t : deux dentre nous ont continu travailler sur les quations,
une autre sest occup e du programme informatique et la derni re de la maquette. Pour finir
nous avons reform deux bin mes : un soccupait de la maquette et lautre du dossier.
Pour lorganisation des s ances, chaque d but de celles-ci, nous discutions des
r alisations, de lavanc de nos travaux, et des probl mes rencontr s. De l chacune pouvait
donner des conseils aux autres afin de faciliter le travail. A la fin dune s ance, nous
r sumions le travail effectu et nous d cidions de nouveaux objectifs pour la s ance
suivante.
1.2 Organigramme des t ches r alis es et des tudiants concern s
8
Groupe entier
Cl o et Sophie
Sophie
Cl o
Meng Di et Sarah
Meng Di
Sarah
Transport de
composants par bol
vibrant
Transporteur lin aire
avec & sans excitation
sinuso dale
Analyse et
compr hension du
programme JAVA
Bol vibrant
Mise en place des
quations
math matiques
R alisation maquette
Equations du
mouvement de la
Publicité
piste h lico dale
Equations du
mouvement de la
masse
Programmation
informatique : JAVA et
Maple
9
2. TRAVAIL REALISE ET RESULTATS OBTENUS
2.1. Description dun bol vibrant
2.1.1.
Caract ristiques dun bol vibrant
Le bol vibrant est un syst me dalimentation de pi ces , permettant de mener des
pi ces pr alablement stock es en vrac jusquau poste de travail o elles sont n cessaires.
Cest une machine dutilit courante dans lindustrie car elle est lun des syst mes les plus
performants pour r aliser lalimentation des postes de travail de fa on automatique.
Rappelons que cette capacit un impact important sur lefficacit du syst me de
production. En effet, la productivit est directement li e la rapidit dalimentation en pi ces
qui permet la r duction des temps improductifs et du coup de main dSuvre.
Les bols vibrants sont dailleurs utilis s dans un tous les domaines de production
industrielle car ils permettent le transport dune grande quantit de mat riaux ; que se soit de
la poudre, des grains, des pi ces rigides ou d formables.
Description dun bol vibrant.
Un bol vibrant est compos de quatre parties principales: La base, la cuve, trois
ensembles de ressorts et une ou des bobines.
Sch ma descriptif du bol vibrant.
La base est un l ment lourd souvent muni de pieds en caoutchouc afin d viter la
propagation des vibrations aux quipements proches du bol. Cest sur cette base que le
syst me repose.
Les pi ces distribuer sont stock es dans la cuve puis montent le long de la piste
(ou des pistes) h lico dale(s) situ es le long de cette cuve. Des obstacles sont plac s en
10
certains endroits de la piste afin de rejeter les pi ces qui nont pas la bonne forme ou sont
mal orient es. Il arrive aussi que ce tri seffectue la sortie du bol par des dispositifs
m caniques. Cette cuve est rigide. En effet elle et g n ralement fabriqu e soit en acier
soud , soit en aluminium moul ou encore en plastique rigide.
Les ensembles de ressorts lames inclin es servent maintenir la cuve une
certaine distance de la base. Ils sont au minimum trois et sont encastr s intervalles
r guliers le long de la circonf rence de la cuve.
Les bobines lectromagn tiques ont pour r le dinduire le mouvement vibratoire. Ces
bobines sont li es la base. Lorsquelles re oivent du courant lectrique, il se cr e un
champ magn tique qui va attirer une plaque li e la cuve. On obtient ainsi un mouvement
p riodique dattraction et de r pulsion de la plaque qui d pend de la fr quence et de
lamplitude de la tension dalimentation. Cette plaque tant li e la cuve ; il sensuit un
fl chissement des ressorts qui provoque un mouvement simultan ment vertical et de torsion
de lensemble autour de laxe vertical de la cuve.
2.1.2.
Exemple dutilisation dans lindustrie
Les secteurs dactivit dans lequel le bol vibrant est utilis est tr s vaste. Parmi ceux-
ci on peut citer : laudio visuel, la bijouterie, le contr le, l lectrom nager, l lectronique,
l quipement automobiles, lhorlogerie, la lunetterie, le m dical, le pharmaceutique, la
m canique, la plasturgie ou encore le textile.
Caract ristiques techniques dun bol vibrant.
Selon les fournisseurs, les caract ristiques des bols vibrants sont diff rentes. Par
exemple ; sur le site de vente de IDEATEC ; on peut obtenir des bols vibrants de divers
gabarit ; forme et mat riaux :
" Rayon : de 120mm 2 500mm ;
" Forme : cylindriques, gradins, coniques ;
" Mat riaux : acier, inox, polyamide, r sine.
Alimentation automatique de corps de seringues
pour l'industrie pharmaceutique. Cuve en t le inox
poli avec rev tement par bande polyur thane
conforme aux normes m dicales et alimentaire.
Alimentation de pompes de parfums pour la
cosm tique.
11
2.2 Mise en quation du mouvement de la piste et de la masse
2.2.1 Mise en quation du mouvement de la piste
2.2.1.1
Hypoth ses de calculs
" L quation dune piste ayant une trajectoire de type bol est tr s difficile
mod liser. Ainsi, pour rendre les calculs plus simples, et donc notre port e ; nous
avons consid r la piste comme ayant une trajectoire h lico dale.
Hypoth se r alis e concernant la forme du bol vibrant.
Donc, dans nos calculs, on consid rera non pas un bol, mais un cylindre de rayon
constant. Ainsi, on peut poser R=constant.
" On consid rera un pas P constant.
" On consid rera la vitesse de la piste sous cette forme :
Vitesse de la piste. Acc l ration de la piste.
2.2.1.2
Trajectoire de la piste
Pour tudier la trajectoire de la piste, on utilisera les coordonn es cylindriques
illustr es par le sch ma suivant :
12
Soit les r f rentiels :
R f rentiel galil en not
:
{(cid:13)(cid:14) ;(cid:15)(cid:16)(cid:17) (cid:13)(cid:18) ;(cid:15)(cid:16)(cid:17) (cid:13)(cid:19)}(cid:15)(cid:17)
R f rentiel cylindrique not R :
(cid:1)(cid:2)
{(cid:13)(cid:21);(cid:15)(cid:16)(cid:17) (cid:13)(cid:22);(cid:15)(cid:17) (cid:13)(cid:19)}(cid:15)(cid:17)
Soit l quation dune piste h lico dale :
Dans
:
(cid:1)(cid:2)
(cid:3) = (cid:1). (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:7) = (cid:1). (cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:29)
(cid:11).(cid:22)
!
Avec p le pas de lh lice et
(cid:9) =
(cid:23)
(cid:29) = #$
Caract risation de lh lice : la tangente en chaque point de lh lice fait un angle constant
avec laxe du cylindre.
Ainsi, on a :
(cid:3)($) = (cid:1). cos (#$)
(cid:7)($) = (cid:1). sin (#$)
%
(cid:9)($) =
-. #$
2/
"
"
Avec
=
!
0
avec T la p riode pour faire un tour de lh lice ; on obtient :
13
Pour obtenir la vitesse de la piste, il suffit de d river les composantes en x, y et z :
4(cid:3)($) = (cid:1). cos (
2
(cid:7)($) = (cid:1). sin (
2/$
5
2/$
5
)
)
(cid:9)($) =
-. $
5
6(cid:3)
6$
= (cid:1). sin (#$)
6(cid:7)
6$
= (cid:1)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(#$)
6(cid:9)
6$
= 0
3
2
1
4
2
3
2
1
2.2.1.3
Acc l ration de la piste
Calcul de lacc l ration de la piste :
Soit M un point de la piste et O le point de coordonn es O(0,0,0)
do
On sait que :
alors lacc l ration s crit :
9: = (cid:1). ;<
=>?
=@ = (cid:1)(cid:29)(cid:10). ;(cid:29)
A(:|(cid:1)) = (cid:1)(cid:29)(cid:10)
. ;< + (cid:1)(cid:29)(cid:4) . ;(cid:29)
Par changement de r f rentiel, on a :
Ur = cos
. Ux + sin
. Uy
U
= cos
. Uy sin
. Ux
On obtient alors :
(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29) (cid:1)(cid:29)(cid:4) (cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:29)
(cid:3)(cid:4)(cid:11)HI@J = (cid:1)(cid:29)(cid:10)
(cid:10) (cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:29) + (cid:1)(cid:29)(cid:4) (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
(cid:7)(cid:4)(cid:11)HI@J = (cid:1)(cid:29)
%
or
(cid:29)(cid:4) = 0
(cid:9)(cid:4)(cid:11)HI@J = 0
(cid:23)
(cid:3)(cid:10)(cid:11)HI@J = (cid:1)#. sin(#$) + (cid:3)(cid:10)(cid:2)(cid:11)HI@J
(cid:7)(cid:10)(cid:11)HI@J = (cid:1)#. cos(#$) + (cid:7)(cid:10)(cid:2)(cid:11)HI@J
(cid:9)(cid:10)(cid:11)HI@J = (cid:9)(cid:10)(cid:2)(cid:11)HI@J
Par int gration, on a :
(cid:23)
(cid:3)(cid:11)HI@J = (cid:1). cos(#$) + (cid:3)(cid:10)(cid:2)(cid:11)HI@J. $ + (cid:3)(cid:2)(cid:11)HI@J
(cid:7)(cid:11)HI@J = (cid:1). sin(#$) + (cid:7)(cid:10)(cid:2)(cid:11)HI@J. $ + (cid:7)(cid:2)(cid:11)HI@J
(cid:9)(cid:11)HI@J = (cid:9)(cid:10)(cid:2)(cid:11)HI@J. $ + (cid:9)(cid:2)(cid:11)HI@J
Publicité
"
"
"
"
"
On obtient les conditions initiales en consid rant qu t=0, M est situ en O et la
masse na pas de vitesse, do :
14
(cid:3)(cid:10)(cid:2)(cid:11)HI@J = 0
(cid:7)(cid:10)(cid:2)(cid:11)HI@J = 0
(cid:9)(cid:10)(cid:2)(cid:11)HI@J = 0
(cid:23)
et
(cid:23)
(cid:3)(cid:2)(cid:11)HI@J = 0
(cid:7)(cid:2)(cid:11)HI@J = 0
(cid:9)(cid:2)(cid:11)HI@J = 0
On obtient alors l quation suivante :
KLMNOP = Q. RST(UO)
VLMNOP = Q. TWX(UO)
YLMNOP = Z
(cid:23)
2.2.2
Mise en quation du mouvement de la masse sur la piste
2.2.2.1
Hypoth ses de calculs
" On consid re que la masse a un mouvement qui seffectue en 4 grandes tapes pour
une p riode T. Soit :
(cid:1) 1 re tape : La masse est en repos relatif. C'est- -dire que la masse
suit la piste. Dans cette tape, les deux acc l rations sont donc
identiques, soit :
(cid:1) 2 me tape : La masse effectue un glissement en avant. C'est- -dire
que celle-ci reste sur la piste mais son acc l ration devient plus
importante que cette derni re. Dans cette tape, on a donc :
(cid:1) 3 me tape : La masse effectue un saut. C'est- -dire quelle d colle
de la piste. La masse nest donc pas en contact avec la piste durant
cette tape, son acc l ration devient donc ind pendante de celle de la
piste.
(cid:1) 4 me tape : La masse effectue un glissement en arri re. Cette tape
est assimil e la 2 me tape, mis part que le sens des forces de
frottements est invers .
NB : Dans la pratique, les industriels tentent de r duire cette tape sur
la p riode la plus courte possible. En effet, ce glissement en arri re est
un frein lefficacit du bol vibrant puisquil retarde son ascension vers
le haut de la piste.
Cest pourquoi, nous consid rerons cette tape dans nos calculs mais
pas dans notre programmation Maple et Java.
NB : Pour cette partie, le d tail des calculs permettant dobtenir les diff rentes
quations se trouve dans lannexe ; c'est- -dire au paragraphe 5.
"
"
"
15
2.2.2.2
Etape 1 : Repos relatif
Pendant cette tape, lacc l ration de la piste est gale lacc l ration de la masse.
Par cons quent, on connait directement lacc l ration de la masse (lacc l ration de la piste
ayant d j t calcul e en 2.2.1.3). Il nous suffira donc dint grer cette expression pour
obtenir l quation de la masse.
On consid rera cette tape sur une dur e :
$ [ 0 ;
0
] ]
D termination des forces appliqu es sur la masse :
Sch ma r capitulatif des forces exerc es sur la masse pendant la 1 re tape.
Bilan des forces :
%
(cid:1)
_(cid:27)(cid:30)6(cid:28) 6 _
A(cid:26)$(cid:30)(cid:27)(cid:31) 6a bA -(cid:30)(cid:28)$a: d<
(cid:1)
d(cid:27)<(cid:26)a(cid:28) 6a e<(cid:27)$$afa(cid:31)$: d$
A(cid:26)$(cid:30)(cid:27)(cid:31) 6g h(cid:27)<6 6a bA -(cid:30)(cid:28)$a: d$
$A
Dans ce qui suit, on consid re que la force de Coriolis compense la force exerc e par les
bords de la piste, soit :
(cid:15)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:17) jno(cid:21)HopHI q
j@k
(cid:15)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:17) (cid:2)r
@l m
"
On sait que :
16
dans la base cylindrique R.
l q(cid:15)(cid:17) s
Avec R=cst, en projetant dans R0 et par int grations successives, on obtient l quation du
<(cid:4) <(cid:29)
2<(cid:10)(cid:29)(cid:10) + <(cid:29)(cid:4)
(cid:9)(cid:4)
mouvement de la masse pour
$ [ 0 ;
0
] ]
(cid:23)
Ktu = Q. RST(UO)
Vtu = Q. TWX(UO)
Ytu = Z
pour
$ [ 0 ;
0
] ]
2.2.2.3
Etape 2 : Glissement en avant de la masse sur la piste
Dans cette tape, la masse glisse sur la piste. Dans ce cas, lacc l ration de la piste
nest plus gale lacc l ration de la masse. Donc, afin dobtenir les quations relatives
cette tape, il faut faire le bilan des forces pour en d duire lacc l ration de la masse.
On consid rera cette tape sur une dur e :
0
] ;
0
]
$ [
Bilan des forces :
4
2
(cid:1)
3
2
1
_(cid:27)(cid:30)6(cid:28) 6 _
(cid:1)
A(cid:26)$(cid:30)(cid:27)(cid:31) 6a bA -(cid:30)(cid:28)$a: d<
d(cid:27)<(cid:26)a(cid:28) 6a e<(cid:27)$$afa(cid:31)$: d$
A(cid:26)$(cid:30)(cid:27)(cid:31) 6g h(cid:27)<6 6a bA -(cid:30)(cid:28)$a: d$
2
$A
d(cid:27)<(cid:26)a 6
(cid:30)(cid:31)a<$(cid:30)a: d(cid:30)a
Sch ma r capitulatif des forces exerc es sur la masse pendant la 2 me tape.
(cid:10)
"
"
"
Avec
17
4
2
d< = v. a(cid:9)
d$ = xv. a(cid:7)
_ = fy. ;(cid:9)
=
=@
z
Et avec
=
=@
z
>{
z = (cid:3)(cid:4)-(cid:30)(cid:28)$a. ;(cid:3) + (cid:7)(cid:4)-(cid:30)(cid:28)$a . ;(cid:7) + (cid:9)(cid:4)-(cid:30)(cid:28)$a . ;(cid:9)
3
2
Ae= acc l ration dentrainement, c'est- -dire lacc l ration de la piste (calcul e en 2.2.1.3)
1
d(cid:30)a = f. Aa = f.
>{
z
| d = f. }fA(cid:28)(cid:28)a
_ + d< + d$ + d$
$A d(cid:30)a d(cid:30)(cid:26) = f. }fA(cid:28)(cid:28)a
2
(cid:27)< d$
$A d(cid:30)(cid:26) = 0
(cid:27)
(cid:27)(cid:31) A 6
6
_ + d< + d$ d(cid:30)a = f. }fA(cid:28)(cid:28)a
Par projection dans
et avec deux int grations successives, on obtient l quation pour le
second mouvement de celle-ci pour
(cid:1)(cid:2)
$ [
:
0
]
0
] ;
~(cid:127) = (cid:129) RST( ) (cid:129). TWX
&
! . + (cid:129). RST (
&
)
(cid:127) =
Publicité
0
(cid:127)
( TWX` 9RST`) (cid:129) TWX( ) + (cid:129). RST (
R(cid:127) =
(cid:141)
+
(RST` 9TWX`)
u
0
(cid:127)
&
). + (cid:129). TWX(
&
)
4
2
3
2
1
2.2.2.4
Etape 3 : Saut de la masse
Durant cette tape, la masse quitte la piste. On consid rera cette tape sur une
dur e :
$ [
0
; 5 ]
La seule force exerc e sur la masse est donc celle li e son poids, on a donc le sch ma
suivant:
Sch ma r capitulatif des forces exerc es sur la masse pendant la 3 me tape.
"
"
Apr s deux int grations successives, on obtient l quation de la masse lors du 3 me
18
mouvement pour
$ [
:
0
; 5 ]
4 Kt} = (cid:143)(cid:129). TWX
2
2
2
2
Vt} = (cid:143)
t
3
2
2
2
2
1
2.2.2.5
Yt} = (cid:143)
&
! (cid:129). TWX
&
!(cid:144) . (cid:129). RST
&
!
&
(cid:129). RST
&
! + (cid:129). RS T
&
!
(NM "N) QU. RST
! + QU RST
U
!(cid:144) . O +
t
(NM "N)
U
Q TWX
U
! +
Q
U. RST
U
! + Q. TWX (
U
)
" +
t
u
Etape 4 : Glissement en arri re de la masse sur la piste
(N "NM)(cid:144) . O
u
"
+
(N "NM)
t
Idem glissement avant.
4 Kt} = (cid:143)(cid:129). TWX
2
2
2
2
Vt} = (cid:143)
t
&
! (cid:129). TWX
&
!(cid:144) . (cid:129). RST
&
!
&
(cid:129). RST
&
! + (cid:129). RS T
&
!
(NM "N) QU. RST
! + QU RST
U
!(cid:144) . O +
t
(NM "N)
U
3
2
2
2
2
1
Q TWX
U
! +
Q
U. RST
U
! + Q. TWX (
U
)
Yt} = (cid:143)
u
" +
t
(N "NM)(cid:144) . O
"
+
u
t
(N "NM)
2.3 Mod lisation des quations sur Maple
Afin de repr senter les quations obtenues dans le paragraphe pr c dent, nous les
avons trac es gr ce au logiciel Maple.
Ainsi, nous avons dabord trac chaque courbe individuellement, c'est- -dire une
courbe pour chaque tape. Par la suite, nous avons cherch rassembler lensemble de ces
courbes sur un m me graphique qui repr sentera le mouvement de la masse. Pour cela,
Publicité
nous avons divis notre courbe en trois intervalles de temps. La seule chose qui restait alors
faire, tait de rassembler toutes les courbes sur un m me rep re.
Alors, nous avons pu repr senter les trois premi res tapes du mouvement de la
masse sur un m me graphique.
"
"
Courbe finale obtenue :
19
Courbe repr sentant la trajectoire de la masse pendant les trois premi res tapes.
Sur le chemin A - D:
A B : 1 re tape : repos relatif de la masse sur la piste.
B C : 2 me tape : glissement avant de la masse sur la piste.
C D : 3 me tape : saut de la masse.
D E : 4 me tape : glissement en arri re de la masse sur la piste (n glig e).
Comme on peut le constater sur la courbe ci-dessus :
A correspond aux coordonn es de la masse en
;
B correspond aux coordonn es de la masse en
;
$ = 0
0
]
$ =
C correspond aux coordonn es de la masse en
E correspond aux coordonn es de la masse en
$ =
;
0
.
$ = 5
20
Cependant, cette courbe est critiquer. En effet, cette derni re nest pas coh rente ni
avec nos quations, ni avec les faits exp rimentaux.
" 1 re incoh rence
Si la masse suit le trajet de A vers D ; on observe que celle-ci perd de
laltitude (cf : courbe dans le plan (x,z) ci-dessous). Or, lobjectif du bol vibrant
est de provoquer un mouvement de la masse vers le haut de la piste.
Courbe finale dans le plan (x,y) permettant dobserver la forme de la trajectoire.
" 2 me incoh rence.
Si on observe un bol vibrant, il est vident que la masse une
trajectoire ascendante et h lico dale. En effet, tant donn que la masse suit
la piste du bol vibrant, son mouvement doit tre un h lico de. Or, dapr s notre
courbe finale, la trajectoire est loin d tre un h lico de (cf : courbe dans le plan
(x,y) ci-dessous).
Courbe finale dans le plan (x,y) permettant dobserver la forme de la trajectoire.
21
Il est vident que notre courbe finale nest pas coh rente. Cependant, il est tr s
difficile dobtenir une courbe exacte pour diff rentes raisons :
" Le choix des variables
En effet, nous avons choisi la valeur de toutes les constantes pr sentent dans
les quations. Nous pensions nous aider de la th se sur les transporteurs vibrants
que nous avait pr t s M.VIEILLE, cependant, aucunes donn es pr cises sur les
constantes ny apparaissaient. Par cons quent, les valeurs que nous avons prises
peuvent tre une source derreur quant la r alit de nos courbes.
" Le choix des intervalles de temps
En effet, nous avons choisi titre approximatif , la dur e des intervalles
pour chaque tape. Cependant, il sav re que nos estimations ne sont pas en
accords
exp rimentaux.
avec
faits
les
De plus, Lorsque lon observe les courbes individuellement (c'est- -dire pour
chaque tape) ; on remarque une diff rence de forme avec celle d sir e. Par
exemple, pour la premi re tape, la courbe individuelle (cf Annexe 3.) repr sente une
portion de cercle du type x + y = R. Or, lorsque lon observe cette tape sur la
courbe finale (cf : ci-dessus) ; la courbe correspond plus une portion de droite qu
un cercle.
Conclusion
22
Notre travail dans cet UV fut principalement de comprendre le fonctionnement dun
bol vibrant. Nous avons donc pour cela, tudi ses nombreuses caract ristiques ; tablit ses
quations de mouvement et mod lis ces derni res par une programmation JAVA. Nous
pensons donc avoir atteint lobjectif principal de notre projet cest dire rendre le
fonctionnement du bol vibrant clair pour tout le monde sans oublier laspect math matique du
projet ( quations de mouvement).
De plus, ce projet fut diff rent des projets que lon a pu r aliser auparavant. En effet,
la majeure diff rence est tr s simple : nous ne connaissions pas les personnes avec qui
nous allions effectuer notre travail. Effectivement, dans tous nos projets ant rieurs, nous
choisissions nous-m mes avec qui nous voulions travailler. Ce ne fut pas le cas cette fois-ci.
Nous avons donc d nous adapter pour construire un travail organis . Ainsi, il a t tr s
important de bien r partir les t ches au sein du groupe et de faire part aux autres membres
du groupe du travail effectu . Cest pourquoi, en d but de s ance, nous nous informions sur
le travail effectu par chacun pendant la semaine, et en fin de s ance ; nous r partissions de
nouvelles t ches chacun des membres du groupe.
Enfin, ce projet peut tre d velopp ult rieurement pour approfondir notre r flexion.
En effet, nous avons fait de nombreuses hypoth ses. La principale tant de consid rer non
pas la piste du bol vibrant comme tant une piste en forme de bol mais comme tant une
piste h lico dale. Ainsi, l tude peut donc tre reprise en supprimant cette hypoth se non
n gligeable. Les r sultats obtenus seront donc encore plus proches de la r alit que ceux
obtenus dans ce dossier. Ce dernier lib re donc de nombreuses pistes pour une tude
ant rieure.
Bibliographie
Joao Carlos Mendes CARVALHO, Transporteurs vibrants d placement impos :
Mod lisation et applications, Th se soutenue le 11 juillet 1991.
Lien internet commerciaux :
" Artechic :
(cid:1) http://www.artechnic.com/francais/gener/index.php?corps=IDmenu6&chem=C
H6&PHPSESSID=7eb1e9c5089d3e56999df5c65d8e2522
Valide la date du 7/06/2009
" Ermap Vibrations :
(cid:1) http://www.bol-vibrant.fr/pages/fram_fiche.htm
Valide la date du 7/06/2009
"
Ideatec :
(cid:1) http://www.ideatec.fr/orientation.php
(cid:1) http://www.directindustry.fr/prod/ideatec/bol-vibrant-25693-137378.html
Valides la date du 7/06/2009
Annexe
24
1) D tails de l laboration des quations de mouvement de la masse
Etape 1 : Repos relatif de la masse
Pendant cette tape, lacc l ration de la piste est gale lacc l ration de la masse.
Par cons quent, on connait directement lacc l ration de la masse (lacc l ration de la piste
ayant d j t calcul e en 2.2.1.3). Il nous suffira donc dint grer cette expression pour
obtenir l quation de la masse.
On consid rera cette tape sur une dur e :
0
] ]
D termination des forces appliqu es sur la masse :
$ [ 0 ;
Sch ma r capitulatif des forces exerc es sur la masse pendant la 1 re tape.
Bilan des forces :
%
(cid:1)
_(cid:27)(cid:30)6(cid:28) 6 _
(cid:1)
A(cid:26)$(cid:30)(cid:27)(cid:31) 6a bA -(cid:30)(cid:28)$a: d<
d(cid:27)<(cid:26)a(cid:28) 6a e<(cid:27)$$afa(cid:31)$: d$
A(cid:26)$(cid:30)(cid:27)(cid:31) 6g h(cid:27)<6 6a bA -(cid:30)(cid:28)$a: d$
$A
"
Dans ce qui suit, on consid re que la force de Coriolis compense la force exerc e par
les bords de la piste, soit :
25
(cid:15)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:17) jno(cid:21)HopHI q
j@k
(cid:15)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:16)(cid:17) (cid:2)r
@l m
On sait que :
dans la base cylindrique R.
l q(cid:15)(cid:17) s
<(cid:4) <(cid:29)
2<(cid:10)(cid:29)(cid:10) + <(cid:29)(cid:4)
(cid:9)(cid:4)
Or
<(cid:10) = 0
(cid:29)(cid:10) = # = (cid:26)(cid:28)$
s
(cid:9)(cid:10) = -# = (cid:26)(cid:28)$
do
l q(cid:15)(cid:17) s
<(cid:29)
0
0
dans la base cylindrique R.
Avec r = R = constant, et en changeant de r f rentiel gr ce la relation suivante :
On obtient dans le r f rentiel cart sien
Ur = cos
. Ux + sin
:
. Uy
. (cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)
. (cid:28)(cid:30)(cid:31)(cid:29)
(cid:3)(cid:4)(cid:5)a = (cid:1)#
(cid:7)(cid:4)(cid:5)a = (cid:1)#
(cid:9)(cid:4)(cid:5)a = 0
(cid:23)
(cid:1)(cid:2)
Par int gration :
(cid:23)
(cid:3)(cid:10)(cid:5)a = (cid:1)#. sin(#$) + (cid:3)(cid:10)(cid:5)a(cid:2)
(cid:7)(cid:10)(cid:5)a = (cid:1)#. cos(#$) + (cid:7)(cid:10)(cid:5)a(cid:2)
(cid:9)(cid:10)(cid:5)a = (cid:9)(cid:10)(cid:5)a(cid:2)
Par une seconde int gration :
(cid:23)
(cid:3)(cid:5)a = (cid:1). cos(#$) + (cid:3)(cid:10)(cid:5)a(cid:2). $ + (cid:3)(cid:5)a(cid:2)
(cid:7)(cid:5)a = (cid:1). sin(#$) + (cid:7)(cid:10)(cid:5)a(cid:2). $ + (cid:3)(cid:5)a(cid:2)
(cid:9)(cid:5)a = (cid:9)(cid:10)(cid:5)a(cid:2). $ + (cid:3)(cid:5)a(cid:2)
On obtient les conditions initiales en consid rant qu t=0, M est situ en O et la
masse na pas de vitesse, do :
et
(cid:3)(cid:10)(cid:5)a(cid:2) = 0
(cid:7)(cid:10)(cid:5)a(cid:2) = 0<...