Filtrage Linéaire des Signaux

Bande de transition

Causalité, phase :

La réponse d’un filtre idéal est infinie et donc non causale.

Pour rendre le filtre réalisable, on peut choisir de le rendre causal : implantation en temps réel.

Si on choisit un filtre réalisable non causal, il est nécessaire de contrôler sa phase (en fonction de la fréquence)

En choisissant une phase linéaire, toutes les composantes fréquentielles sont retardées de manière identique

Filtres analogiques réalisables en pratique

9

 Pour synthétiser des filtres analogiques répondant à un gabarit on choisira parmi

un ensemble de filtres connus pour leurs propriétés en terme de pente

d’atténuation et d’ondulation dans la bande passante et atténuée.

 Exemples :

Filtres de Butterworth :

Coupure peu raide mais courbe d’affaiblissement régulière

Filtres de Tchebychev :

Raideur de coupure importante mais ondulations dans la bande passante ou atténuée

Filtre simple à mettre en œuvre

Filtres de Cauer :

Coupure extrêmement raide mais ondulations dans la bande passante et atténuée

Circuits plus complexes à réaliser

Filtrage numérique. Filtres numériques réalisables en pratique

10

 Objectifs du filtrage numérique

• Elaborer un système linéaire et invariant en temps possédant le réponse

fréquentielle souhaitée et se prêtant à une réalisation efficace sur calculateur

(DSP par exemple)

 Contrainte

• on ne peut obtenir qu’une réponse fréquentielle approchée

Il faut que le système soit stable et causal (si nécessaire)

•

le filtrage doit être réalisé avec un nombre fini d’opérations

•

 La transformée en z est un outil mathématique très utile pour la synthèse des

filtres numériques

 Formulation générale du filtrage numérique linéaire

les ak et bk sont les coefficients du filtre.

MkkNkkknxbknyany01

Filtrage numérique. Classification des filtres

11

 Classification des filtres :

• Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)

Forme générale RIF :

• Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)

Forme générale RII :

 Classification des réalisations:

• Réalisation transversale ou non récursive

• Réalisation récursive

• Réalisation par TF discrète

0MkkynbxnkMkkNkkknxbknyany01

Filtres numériques réalisables en pratique

12

 Etudes des filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)

Réponse impulsionnelle entièrement définie par une un nombre fini d’échantillons

Principales propriétés des filtres RIF :

• ces filtres sont toujours stables
• leur réponse fréquentielle peut présenter une phase linéaire
• la durée du régime transitoire est limitée à la durée de la réponse impulsionnelle
• pas de propagation des erreurs de calcul (programmation non récursive)
• faiblesse : pour améliorer les performances du filtre on peut être amené à

augmenter le nombre d’échantillons

3 principales méthodes de synthèse de filtres RIF :

Méthode des fenêtres

Méthode de l'échantillonnage en fréquence

Méthode de synthèse de filtre optimal (REMEZ)

Filtres numériques réalisables en pratique

13

 Synthèse d’un filtre RIF par la méthode des fenêtres

On part du filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure fc

1

-fc

fc

f

2fc

1/2fc

t

Filtre numérique : échantillonnage de la réponse impulsionnelle

Durée finie de la réponse impulsionnelle : nombre fini d’échantillons (L),

multiplication par une fenêtre

Causalité : décalage de (L-1)/2 échantillons (si nécessaire)

Mise en œuvre : fonction FIR1 avec Matlab par exemple

Filtres numériques réalisables en pratique

14

 Synthèse d’un filtre RIF par la méthode des fenêtres

Réponse du filtre idéal

1

-fc

fc

f

2fc

1/2fc

t

Echantillonnage de la

réponse impulsionnelle

Réponse du filtre

numérique réalisable

La phase dépendra du décalage éventuelle

pour rendre causal le filtre

Avec

pour limiter la durée à 2L+1 échantillons

1()()2sin(2)cchtTFHffcft()()cfHfrectf[]2sin(2)[]cchnfcfnwn[](/)wnrectnLsin()()()sin()cfLfGfrectffSynthèse des filtres RIF : méthode des fenêtres

15

G

Choix du nombre d’échantillons (impair) du filtre : amélioration des performances

G

G

G

Synthèse des filtres RIF : autres méthodes

16

 Autres méthodes de synthèse

•

Méthode de l’échantillonnage en fréquence

 La réponse fréquentielle est échantillonnée ,la réponse

impulsionnelle est obtenue par TF inverse

 Possibilité de définir des gabarits « personnalisés »

 Réalisation avec le fonction Matlab FIR2

•

Méthodes optimales

 La réponse impulsionnelle est synthétisée avec des méthodes d’optimisation

ayant comme critère la minimisation des oscillations et la raideur de la pente

de coupure

 Réalisation avec le fonction Matlab REMEZ

Filtrage numérique

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 Utilisation des filtres RIF dans le domaine temporel : convolution numérique

Soit le filtrage du signal numérique x[n] par le filtre de réponse impulsionnelle h[n]

Soit e[n] : x[0]=10, x[1]=7, x[2]=5, x[3]=12, x[4]=3, et x vaut 0 ailleurs

Et h[n] : h[-1]=1/3, h[0]=1/3, h[1]=1/3, et h vaut 0 ailleurs (filtre non causal)

Soit y le signal résultant du filtrage de x par h. y est obtenu par la convolution de x par h

Calcul de y[n]

kynxkhnk

 Résultat du filtrage de x par h pour notre cas :

pour n de -1 à 5

Filtrage numérique

18

y : 1/3(10 17 22 24 20 15 3)

 Analyse fréquentielle :

40kynxkhnk Moyenneur : filtre numérique simple, moyenne glissante sur M points

Etude du filtre moyenneur

19

 Relation entrée-sortie

(filtre causal)

 Cas du moyenneur temporel sur 3 points :

Réponse impulsionnelle correspondante : h[n]= 1/3 pour n de 0 à 2, h[n]=0 ailleurs

 Réponse fréquentielle, TF de la réponse impulsionnelle :

H(f)

101MkynxnkM1()(12cos2)3Hff101MkhnnkM

Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter

20

 Filtrage du signal constitué de la somme d’une « rampe continue » et d’un

signal sinusoidal à la fréquence 1/8

 Comparaison du signal filtré avec un moyenneur sur 3 points et un moyenneur sur 7

points

Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter

21

 Exemple du filtrage d’une image.

 Le filtre sera appliqué successivement sur chaque ligne de l’image

 Exemple de la ligne n° 40. C’est un signal

Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter

22

 Exemple du filtrage de la ligne n° 40 par un filtre moyenneur causal sur 11 points

 Exemple du filtrage de la ligne n° 40 par un filtre moyenneur non causal sur 11 points

Noter le décalage spatial et l’amplitude du résultat

Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter

23

 Résultat sur l’image complète du filtrage par un filtre moyenneur non causal sur 11 points

• Le filtre a été appliqué d’abord sur les lignes puis sur les colonnes

• L’amplitude du résultat a été recalculée pour occuper toute l’échelle des niveaux de gris

Etude du filtre moyenneur, moyenne glissante, running average filter

24

 Comment éliminer une composante sinusoïdale de fréquence 1/11 superposée à l’image

• On applique un filtre moyenneur de 11 points sur les lignes

Image avant et après filtrage.

Noter la suppression de la composante sinus mais aussi l’élargissement des motifs

Détail d’une ligne

Filtres numériques réalisables en pratique

25

 Etudes des filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)

Forme générale :

Le problème est de trouver les coefficients du filtre ak et bk pour que le filtre soit causal et stable

et respecte au plus près le gabarit fréquentiel.

Spécificités des filtres RII

• peuvent être obtenus par transposition d'un filtre continu
• peuvent être obtenus avec un petit nombre de coefficients
• mise en œuvre récursive
• peuvent être instables
• la réponse fréquentielle peut présenter une phase non linéaire
• une bonne précision de calcul est nécessaire pour éviter la propagation des erreurs

Principales méthodes de synthèse de filtre IIR:

Transposition du filtre analogique en filtre numérique

Méthode de l'invariance impulsionnelle

Equivalence à la dérivation

Equivalence à l'intégration : transformation bilinéaire

MkkNkkknxbknyany01

Filtres numériques réalisables en pratique. Filtres RII

26

Exemple du filtre RII défini par son équation entrée-sortie :

Calcul de la réponse impulsionnelle :

calcul de la sortie lorsque l’entrée est un dirac [n]

on suppose que l’entrée est nulle avant l’instant de départ

on suppose que la sortie est nulle avant l’instant de départ

Résultat du calcul :

Avec u[n], l’échelon unité

La transformée en Z est très utile

pour ce calcul dans le cas général

0.815[]ynynxn5(0.8)[]nhnun

Filtres numériques réalisables en pratique. Filtres RII

27

Exemple du filtre RII défini par son équation entrée-sortie :

Calcul de la réponse du filtre pour le signal d’entrée x[n]

x[n] = 2[n] - 3 [n-1] +2 [n-3]

y[0] = 0.8y[-1]+5x[0] = 0.8(0) + 5(2) = 10

y[1] = 0.8y[0]+5x[1] = 0.8(10) + 5(-3) = -7

y[2] = 0.8y[1]+5x[2] = 0.8(-7) + 5(0) = -5,6

y[3] = 0.8y[2]+5x[3] = 0.8(5,6) + 5(2) = 5,52

y[4] = 0.8y[3]+5x[4] = 0.8(5,52) + 5(0) = 4,416

……….

Ensuite la sortie est proportionnelle à (0,8)n

Noter la possible propagation des erreurs de calcul

Noter le petit nombre de coefficients pour définir le filtre (2)

0.815[]ynynxn

Filtres numériques réalisables. Exemple du filtre passe-bas du 1er ordre

28

Filtre numérique équivalent au

filtre RC analogique passe bas :

Relation entrée-sortie de ce filtre linéaire

caractérisé par l’équation aux différences suivante :

On déduit la réponse impulsionnelle

par calcul de la réponse à [n] ou avec

la transformée en Z

Calcul de la réponse fréquentielle

TFtd ou propriétés de la TZ

1[]1ynaynxnaveca'nhnaunavecunléchelonunité21()1jfHfaeMise en œuvre des filtres numériques : structure récursive et non récursive

29

Structure non récursive

Adaptée aux filtres RIF

Structure récursive

Adaptée aux filtres RII et à

d’autres filtres pouvant être

formulés de manière récursive

30

Les fenêtres de pondération

Fenêtres de pondération

31

Pour traiter ou analyser un signal, on est amené à limiter sa durée.

La transformée de Fourier du signal 'tronqué' n'est alors qu'une approximation de la

transformée de Fourier du signal de départ.

Il est important de faire un choix raisonné de la fenêtre de pondération w(t) qui est

utilisée pour limiter la durée du signal.

 Modélisation

Dans le domaine temporel :

Devient dans le domaine fréquentiel :

La fenêtre qu’on utilise intuitivement est la fenêtre rectangulaire qui permet simplement

de garder les échantillons du signal sur une durée fixée sans modifier leur amplitude.

Le spectre du signal tronqué est donc convolué (en fréquence) par la TF du rectangle

c’est à dire un sinus cardinal

)()(twtxtxw)(*)(fWfXfXw

Fenêtres de pondération

32

 Analyse d’un signal sinus de fréquence 100Hz, échantillonné à 1000Hz

et limité à L=64 échantillons

Élargissement du pic théorique à cause

de la convolution par le sinus cardinal

En échelle log ::

0[]exp(2)(/)xnjfnrectnL0sin()()()*sin()LfXffffFenêtres de pondération

33

Paramètres fréquentiels caractéristiques des fenêtres de pondération:

• Largeur du lobe principal  résolution fréquentiel
• Amplitude du 1er lobe secondaire  résolution dynamique
• Pente de décroissance des lobes secondaires  résolution dynamique

Fenêtres de pondération

34

Diverses fenêtres ont été inventées dans le but de limiter les oscillations dans les

lobes secondaires et réduire la largeur du lobe principal

Fenêtres de Hamming généralisées:

Avec

=1 fenêtre rectangulaire

=0,54 fenêtre de Hamming

=0,5 fenêtre de hanning

Fenêtres triangulaire ou Bartlett

Fenêtre parabolique

Fenêtre cosinusoïdale

Fenêtre de Blackmann

Fenêtre de Kaiser

)2cos()1()(TtTtrecttwH)1(sinc)1(sinc2)1()(sincTfTfTTfTfWH

Comparaison des fenêtres de pondération

35

Comparaison des différentes

fenêtres de pondération

dans le domaine temporel

et le domaine fréquentiel

Comparaison des fenêtres de pondération

36

Analyse d’un signal constitué de la somme de 2 sinus échantillonnés à 4000Hz sur 200 points

Rectangle

Hamming