Fiabilité, Maintenabilité et Disponibilité

II.4 Composition des disponibilités asymptotiques

II.5 Composition des disponibilités opérationnelles

Références bibliographique

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Introduction Générale

L’exécution de la maintenance dans une entreprise industrielle est d’une importance capitale pour maintenir les équipements en état de bon fonctionnement. La maintenance, dans sa plus large définition, est l’ensemble de toutes les opérations de gestion, de programmation et d’exécution. Le calcul de la fiabilité d’un équipement constitue un outil incontournable pour évaluer l’efficacité de n’importe quelle entité. Les concepteurs et les utilisateurs sont souvent confrontés à des contraintes par pauvreté ou par manque de modèles permettant de faire des études prévisionnelles correctes. Le taux de défaillance est souvent considéré comme constant ce qui est manifestement faux en mécanique d’où l’intérêt d’outils, de modèles ou de méthodes plus adaptées. Le calcul de la fiabilité des systèmes mécaniques est influencé par les caractéristiques suivantes:

1. La notion du taux de défaillance n’existe pas 2. Le recueil des informations sur la fiabilité est plus difficile 3. Les défaillances ont des origines variées (la durée de vie des composants est principalement conditionnée par les problèmes de fatigue avec une forte influence des différentes contraintes.

4. Le système mécanique est de plus en plus performant et compliqué

Ainsi, le choix d’une loi de comportement du matériel (calcul de la fiabilité) devient une tache très compliquée. Le présent polycopié s’adresse aux étudiants master de l’option maitrise des risques industriels, poursuivant leur formation à la faculté des sciences de l’ingénieur. La conduite du calcul est conditionnée par le choix convenable d’une loi de fiabilité décrivant le comportement des différents composants constituants une entité. Le but de la maintenance c’est de mettre en œuvre les objectifs (coûts, délai, qualité, etc.) fixés par la direction de production en tenant compte des événements (perturbations, aléas, etc.) de l’environnement.

La stratégie de la maintenance est l’ensemble des décisions qui conduisent :

 à définir le portefeuille d’activités de la production de maintenance, c'est-à-dire, à décider des politiques de maintenance des matériels (méthodes correctives, préventives, amélioratives à appliquer à chaque matériel)

 et, conjointement, à organiser structurellement le système de conduite et les ressources productives pour y parvenir dans le cadre de la mission impartie (objectifs techniques, économiques et humains).

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Chapitre I : Concepts généraux de la Fiabilité

Chapitre II : Lois de Fiabilité

Chapitre III : Loi de Weibull

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Chapitre I : Concepts Généraux de la Fiabilité

I.1 Définition

La fiabilité caractérise l’aptitude d’un système ou d’un matériel à accomplir une fonction requise dans des conditions données pendant un intervalle de temps donné.

I.2 Fiabilité et problématique

La fiabilité a sans doute pris son développement depuis la dernière guerre mondiale. Elle est vite devenue une science à part entière dans les applications appartenant à de nombreux domaines. Elle a pour fondements mathématiques la statistique et le calcul des probabilités qui sont nécessaires à la compréhension et à l’analyse des données de fiabilité.

La défaillance (la non fiabilité) augmente les coûts d’après-vente (application des garanties, frais judiciaires,…etc.).

Construire plus fiable augmente les coûts de conception et de production, en pratique, le coût total d’un produit prend en compte ces deux tendances.

I.2.1. Fonction de fiabilité R(t) – Fonction de défaillance F(t)

Considérons un matériel dont on étudie la fiabilité. Soit Z la variable aléatoire qui à chaque matériel associe son temps de bon fonctionnement. On choisi un de ces matériels au hasard. Soit les événements A : « Le matériel est en état de bon fonctionnement à l’instant t » et B : « Le matériel est défaillant à l’instant t + » On a alors :

( ) ( ) et ( ) ( ) (I.1)

Donc ( ) ( )

= ( ) ( )

( ( )) ( ( ))

( ) ( )

On en déduit que ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

(I.2)

On appelle fonction de défaillance la fonction F définie pour tout t≥0

F(t)= P(T ≤ t)

Le nombre F(t) représente la probabilité qu’un dispositif choisi au hasard ait une défaillance avant l’instant t. La figure I.1 donne l’allure de cette fonction.

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Figure I.1. Fonction de défaillance

Cette fonction nous amène naturellement une fonction associée : la fonction de fiabilité R définie pour tout t ≥0 par : R(t)= 1-F(t). Le nombre R(t) représente la probabilité qu’un dispositif choisi au hasard dans la population n’ait pas de défaillance avant l’instant t. La figure I.2 montre les deux fonctions associées.

Figure I.2. Fonction associée

Le taux d’avarie moyen dans l’intervalle de temps [t, t+ ] est alors :

( ) ( )

( )

(I.3)

I.2.1.1. Taux de défaillance instantané

C’est la probabilité (0≤ R≤ 1) ; un produit doit accomplir de manière satisfaisante une fonction requise, sous des conditions données et pendant une période de temps donné.

L’écriture mathématique du taux de défaillance à l’instant t, noté 𝜆(t), défini sur est la suivante :

𝜆( )

(

( ) ( ) ( )

) ( )

8

Physiquement le terme 𝜆(t).△t, mesure la probabilité qu’une défaillance d’un dispositif se produise dans l’intervalle de temps [t, t+△t] sachant que ce dispositif a bien fonctionné jusqu’à l’instant t λ(t) =

(I.5)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=

( )

( )

où R est la fonction de fiabilité de ce matériel. On est alors amené à résoudre une équation différentielle du 1er ordre. En effet si λ est connu, la résolution de l’équation différentielle linéaire du 1er ordre :

( ) 𝜆( ) ( ) (I.6)

Donne la fonction de fiabilité R du matériel. On déduit alors la fonction de défaillance F qui est la fonction de répartition de la variable Z puis la densité de probabilité f de Z qui est la dérivée de F.

On alors : ( ) ∫ ( )

et ( ) ∫ ( )

(I.7)

I.3 Indicateurs de fiabilité (λ) et (MTBF) :

Précédemment le taux de défaillance 𝜆 a été défini par des expressions mathématiques a travers un calcul de probabilité. On peut également l’exprimé par une expression physique . Il caractérise la vitesse de variation de la fiabilité au cours du temps. La durée de bon fonctionnement est égale à la durée totale en service moins la durée des défaillances.

(I.8)

I.3.1 Temps moyen de bon fonctionnement :

Le MTBF (Mean Time Between Failure) est souvent traduit comme étant la moyenne des temps de bon fonctionnement mais représente la moyenne des temps entre deux défaillances. En d’autres termes, Il correspond à l’espérance de la durée de vie t.

∫ ( )

(I.9)

9

mentfonctionnebon de totaldureeservice lependant esdefaillanc de totalnombre

Physiquement le MTBF peut être exprimé par le rapport des temps

(I.10)

Si λ est constant :

(I.11)

Par définition le MTBF est la durée de vie moyenne du système.

Exemple : un compresseur industriel a fonctionné pendant 8000 heures en service continu avec 5 pannes dont les durées respectives sont : 7 ; 22 ; 8,5 ; 3,5 et 9 heures. Déterminer son MTBF.

( )

Et si λ est supposé constant 𝜆

La courbe ci-dessous montre l’évolution du taux des défaillances pour les différentes entités.

Figure I.3. Courbes caractéristiques du taux de défaillance

Les courbes du taux de défaillance, figure I.3 ont une même forme générale dite en baignoire, mais présentent néanmoins des différences suivant la technologie principale du système étudié:

A. en mécanique. B. en électromécanique. C. en électronique.

10

tion immobilisa avec emaintenanc deon interventid' nombreesdefaillanc (n) les entrement fonctionne de tempsdes sommeMTBF1MTBF

I.4 Les différentes phases du cycle de vie d’un produit :

L’évolution du taux de défaillance d’un produit pendant toute sa durée de vie est caractérisée par ce qu’on appelle en analyse de fiabilité la courbe en baignoire Figure I.4. Le taux de défaillance est élevé au début de la vie du dispositif. Ensuite, il diminue assez rapidement avec le temps (taux de défaillance décroissant), cette phase de vie est appelée période de jeunesse. Après, il se stabilise à une valeur qu’on souhaite aussi basse que possible pendant une période appelée période de vie utile (taux de défaillance constant). A la fin, il remonte lorsque l’usure et le vieillissement font sentir leurs effets, c’est la période de Vieillissement (taux de défaillance croissant):

Figure 1.4. La courbe en baignoire.

De nombreux éléments, tels que les composants électroniques, ont un taux de défaillance qui évolue de cette manière là.

Pour souligner la particularité des composants mécaniques dans l’analyse de la fiabilité par rapport aux composants mécaniques, nous allons comparer l’évolution du taux de défaillance dans les deux cas.

I.4.1 Taux de défaillance pour des composants électroniques

L’expérience a montré que pour des composants électroniques la courbe, représentant le taux de défaillance en fonction du temps t, a la même allure que la courbe en baignoire figure I.3. Elle est donc composée de trois phases :

(1) Phase 1

La première phase définit la période de jeunesse, caractérisée par une décroissance rapide du taux de défaillance. Pour un composant électronique cette décroissance s’explique par l’élimination progressive de défauts dus aux processus de conception ou de fabrication mal maîtrisé ou à un lot de composants mauvais. Cette période peut être minimisée pour les

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composants vendus aujourd’hui. En effet, les fabricants de composants électroniques se sont engagés à vérifier la qualité de leurs produits en sortie de fabrication.

(2) Phase 2

La deuxième phase définit la période de vie utile généralement très longue. Le taux de défaillance est approximativement constant. Le choix de la loi exponentielle, dont la propriété principale est d’être sans mémoire, est tout à fait satisfaisant. Les pannes sont dites aléatoires, Leur apparition n’est pas liée à l’âge du composant mais à d’autres mécanismes d’endommagement. Les calculs prévisionnels de fiabilité se font presque souvent dans cette Période de vie utile.

(3) Phase 3

La dernière phase est la période de vieillissement, elle est caractérisée par une augmentation progressive du taux de défaillance avec l’âge du dispositif. Ceci est expliqué par des phénomènes de vieillissement tels que l’usure, l’érosion, etc. Cette période est très nettement au-delà de la durée de vie réelle d’un composant électronique. Parfois, on réalise des tests de vieillissement accélérés pour révéler les différents modes de défaillance des composants.

I.4.2 Taux de défaillance pour des composants mécaniques

Les composants mécaniques sont soumis, dès le début de leur vie, au phénomène d’usure ou de vieillissement. Si on trace la courbe du taux de défaillance, en fonction du temps, on obtient une courbe qui ne présente pas le plateau de la figure I.4 la période de vie utile (taux de défaillance constant) n’existe pas ou elle est réduite. Le taux de défaillance du dispositif est une fonction non linéaire du temps et ceci dans chaque phase de sa vie (voir figure I.5):

Figure I.5. Courbe du taux de défaillance en mécanique.

(1) phase 1 :

La première phase définit la période de mortalité infantile. C’est une durée de vie en principe très courte Elle décrite par une décroissance progressive du taux de défaillance avec le temps dû à une amélioration des caractéristiques internes (caractéristiques de défauts) et des interfaces, par un rodage préalable des pièces. Par conséquent il n’est pas souhaitable de tester les composants mécaniques dans cette période de leur vie.

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(2) phase 2 :

La dernière phase définit la période de vieillissement qui comporte la majorité de la vie du dispositif. Elle est caractérisée par une augmentation progressive du taux de défaillance. Les pièces mécaniques sont soumises à des phénomènes de vieillissement multiples qui peuvent agir en combinaison: corrosion, usure, déformation, fatigue, et finalement perte de résilience ou fragilisation. Contrairement aux composants électroniques les calculs de la fiabilité pour des composants mécaniques se font essentiellement dans la période de vieillissement, en utilisant des lois de Probabilité dont le taux de défaillance est fonction du temps telles que la loi Log-normale, Weibull, … etc.

1.4.2.1 Application

On étudie une génératrice suite à son déclassement après 16500 heures. Pendant cette période, la génératrice a cumulée 218 arrêts. Les données sont résumées dans le tableau ci-dessous. On veut savoir quelle est l’évolution de la fiabilité de la génératrice et sa phase d’usure en fonction des intervalles d’arrêts.

heures

MTBF

66.7 100 250 500 400 555.6 416.7 526.32 500

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 476.2 11000 555.6 12000 512 13000 200 14000 111.1 15000 100

Taux de défaillance

0.015 0.01 0.004 0.002 0.0025 0.0018 0.0024 0.0019 0.002 0.0021 0.0018 0,001953125 0.005 0.009 0.01

Figure 1.6 : Fiabilité de la génératrice et courbe en baignoire

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1234567891011121314150,0000,0020,0040,0060,0080,0100,0120,0140,016Taux de défaillanceheure*1000courbe de fiabilité de la génératrice012345678910111213141516170,0000,0020,0040,0060,0080,0100,0120,0140,016Taux de défaillanceHeure*1000Fiabilité de la génératrice

On constate que la génératrice commence à se dégrader à partir de 12000 heures de fonctionnement. Le comportement en baignoire du taux de défaillance est signe d’un fonctionnement plus au moins normal.

I.5 Objectifs et intérêts de la fiabilité en mécanique

L’analyse de la fiabilité constitue une phase indispensable dans toute étude de sûreté de fonctionnement. A l’origine, la fiabilité concernait les systèmes à haute technologie (centrales nucléaires, aérospatial). Aujourd’hui, la fiabilité est devenue un paramètre clé de la qualité et d’aide à la décision, dans l’étude de la plupart des composants, produits et processus “grand public”: Transport, énergie, bâtiments, composants électroniques, composants mécaniques.... De nombreux industriels travaillent à l’évaluation et l’amélioration de la fiabilité de leurs produits au cours de leur cycle de développement, de la conception à la mise en service (conception, fabrication et exploitation) afin de développer leurs connaissances sur le rapport Coût/Fiabilité et maîtriser les sources de défaillance.

L’analyse de la fiabilité dans le domaine de la mécanique est un outil très important pour caractériser le comportement du produit dans les différentes phases de vie, mesurer l’impact des modifications de conception sur l’intégrité du produit, qualifier un nouveau produit et améliorer ses performances tout au long de sa mission.

I.6 Evolution des coûts en fonction de la fiabilité

Le non fiabilité augmente les coûts d’après vente (garanties, frais judiciaires). Construire plus fiable, augmente les coûts de conception et de production. Le coût total prend en compte ces deux contraintes.

Coûts

Coût total

Coûts conception et production

Coûts après- vente

R

Figure I.5. Courbes d’évolution des coûts en fonction de la fiabilité

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La fiabilité d’une machine à tendance à diminuer avec le nombre de ses composants ou de leurs complexités. La maîtrise de la fiabilité devient donc plus délicate.

Une très haute qualité pour chaque composant, n’entraîne pas nécessairement une grande fiabilité. Après assemblage, les interactions entre les composants diminuent la capacité de l’ensemble.

Une grande fiabilité sous certaines conditions, n’implique pas une grande fiabilité sous d’autres conditions (exemple: une huile moteur de synthèse prévue pour des moteurs moderne (multisoupapes et turbo) ne convient pas forcément pour un moteur de conception plus rudimentaire (tondeuse, moteur usé, voiture ancienne).

I.7 Fiabilité d’un système

La détermination de la fiabilité d’un système électronique, mécanique ou autre nécessite tout d’abord de connaître la loi de la fiabilité (ou la loi de défaillance) de chacun des composants intervenant dans le système.

Ceci est simple pour certains types de systèmes tels que les systèmes électroniques, or ce n’est pas le cas pour des systèmes mécaniques à cause de la complexité de la structure du système étudié. Les systèmes mécaniques sont des ensembles d’éléments technologiques liés par des relations statiques et dynamiques assez complexes.

Pour un système électronique chaque composant à un poids important dans la fiabilité du système, la fiabilité du système est donc calculé en fonction de la fiabilité de tous ses composants. Les calculs sont effectués sous l’hypothèse que les taux de défaillance sont constants dans le temps, une hypothèse acceptable pour la plupart des composants, ce qui rend les calculs beaucoup plus simple. La détermination des taux de défaillance des composants est effectuée soit à partir des modèles développés dans des bases de données disponibles, soit à partir d’essais effectués sur les composants ou bien à partir des résultats d’exploitation des produits.

La fiabilité d’un système mécanique, contrairement à l’électronique, repose sur la fiabilité de quelques composants élémentaires responsables de son dysfonctionnement, dits composants “responsables “ou “critiques” (parfois un seul).

I.7.1 Fiabilité de système constitué de plusieurs composants

 En série

La fiabilité Rs d’un ensemble de n constituants connectés en série est égale au produit des fiabilités respectives RA, RB, RC, Rn de chaque composant. Rs = RA * RB * RC *...*Rn Si les “n” composants sont identiques avec une même fiabilité R la formule sera la suivante :

Entrée

A RA 𝜆A

B RB 𝜆B

C RC 𝜆C

n Rn 𝜆n

Sortie

R(s) = Rn

Figure I.6. Composants en série.

15

Si les taux de défaillances sont constants au cours du temps la fiabilité sera calculée suivant la formule: R(s) = ( )* ( )* ( )*…. ( ) (I.12)

Avec :

Si en plus, les composants sont identiques: λA= λB = λC = …..= λn

Alors:

R(s)= ( ) et

(I.14)

Exemple 1 :

Soit un poste de radio constitué de quatre composants connectés en série, une alimentation RA=0.95, une partie récepteur RB=0.92 ; un amplificateur RC=0.97 et haut parleur RD= 0.89 ; déterminer la fiabilité RS de l’appareil.

RS= RA. RB .RC. RD=0.95x 0.92x0.97x0.89=0.7545 (soit une fiabilité de 75% environ)

Exemple 2 :

Soit une imprimante constituée de 2000 composants montés en série supposés tous de même fiabilité, très élevée R= 0.9999, Déterminer la fiabilité de l’appareil. R(s)= (soit une fiabilité de 82 % environ Si on divise par deux le nombre des composants R(s)= (environ 90.5%) Si on souhaite avoir une fiabilité de 90 % pour l’ensemble des 2000 composants montés en série, déterminons la fiabilité que doit avoir chaque composant RS= Expression que l’on peut écrire, à partir des logarithmes népériens sous la forme D’où R=0.999945 Exemple 3 :

Une machine de production dont la durée totale de fonctionnement est de 1500 heures, se compose de quatre sous-systèmes A, B, C et D montés en série et ayant les MTBF respectifs suivants : MTBFA = 4500 heures MTBFB= 3200 heures MTBFC= 6000 heures MTBFD= 10500 heures. Déterminons les taux de pannes et le MTBF global (MTBFS)

a) Taux de pannes de l’ensemble

𝜆

𝜆

𝜆

𝜆

16

n1MTBF(I.13) ...1MTBF(s)BAnC

Le taux de défaillance global 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 ( ) La fiabilité globale s’écrit : ( ) 0.303 (30.3%) Remarque : Si on divise par deux la durée de fonctionnement de la machine (750 heures) ( ) ( ) 0.550 (55%)

b) la MTBF de l’ensemble

, Soit un

temps de 1255 heures entre deux

défaillances

c) Quelle est la probabilité que le système parvienne sans pannes jusqu'à 5000 heures ( ) ( ) 0.0186 (environ 2 %)

En parallèle

La fiabilité d’un système peut être augmentée en plaçant les composants en parallèle. Un dispositif constitué de n composants en parallèle ne peut tomber en panne que si les n composants tombent en panne au même moment. Si Fi est la probabilité de panne d’un composant, la fiabilité associée Ri est son complémentaire:

Fi = 1 – Ri (I.15)

Fi représentant la fiabilité associée.

Entrée

A

B

i

n

Sortie

Figure I.7. Composants en parallèle.

Soit les “n” composants de la figure ci-dessous montés en parallèle. Si la probabilité de panne pour chaque composant repéré (i) est notée Fi alors:

R(s) = 1-(1-R)n (I.16)

Le cas particulier de deux dispositifs en parallèle si λ est constant RS est obtenu par : ( ) ( ) ( )

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Exemple :

Trois dispositifs A, B et C de même fiabilité RA= RB= RC=0.75 sont connectés en parallèle

a) Déterminons la fiabilité la fiabilité de l’ensemble

( ) Si on réduit le nombre des composants à deux ( ) Si on met quatre dispositifs en parallèle ( )

b) Quel nombre de diapositif en parallèle faudrait-il mettre pour avoir une fiabilité globale

de 0,999 (99,9%) ( ) ( ) D’où ( ) En utilisant les logarithmes népériens ( ) ( ) ( ) ( )

Ce qui implique d’avoir au moins cinq dispositifs en parallèle

c) Si on souhaite avoir une fiabilité globale de 99% avec trois dispositifs seulement en

parallèle, quelle devrait être la fiabilité R de chacun de ces dispositifs: ( ) D’où ( ) En utilisant les logarithmes népériens

d) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(Soit une fiabilité minimale de 78,46%)

I.7.2. Cas des systèmes connectés en parallèle et dis en attente

1.7.2.1 Cas de deux composants en attente

Pour le système proposé, le composant A est en service actif et le composant B en attente. Si B tombe à tour en panne, il est automatiquement remplacé par C, etc. Si tous les composant sont identique avec λ constant, la fiabilité du dispositif est donnée par :

( ) 𝜆

Si A et B ne sont pas identiques la relation devient :

( )

𝜆 𝜆 𝜆

( )

1.7.2.2 Cas de n composants en attente

Même démarche que précédemment, si A le composant actif tombe en panne, il est remplacé par B. Si B tombe à son tour en panne, il est automatiquement remplacé par C, etc. Si tous les composants sont identiques avec λ constant, la fiabilité du dispositif est donnée par :

( ) [ 𝜆

( )

( )

]

Exemple avec trois composants identiques en attente.

18

1.7.2.3 Cas où m composants sur les n sont nécessaires au succès du système

Si on suppose que le système se compose de n composants K, tous de même fiabilité R, et qu’il doit y avoir au moins deux composants en état de fonctionnement, la fiabilité de l’ensemble est donnée par la relation

∑

(

( )

) ( )

Exemple 1 : Cas avec trois composants K avec un minimum de deux composants actifs sur les trois disponibles au départ. On tolère que le système de défaillance d’un seul composant sur les trois. Il doit y avoir au moins deux composants en fonctionnement ou en activité pour accomplir la mission, la relation précédente donne avec n=3 et m=2 ( ) Exemple 2 : cas avec quatre composants K en parallèle avec un minimum de deux composants actifs sur les quatre composants disponible au départ. On peut tolérer que le système de défaillance de deux composants sur les quatre. Il doit y avoir au moins deux composants en fonctionnement ou en activité pour accomplir la mission, la relation précédente donne avec n=4 et m=2 ( ) ( )

1.7.3 Combinaison de composants en série et en parallèle C’est la combinaison des deux sous-paragraphes précédents Exemple : La fiabilité des trois composants identiques A, B et C est de 0.65, celle de D de 0,96 ; celle de E 0, 92 celle de G 0, 87 celle de F de 0,89 et celle de H de 1 (100%) La fiabilité globale R est exprimée ici par

[ ( ) ] [ ] [ ( )( ] ( )

Exemple 1 :(sur le taux de défaillance définit au paragraphe 1.3 l'expression I.8.) Huit composants identiques testés sur une durée de 550 heures dans les mêmes conditions. Le premier composant tombe en panne, de manière irréparable, après 65 h de fonctionnement, le deuxième après 115 h, le troisième après 135 h le composant quatre après 340 h, le composant 5 après 535 h, les trois autres composants continuent de fonctionner normalement

Exemple 2 : Considérant une machine automatisée fonctionnant pendant un cycle opératoire de 155 heures. Pendant cette période le système subit 5 défaillances à des moments différents, suivies d’une réparation puis d’une remise en activité. Les durées respectives des défaillances sont : 2,5h ; 8,3h ; 3,7 ; 1,8 et 7,5 h

( )

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I.7.4 La loi de survie

Soit un groupe de 300 matériels identiques, utilisés de la même manière et mis en service à la même date.

Notons :

N(t) : nombre de survivants à la date t (on fait le compte des éléments encore en service)

N(t) : mortalité absolue à la fin de la période t (nombre d’élément défaillants après le dernier inventaire)

N(0) : nombre de matériel mis en service à la date t0 (il s’agit ici de 300)

R(t) : Fréquence relative de survivants probabilité de survie (c’est la proportion des éléments encore en service par rapport au nombre initial, peut s’exprimer en %)

( )

( ) ( )

F(t) : Probabilité d’observer une défaillance avant t (c’est le complément de R(t) )

( ) ( )

f(t) : Proportion des défaillants dans l’intervalle [(t-1) ; t] (c’est la proportion d’éléments défaillant depuis le dernier inventaire par rapport au total initial)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Z(t) : Taux de défaillance(ou taux d’avarie) ; c’est la le dernier proportion d’éléments défaillants depuis inventaire par rapport au total précédent

( )

( ) ( ) ( )

Calcul des paramètres de fiabilité

Période t k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Survivants

N(t) 300 260 235 205 160 115 75 40 15 0

Mortalité absolue N(t) 0 40 25 30 45 45 40 35 25 15

Mortalité relative f(t) 0,000 0,133 0,083 0,100 0,150 0,150 0,133 0,117 0,083 0,050

Probabilité de survie R(t) 1,00 0,867 0,783 0,683 0,533 0,383 0,250 0,133 0,050 0,000

Taux de défaillances ou d’avarie Z(t) 0,000 0,133 0,096 0,128 0,220 0,281 0,348 0,467 0,625 1,000

Représentation graphique:

20

21

012345678910050100150200250300350composants périodes N(t)300012345678905101520253035404550mortalité absolue delta N(t)périodes0123456789100,0000,0250,0500,0750,1000,1250,1500,175mortalité relative f(t)périodes f(t)Dans la troisième colonne du tableau de la page recèdent, on remarque que 40 matériels au terme d’une période, 25 au terme de 2éme période puis… La MTBF peut donc s’écrire :

[( ) ) ( )+(45.4)+(45.5)+(40.6)+(35.7)+(25.8)+(15.9)]/300

MTBF=4,68 périodes

Remarques :

∑ ( ) 4,68 ∑ ( ) 4,68

Donc:

∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( )

( )

Posons le rapport

( ) ( )

22

0123456789100,00,30,60,91,2fiabilité périodes R(t)0123456789100,00,20,40,60,81,01,2taux de défaillances périodes Z(t)

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

On peut déduire que: ( )

( )

( )

I.8 La relation entre la fiabilité et la maintenance :

Tous les équipements d’une installation industrielle sont soumis à des mécanismes de dégradation dus aux conditions de fonctionnement et/ou d’environnement : usure, fatigue, vieillissement. Face aux défaillances qui en résultent, on peut se contenter de pratiquer une maintenance corrective, mais on n’évite pas ainsi les conséquences des pannes que l’on subit. Une attitude plus défensive consiste à mettre en œuvre une maintenance préventive destinée à limiter, voire à empêcher, ces défaillances, mais on court alors le risque de dépenses excessives et d’indisponibilités inutiles.

Devant cette situation, le responsable de maintenance ne doit plus se contenter de surveiller et de réparer, il doit envisager des stratégies. Une part de son travail consiste à prévoir les événements et à évaluer les différentes alternatives qui s’offrent a lui pour trouver la solution optimale, ou tout au moins pour s’en rapprocher. Les forces dont il dispose, limitées par ses moyens techniques et financiers, doivent être placées aux bons endroits.

C’est dans ce contexte que la maintenance s’est dotée de méthodes qui considèrent à la fois, et plus ou moins, la technique et l’organisation. Les industries de processus ont générale appliquée des démarches alliant une évaluation des risques, une analyse du retour d’expérience, et une logique de sélection de tâches de maintenance. L’Optimisation de la Maintenance par la Fiabilité (OMF).

I.8.1 Principales liaisons fiabilité –maintenance :

Les principales hypothèses retenues :

 Nous remarquons tout d’abord que les études de fiabilité et de maintenance sont faites en parallèle à différents stades (établissement du projet, fabrication, réception, transport, exploitation et renouvellement) ces études étant établies d’un point de vue à la fois technique et économique.

 Les opérations de maintenance, quelque soit le genre considéré, sont liées au caractère aléatoire de la durée de vie de l’élément et par suite, aux caractéristiques de fiabilité de l’élément : fonction de fiabilité, MTBF, taux de défaillance à l’instant t,… etc.

 La fréquence des opérations de maintenance corrective est fonction des taux de panne ou risques de panne De plus, nous pouvons dire que la maintenance corrective, faisant diminuer le taux de panne, améliore la fiabilité.

 Considérons le problème suivant : dans une entreprise, on se fixe un nombre N (t) d’équipements identiques qu’on veut maintenir en service à chaque instant; on se demande alors comment réaliser cet objectif ? Grâce à la fiabilité, on peut donner une réponse à cette question. Dans le cas particulier où :

( ) 𝜆( ) (I.17)

23

 Le nombre d’équipements à remplacer, depuis l’instant zéro jusqu’a à l’instant θ.



Intéressons-nous à un élément mis en fonctionnement à l’instant zéro et demandons-nous combien peut-il y avoir de renouvellements dans l’intervalle de temps (0, t) ? Evidemment, cette question est sans réponse stricte ; mais, lorsqu’on connaît la fiabilité de l’élément on peut calculer la probabilité pour qu’il y ait ou bien 1 ou bien 2 ou bien 3,…, renouvellements. On peut aussi calculer le nombre moyen de renouvellement dans (0, t). Dans le cas particulier où le taux de panne est constant, le nombre de renouvellements dans (0, t) est distribué selon la loi de Poisson.

 Les opérations de maintenance préventive sont à effectuer lorsque la fonction risque de panne est croissante, les époques de renouvellement sont alors déterminées à partir des caractéristiques de fiabilité des éléments considérés.

Lorsque le taux de panne est constant, il est évident qu’il ne faut pas faire de renouvellement préventif. La figure de la courbe en baignoire ci-après explique les différente causes et remèdes de défaillances liées aux trois phases de la durée de vie du matériel.

Figure I.8. Evolution du t