Fiabilité, Maintenabilité et Disponibilité

96

98

99

99

99

100

101

101

105

4

Introduction G n rale

Lex cution de la maintenance dans une entreprise industrielle est dune importance capitale

pour maintenir les quipements en tat de bon fonctionnement. La maintenance, dans sa plus

large d finition, est lensemble de toutes les op rations de gestion, de programmation et

dex cution. Le calcul de la fiabilit dun quipement constitue un outil incontournable pour

valuer lefficacit de nimporte quelle entit . Les concepteurs et les utilisateurs sont souvent

confront s des contraintes par pauvret ou par manque de mod les permettant de faire des

tudes pr visionnelles correctes. Le taux de d faillance est souvent consid r comme

constant ce qui est manifestement faux en m canique do lint r t doutils, de mod les ou de

m thodes plus adapt es. Le calcul de la fiabilit des syst mes m caniques est influenc par les

caract ristiques suivantes:

1. La notion du taux de d faillance nexiste pas

2. Le recueil des informations sur la fiabilit est plus difficile

3. Les d faillances ont des origines vari es (la dur e de vie des composants est

principalement conditionn e par les probl mes de fatigue avec une forte influence des

diff rentes contraintes.

4. Le syst me m canique est de plus en plus performant et compliqu

Ainsi, le choix dune loi de comportement du mat riel (calcul de la fiabilit ) devient une tache

tr s compliqu e. Le pr sent polycopi sadresse aux tudiants master de loption maitrise des

risques industriels, poursuivant leur formation la facult des sciences de ling nieur. La

conduite du calcul est conditionn e par le choix convenable dune loi de fiabilit d crivant le

comportement des diff rents composants constituants une entit .

Le but de la maintenance cest de mettre en Suvre les objectifs (co ts, d lai, qualit , etc.) fix s

par la direction de production en tenant compte des v nements (perturbations, al as, etc.) de

lenvironnement.

La strat gie de la maintenance est lensemble des d cisions qui conduisent :

d finir le portefeuille dactivit s de la production de maintenance, c'est- -dire,

d cider des politiques de maintenance des mat riels (m thodes correctives,

pr ventives, am lioratives appliquer chaque mat riel)

et, conjointement, organiser structurellement le syst me de conduite et les ressources

productives pour y parvenir dans le cadre de la mission impartie (objectifs techniques,

conomiques et humains).

5

Chapitre I : Concepts g n raux de la Fiabilit

Chapitre II : Lois de Fiabilit

Chapitre III : Loi de Weibull

6

Chapitre I : Concepts G n raux de la Fiabilit

I.1 D finition

La fiabilit caract rise laptitude dun syst me ou dun mat riel accomplir une fonction

requise dans des conditions donn es pendant un intervalle de temps donn .

I.2 Fiabilit et probl matique

La fiabilit a sans doute pris son d veloppement depuis la derni re guerre mondiale. Elle est

vite devenue une science part enti re dans les applications appartenant de nombreux

domaines. Elle a pour fondements math matiques la statistique et le calcul des probabilit s

qui sont n cessaires la compr hension et lanalyse des donn es de fiabilit .

La d faillance (la non fiabilit ) augmente les co ts dapr s-vente (application des garanties,

frais judiciaires,&etc.).

Construire plus fiable augmente les co ts de conception et de production, en pratique, le co t

total dun produit prend en compte ces deux tendances.

I.2.1. Fonction de fiabilit R(t) Fonction de d faillance F(t)

Consid rons un mat riel dont on tudie la fiabilit . Soit Z la variable al atoire qui chaque

mat riel associe son temps de bon fonctionnement. On choisi un de ces mat riels au hasard.

Soit les v nements A : Le mat riel est en tat de bon fonctionnement linstant t et B :

Le mat riel est d faillant linstant t + On a alors :

( ) ( ) et ( ) ( ) (I.1)

Donc ( ) ( )

= ( ) ( )

( ( )) ( ( ))

( ) ( )

On en d duit que ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

(I.2)

On appelle fonction de d faillance la fonction F d finie pour tout te0

F(t)= P(T d t)

Le nombre F(t) repr sente la probabilit quun dispositif choisi au hasard ait une d faillance

avant linstant t. La figure I.1 donne lallure de cette fonction.

7

Figure I.1. Fonction de d faillance

Cette fonction nous am ne naturellement une fonction associ e : la fonction de fiabilit R

d finie pour tout t e0 par : R(t)= 1-F(t). Le nombre R(t) repr sente la probabilit quun

dispositif choisi au hasard dans la population nait pas de d faillance avant linstant t. La

figure I.2 montre les deux fonctions associ es.

Figure I.2. Fonction associ e

Le taux davarie moyen dans lintervalle de temps est alors :

( ) ( )

( )

(I.3)

I.2.1.1. Taux de d faillance instantan

Cest la probabilit (0d Rd 1) ; un produit doit accomplir de mani re satisfaisante une

fonction requise, sous des conditions donn es et pendant une p riode de temps donn .

L criture math matique du taux de d faillance linstant t, not 5(t), d fini sur

est la suivante :

5( )

(

( ) ( )

( )

) ( )

8

Physiquement le terme 5(t). t, mesure la probabilit quune d faillance dun

dispositif se produise dans lintervalle de temps sachant que ce dispositif a

bien fonctionn jusqu linstant t

(t) =

(I.5)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=

( )

( )

o R est la fonction de fiabilit de ce mat riel.

On est alors amen r soudre une quation diff rentielle du 1er ordre. En effet si est

connu, la r solution de l quation diff rentielle lin aire du 1er ordre :

( ) 5( ) ( ) (I.6)

Donne la fonction de fiabilit R du mat riel. On d duit alors la fonction de d faillance F qui

est la fonction de r partition de la variable Z puis la densit de probabilit f de Z qui est la

d riv e de F.

On alors :

( ) + ( )

et ( ) + ( )

(I.7)

I.3 Indicateurs de fiabilit ( ) et (MTBF) :

Pr c demment le taux de d faillance 5 a t d fini par des expressions math matiques a

travers un calcul de probabilit . On peut galement lexprim par une expression physique . Il

caract rise la vitesse de variation de la fiabilit au cours du temps. La dur e de bon

fonctionnement est gale la dur e totale en service moins la dur e des d faillances.

(I.8)

I.3.1 Temps moyen de bon fonctionnement :

Le MTBF (Mean Time Between Failure) est souvent traduit comme tant la moyenne des

temps de bon fonctionnement mais repr sente la moyenne des temps entre deux d faillances.

En dautres termes, Il correspond lesp rance de la dur e de vie t.

+ ( )

(I.9)

9

mentfonctionnebon de totaldureeservice lependant esdefaillanc de totalnombre=l

Physiquement le MTBF peut tre exprim par le rapport des temps

(I.10)

Si est constant :

(I.11)

Par d finition le MTBF est la dur e de vie moyenne du syst me.

Exemple : un compresseur industriel a fonctionn pendant 8000 heures en service continu avec

5 pannes dont les dur es respectives sont : 7 ; 22 ; 8,5 ; 3,5 et 9 heures. D terminer son MTBF.

( )

Et si est suppos constant 5

La courbe ci-dessous montre l volution du taux des d faillances pour les diff rentes entit s.

Figure I.3. Courbes caract ristiques du taux de d faillance

Les courbes du taux de d faillance, figure I.3 ont une m me forme g n rale dite en baignoire,

mais pr sentent n anmoins des diff rences suivant la technologie principale du syst me

tudi :

A. en m canique.

B. en lectrom canique.

C. en lectronique.

10

tion immobilisa avec emaintenanc deon interventid' nombreesdefaillanc (n) les entrement fonctionne de tempsdes somme=MTBFl1=MTBF

I.4 Les diff rentes phases du cycle de vie dun produit :

L volution du taux de d faillance dun produit pendant toute sa dur e de vie est caract ris e

par ce quon appelle en analyse de fiabilit la courbe en baignoire Figure I.4.

Le taux de d faillance est lev au d but de la vie du dispositif.

Ensuite, il diminue assez rapidement avec le temps (taux de d faillance d croissant), cette

phase de vie est appel e p riode de jeunesse.

Apr s, il se stabilise une valeur quon souhaite aussi basse que possible pendant une p riode

appel e p riode de vie utile (taux de d faillance constant).

A la fin, il remonte lorsque lusure et le vieillissement font sentir leurs effets, cest la p riode

de Vieillissement (taux de d faillance croissant):

Figure 1.4. La courbe en baignoire.

De nombreux l ments, tels que les composants lectroniques, ont un taux de d faillance qui

volue de cette mani re l .

Pour souligner la particularit des composants m caniques dans lanalyse de la fiabilit par

rapport aux composants m caniques, nous allons comparer l volution du taux de d faillance

dans les deux cas.

I.4.1 Taux de d faillance pour des composants lectroniques

Lexp rience a montr que pour des composants lectroniques la courbe, repr sentant le taux

de d faillance en fonction du temps t, a la m me allure que la courbe en baignoire figure I.3.

Elle est donc compos e de trois phases :

(1) Phase 1

La premi re phase d finit la p riode de jeunesse, caract ris e par une d croissance rapide du

taux de d faillance. Pour un composant lectronique cette d croissance sexplique par

l limination progressive de d fauts dus aux processus de conception ou de fabrication mal

ma tris ou un lot de composants mauvais. Cette p riode peut tre minimis e pour les

11

composants vendus aujourdhui. En effet, les fabricants de composants lectroniques se sont

engag s v rifier la qualit de leurs produits en sortie de fabrication.

(2) Phase 2

La deuxi me phase d finit la p riode de vie utile g n ralement tr s longue. Le taux de

d faillance est approximativement constant. Le choix de la loi exponentielle, dont la propri t

principale est d tre sans m moire, est tout fait satisfaisant. Les pannes sont dites al atoires,

Leur apparition nest pas li e l ge du composant mais dautres m canismes

dendommagement. Les calculs pr visionnels de fiabilit se font presque souvent dans cette

P riode de vie utile.

(3) Phase 3

La derni re phase est la p riode de vieillissement, elle est caract ris e par une augmentation

progressive du taux de d faillance avec l ge du dispositif. Ceci est expliqu par des

ph nom nes de vieillissement tels que lusure, l rosion, etc. Cette p riode est tr s nettement

au-del de la dur e de vie r elle dun composant lectronique. Parfois, on r alise des tests de

vieillissement acc l r s pour r v ler les diff rents modes de d faillance des composants.

I.4.2 Taux de d faillance pour des composants m caniques

Les composants m caniques sont soumis, d s le d but de leur vie, au ph nom ne dusure ou

de vieillissement. Si on trace la courbe du taux de d faillance, en fonction du temps, on obtient

une courbe qui ne pr sente pas le plateau de la figure I.4 la p riode de vie utile (taux de

d faillance constant) nexiste pas ou elle est r duite. Le taux de d faillance du dispositif est

une fonction non lin aire du temps et ceci dans chaque phase de sa vie (voir figure I.5):

Figure I.5. Courbe du taux de d faillance en m canique.

(1) phase 1 :

La premi re phase d finit la p riode de mortalit infantile. Cest une dur e de vie en principe

tr s courte Elle d crite par une d croissance progressive du taux de d faillance avec le temps

d une am lioration des caract ristiques internes (caract ristiques de d fauts) et des

interfaces, par un rodage pr alable des pi ces. Par cons quent il nest pas souhaitable de tester

les composants m caniques dans cette p riode de leur vie.

12

(2) phase 2 :

La derni re phase d finit la p riode de vieillissement qui comporte la majorit de la vie du

dispositif. Elle est caract ris e par une augmentation progressive du taux de d faillance.

Les pi ces m caniques sont soumises des ph nom nes de vieillissement multiples qui

peuvent agir en combinaison: corrosion, usure, d formation, fatigue, et finalement perte de

r silience ou fragilisation.

Contrairement aux composants lectroniques les calculs de la fiabilit pour des composants

m caniques se font essentiellement dans la p riode de vieillissement, en utilisant des lois de

Probabilit dont le taux de d faillance est fonction du temps telles que la loi Log-normale,

Weibull, & etc.

1.4.2.1 Application

On tudie une g n ratrice suite son d classement apr s 16500 heures. Pendant cette p riode,

la g n ratrice a cumul e 218 arr ts. Les donn es sont r sum es dans le tableau ci-dessous. On

veut savoir quelle est l volution de la fiabilit de la g n ratrice et sa phase dusure en

fonction des intervalles darr ts.

heures

MTBF

66.7

100

250

500

400

555.6

416.7

526.32

500

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000 476.2

11000 555.6

12000 512

13000 200

14000 111.1

15000 100

Taux de

d faillance

0.015

0.01

0.004

0.002

0.0025

0.0018

0.0024

0.0019

0.002

0.0021

0.0018

0,001953125

0.005

0.009

0.01

Figure 1.6 : Fiabilit de la g n ratrice et courbe en baignoire

13

1234567891011121314150,0000,0020,0040,0060,0080,0100,0120,0140,016Taux de d faillanceheure1000courbe de fiabilit de la g n ratrice012345678910111213141516170,0000,0020,0040,0060,0080,0100,0120,0140,016Taux de d faillanceHeure1000Fiabilit de la g n ratrice

On constate que la g n ratrice commence se d grader partir de 12000 heures de

fonctionnement. Le comportement en baignoire du taux de d faillance est signe dun

fonctionnement plus au moins normal.

I.5 Objectifs et int r ts de la fiabilit en m canique

Lanalyse de la fiabilit constitue une phase indispensable dans toute tude de s ret de

fonctionnement. A lorigine, la fiabilit concernait les syst mes haute technologie (centrales

nucl aires, a rospatial). Aujourdhui, la fiabilit est devenue un param tre cl de la qualit et

daide la d cision, dans l tude de la plupart des composants, produits et processus grand

public: Transport, nergie, b timents, composants lectroniques, composants m caniques....

De nombreux industriels travaillent l valuation et lam lioration de la fiabilit de leurs

produits au cours de leur cycle de d veloppement, de la conception la mise en service

(conception, fabrication et exploitation) afin de d velopper leurs connaissances sur le rapport

Co t/Fiabilit et ma triser les sources de d faillance.

Lanalyse de la fiabilit dans le domaine de la m canique est un outil tr s important pour

caract riser le comportement du produit dans les diff rentes phases de vie, mesurer limpact

des modifications de conception sur lint grit du produit, qualifier un nouveau produit et

am liorer ses performances tout au long de sa mission.

I.6 Evolution des co ts en fonction de la fiabilit

Le non fiabilit augmente les co ts dapr s vente (garanties, frais judiciaires). Construire plus

fiable, augmente les co ts de conception et de production. Le co t total prend en compte ces

deux contraintes.

Co ts

Co t total

Co ts conception et

production

Co ts apr s- vente

R

Figure I.5. Courbes d volution des co ts en fonction de la fiabilit

14

La fiabilit dune machine tendance diminuer avec le nombre de ses composants ou de

leurs complexit s. La ma trise de la fiabilit devient donc plus d licate.

Une tr s haute qualit pour chaque composant, nentra ne pas n cessairement une grande

fiabilit . Apr s assemblage, les interactions entre les composants diminuent la capacit de

lensemble.

Une grande fiabilit sous certaines conditions, nimplique pas une grande fiabilit sous

dautres conditions (exemple: une huile moteur de synth se pr vue pour des moteurs moderne

(multisoupapes et turbo) ne convient pas forc ment pour un moteur de conception plus

rudimentaire (tondeuse, moteur us , voiture ancienne).

I.7 Fiabilit dun syst me

La d termination de la fiabilit dun syst me lectronique, m canique ou autre n cessite tout

dabord de conna tre la loi de la fiabilit (ou la loi de d faillance) de chacun des composants

intervenant dans le syst me.

Ceci est simple pour certains types de syst mes tels que les syst mes lectroniques, or ce nest

pas le cas pour des syst mes m caniques cause de la complexit de la structure du syst me

tudi . Les syst mes m caniques sont des ensembles d l ments technologiques li s par des

relations statiques et dynamiques assez complexes.

Pour un syst me lectronique chaque composant un poids important dans la fiabilit du

syst me, la fiabilit du syst me est donc calcul en fonction de la fiabilit de tous ses

composants. Les calculs sont effectu s sous lhypoth se que les taux de d faillance sont

constants dans le temps, une hypoth se acceptable pour la plupart des composants, ce qui rend

les calculs beaucoup plus simple. La d termination des taux de d faillance des composants est

effectu e soit partir des mod les d velopp s dans des bases de donn es disponibles, soit

partir dessais effectu s sur les composants ou bien partir des r sultats dexploitation des

produits.

La fiabilit dun syst me m canique, contrairement l lectronique, repose sur la fiabilit de

quelques composants l mentaires responsables de son dysfonctionnement, dits composants

responsables ou critiques (parfois un seul).

I.7.1 Fiabilit de syst me constitu de plusieurs composants

En s rie

La fiabilit Rs dun ensemble de n constituants connect s en s rie est gale au produit des

fiabilit s respectives RA, RB, RC, Rn de chaque composant.

Rs = RA RB RC ...Rn

Si les n composants sont identiques avec une m me fiabilit R la formule sera la suivante :

Entr e

A

RA 5A

B

RB 5B

C

RC 5C

n

Rn 5n

Sortie

R(s) = Rn

Figure I.6. Composants en s rie.

15

Si les taux de d faillances sont constants au cours du temps la fiabilit sera calcul e suivant la

formule:

R(s) = ( ) ( ) ( )*&. ( ) (I.12)

Avec :

Si en plus, les composants sont identiques: A= B = C = &..= n

Alors:

R(s)= ( ) et

(I.14)

Exemple 1 :

Soit un poste de radio constitu de quatre composants connect s en s rie, une alimentation

RA=0.95, une partie r cepteur RB=0.92 ; un amplificateur RC=0.97 et haut parleur RD= 0.89 ;

d terminer la fiabilit RS de lappareil.

RS= RA. RB .RC. RD=0.95x 0.92x0.97x0.89=0.7545 (soit une fiabilit de 75% environ)

Exemple 2 :

Soit une imprimante constitu e de 2000 composants mont s en s rie suppos s tous de m me

fiabilit , tr s lev e R= 0.9999, D terminer la fiabilit de lappareil.

R(s)= (soit une fiabilit de 82 % environ

Si on divise par deux le nombre des composants

R(s)= (environ 90.5%)

Si on souhaite avoir une fiabilit de 90 % pour lensemble des 2000 composants mont s en

s rie, d terminons la fiabilit que doit avoir chaque composant

RS=

Expression que lon peut crire, partir des logarithmes n p riens sous la forme

Do R=0.999945

Exemple 3 :

Une machine de production dont la dur e totale de fonctionnement est de 1500 heures, se

compose de quatre sous-syst mes A, B, C et D mont s en s rie et ayant les MTBF respectifs

suivants : MTBFA = 4500 heures MTBFB= 3200 heures MTBFC= 6000 heures

MTBFD= 10500 heures. D terminons les taux de pannes et le MTBF global (MTBFS)

a) Taux de pannes de lensemble

5

5

5

5

16

l =n1MTBF(I.13) ...1MTBF(s)BAnCllll++++=

Le taux de d faillance global 5 5 5 5 5 ( )

La fiabilit globale s crit : ( ) 0.303 (30.3%)

Remarque :

Si on divise par deux la dur e de fonctionnement de la machine (750 heures)

( ) ( ) 0.550 (55%)

b) la MTBF de lensemble

, Soit un

temps de 1255 heures entre deux

d faillances

c) Quelle est la probabilit que le syst me parvienne sans pannes jusqu' 5000 heures

( ) ( ) 0.0186 (environ 2 %)

En parall le

La fiabilit dun syst me peut tre augment e en pla ant les composants en parall le. Un

dispositif constitu de n composants en parall le ne peut tomber en panne que si les n

composants tombent en panne au m me moment.

Si Fi est la probabilit de panne dun composant, la fiabilit associ e Ri est son

compl mentaire:

Fi = 1 Ri (I.15)

Fi repr sentant la fiabilit associ e.

Entr e

A

B

i

n

Sortie

Figure I.7. Composants en parall le.

Soit les n composants de la figure ci-dessous mont s en parall le. Si la probabilit de panne

pour chaque composant rep r (i) est not e Fi alors:

R(s) = 1-(1-R)n (I.16)

Le cas particulier de deux dispositifs en parall le si est constant RS est obtenu par :

( ) ( ) ( )

17

Exemple :

Trois dispositifs A, B et C de m me fiabilit RA= RB= RC=0.75 sont connect s en parall le

a) D terminons la fiabilit la fiabilit de lensemble

( )

Si on r duit le nombre des composants deux

( )

Si on met quatre dispositifs en parall le

( )

b) Quel nombre de diapositif en parall le faudrait-il mettre pour avoir une fiabilit globale

de 0,999 (99,9%)

( ) ( )

Do ( )

En utilisant les logarithmes n p riens

( ) ( )

( ) ( )

Ce qui implique davoir au moins cinq dispositifs en parall le

c) Si on souhaite avoir une fiabilit globale de 99% avec trois dispositifs seulement en

parall le, quelle devrait tre la fiabilit R de chacun de ces dispositifs:

( )

Do

( )

En utilisant les logarithmes n p riens

d) 3 ( ) ( )

3 ( ) ( )

( ) ( )

( )

(Soit une fiabilit minimale de 78,46%)

I.7.2. Cas des syst mes connect s en parall le et dis en attente

1.7.2.1 Cas de deux composants en attente

Pour le syst me propos , le composant A est en service actif et le composant B en attente. Si

B tombe tour en panne, il est automatiquement remplac par C, etc.

Si tous les composant sont identique avec constant, la fiabilit du dispositif est donn e par :

( ) 5

Si A et B ne sont pas identiques la relation devient :

( )

5

5 5

( )

1.7.2.2 Cas de n composants en attente

M me d marche que pr c demment, si A le composant actif tombe en panne, il est remplac

par B. Si B tombe son tour en panne, il est automatiquement remplac par C, etc. Si tous les

composants sont identiques avec constant, la fiabilit du dispositif est donn e par :

( ) [ 5

( )

( )

]

Exemple avec trois composants identiques en attente.

18

1.7.2.3 Cas o m composants sur les n sont n cessaires au succ s du syst me

Si on suppose que le syst me se compose de n composants K, tous de m me fiabilit R, et

quil doit y avoir au moins deux composants en tat de fonctionnement, la fiabilit de

lensemble est donn e par la relation

(

( )

) ( )

Exemple 1 :

Cas avec trois composants K avec un minimum de deux composants actifs sur les trois

disponibles au d part. On tol re que le syst me de d faillance dun seul composant sur les

trois. Il doit y avoir au moins deux composants en fonctionnement ou en activit pour

accomplir la mission, la relation pr c dente donne avec n=3 et m=2

( )

Exemple 2 :

cas avec quatre composants K en parall le avec un minimum de deux composants actifs sur

les quatre composants disponible au d part. On peut tol rer que le syst me de d faillance de

deux composants sur les quatre. Il doit y avoir au moins deux composants en fonctionnement

ou en activit pour accomplir la mission, la relation pr c dente donne avec n=4 et m=2

( ) ( )

1.7.3 Combinaison de composants en s rie et en parall le

Cest la combinaison des deux sous-paragraphes pr c dents

Exemple :

La fiabilit des trois composants identiques A, B et C est de 0.65, celle de D de 0,96 ; celle de

E 0, 92 celle de G 0, 87 celle de F de 0,89 et celle de H de 1 (100%)

La fiabilit globale R est exprim e ici par

[ ( ) ] [ ] [ ( )( ]

( )

Exemple 1 :(sur le taux de d faillance d finit au paragraphe 1.3 l'expression I.8.)

Huit composants identiques test s sur une dur e de 550 heures dans les m mes conditions. Le

premier composant tombe en panne, de mani re irr parable, apr s 65 h de fonctionnement, le

deuxi me apr s 115 h, le troisi me apr s 135 h le composant quatre apr s 340 h, le composant

5 apr s 535 h, les trois autres composants continuent de fonctionner normalement

Exemple 2 :

Consid rant une machine automatis e fonctionnant pendant un cycle op ratoire de 155 heures.

Pendant cette p riode le syst me subit 5 d faillances des moments diff rents, suivies dune

r paration puis dune remise en activit . Les dur es respectives des d faillances sont : 2,5h ;

8,3h ; 3,7 ; 1,8 et 7,5 h

( )

19

I.7.4 La loi de survie

Soit un groupe de 300 mat riels identiques, utilis s de la m me mani re et mis en service la

m me date.

Notons :

N(t) : nombre de survivants la date t (on fait le compte

des l ments encore en service)

N(t) : mortalit absolue la fin de la p riode t (nombre

d l ment d faillants apr s le dernier inventaire)

N(0) : nombre de mat riel mis en service la date t0 (il

sagit ici de 300)

R(t) : Fr quence relative de survivants probabilit de

survie (cest la proportion des l ments encore en service

par rapport au nombre initial, peut sexprimer en %)

( )

( )

( )

F(t) : Probabilit dobserver une d faillance avant t (cest

le compl ment de R(t) )

( ) ( )

f(t) : Proportion des d faillants dans lintervalle [(t-1) ; t]

(cest la proportion d l ments d faillant depuis le dernier

inventaire par rapport au total initial)

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Z(t) : Taux de d faillance(ou taux davarie) ; cest la

le dernier

proportion d l ments d faillants depuis

inventaire par rapport au total pr c dent

( )

( ) ( )

( )

Calcul des param tres de fiabilit

P riode

t

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Survivants

N(t)

300

260

235

205

160

115

75

40

15

0

Mortalit

absolue

N(t)

0

40

25

30

45

45

40

35

25

15

Mortalit

relative

f(t)

0,000

0,133

0,083

0,100

0,150

0,150

0,133

0,117

0,083

0,050

Probabilit

de

survie

R(t)

1,00

0,867

0,783

0,683

0,533

0,383

0,250

0,133

0,050

0,000

Taux de d faillances

ou davarie

Z(t)

0,000

0,133

0,096

0,128

0,220

0,281

0,348

0,467

0,625

1,000

Repr sentation graphique:

20

21

012345678910050100150200250300350composants p riodes N(t)300012345678905101520253035404550 mortalit absolue delta N(t)p riodes0123456789100,0000,0250,0500,0750,1000,1250,1500,175mortalit relative f(t)p riodes f(t)Dans la troisi me colonne du tableau de la page rec dent, on remarque que 40 mat riels au

terme dune p riode, 25 au terme de 2 me p riode puis&

La MTBF peut donc s crire :

[( ) ) ( )+(45.4)+(45.5)+(40.6)+(35.7)+(25.8)+(15.9)]/300

MTBF=4,68 p riodes

Remarques :

( ) 4,68 ( ) 4,68

Donc:

( ) ( ) ( )

( )

Posons le rapport

( )

( )

22

0123456789100,00,30,60,91,2fiabilit p riodes R(t)0123456789100,00,20,40,60,81,01,2taux de d faillances p riodes Z(t)

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

On peut d duire que: ( )

( )

( )

I.8 La relation entre la fiabilit et la maintenance :

Tous les quipements dune installation industrielle sont soumis des m canismes de

d gradation dus aux conditions de fonctionnement et/ou denvironnement : usure, fatigue,

vieillissement. Face aux d faillances qui en r sultent, on peut se contenter de pratiquer une

maintenance corrective, mais on n vite pas ainsi les cons quences des pannes que lon

subit. Une attitude plus d fensive consiste mettre en Suvre une maintenance pr ventive

destin e limiter, voire emp cher, ces d faillances, mais on court alors le risque de d penses

excessives et dindisponibilit s inutiles.

Devant cette situation, le responsable de maintenance ne doit plus se contenter de surveiller et

de r parer, il doit envisager des strat gies. Une part de son travail consiste pr voir les

v nements et valuer les diff rentes alternatives qui soffrent a lui pour trouver la solution

optimale, ou tout au moins pour sen rapprocher. Les forces dont il dispose, limit es par ses

moyens techniques et financiers, doivent tre plac es aux bons endroits.

Cest dans ce contexte que la maintenance sest dot e de m thodes qui consid rent la fois, et

plus ou moins, la technique et lorganisation. Les industries...