Fiabilité et calculs de TRS et maintenance

M2

M2

M3

M1

M1

M2

M2

M3

M3

Un équipement de production est composé de/ quatre unités motrices M1, M2, M3 et M4, d’un compteur d’opérations UR d’un contrôleur C,

selon la disposition suivante :

- UR et C sont en série - M1 et M2 sont en série - M3 et M4 sont en série - L’ensemble série formé par M1 et M2 et monté en parallèle avec l’ensemble série formé par M3 et M4.

Le sous-système résultant est monté en série avec l’ensemble UR et C.

La production journalière moyenne de cet équipement est de 670 KG. Les temps moyens de bon fonctionnement de chacune des machines UR, C, M1 M2 M3 et M4 sont respectivement évalués à 6000, 5000, 3450, 2240, 2240 et 3450 heures.

1. Calculer les taux de panne respectifs des composants sous l’hypothèse qu’il suit la loi exponentielle. 2. Déduire leurs fiabilités à t=1000 heures de fonctionnement. 3. Calculer alors la fiabilité globale de cet équipement.

UR

C

MTBF taux de pannes Fiabilité

UR 6000 0,00016667 0,84648172

M1

M2

M3

M4

C 5000 0,0002

M1 3450

M2 2240

M3 2240

M4 3450

0,00028986 0,00044643 0,00044643 0,00028986 0,81873075 0,74837202 0,63990947 0,63990947 0,74837202

UR

C

M1,M2,M3,M4

Fiabilité

0,84648172 0,81873075 0,74837202 0,63990947 0,63990947 0,74837202

UR

C

M1

M2

M3

M4

UR et C

0,69304062

M1 et M2 0,47889034

C(M1,M2)

M3 et M4 0,47889034

C(M3,M4)

C(M1,M2)//C(M3,M4) 0,728444722

0,504841782

d’examen

Fiabilité

L’unité autonome de production (UAP) « Citrex » est composée de 5 machines assurant la fabrication d’une moyenne de 520 pièces par jour.

Les deux premières machines de l’UAP: M1 et M2 sont disposées en série.

M1

M2

M3 et M4 sont deux machines en parallèles

M3

M4

M5

montées en série avec M2.

La dernière machine M5 reçoit les pièces de M3 ou M4 (M5 est en série avec le reste du système de production).

R=99,5%

R=99,5%

MTBF=6800h MTBF=5000h

MTBF=5000h

Afin de mener une étude de fiabilité de cette UAP sous l’hypothèse que nous suivons une loi exponentielle, Le temps moyen de bon fonctionnement de chacune des machines M1, M2 et M5 vaut respectivement 6800, 5000 et 3700 heures. M3 et M4 sont deux machines nouvellement achetées ayant chacune une fiabilité valant 99.5%.

Calculer le taux de panne de M1, M2 et M5.

MTBF (heutre) Taux de panne (défaillances/heure)

M1 6800 0,00014706

M2 5000 0,0002

M5 3700 0,00027027

Déduire la fiabilité de chacune des machines M1, M2 et M5 à t=1000 heures de fonctionnement.

R 𝑡 = exp −𝑡𝛼

𝑡 = 1000 ℎ

𝛼 = 𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑛𝑒𝑠

R1 1000 = exp −1000.0,00014706 = 0,8632432=86,32% R2 1000 = exp −1000.0,0002 = 0,81873075=81,87% R3 1000 = exp −1000.0,00027027 = 0,7631732=76,31%

4. Calculer alors la fiabilité globale de l’UAP. Que peut-on conclure ?

R3=99,5%

R4=99,5%

R1=86,32% R2=81,87%

R5=76,31%

En série

En parallèle

𝑅é𝑞1 = 81,87% ∗ 86,32% 𝑅é𝑞1 = 70,67%

𝑅é𝑞2 = 1 − 1 − 𝑅 2 𝑅é𝑞2 = 1 − 1 − 0,995 2

𝑅é𝑞2 = 99,99%

𝑅𝑠𝑦𝑠 = 𝑅é𝑞2 ∗ 𝑅é𝑞1 ∗ 𝑅5

𝑅𝑠𝑦𝑠=53,93%

𝑅é𝑞1

𝑅é𝑞2

𝑀5

Exercice 1 : TPM

1. Donnez la signification de l’acronyme "TPM".

Total productive maintenance

2. Quel est l’indicateur de performance principal utilisé pour évaluer le progrès de l’application de la TPM.

TRS: taux de rendement synthétique

3. Comment calculer cet indicateur ? Expliquez les composants de la formule proposée.

qpdTRSTTTqNPBTUTNPRTNpTNTTFdTFTTRTUTRSTRExercice 2 : Fiabilité

Considérons une installation électrique d’épuration des eaux usées industrielles fonctionnelle durant 20 000 heures. Le processus d’épuration commence par une étape de prétraitement puis l’étape de traitement (ou décantation).

L’étape de prétraitement consiste à approvisionner l’installation en eaux à travers deux stations de pompage en parallèle.

Les deux pompes alimentent une seule station de dégrillage pour retenir les déchets les plus grossiers ; puis une station de dessablage pour éliminer les sables contenus dans les eaux usées.

On se propose d’étudier la fiabilité de l’installation considérée. Pour ce faire, considérons l’historique des temps d’arrêt de chaque station sur la durée de vie de l’installation : Sachant que cet historique concerne principalement la phase de maturité de chaque station :

1. Calculer le taux de défaillance de chaque composant de l’installation.

Temps d’arrêt pour panne [Heures]

Stations

Pompage Dégrillage Dessablage Décantation

1 3 7 3.5

3.5 5 2 1

2 2 4 0.5

6 5.5 3.5 2

1 3 6 -

0.5 - 5 -

-

3 -

Application

s n o i t a t S

Pompage Dégrillage Dessablage Décantation

1 3 7 3.5

Temps d’arrêt par panne [Heures] 6 5.5 3.5 2

2 2 4 0.5

1 3 6 -

3.5 5 2 1

0.5 - 5 -

-

3 -

5,00058E-05

5,00093E-05

5,00109E-05

5,00019E-05

𝑀𝑇𝑇𝐹𝑝𝑜𝑚𝑝𝑒 =

20000 − (1 + 3,5 + 2 + 6 + 1 + 0,5) 6

= 19997,67 heures

𝑀𝑇𝑇𝐹𝑑é𝑔𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑔𝑒 =

20000 − (3 + 5 + 2 + 5,5 + 3) 5

= 19996,30 heures

𝑀𝑇𝑇𝐹Dessablage =

20000 − (7 + 2 + 4 + 3,5 + 6 + 5 + 3) 7

= 19995,64 heures

𝑀𝑇𝑇𝐹Décantation =

20000 − (3,5 + 1 + 0,5 + 2) 4

= 19999,25 heures

𝛼𝑝𝑜𝑚𝑝𝑒 =

1 𝑀𝑇𝑇𝐹𝑝𝑜𝑚𝑝𝑒

= 5,00058.10−5défaillances / heures

𝛼𝑑é𝑔𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑔𝑒 =

1 𝑀𝑇𝑇𝐹𝑑é𝑔𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑔𝑒

= 5,00093.10−5défaillances / heures

𝛼𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎𝑏𝑙𝑎𝑔𝑒 =

1 𝑀𝑇𝑇𝐹𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎𝑏𝑙𝑎𝑔𝑒

= 5,0011.10−5défaillances / heures

𝛼𝑑é𝑐𝑎𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 =

1 𝑀𝑇𝑇𝐹𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎𝑏𝑙𝑎𝑔𝑒

= 5,0002.10−5défaillances / heures

2. Déterminer la fiabilité Rs de l’installation pour une heure de fonctionnement.

R 𝑡 = exp −𝑡𝛼

0,999949995 0,999949992 0,99994999 0,999949999

𝛼𝑝𝑜𝑚𝑝𝑒 =

1 𝑀𝑇𝑇𝐹𝑝𝑜𝑚𝑝𝑒

= 5,00058.10−5défaillances / heures

𝛼𝑑é𝑔𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑔𝑒 =

1 𝑀𝑇𝑇𝐹𝑑é𝑔𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑔𝑒

= 5,00093.10−5défaillances / heures

𝛼𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎𝑏𝑙𝑎𝑔𝑒 =

1 𝑀𝑇𝑇𝐹𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎𝑏𝑙𝑎𝑔𝑒

= 5,0011.10−5défaillances / heures

𝛼𝑑é𝑐𝑎𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 =

1 𝑀𝑇𝑇𝐹𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎𝑏𝑙𝑎𝑔𝑒

= 5,0002.10−5défaillances / heures

𝑅𝑝𝑜𝑚𝑝𝑒 = exp −1∗5,00058.10−5

= 99,995%

𝑅𝑑é𝑔𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑔𝑒 = exp −1∗5,00093.10−5

= 99,995%

𝑅𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎𝑏𝑙𝑎𝑔𝑒 = exp −1∗5,0011.10−5

= 99,995%

𝑅𝑑é𝑐𝑎𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = exp −1∗5,0002.10−5

= 99,995%

P1

𝑅𝑝𝑜𝑚𝑝𝑒

P2 𝑅𝑝𝑜𝑚𝑝𝑒

D

D’

D’’

𝑅𝑑é𝑐𝑎𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

𝑅𝑑é𝑔𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑔𝑒

𝑅𝑑𝑒𝑠𝑠𝑎𝑏𝑙𝑎𝑔𝑒

En parallèle

En série

𝑅é𝑞1 = 1 − 1 − 𝑅 2 𝑅é𝑞1 = 1 − 1 − 0,995 2

𝑅é𝑞1 = 99,99%

𝑅é𝑞2 = 0,995 3

𝑅é𝑞2 = 98,51%

𝑅𝑠𝑦𝑠 = 𝑅é𝑞2 ∗ 𝑅é𝑞1

𝑅é𝑞1

𝑅é𝑞2

𝑅𝑠𝑦𝑠=98,49%

Exercice 3 : Fiabilité

Un technicien a été chargé d’étudier le fonctionnement d’un certain type de pièces A. Après mesure de la durée de vie d’un certain nombre de pièces, il est arrivé à la conclusion qu’elle suit la loi exponentielle dont la MTBF est égale à 145 jours

Calculez le paramètre de cette loi

𝛼𝑝𝑖è𝑐𝑒 =

1 𝑀𝑇𝐵𝐹

=

1 145

= 0,00689655 défaillances / jours

Calculez la probabilité qu’une pièce de type A soit en panne au bout de 200 jours

𝐹 200 = 1 − exp(−200 ∗ 0,00689655)=75%

𝐹 𝑡 = 1 − 𝑅(𝑡)

𝑅 𝑡 = exp(−𝛼𝑡)

Calculez la probabilité qu’une pièce de type A soit encore en bon fonctionnement au bout de 500 jours

𝑅 500 = exp(−500 ∗ 0,00689655)=3%

Déterminez le temps de bon fonctionnement avec une fiabilité égale à 80%

𝐥𝐧 𝐞𝐱𝐩 𝒂 = 𝒂

𝑅 𝑡 = exp(−𝛼 ∗ t) =0,8

ln(exp (−𝛼 ∗ t) )= ln(0,8)

−𝛼 ∗ 𝑡= -0,22314355

𝛼= 0,00689655 défaillances / jours

𝑡 =

0,22314355 0,00689655

𝑡 = 32,35 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

On considère deux articles de type A. Déterminez la fiabilité du système en les montant en série

𝑅𝑠𝑦𝑠 𝑡 = exp(−2𝛼 ∗ t)

Calculez la probabilité que ce système fonctionne au moins 150 jours

𝑅𝑠𝑦𝑠 𝑡 = exp −2𝛼 ∗ 150 = 0,12