Expert-Prépa

Mars 2019

Réseaux Optiques Plans

2éme Année

MP-PC-T

Proposé par Porf. Neil JOMAA

Nos vies sont faites de tout un réseau de voies inextricables, parmi lesquelles un instinct fragile nous guide, équilibre

toujours précaire entre le cœur et la raison.

Georges Dor

Problème 1

Réseau plan de N fentes

Partie I :

Considérons un réseau plan constitué de N fentes identiques parallèles, parfaitement transparentes, de

même largeur a et distantes entre elles de d. (Voir figure 1)

1) Exprimer la différence de phase φ(M ) entre les deux vibrations associées aux rayons lumineux

provenant des centres de deux fentes consécutives en fonction de d, X, λ et f (cid:48)

2-a) Montrer que l’intensité lumineuse diffractée par le réseau en un point M de l’écran est donnée par :

IR(M ) = IF (X)







sin

(cid:18) N φ

(cid:18) φ

(cid:19)







2-b) Que représente IF (X) ?

3-a) Quelles sont les valeurs de φ et de X correspondant aux maxima principaux de IR(M ) ?

3-b) Pour quelles valeurs de φ et de X l’intensité IR(M ) s’annule-t-elle ?

4) Représenter l’allure de IR(M ) dans le cas où

= 8.

5) En déduire la demi-largeur à la base des pics correspondant aux maxima principaux.

6) Déterminer, pour un ordre p donné, la distance sur l’écran entre les centres des pics principaux relatifs

aux radiations de longueurs d’onde λ et λ + ∆λ(∆λ (cid:28) λ).

7-a) En utilisant le critère de Rayleigh, déterminer la limite de résolution (∆λ)r imposée par le réseau.

7-b) En déduire le pouvoir de résolution du réseau défini par :R =

(∆λ)r

8) En pratique le pouvoir de résolution est : influencé par la largeur s de la fente source .

8-a) Déterminer, pour une incidence quelconque, la formule fondamentale du réseau.

8-b) Exprimer la largeur s(cid:48) de l’image de F1 sur l’écran en fonction de f (cid:48)

8-c) Déterminer pour un ordre p donné, la distance séparant les centres des images de F1 relatives aux

radiations de longueur d’onde λ et λ + ∆λ.

2 et s.

1, f (cid:48)

8-d) En déduire que la limite de résolution (∆λ)s imposée par la largeur de la fente source s’écrit :

(∆λ)s =

pf (cid:48)

8-e) Donner alors l’expression du pouvoir de résolution Rs du montage.

9-a) Calculer à l’ordre 1 les pouvoirs de résolution R et Rs dans le cas d’un réseau comportant

500 traits par millimètre gravés sur une largeur de 2 cm éclairé par une fente de largeur s = 0, 1 mm

émettant une radiation de longueur d’onde λ = 589 nm.

On prendra f (cid:48)

2 = 50 cm. Commenter le résultat.

1 = f (cid:48)

9-b) Dans ce cas, les deux radiations d’une lampe à vapeur de Sodium de longueurs d’onde respectives

λ = 589 nm et λ(cid:48) = 589, 6 nm sont-elles séparées ? Justifier.

10) Le réseau précédent est éclairé en incidence normale avec une source lumineuse émettant dans le

visible un spectre ayant des radiations de longueurs d’onde comprises dans l’intervalle λ1 = 400 nm et

λ2 = 660 nm.

En utilisant le résultat de la question 8-a), déterminer l’intervalle angulaire dans lequel on observe le

spectre d’ordre 1.

11) Est-ce qu’il y a recouvrement entre les spectres d’ordres 1 et 2 pour cette source ? Justifier.

Partie II : Réalisation d’un monochromateur à réseau

On modifie le montage de la figure 1 pour obtenir celui de la figure 2.

Le miroir plan orthogonal au plan de la figure est mobile autour de l’axe (∆).

La fente source F1, placée au plan focal objet de (L1), est supposée infiniment fine.

Le réseau comporte n = 1000 traits par millimètre gravés sur une largeur de 2 cm . Il est éclairé par une

lumière de radiations comprises dans l’intervalle λ1 = 400 nm et λ2 = 660 nm.

La fente de sortie F2, symétrique par rapport à Oz, est placée au plan focal image de (L2) de distance

focale f (cid:48)

2 = 10 cm.

Les angles α, i et θ sont comptés positivement dans le sens des orientations choisies.

1) Calculer le pas d de ce réseau.

2) Tracer la marche d’un faisceau lumineux sortant de (L1).

3) Dans sa position initiale, le miroir plan est réglé de sorte que le spectre d’ordre (-1) correspondant à la

radiation de longueur d’onde λ0 = 500 nm se forme au centre de F2.

3-a) Quelle valeur i0 doit-on donner à l’angle d’incidence i du faisceau incident sur le réseau ?

3-b) Quelle est la valeur α0 de l’angle α correspondant à i0 ?

4) On s’intéresse toujours au spectre d’ordre (-1).

Entre quelles limites doit-on faire varier α pour pouvoir sélectionner au centre de F2 le spectre s’étendant

de λ1 à λ2.

Problème 2

Réseau plan par réflexion

Partie I :

Un réseau est constitué par N miroirs identiques a celui étudié en I ; ces miroirs sont paralleles, coplanaires

et régulièrement espacés de la distance a comme l’indique la figure 1.

Il est éclairé sous l’incidence i positive dans le plan XY par un faisceau de lumiere parallele

monochromatique de longueur d’onde λ dans le vide.

1) Montrer, en le justifiant soigneusement, que l’amplitude de l’onde lumineuse diffractée à l’infini par le

réseau dans la direction i(cid:48) est proportionnelle à :

(cid:33)

(cid:32)

(sin i(cid:48) + sin i)X

(sin i(cid:48) + sin i)(n − 1)a













2π

(cid:88)

n=1

(cid:33)





(cid:32)

2π

(cid:90)







−

2) En déduire que l’intensité peut se mettre sous la forme d’un produit d’une fraction de la variable

π(cid:48)

(sin i(cid:48) + sin i) et d’une fonction de la variable

Φ =

et interpréter qualitativement I.

πa

(sin i(cid:48) + sin i). Déterminer ces deux fonctions

3) La figure 2 rappelle les caractéristiques de la fonction







sin

N ϕ

N sin







La hauteur des maxima secondaires est très faible (moins de 5 %) et ceux-ci ne sont pas visibles (les plus

importants sont trop proches des maxima principaux car N est grand). On appelle ordre de nombre entier

p caractérisant un maximum principal tel que ϕ = 2π.

3-a) On donne a = 2 µm; i = 10˚ et λ = 643, 8 nm. Quels sont les ordres théoriquement possibles ?

3-b) On suppose que N est très grand et que a = 2l. Dessiner le graphe I fonction de Φ en tenant compte

du résultat de la question 3-a). Que constante-t-on ?

4) On utilise une lampe a vapeur de cadmium qui émet une radiation rouge λ = 643, 8 nm. Soumise a un

champ magnétique de 1 Tesla, la lampe émet trois radiations de longueur d’onde λ, λ + ∆λ et λ − ∆λ avec

∆λ = 1, 93.10−2nm (c’est effet Zeeman).

4-a) Calculer, pour l’ordre p, la variation ∆1i(cid:48) de l’angle i(cid:48) qui résulte de la variation ∆λ de la longueur

d’onde.

4-b) Le nombre N de miroirs du réseau étant fini, chaque ordre est caractérisé par une largeur

variable

(voir figure 2). En déduire la largeur ∆2i(cid:48) correspondante pour la variable i(cid:48).

2π

pour la

4-c) On admet que deux longueurs d’onde sont séparées si leurs maxima sont distants (en variable i(cid:48)) de

plus de leur demi largeur (figure 3).

En déduire la valeur maximale R que doit prendre de rapport

séparées. R s’appelle le pouvoir de résolution du réseau.

∆λ

pour que deux radiations soient

Avec N = 20 000, les trois radiations de la lame sont-elles séparées dans l’ordre 1 ? Quelle est l’intensité

correspondant à cet ordre 1 ?

4-d) Pour un réseau déterminé (a, l, N fixés), que peut-on faire pour augmenter R ? Quel est

l’inconvénient qui en résulte ?

Partie II : Réseau à échelette

Le réseau représenté figure 4, dit réseau a échelette, permet de remédier a l’inconvénient mentionné

ci-dessus.

Il est constitué de N miroirs identiques de largeur l = AnBn (1 ≤ n ≤ N ), parallèles entre eux mais non

coplanaires. On l’éclaire sous l’incidence i positive dans le plan XY par un faisceau de lumiere parallele

monochromatique.

On notera b la distance B0B1 = B1B2.... = Bn−1Bn.

1) Soient M1 et M2 deux points situés sur les miroirs 1 et 2 à des distances identiques de A1 et

A2 : A1M1 = A2M2 et par conséquent M1M2 = b. Calculer la différence de marche δ entre les rayons 1 et

2 se réfléchissant en M1 et M2, et interférant à l’infini.

2) Calculer l’intensité diffractée a l’infini par le réseau sous une forme analogue a celle de la question I-2.

3-a) Pour quelle valeur de i(cid:48), à i fixé, obtient-on le maximum de la tache centrale de diffraction ?

3-b) Peut-on faire en sorte que, pour la valeur de i(cid:48) trouvée ci-dessus, on obtienne un ordre p0 non nul ?

Quelle relation doit être alors vérifiée ?

3-c) Calculer comme en I-4- le pouvoir de résolution de ce réseau.

3-d) Expliquer clairement, l’intérêt du réseau à échelette par rapport au réseau plan par réflexion.

Probleme : Bistabilité optique dans un interférometre FABRY-PEROT

L’espace est rapporté au trièdre direct Oxyz, de vecteurs unitaires notés −→ex, −→ey et −→ez .

Le nombre complexe de module 1 et d’argument +

est noté j.

Les grandeurs harmoniques seront représentées en notation complexe. Par convention, la grandeur

complexe associée à une grandeur réelle de la forme g(t) = g0 cos(ωt + ϕ) sera désignée par une lettre

soulignée notée g = g0 e[j(ωt+ϕ)].

La vitesse de la lumière dans le vide est notée c = 3 × 108 m.s−1.

Partie I : Cavité résonante électromagnétique

On étudie le champ électromagnétique entre deux conducteurs parfaits, occupant respectivement les

régions x < 0 et x > L . Dans l’espace vide entre les deux conducteurs (0 < x < L) , le champ électrique

s’écrit, en notation complexe :

−→

E = E(x) e(jωt) −→ey

1) Rappeler les équations de Maxwell dans le vide.

En déduire l’équation de propagation du champ électrique dans le vide (équation de d’Alembert

tridimensionnelle).

2) Modes propres de la cavité

2-a) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par E(x). Quelle est la forme générale des solutions de

cette équation ? On introduira la grandeur k =

2-b) Écrire en les justifiant les conditions aux limites que doit vérifier le champ électrique en x = 0 et x = L.

2-c) En déduire que les seules valeurs de k possibles sont la forme k = kp = pk1 où p est un entier et k1 une

constante que l’on exprimera en fonction de L.

2-d) Représenter graphiquement E(x) pour les solutions p = 1, 2, 3.

2-e) Montrer que le champ électromagnétique peut être considéré comme la superposition de deux ondes

planes progressives dont on donnera les caractéristiques. Interpréter physiquement ce résultat.

Partie II : Interféromètre de FABREY-PEROT en incidence normale

Rappel mathématique :

Pour tout complexe q vérifiant |q| < 1, on a

Conventions relatives au signal lumineux :

∞

(cid:88)

i=0

qi =

1 − q

Une onde lumineuse est caractérisée par un signal lumineux, s, dont la représentation complexe en un

point d’abscisse x est de la forme s(x, t) = a.e[j(ωt−ϕ(x))] où a est l’amplitude (constante) de l’onde et ϕ(x)

sa phase au point considéré.

L’éclairement I associé est relié à s par I = |s|2.

On étudie l’interférometre de FABRY-PEROT, constitué d’une lame a faces parallèles d’un matériau

transparent d’indice de réfraction n0 occupant l’espace compris entre x = 0 et x = L. Les faces de la lame

sont traitées de façon à posséder une réflectivité élevée. L’ensemble est placé dans le vide.

On envoie depuis x = −∞ une onde lumineuse monochromatique plane de pulsation ω, se propageant dans

la direction −→e x.

Figure 2 : Réflexions et transmissions successives d’une onde lumineuse.

Les décalages transversaux sont fictifs et ont pour seul but de faciliter la lecture.

L’onde incidente engendre une succession infinie d’ondes transmises et réfléchies aux interfaces lame-verre,

(figure 2) dont nous allons étudier la superposition.

Modélisation des réflexions-transmission.

Lorsque une onde lumineuse de signal si(x, t) rencontre une interface lame-vide en x = x0 (x0 = 0 ou L),

elle donne naissance à une onde réfléchie et une onde transmise de signaux respectifs Sr(x, t) et Str(x, t)

vérifiant :

Sr(x0, t) = ρSi(x0, t) et Str(x0, t) = τ Si(x0, t).

Les coefficients ρ et τ sont supposées réels et vérifient ρ2 + τ 2 = 1.

Dans le modele simple étudié ici, nous considererons que les coefficients ρ et τ sont les mêmes pour une

onde venant de la lame ou pour une onde venant du vide.

L’onde incidente depuis x = −∞ a une amplitude A0 et un éclairement I0 = A2

1) Étude de l’éclairement transmis-cas particuliers

On se place du côté x > L et on repere les ondes émergeant successivement de la lame a l’aide d’un entier p

variant de 1 à l’infini. L’onde p a une amplitude Ap (voir figure 2). Sa phase en un point d’abscisse x est

notée ϕp(x).

1-a) Exprimer A1, A2 puis Ap en fonction de A0, ρ, τ et p.

1-b) Calculer le déphasage Φ = ϕp+1(x) − ϕp(x) en x > L entre deux ondes successives p + 1 et p issues de

la lame, en fonction de k =

, L et n0.

1-c) À quelle condition sur Φ l’éclairement de l’onde transmise est-il maximal ?

Montrer alors que l’éclairement total transmis est Itr,max = I0

1-d) Écrire la condition sur Φ pour que les interférences entre les ondes p et p + 1 soient destructives.

On admet que, dans ces conditions, l’éclairement transmis est minimal et vaut Itr,min. Déterminer Itr,min

en fonction de ρ et I0.

Justifier qualitativement que cet éclairement n’est pas nul.

1-e) Exprimer la visibilité V =

Itr,max − Itr,min

Itr,max + Itr,min

Quel intérêt y-a-t-il à travailler avec une valeur de ρ2 aussi élevée que possible ?

du phénomène d’interférences en fonction de ρ .

2) Étude de l’éclairement transmis – cas général

2-a) Montrer que le signal résultant en x > L peut s’écrire

Str(x, t) = T A0 e[j(ωt−ϕ1(x))]

∞

(cid:88)

p=0

Rp e(−jΦp)

et exprimer R et T en fonction de ρ.

2-b) Soit Itr l’éclairement total transmis. Écrire le facteur de transmission Θ =

Θ = Θ0(Φ), Θ0(Φ) étant une fonction de R et Φ que l’on déterminera.

Retrouver les résultats du 1.c. et 1.d.

Itr

, sous la forme

2-c) En plus de l’interféromètre de Fabry–Pérot, on dispose au laboratoire d’une source lumineuse blanche,

d’un réseau de diffraction orientable, de diaphragmes, de lentilles minces, de lames semi réfléchissantes et

de détecteurs délivrant un signal proportionnel à l’éclairement.

Proposer un montage expérimental utilisant les éléments précédents permettant de déterminer Θ(Φ), dans

les conditions expérimentales étudiées ici.

On s’attachera à expliquer

– comment obtenir une onde lumineuse plane,

– comment, à l’aide de la source, du réseau, de lentilles et de diaphragmes, on peut obtenir une source

quasi monochromatique de pulsation variable,

– comment mesurer les éclairements des signaux incidents et transmis, sachant que les détecteurs ont une

surface sensible très petite.

Dans toute la suite, on suppose que les faces ont des réflectivités très élevées et on pose ρ = −1 + ε, avec

0 < ε (cid:28) 1.

3) Signal optique dans la lame

Par la même méthode que celle utilisée à la question précédente, on peut calculer le signal optique dans la

lame.

On trouve (calcul non demandé), pour 0 < x < L :

(x, t) = S tr (L, t) ×

e(−jn0k(x−L)) + ρ.e(jkn0(x−L))(cid:105)

(cid:104)

lam

, où S tr (x, t) est la grandeur introduite au 2.a.

3-a) Interpréter physiquement les deux termes dépendant de x dans cette expression.

3-b) Montrer que, lorsque la réflectivité est élevée, l’éclairement Ilam(x) dans la lame peut s’écrire :

Ilam(x) ∼=

3-c) On suppose n0kL = p.π, avec p entier.

Représenter Ilam(x) en fonction de x pour p = 1, 2, 3.

Comparer qualitativement ces résultat avec ceux de la question 2.d de la partie I.

Θ 2 sin2(n0k(x − L))

3-d) On définit la valeur moyenne de l’éclairement dans la lame :

Ilam =

(cid:90) L

Ilam(x)dx.

Montrer que, lorsque kn0L = pπ + α, avec p entier et α (cid:28) 1, on peut écrire Ilam

fonction de ε.

∼= γΘI0 et exprimer γ en

Partie III : Cas d’un matériau non linéaire, bistabilité optique

On suppose maintenant que la lame est constituée d’Arséniure de Gallium (GaAs). Ce matériau possède

d’importantes propriétés optiques (cid:28) non linéaire (cid:29) : son indice de réfraction n en un point dépend de

l’éclairement I en ce point, selon la loi n = n0 + n2I , où n2 est une constante supposée positive.

1) Modification du déphasage dans la lame

1-a) Exprimer le déphasage Φ entre deux ondes émergeantes successives en fonction de k, L, n0 et de

l’intégrale

Ilam(x)dx.

(cid:90) L

En déduire que les résultats établis dans la partie II restent valables en replaçant n0 par n(cid:48)

0 = n0 + n2Ilam.

1-b) En admettant que l’expression de Ilam du 3-d (partie II) reste valable, montrer qu’à I0 donné, Θ varie

linéairement avec Φ selon une relation de la forme Θ =

k, n2, n0, L et γ.

2) Bistabilité

Φ − Φ0

I0δ

. Exprimer Φ0 et δ en fonction de

En combinant les résultats du 1.b ci-dessus et ceux du 1.b de la partie II, on s’aperçoit que Φ doit être

solution de l’équation

Θ0(Φ) =

Φ − Φ0

δI0

(1)

2-a) La figure 3 ci-après représente le coefficient de transmission

Θ0(Φ) au voisinage d’un pic de transmission, centré en Φp = p.2π.

On suppose Φ0 = Φp − 0, 1. Proposer une méthode graphique per-

mettant de résoudre l’équation (1), pour I0 donné.

2-b) Montrer graphiquement qu’il existe deux valeurs critiques I1

et I2 de I0 telles que, dans l’intervalle de Φ considéré sur la figure

3 :

(cid:88) pour I0 < I1 et I0 > I2, l’équation (1) admet une seule solution ;

(cid:88) pour I1 < I0 < I2, l’équation (1) admet 3 solutions.

On indique que, pour I1 < I0 < I2 seules les deux solutions corres-

pondant aux valeurs extrêmes de Φ correspondent à des situations

stables. Ce domaine d’éclairement incident est dit (cid:28) domaine bis-

table (cid:29)

2-c) En vous aidant de la figure 3, estimer graphiquement les valeurs numériques ∆1 = Φ1 − Φp et

∆2 = Φ2 − Φp correspondant respectivement à I0 = I −

à I2).

Estimer également les valeurs Θ1 et Θ2 des coefficients de transmission obtenus en Φ1 et Φ2, ainsi que le

rapport

1 (I juste inférieur à I1) et I0 = I +

2 (I juste supérieur

2-d) On augmente progressivement l’éclairement incident I0 a partir de I0 = 0 jusqu’a une valeur

I0,max = 2I2.

L’expérience montre que l’éclairement transmis Itr évolue de façon continue en fonction de l’éclairement

incident I0, sauf lorsque cela est impossible.

Que se passe-t-il lorsque I0 = I2 ?

On diminue ensuite l’éclairement en revenant à un éclairement nul. Que se passe-t-il lorsque I0 = I1 ?

2-e) A l’aide de quelques points lus sur la figure 3, représenter graphiquement Itr/I2 en fonction de I0/I2.

Imaginer une application à ce type de dispositif.

Expert-Pr´epa R´eseaux Optiques Plans

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