EXERCICES SUR LES DEVELOPPEMENTS LIMITES
CALCUL DE DEVELOPPEMENTS LIMITES
1. Calculer le développement limité en 0 des fonctions f définies ci-dessous.
a) f (x) = (1 + 2 arctan x)(2ex
−
sin x) ordre 3
b)
f (x) = (x + 1)(x
2)(x
−
−
3) ordre 2
c)
f (x) =
2 + arctan x
ch x
ln(1 + x3)
x
tan x
−
g) f (x) = e√2+cos x
f (x) =
e)
i)
f (x) = ln
ln(1 + x)
x
k) f (x) = cos(ex)
ordre 4
d)
f (x) =
x
ex
1
−
ordre 3
f ) f (x) = √2 + cos x
ordre 2
h) f (x) = (1 + 2x)1/x
ordre 2
ordre 2
j)
l)
f (x) = 3√1 + sin x
f (x) = argsh √1 + x
ordre 3
ordre 2
ordre 2
ordre 3
ordre 2
2. Calculer le développement limité en 0 des fonctions f définies ci-dessous.
a) f (x) = (1 + arctan x)(ex + 2 sin x) ordre 3
b)
f (x) = (x
1)(x
2)(x
−
−
4) ordre 2
c)
f (x) =
1 + arctan x
cos x
ln(1 + x3)
sin x
x
g) f (x) = e√1+2 cos x
f (x) =
e)
−
i)
f (x) = ln
sin x
x
x
k) f (x) = cos(e
cos x )
ordre 5
ordre 2
ordre 2
ordre 3
ordre 2
ordre 4
d)
f (x) =
−
x
ex
1
−
ordre 3
f ) f (x) = √1 + 2 cos x
ordre 2
h) f (x) = (1 + x)1/x
ordre 4
ordre 4
j)
l)
f (x) = 3
1 + ln(1 + x)
f (x) = argch √2 + x
p
1
ordre 2, puis 10
ordre 5
ordre 5
3. Calculer le développement limité en 0 des fonctions f définies ci-dessous.
a)
c)
f (x) = (cos(x + x2))2
f (x) = ex(1 + x + x2)
ordre 3
ordre 2
b)
d)
f (x) = x(x
−
f (x) = sin2 x
1)(x
2)
−
e)
f (x) =
ln(1 + x)
1 + x
g)
f (x) = exp
sin x
x
1/x2
1
cos x
f (x) =
(cid:19)
(cid:18)
f (x) = √2 + x2
i)
k)
ordre 3
f ) f (x) =
x
Z0
sin t
1 + t
dt
ordre 5
h) f (x) = ln(cos x + sin x)
ordre 2
ordre 3
j)
f (x) =
1 + √1 + x
ordre 2
ordre 5
l)
f (x) = argch √2 + x2
p
ordre 5
m) f (x) = (1 + 2 cos(2x))(x
−
ln(1 + x)) ordre 5
n) f (x) =
2 sin x
arctan x
−
ln(1 + x)
ordre 2
4. Calculer le développement limité en 0 des fonctions f définies ci-dessous.
a) f (x) =
c)
f (x) =
e) f (x) =
ech x
ecos x
−
x2
ee−x
eex
−
ln(1 + x)
arctan x + ln(1 + x)
sin x
ordre 2
b)
f (x) = (1 + x)
1
sin x
ordre 2
d) f (x) =
ordre 3
e
(cid:16)
1
cos x +
x2
sin x
(cid:17) −
ln(1 + x)
e
ordre 3
ordre 2
5. En utilisant la formule de Taylor-Young, calculer le d.l. de arctan x à l’ordre 3 au voisinage
de 1. Puis retrouver ce résultat à partir du d.l. de la dérivée d’arctan x au voisinage de 1 sans
utiliser la formule de Taylor-Young .
6. Calculer le développement limité des fonctions f définies ci-dessous.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
−
3)
1)(x
2)(x
f (x) = cos x
f (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
f (x) = sin x
f (x) = (x
−
f (x) = ln x
f (x) = (tan x)tan(2x)
f (x) = (x
f (x) = (1 + sin x)x
f (x) = √2e
f (x) = 4√2
4)(x + 3)(x
ex
ln x
−
−
−
−
−
1)(x2 + 2)
à l’ordre 3
à l’ordre 2
à l’ordre 3
à l’ordre 2
à l’ordre 2
à l’ordre 3
à l’ordre 2 puis 2000
à l’ordre 2
à l’ordre 2
à l’ordre 2
en π/3
en
1
−
en π/6
en 1
en 3 puis en 4
en π/4.
en 1
en π/2
en 1
en 1
7. Montrer que l’on a, près de 0,
arcsin x =
n
Xk=0
1
4k
2k
k
(cid:18)
(cid:19)
x2k+1
2k + 1
+
(x2n+1) .
◦
2
8. Déterminer le développement limité d’ordre 13 en 0 de arctan(1/x2).
9. Montrer que, quel que soit n > 0, le développement limité d’ordre n en 0 de th(1/x2) est
10. En la justifiant, donner la réponse aux questions suivantes :
th(1/x2) = 1 +
(xn) .
◦
a) La fonction x
b) La fonction x
7→
7→
c) La fonction x
2 ? d’ordre 3 ?
7→
ln x a-t-elle un développement limité en zéro ?
√x a-t-elle un développement limité d’ordre 1 en zéro ?
√x5 possède-t-elle un développement limité en zéro d’ordre 1 ? d’ordre
d) La fonction x
1/x2
e−
7→
possède-t-elle un développement limité en zéro d’ordre n ?
11. Deux fonctions f et g définies près de 0 admettent les développements limités suivants :
f (x) = x2 + 2x3 + x4 +
(x4)
◦
et
g(x) =
x3 + 3x4 +
(x4) .
◦
−
Déterminer, avec le plus grand ordre possible, un développement limité de f
g,
×
g
f
et g
◦
f en 0.
RECHERCHE D’EQUIVALENTS ET DE LIMITES AVEC LES
DEVELOPPEMENTS LIMITES
12. Trouver un équivalent simple, lorsque x tend vers zéro des fonctions f définies ci-dessous.
a)
f (x) = x(2
cos x)
−
−
arctan x
c)
f (x) = √tan x
4√x sin x
−
b)
f (x) = ecos x + ech x
2e
−
d)
f (x) = 1 +
ln ch x
ln cos x
13. Trouver un équivalent simple, lorsque x tend vers zéro des fonctions f définies ci-dessous.
a)
f (x) = x(1 + cos x)
2 tan x
−
c)
f (x) = √sin x
4√x tan x
−
e)
f (x) = (2e cos x
ex+1)ln x
−
b)
f (x) = ecos x
ech x
−
d)
f (x) = 1 +
ln cos x
ln ch x
tan x
2
−
1 + e−
x −
4
4 + x2
f )
f (x) =
3
14. Calculer la limite en 0 des fonctions f définies ci-dessous.
a) f (x) =
c)
f (x) =
sin x
5x
4x
−
−
arcsin x
−
sin3 x
3x
2x
e)
f (x) = cotan2 x
1
x2
−
b)
f (x) =
d)
f (x) =
f ) f (x) =
sh x
sin x
(cid:18)
1 + x
x
1
(cid:18)
−
(ch x)−
1/x2
1/x
(cid:19)
(cid:19)
1/x2
ch x
(cos x)1/x2
cos x
−
−
15. Calculer la limite en 0 des fonctions f définies ci-dessous.
a) f (x) =
x
c)
f (x) =
arcsin x
−
sin3 x
4x
2x
−
−
8x
3x
b)
f (x) =
(cid:18)
d) f (x) =
1/x2
1/x
sin x
sh x
(cid:19)
1
x
−
1 + x
(cid:19)
(cid:18)
16. Calculer la limite en e des fonctions f définies ci-dessous.
a) f (x) =
xe
(x
ex
e)2
−
−
b) f (x) =
1
−
ex
xe
−
cos(x
c) f (x) =
e)
√x
ln x
√e
1
−
−
−
17. Calculer la limite en 1 de la fonction f définie par
(2x
f (x) =
x3)1/3
−
x3/4
1
−
−
√x
.
18. Déterminer la limite en 0 des fonctions f définies ci-dessous.
a) f (x) =
c)
f (x) =
e)
f (x) =
g) f (x) =
i)
f (x) =
k) f (x) =
ln(cos x ch x)
x4
ln(1 + x)
x2
tan x
tan x
1
x −
sin x
th x
−
−
1
x2 ln
(arctan x)2
sin x
x
(1
√sin x
sin √x
−
−
−
√x
√x
tan x sin x
−
cos x)2
b)
f (x) =
sh x + sin x
−
x(ch x + cos x
2x
2)
f ) f (x) =
h) f (x) =
f (x) =
sin x
x ln(1
(sin x
x
−
x2)
−
x) ln
−
5/2
x
|
|
1
ln(1 + x)
(cid:18)
f (x) = (cos x)1/x2
(cid:19)
d)
j)
−
x
|
|
2
ex
x2
−
l)
f (x) =
cos(x + x2)
1 + x + x2 −
x
Publicité
e−
1
x2
(cid:18)
(cid:19)
19. Calculer la limite en 0 de la fonction f définie par
f (x) =
e√4+x + e√4
−
tan2 x
x
2e2
.
−
4
20. Calculer la limite en π/2 de la fonction f définie par
f (x) =
√1 + sin x
−
cos2 x
p
3
−
sin2 x
.
21. Calculer les limites des suites dont le terme général est donné ci-dessous.
n
(x réel)
x
n
a) un =
1 +
(cid:16)
b) un =
(cid:17)
n√a +
2
n
n√b
!
(a, b réels positifs).
ETUDE LOCALE DE FONCTIONS AVEC LES DEVELOPPE-
MENTS LIMITES
22. Etudier au voisinage de zéro, les fonctions f définies ci-dessous (tangente, position par
rapport à la tangente, dessin).
a) f (x) =
c)
f (x) =
e−
1
x
−
x
1
x
ex
6
−
6
x3
b)
f (x) =
d) f (x) =
ln(1 + x3)
3 ln(1 + x)
−
3x
1
x
ex
ln
1
−
x
(cid:18)
23. Etudier au voisinage de 1, la fonction f définie par
−
(cid:19)
−
(tangente, position par rapport à la tangente, dessin)
f (x) = x + 2√x
√3 + x .
ETUDE A L’INFINI DE FONCTIONS AVEC LES DEVELOP-
PEMENTS LIMITES
24. Etudier à l’infini (asymptote à la courbe représentative, position par rapport à l’asymptote
et dessin), les fonctions f définies ci-dessous.
a) f (x) =
x(1 + x) e3/(2x)
b)
f (x) =
x(2 + x) e1/x
p
f (x) = x
3
x
−
x + 1
r
f (x) = ln(e2x
ex + 3e−
c)
e)
g) f (x) =
−
x3 + 2x2
x2
−
x + 1
−
x + 2
p
f (x) = x
d)
1
x
−
x + 1
r
f ) f (x) = ln(e2x
ex + 3e−
3x + 1)
−
3x + e−
x + 1)
5
25. Etudier à l’infini (asymptote à la courbe représentative, position par rapport à l’asymptote),
les fonctions f définies ci-dessous.
a) f (x) =
x3
x2 + x + 1
c)
f (x) = (2x + 1) e
1
x−1
e) f (x) = x
g) f (x) = 3
π
2 −
arctan x
(cid:18)
x3 + x2 + 1
b)
f (x) =
d)
f (x) = x(
2x3
x2
−
3x2 + 4x
x + 1
−
x2 + 1
x2
1)
−
−
3x2
1 + 3x2
−
(cid:19)
f ) f (x) = (x
p
p
−
1
x+1
1) e
p
26. a) Ecrire le développement limité à l’ordre 2 en zéro de la fonction g définie par
g(u) = ln
ln(1 + 2u)
ln(1 + u)
.
(On justifiera le choix de l’ordre auquel on commence les calculs, et on détaillera les calculs
intermédiaires).
b) En déduire le comportement à +
de la fonction f définie par
∞
f (x) = x ln
ln(2 + x)
ln(1 + x)
ln x
ln x
.
−
−
(Equation de l’asymptote, position de la courbe par rapport à l’asymptote et dessin (on prendra
ln 2 = 0, 7)).
27. a) Soit a et b deux réels. Donner le développement limité à l’ordre n en 0 de
b) Soit f la fonction définie, lorsque cela a un sens, par
g(x) = ln
1 + ax
1 + bx
.
f (x) = (3x2 + 6x
10) ln
−
x + 4
x + 2
.
Montrer qu’elle admet un développement asymptotique lorsque x tend vers l’infini, de la forme
f (x) = αx + β +
γ
x2 +
1
x2
,
(cid:19)
◦
(cid:18)
où α, β et γ sont des réels non nuls.
En déduire le comportement de la courbe représentative de f à +
position par rapport à l’asymptote et dessin).
∞
et à
−∞
. (Asymptote,
6
28. Soit la fonction f définie par
a) Montrer qu’au voisinage de l’infini, on a
f (x) = x
x
2
−
x + 2
.
r
f (x) = αx + β +
γ
x
+
1
x
.
(cid:19)
◦
(cid:18)
Interpréter géométriquement ce résultat en faisant le dessin correspondant.
b) Etudier et représenter graphiquement la fonction f . (On pourra prendre le nombre 2 comme
valeur approchée de √5).
7
Corrigé
1. a) On part des d.l. de arctan x , ex et sin x à l’ordre 3 en zéro. On obtient
1 + 2 arctan x = 1 + 2x
2x3
3
−
+
(x3) ,
◦
et
2ex
−
sin x =
2 + 2x + x2 +
(cid:18)
x3
3
x3
6
x
−
(cid:19)
−
(cid:19)
(cid:18)
+
(x3) = 2 + x + x2 +
◦
x3
2
+
(x3) .
◦
On effectue le produit en tronquant à l’ordre 3, ce qui donne
(1 + 2 arctan x)(2ex
−
sin x) = 2 + 5x + 3x2 +
7x3
6
+
(x3) .
◦
b) On développe et on tronque à l’ordre 2. On obtient
(x + 1)(x
2)(x
−
−
3) = 6 + x
−
4x2 + x3 = 6 + x
4x2 +
(x2) .
◦
−
c) Le dénominateur de la fraction ne s’annulant pas en zéro, on effectue la division suivant les
puissances croissantes à l’ordre 4,
1
x4/12 2 +x
x4/12
−
−
+x2/2
x2
−
+x4/24
5x3/6 +5x4/12
−
2 +x
2
−
x
x
−
x2
x2
−
−
x2
x2
−
x3/3
−
x3/3
−
x3/2
−
5x3/6
−
x4/12
−
+x4/2
5x3/6 +5x4/12
5x3/6
−
+5x4/12
5x4/12
0
−
ce qui donne
2 + arctan x
ch x
= 2 + x
x2
−
−
5x3
6
+
5x4
12
+
(x4) .
◦
d) Le premier terme non nul du d.l. du dénominateur étant de degré 1, on part de l’ordre 4. On
obtient
et donc
ex
−
x
1 = x +
+
x2
2
x3
6
x4
24
+
(x4) ,
◦
ex
1
−
=
1 +
x
2
+
x2
6
8
.
x3
24
+
(x3)
◦
+
1
+
On effectue la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 3,
1
1
−
1 +x/2 +x2/6 +x3/24
x/2 +x2/12
−
−
−
x3/24 1
x2/6
x/2
−
−
x/2
x3/24
x2/6
−
−
x/2 +x2/4 +x3/12
x2/12 +x3/24
x3/24
x2/12
0
−
−
ce qui donne
x
ex
1
−
= 1
−
x
2
+
x2
12
+
(x3) .
◦
e) Le premier terme non nul du d.l. du dénominateur est de degré 3. On part donc de d.l. à
l’ordre 6. On obtient
tan x
x =
−
x3
3
+
2x5
15
+
(x6)
◦
et
ln(1 + x3) = x3
x6
2
−
+
(x6) .
◦
Alors
x6
2
2x5
15
x3
2
ln(1 + x3)
x
tan x
−
=
x3
x3
3
−
+
+
(x6)
◦
+
(x6)
◦
=
1
−
1 +
= 3
= 3
1
−
6x2
5 −
(cid:18)
−
+
(x3)
◦
3x3
2
+
(cid:19) (cid:18)
(x3) .
◦
1
−
x3
2
2x2
5
2x2
5
+
(x3)
◦
+
(x3)
◦
+
(x3)
◦
(cid:19)
f) On a tout d’abord
donc
2 + cos x = 3
x2
2
−
+
(x2) ,
◦
x2
6
r
On utilise le d.l. de (1 + u)m en zéro avec m = 1/2. On obtient
(x2) = √3
◦
√2 + cos x =
x2
2
−
+
−
(cid:18)
3
1
1/2
.
+
(x2)
◦
(cid:19)
√2 + cos x = √3
1
(cid:18)
1
2
x2
6
−
+
(x2)
◦
Publicité
(cid:19)
= √3
1
(cid:18)
x2
12
+
−
(x2)
◦
(cid:19)
.
9
g) En utilisant l’exercice précédent
√2 + cos x = e
e
√3
x2
12
+
1
(cid:16)
−
(x2)
◦
(cid:17)
= e
√3 e
(cid:16)
−
√3 x2
12
+
(x2)
◦
(cid:17)
.
On utilise alors le d.l. de ex en zéro, d’où
√2 + cos x = e√3
e
1
−
√3 x2
12 !
+
(x2) .
◦
h) On écrit
Puisque l’on divise par x, on part d’un d.l. de ln(1 + 2x) à l’ordre 3. On obtient
(1 + 2x)1/x = e
(cid:16)
ln(1 + 2x)
x
.
(cid:17)
ln(1 + 2x) = 2x
puis
ln(1 + 2x)
x
e
(cid:16)
2
2x +
= e
−
8x2
3
(cid:17)
On utilise alors le d.l. de ex à l’ordre 2 en zéro.
(cid:16)
−
+
2x2 +
8x3
3
+
(x3) ,
◦
(x2)
◦
(cid:17)
= e2 e
(cid:16)
−
2x +
8x2
3
+
(x2)
◦
(cid:17)
.
ln(1 + 2x)
x
e
(cid:16)
= e2
1 +
"
(cid:17)
−
(cid:18)
2x +
8x2
3
(cid:19)
+
1
2
−
(cid:18)
2x +
8x2
3
2
+
#
(cid:19)
(x2) = e2
◦
2x +
1
−
(cid:18)
14x2
3
(x2) .
◦
+
(cid:19)
i) Puisque l’on divise par x, on part d’un d.l. de ln(1 + x) à l’ordre 3. On obtient
ln(1 + x) = x
x2
2
+
x3
3
−
+
(x3) ,
◦
donc
ln(1 + x)
x
(cid:19)
On utilise alors le d.l. à l’ordre 2 en zéro de ln(1 + x) pour obtenir
(x2)
◦
= ln
x
2
ln
−
+
+
(cid:18)
1
.
x2
3
ln
ln(1 + x)
x
=
x
2
+
x2
3
1
2
x
2
+
x2
3
2
(cid:19)
−
(cid:18)
−
(cid:19)
−
(cid:18)
+
(x2) =
◦
−
x
2
+
5x2
24
+
(x2) .
◦
j) En partant du d.l. à l’ordre 3 en zéro de sin x, on a donc
3√1 + sin x =
1 + x
(cid:18)
x3
6
−
+
(x3)
◦
(cid:19)
1/3
.
On utilise le d.l. de (1 + u)1/3 à ł’ordre 3 en zéro qui s’écrit
(1+ u)1/3 = 1+
u
3
+
1
3
1
3 −
1
(cid:19)
(cid:18)
u2
2
+
1
3
1
3 −
1
(cid:19) (cid:18)
1
3 −
2
(cid:19)
(cid:18)
u3
6
+
(u3) = 1+
◦
u
3 −
u2
9
+
5u3
81
+
(u3) .
◦
10
Alors
3√1 + sin x = 1 +
= 1 +
= 1 +
x
x
(cid:18)
1
3
1
3
x
3 −
(cid:18)
−
−
x2
9
x3
6
x3
6
+
−
(cid:19)
−
(cid:19)
x3
162
1
9
(cid:18)
x2
9
x
+
x3
6
−
5x3
81
+
(x3) .
◦
2
(cid:19)
+
5
81
x
−
(cid:18)
3
x3
6
(cid:19)
+
(x3)
◦
+
(x3)
◦
k) On part du d.l. en zéro à l’ordre 2 de ex qui s’écrit
ex = 1 + x +
x2
2
+
(x2) .
◦
cos(ex) = cos
1 + x +
(cid:18)
x2
2
+
(x2)
◦
(cid:19)
.
Alors
On en déduit
cos(ex) = cos 1 cos
x +
(cid:18)
x2
2
+
(x2)
◦
(cid:19)
−
sin 1 sin
x +
(cid:18)
x2
2
+
(x2)
◦
(cid:19)
.
En utilisant le d.l. en zéro à l’ordre 2 du cosinus et du sinus, on a
cos(ex) = cos 1
1
x2
2
−
x sin 1
+
−
−
(x2)
◦
(cid:19)
cos 1 + sin 1
2
sin 1
x +
(cid:18)
x2 +
(x2) .
◦
x2
2
+
(x2)
◦
(cid:19)
= cos 1
(cid:18)
−
l) On cherche un d.l. de la dérivée à l’ordre 1. On obtient
f ′(x) =
1
2√1 + x
1
√2 + x
=
1
2
(2 + 3x + x2)−
1/2 =
√2
4
1 +
(cid:18)
3x
2
+
x2
2
(cid:19)
1/2
−
,
donc
f ′(x) =
√2
4
3x
4
+
1
−
(cid:18)
.
(x)
◦
(cid:19)
Puis en calculant la primitive, qui vaut argsh 1 = ln(1 + √2) en 0,
argsh √1 + x = ln(1 + √2) +
√2
4
x
−
3√2
32
x2 +
(x2) .
◦
2. a) On part des d.l. de arctan x , ex et sin x à l’ordre 3 en zéro. On obtient
11
et
1 + arctan x = 1 + x
x3
3
−
+
(x3) ,
◦
ex + 2 sin x =
1 + x +
(cid:18)
x2
2
+
x3
6
+ 2
x
(cid:19)
(cid:18)
x3
6
−
(cid:19)
+
(x3) = 1 + 3x +
◦
x2
2 −
x3
6
+
(x3) .
◦
On effectue le produit en tronquant à l’ordre 3, ce qui donne
(1 + arctan x)(ex + 2 sin x) = 1 + 4x +
7x2
2
+
(x3) .
◦
b) On développe et on tronque à l’ordre 2. On obtient
(x
−
1)(x
−
2)(x
−
4) =
−
8 + 14x
−
7x2 + x3 =
8 + 14x
−
7x2 +
(x2) .
◦
−
c) Le dénominateur de la fraction ne s’annulant pas en zéro, on effectue la division suivant les
puissances croissantes à l’ordre 4,
1
+x4/24
x2/2
x4/24 1 +x +x2/2 +x3/6 +5x4/24
x4/24
−
−
−
1 +x
1
−
x3/3
−
+x2/2
x +x2/2
x
x3/3
−
+x3/2
x2/2 +x3/6
x2/2
−
−
x4/24
−
+x4/4
x3/6 +5x4/24
x3/6
−
+5x4/24
5x4/24
0
−
ce qui donne
1 + arctan x
cos x
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
5x4
24
+
(x4) .
◦
d) Le premier terme non nul du d.l. du dénominateur étant de degré 1, on part de l’ordre 6. On
obtient
et donc
ex
−
x
1 = x +
+
+
x2
2
x3
6
x4
Publicité
24
x5
120
+
x6
720
+
(x6) ,
◦
+
1
+
x4
120
+
x5
720
+
(x5)
◦
.
ex
1
−
=
1 +
x
2
+
x2
6
+
x3
24
12
On effectue la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 5,
1
1
−
1 +x/2 +x2/6 +x3/24 +x4/120 +x5/720
x/2 +x2/12
−
x4/720
−
−
−
−
−
−
−
x2/6
x2/6
x3/24
x3/24
x4/120
x4/120
x5/720 1
x/2
−
−
x5/720
x/2
−
−
x/2 +x2/4 +x3/12 +x4/48 +x5/240
x2/12 +x3/24 +x4/80 +x5/360
x5/288
x2/12
x4/72
−
−
x5/1440
x4/720
−
−
x4/720 +x5/1440
0
x3/24
−
−
ce qui donne
x
ex
1
−
= 1
1
2
−
x +
1
12
x2
−
1
720
x4 +
(x5) .
◦
e) Le premier terme non nul du d.l. du dénominateur est de degré 3. On part donc de d.l. à
l’ordre 6. On obtient
sin x =
x
−
x3
6 −
x5
120
+
(x6)
◦
et
ln(1 + x3) = x3
x6
2
−
+
(x6) .
◦
Alors
ln(1 + x3)
sin x
x
−
=
x3
−
x3
6 −
x6
2
x5
120
x3
2
+
(x6)
◦
= 6
+
(x6)
◦
+
(x3)
◦
3x3 +
(cid:19) (cid:18)
(x3) .
◦
1
1
−
−
x3
2
x2
20
x2
20
1 +
+
+
+
(x3)
◦
(x3)
◦
(x3)
◦
(cid:19)
= 6
1
(cid:18)
= 6 +
−
3x2
10 −
f) On a tout d’abord
donc
1 + 2 cos x = 3
x2 +
(x2) ,
◦
−
x2
3
On utilise le d.l. de (1 + u)m en zéro avec m = 1/2. On obtient
(x2) = √3
◦
√1 + 2 cos x =
x2 +
p
−
−
(cid:18)
3
1
1/2
.
+
(x2)
◦
(cid:19)
√1 + 2 cos x = √3
1
(cid:18)
g) En utilisant l’exercice précédent
1
2
x2
3
−
+
(x2)
◦
(cid:19)
= √3
1
(cid:18)
x2
6
−
+
(x2)
◦
(cid:19)
.
√1 + 2 cos x = e
e
√3
x2
6
+
1
−
(cid:18)
(x2)
◦
√3 e −
(cid:19) = e
√3 x2
6
+
(x2)
◦
! .
13
On utilise alors le d.l. de ex en zéro, d’où
√1 + 2 cos x = e√3
e
1
−
√3 x2
6 !
+
(x2) .
◦
h) On écrit
(1 + x)1/x = e
ln(1 + x)
x
.
Puisque l’on divise par x, on part d’un d.l. de ln(1 + x) à l’ordre 3. On obtient
ln(1 + x) = x
x2
2
+
x3
3
−
+
(x3) ,
◦
puis
ln(1 + x)
x
e
= e
x
2
1
−
+
x2
3
+
(x2)
◦
x
2
−
+
x2
3
+
(x2)
◦
.
= e e
On utilise alors le d.l. de ex à l’ordre 2 en zéro.
ln(1 + x)
x
e
= e
1 +
"
x
2
+
x2
3
+
1
2
(cid:19)
−
(cid:18)
−
(cid:18)
x
2
+
x2
3
2
+
(x2) = e
◦
(cid:18)
#
(cid:19)
x
2
1
−
+
11x2
24
+
(x2) .
◦
(cid:19)
i) Puisque l’on divise par x, on part d’un d.l. de sin x à l’ordre 5. On obtient
donc
sin x = x
x3
6
+
x5
120
−
+
(x5) ,
◦
ln
sin x
x
= ln
1
(cid:18)
x2
6
+
x4
120
+
−
(x4)
◦
(cid:19)
.
On utilise alors le d.l. à l’ordre 4 en zéro de ln(1 + x). (En tenant compte du fait que l’expression
ne dépend que de x2, l’ordre 2 suffira).
ln
sin x
x
=
x2
6
+
x4
120
1
2
−
(cid:18)
x2
6
+
x4
120
2
(cid:19)
−
(cid:19)
−
(cid:18)
+
(x4) =
◦
−
x2
6 −
x4
180
+
(x4) .
◦
j) En partant du d.l. à l’ordre 3 en zéro de ln(1 + x), on a donc
3
1 + ln(1 + x) =
1 + x
x2
2
+
x3
3
−
+
1/3
.
(x3)
◦
(cid:19)
(cid:18)
p
On utilise le d.l. de (1 + u)1/3 à ł’ordre 3 en zéro qui s’écrit
(1+ u)1/3 = 1+
u
3
+
1
3
1
3 −
1
(cid:19)
(cid:18)
u2
2
+
1
3
1
3 −
1
(cid:19) (cid:18)
1
3 −
2
(cid:19)
(cid:18)
u3
6
+
(u3) = 1+
◦
u
3 −
u2
9
+
5u3
81
+
(u3) .
◦
14
Alors
1 + ln(1 + x) = 1 +
3
p
= 1 +
= 1 +
x
x
(cid:18)
1
3
1
3
x
3 −
(cid:18)
−
−
5x2
18
x2
2
x2
2
+
+
x3
3
x3
3
23x3
81
+
1
9
1
9
x
(cid:18)
(x2
−
−
x2
2
+
x3) +
2
+
(cid:19)
x3 +
x3
3
5
81
−
(cid:19)
−
(cid:19)
+
(x3) .
◦
x
x2
2
+
x3
3
−
3
(cid:19)
+
(x3)
◦
5
81
(cid:18)
(x3)
◦
k) On part du d.l. en zéro à l’ordre 3 de cos x qui s’écrit
cos x = 1
Publicité
x2
2
−
+
(x3) .
◦
Donc
Alors
x
cos x
=
x
x2
2
1
−
+
(x3)
◦
= x
1 +
(cid:18)
x2
2
+
(x3)
◦
(cid:19)
= x +
x3
2
+
(x4) .
◦
x
f (x) = e(cid:18)
cos x (cid:19) = e
x +
x3
2
+
(x4)
◦
.
En utilisant le d.l. en zéro à l’ordre 4 de l’exponentielle, on a
x
e(cid:18)
cos x (cid:19) = 1 +
x +
(cid:18)
= 1 + x +
x3
2
= 1 + u(x) ,
x3
2
+
(cid:19)
+
x2
2
1
2
+
x +
(cid:18)
x4
2
+
2
(cid:19)
+
x3
2
x3
6
+
x4
24
x +
1
6
(cid:18)
3
+
1
24
x3
2
(cid:19)
(cid:18)
x +
4
x3
2
(cid:19)
+
(x4)
◦
+
(x4)
◦
où
Alors
u(x) = x +
x2
2
+
2x3
3
+
13x4
24
+
(x4) .
◦
cos f (x) = cos(1 + u(x)) = cos 1 cos u(x)
sin 1 sin u(x) .
−
Comme u(0) = 0, on peut utiliser maintenant les d.l. de sin x et cos x à l’ordre 4 en zéro. On a
donc
cos u(x) = 1
= 1
= 1
−
−
−
(cid:18)
1
2
1
2
(cid:18)
x2
2 −
x +
x2
2
x2 + x3 +
+
2x3
3
x4
4
3x4
4
+
x3
2 −
(cid:19)
(x4) ,
◦
+
+
13x4
24
4x4
3
x2
2
+
2x3
3
+
13x4
24
4
(cid:19)
+
(x4)
◦
2
(cid:19)
+
1
24
+
+
x4
24
x +
(cid:18)
(x4)
◦
15
ainsi que
sin u(x) =
x +
(cid:18)
= x +
= x +
Alors, en remplaçant,
x2
2
+
x2
2
x2
2
+
+
2x3
3
2x3
3
x3
2
+
1
6
+
13x4
24
13x4
24 −
−
(cid:19)
1
6
7x4
24
+
(cid:18)
(x4) .
◦
+
x +
x2
2
3x4
2
+
2x3
3
+
13x4
24
3
(cid:19)
+
(x4)
◦
+
(x4)
◦
(cid:18)
x3 +
(cid:19)
x
cos(e
cos x ) = cos 1
x sin 1
−
cos 1 + sin 1
2
x2
−
cos 1 + sin 1
2
x3
−
18 cos 1 + 7 sin 1
24
−
x4 +
(x4) .
◦
l) On cherche un d.l. de la dérivée à l’ordre 1. On obtient
f ′(x) =
1
2√2 + x
1
√1 + x
=
1
2
(2 + 3x + x2)−
1/2 =
√2
4
1 +
(cid:18)
3x
2
+
x2
2
(cid:19)
1/2
−
,
donc
f ′(x) =
√2
4
(cid:18)
3x
4
1
−
+
.
(x)
◦
(cid:19)
Puis en calculant la primitive, qui vaut argch √2 = ln(1 + √2) en 0,
argch √2 + x = ln(1 + √2) +
√2
4
x
−
3√2
32
x2 +
(x2) .
◦
3. a) On part du d.l. à l’ordre 3 en 0 de cos x, c’est-à-dire
Donc, en remplaçant x par x + x2 et en tronquant à l’ordre 2,
cos x = 1
x2
2
−
+
(x3) .
◦
cos(x + x2) = 1
= 1
= 1
−
−
−
1
2
x2
2 −
+
(x + x2)2
2
(x3)
◦
(x2 + 2x3) +
(x3)
◦
x3 +
(x3) .
◦
Alors, en élevant au carré et en tronquant à l’ordre 2, on obtient
(cos(x + x2))2 =
1
2
x2
2 −
x3 +
2x3 +
−
(x3)
◦
(x3) .
◦
(cid:19)
(cid:18)
= 1
−
x2
−
16
b) On effectue le produit en tronquant à l’ordre voulu, donc
x(x
−
1)(x
−
2) = 2x
3x2 +
(x2) = 2x
◦
−
−
3x2 + x3 +
(x10) .
◦
c) On effectue le produit en tronquant à l’ordre 2, et on obtient
ex(1 + x + x2) =
1 + x +
(cid:18)
= 1 + 2x +
x2
2
5
2
+
(x2)
◦
(cid:19)
(x2) .
◦
x2 +
(1 + x + x2)
d) On peut partir de la relation
On a alors
sin2 x =
1
−
cos(2x)
2
.
(2x)2
2
+
(2x)4
24
+
(x5)
◦
(cid:19)(cid:19)
sin2 x =
=
1
2
1
2
(cid:18)
(cid:18)
1
−
2x2
1
−
2x4
3
(cid:18)
−
= x2
−
x4
3
+
(x5) .
◦
+
(x5)
◦
(cid:19)
e) On effectue le produit en tronquant à l’ordre 3. On obtient
ln(1 + x)
1 + x
=
x
(cid:18)
= x
−
x2
2
−
3x2
2
+
+
x3
3
11x3
6
(cid:19)
(x3) .
◦
+
+
(x3)
◦
(1
x + x2
x3 +
(x3))
◦
−
−
f) On effectue le produit en tronquant à l’ordre 4. On obtient
sin t
1 + t
t3
6
=
t
−
(cid:18)
= t
−
t2 +
+
(t4)
◦
5t3
6 −
(cid:19)
5t4
6
+
(t4) .
◦
(1
t + t2
−
−
t3 + t4 +
(t4))
◦
Puis en calculant la primitive nulle en zéro,
x
Z0
sin t
1 + t
dt =
x2
2 −
x3
3
+
5x4
24 −
x5
6
+
(x5) .
◦
17
g) On part du d.l. de sin x à l’ordre 6. La division par x ramène à l’ordre 5. On obtient
sin x
x
= 1
−
x2
6
+
x4
120
+
(x5) .
◦
Alors
exp
= e exp
sin x
x
x2
6
+
x4
120
+
(x5)
◦
.
−
Publicité
En remplaçant dans l...