Exercices de Math´ematiques
D´eterminants d’ordre n (VI)
´Enonc´es
´Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer qu’un d´eterminant antisym´etrique d’ordre impair est nul.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soit A ∈ Mn(R), les coefficients diagonaux ´etant nuls, et les autres valant ±1.
On suppose que n est pair. Montrer que A est inversible.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soit A une matrice carr´ee d’ordre n, nilpotente. Montrer que det(I + A) = 1.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Soient A et B deux matrices de types respectifs (n, p) et (p, n), avec n 6= p.
Montrer que l’un au moins des d´eterminants det(AB) ou det(BA) est nul.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Soit A ∈ Mn(Z). Montrer que A−1 existe dans Mn(Z) ⇔ det A = ±1.
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 1
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard
Exercices de Math´ematiques
D´eterminants d’ordre n (VI)
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Utiliser l’´egalit´e det A = det( TA).
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Il suffit de prouver que det A est impair.
Prouver qu’on peut remplacer les aij (avec i 6= j) par 1 sans changer la parit´e de det A.
Montrer que le d´eterminant obtenu apr`es ces modifications vaut (n − 1)(−1)n−1.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Utiliser P inversible telle que T = P −1AP soit strictement triangulaire sup´erieure.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Consid´erer f ∈ L(Kp, Kn), de matrice A dans les bases canoniques.
Associer ´egalement B `a une application g de L(Kn, Kp).
Montrer que g ◦ f et f ◦ g ne peuvent pas toutes deux ˆetre des isomorphismes.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
– Si B = A−1, utiliser l’´egalit´e AB = In.
– Si det A = ε = ±1, utiliser l’expression de A−1 par la comatrice.
c(cid:13)EduKlub S.A.
Publicité
Page 2
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard
Exercices de Math´ematiques
D´eterminants d’ordre n (VI)
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour toute matrice carr´ee A, on a det A = det( TA).
Si A est antisym´etrique d’ordre n, cela devient det A = det(−A) = (−1)n det A.
En particulier, si n est impair, on trouve det A = − det A, c’est-`a-dire det A = 0.
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Puisque A est `a coefficients dans Z, det A est un entier relatif.
On va prouver que det A est impair, ce qui assurera det A 6= 0 donc A inversible.
Soit det A =
n
P
j=1
aijAij le d´eveloppement de det A par rapport `a la ligne Li.
Chaque cofacteur Aij est un entier relatif.
Pour chaque coefficient non diagonal aij, les entiers Aij et aijAij ont mˆeme parit´e.
On peut donc remplacer les coefficients non diagonaux de det A par 1 sans changer sa parit´e.
Ainsi det A a la mˆeme parit´e que le d´eterminant ∆n de terme g´en´eral αij =
(cid:26) 1 si i 6= j
0 si i = j
Pour calculer ∆n, on ajoute toutes les lignes a la premiere et on factorise n − 1.
On retranche alors la premi`ere colonne de toutes les autres :
∆n = (n − 1)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
1
1
Publicité
...
...
1
1
0
. . .
. . .
. . .
. . .
1
. . .
. . .
. . .
. . . 1
. . . 1
...
. . .
1
0
0
1
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
= (n − 1)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
Publicité
0
1
1 −1
...
...
1
0
...
0
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . . −1
. . .
0
0
...
0
0 −1
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
= (n − 1)(−1)n−1
Puisque n est impair, on voir que ∆n donc det A sont impairs.
Ainsi det A 6= 0 : la matrice A est donc inversible.
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On sait qu’il existe P inversible telle que T = P −1AP soit strictement triangulaire sup´erieure.
On a alors A + I = P T P −1 + I = P (T + I)P −1 et donc det A = det(T + I).
Or I + T est triangulaire sup´erieure avec des coefficients diagonaux ´egaux `a 1.
Le d´eterminant de I + T , et donc celui de A, sont donc ´egaux `a 1.
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 3
Publicité
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard
Exercices de Math´ematiques
D´eterminants d’ordre n (VI)
Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Il existe f ∈ L(Kp, Kn), de matrice A dans les bases canoniques.
Il existe g ∈ L(Kn, Kp), de matrice B dans les bases canoniques.
Ainsi AB ∈ Mn(K) est la matrice de f ◦ g dans la base canonique que Kn.
De mˆeme BA ∈ Mp(K) est la matrice de g ◦ f dans la base canonique de Kp.
Par l’absurde, supposons det(AB) 6= 0 et det(BA) 6= 0.
Il en d´ecoule que g ◦ f et f ◦ g sont des isomorphismes.
L’injectivit´e de g ◦ f implique celle de f , et la surjectivit´e de f ◦ g implique celle de f .
Ainsi f : Kp → Kn est un isomorphisme : c’est absurde car les dimensions n, p sont distinctes.
Conclusion : l’une au moins de deux matrices AB et BA a un d´eterminant nul.
Remarque : On peut faire un raisonnement direct et supposer n < p par exemple.
Alors il est certain que la matrice BA (qui est d’ordre p) n’est pas inversible.
Elle a en effet mˆeme rang que g ◦ f . Or dim Im (g ◦ f ) = dim g(Im f ) ≤ dim Im f ≤ n < p.
La matrice BA, d’ordre p et de rang n < p, est donc non inversible.
Corrig´e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
– Supposons que A soit inversible dans Mn(Z) et soit B son inverse.
Alors AB = In ⇒ det A det B = 1.
Or det A et det B sont dans Z. Donc det A = ±1
– R´eciproquement supposons det A = ε = ±1.
Alors A est inversible dans Mn(R) et A−1 = 1
det A
Mais Com A est `a coefficients dans Z.
On en d´eduit que A est inversible dans Z.
TCom A = ± TCom A.
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 4
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard