Exercices de Math´ematiques
D´ecompositions en ´el´ements simples (I)
´Enonc´es
´Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
D´ecomposer en ´el´ement simples dans IR(X) : R =
n!
x(x + 1)(x + 2) · · · (x + n)
.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
D´ecomposer en ´el´ement simples dans lC(X) : R =
1
x4(x − i)3
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
D´ecomposer dans IR(X) : R =
1 − abx2
xn(1 − ax)(1 − bx)
(avec a, b 6= 0, a 6= b, n ≥ 1).
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Mˆeme question avec R =
x11
(x2 + x + 1)4
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
x5 − x2 + 1
(x2 + 1)2(x + 1)2
Mˆeme question avec R =
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Jean-Michel Ferrard
Exercices de Math´ematiques
D´ecompositions en ´el´ements simples (I)
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour tout k de {0, . . . , n}, multiplier R par x + k et poser x = −k.
On trouve R =
n
X
k=0
(−1)kC k
n
x + k
.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Consid´erer le d´eveloppement limit´e
On trouve
1
x4(x − i)3 = −
i
x4 −
3
x3 +
1
(x − i)3 = a + bx + cx2 + dx3 + o(x3).
10
6i
x2 +
x − i
4i
(x − i)2 −
1
(x − i)3 +
10
x
+
.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
n
X
1 − abx2
xn(1 − ax)(1 − bx)
=
λ
1 − ax
+
µ
1 − bx
+
´Ecrire R =
k=1
αn−k
xk
(1)
On trouve d’abord λ = an et µ = bn.
On multiplie par xn(1 − ax)(1 − bx) et on d´eveloppe.
Il en r´esulte des relations de r´ecurrence sur les coefficients α.
an−k + bn−k
an
Publicité
xk
1 − ax
On trouve finalement R =
bn
1 − bx
n
X
+
+
k=1
.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On procede a des divisions successives de A = x11 par B = x2 + x + 1.
On trouve R = x3 − 4x2 + 6x −
x + 1
(x2 + x + 1)4 +
3x + 7
(x2 + x + 1)3 +
3x − 15
(x2 + x + 1)2 −
15x − 9
(x2 + x + 1)
.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On trouve R =
−1
4(x + 1)2 +
5
4(x + 1)
−
2x − 1
2(x2 + 1)2 −
x + 2
4(x2 + 1)
.
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D´ecompositions en ´el´ements simples (I)
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
La d´ecomposition cherch´ee est de la forme : R =
n
X
k=0
λk
x + k
.
Pour obtenir λk, on multiplie R par x + k et on remplace x par −k. On trouve :
λk =
n!
j6=k
Q
0≤j≤n
(−k + j)
=
k−1
Q
j=0
(−k + j)
n!
n
Q
j=k+1
(−k + j)
=
k−1
Q
j=0
(−1)kn!
n
Q
j=k+1
(k − j)
(−k + j)
Ainsi λk =
(−1)kn!
k!(n − k)!
= (−1)kC k
n : La d´ecomposition est R =
n
X
k=0
(−1)kC k
n
x + k
Publicité
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
La d´ecomposition s’´ecrit R =
Cette ´ecriture implique
1
x4(x − i)3 =
d
x
(x − i)3 = a + bx + cx2 + dx3 + o(x3).
a
x4 +
b
x3 +
c
x2 +
1
Pour trouver a, b, c, d, on d´eveloppe donc f (x) =
1
(x − i)3 en 0 `a l’ordre 3.
+
α
(x − i)3 +
β
(x − i)2 +
γ
x − i
.
Or f (x) = −i(1 + ix)−3 = −i(1 − 3ix − 6x2 + 10ix3 + o(x3)) = −i − 3x + 6ix2 + 10x3 + o(x3).
On trouve donc a = −i, b = −3, c = 6i et d = 10.
Ensuite, la d´ecomposition de R donne
Cela s’´ecrit aussi, en posant x = i + y :
Pour trouver α, β, γ, on d´eveloppe g(y) =
1
x4 = α + β(x − i) + γ(x − i)2 + o(x − i)2.
(i + y)4 = α + βy + γy2 + o(y2).
1
1
(1 − iy)4 en 0 `a l’ordre 2.
1
(i + y)4 =
On trouve g(y) = (1 − iy)−4 = 1 + 4iy − 10y2 + o(y2). Ainsi α = 1, β = 4i et γ = −10.
Conclusion :
1
x4(x − i)3 = −
i
x4 −
3
x3 +
6i
x2 +
10
x
+
1
(x − i)3 +
4i
(x − i)2 −
10
x − i
.
Remarque : connaissant a, b, c, d, on pouvait trouver α, β, γ de mani`ere plus artisanale...
(cid:5) On multiplie R par (x − i)3 et on donne `a x la valeur i : on trouve α =
1
i4 = 1.
(cid:5) On fait tendre x vers ∞ dans xR(x). On trouve d + γ = 0, donc γ = −10.
(cid:5) Pour trouver β, on peut donner `a x une valeur (par exemple x = 1) et identifier.
On peut aussi ´ecrire R = · · · +
10i
x(x − i)
On fait tendre x vers ∞ dans x2R(x). On trouve 0 = 6i − 10i + β donc β = 4i.
β
(x − i)2 −
10
x − i
6i
x2 −
6i
x2 +
= · · · +
10
x
+
+
β
(x − i)2 .
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D´ecompositions en ´el´ements simples (I)
Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
La d´ecomposition s’´ecrit R =
1 − abx2
xn(1 − ax)(1 − bx)
=
λ
1 − ax
+
µ
1 − bx
+
n
X
k=1
αn−k
xk
(1)
On multiplie cette ´egalit´e par 1 − ax et on donne `a x la valeur 1
Pour des raisons ´evidentes de sym´etrie, on a bien sˆur µ = bn.
Apr`es multiplication par xn(1 − ax)(1 − bx), l’´egalit´e (1) donne :
a : on trouve λ = an.
1 − abx2 = (1 − ax)(1 − bx)
n
P
k=1
αn−kxn−k + xn(λ(1 − bx) + µ(1 − ax))
= (1 − (a + b)x + abx2)
n−1
P
k=0
αkxk + o(xn−1)
= α0 + (α1 − (a + b)α0)x +
n−1
P
k=2
(αk − (a + b)αk−1 + abαk−2)xk + o(xn−1)
L’identification des termes de degr´e ≤ 2 donne
α0 = 1
α1 = a + b
α2 = (a + b)α1 − abα0 − ab = a2 + b2
Pour tout entier k de {3, . . . , n − 1}, on trouve αk − (a + b)αk−1 + abαk−2 = 0.
On reconnait une ´equation r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2 dont l’´equation caract´eristique est
t2 − (a + b)t + ab = 0, c’est-`a-dire (t − a)(t − b) = 0.
Autrement dit, il existe u, v tels que αk = uak + vbk pour k ∈ {1, . . . , n − 1}.
Compte tenu de la valeur de α1 et de α2, il vient u = v = 1 donc αk = ak + bk si k ≥ 1.
Conclusion : on a R =
1 − abx2
xn(1 − ax)(1 − bx)
=
an
1 − ax
+
bn
1 − bx
+
n
X
k=1
an−k + bn−k
xk
.
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On procede a des divisions successives de A = x11 par B = x2 + x + 1.
(cid:5) A = BQ1 + R1, avec R1 = −x − 1 et Q1 = x9 − x8 + x6 − x5 + x3 − x2 + 1.
(cid:5) Q1 = BQ2 + R2, avec R2 = 3x + 7 et Q2 = x7 − 2x6 + x5 + 2x4 − 4x3 + 2x2 + 3x − 6.
(cid:5) Q2 = BQ3 + R3, avec R3 = 3x − 15 et Q3 = x5 − 3x4 + 3x3 + 2x2 − 9x + 9.
(cid:5) Q3 = BQ4 + R4, avec R4 = −15x + 9 et Q4 = x3 − 4x2 + 6x.
Ainsi A = R1 + BQ1 = R1 + B(R2 + BQ2) = · · · = R1 + BR2 + B2R3 + B3R4 + B4Q4.
On obtient alors :
R =
R1
A
B4 +
B4 = Q4 +
= x3 − 4x2 + 6x −
R3
B2 +
R2
R4
B3 +
B
x + 1
(x2 + x + 1)4 +
3x + 7
(x2 + x + 1)3 +
3x − 15
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(x2 + x + 1)2 −
15x − 9
(x2 + x + 1)
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Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
La d´ecomposition est de la forme R =
a
(x + 1)2 +
On trouve tout d’abord a = lim
x→−1
(x + 1)2R(x) =
+
b
x + 1
x5 − x2 + 1
(x2 + 1)2
Ensuite ci + d = (x2 + 1)2R(x)|x=i =
x5 − x2 + 1
(x + 1)2
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)x=i
=
i + 2
2i
On donne `a x la valeur 0 : 1 = a + b + d + f ⇒ b = 1 − a − d − f =
cx + d
(x2 + 1)2 +
ex + f
x2 + 1
.
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)x=−1
1
2
=
= −
1
4
.
− i. Donc
3
4
− f .
(cid:26) c = −1
d = 1
2
On donne `a x la valeur j, et on utilise j3 = 1 et 1 + j + j2 = 0. On a R(j) = 1.
Donc 1 = aj2 − bj + (cj + d)j − (ej + f )j2 = 5
On en d´eduit 0 = 7
De mˆeme, 1 = 5
4 + f − e + j( 7
2 et b = 5
4.
4 + f − b).
4 + f − b = 2f + 1 donc f = − 1
4 − e ⇒ e = − 1
4 .
2x − 1
5
2(x2 + 1)2 −
4(x + 1)
4 + f − e = 3
−1
4(x + 1)2 +
x + 2
4(x2 + 1)
.
Conclusion : R =
−
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