Exercices de Math´ematiques

D´eterminants d’ordre 3

´Enonc´es

´Enonc´es des exercices

Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]

Calculer le d´eterminant ∆ =

(cid:12)

cos θ

cos 2θ

cos θ

cos 2θ

cos 3θ

cos 2θ

cos 3θ

cos 4θ

(cid:12)

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]

Calculer le d´eterminant ∆ =

(cid:12)

b + c

c + a

a + b

b2 + c2

c2 + a2 a2 + b2

b3 + c3

c3 + a3 a3 + b3

(cid:12)

Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]

Calculer le d´eterminant D =

(cid:12)

bc + ca + ab a2 + b2 + c2

bc + ca + ab

bc + ca + ab a2 + b2 + c2

a2 + b2 + c2

bc + ca + ab

(cid:12)

Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]

Calculer le d´eterminant D =

(cid:12)

y2 + z2

z2 + x2

x2 + y2

(cid:12)

Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]

Calculer le d´eterminant D =

(cid:12)

(a + b)2

(a + c)2

(b + c)2

(cid:12)

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Jean-Michel Ferrard

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D´eterminants d’ordre 3

Indications, r´esultats

Indications ou r´esultats

Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]

Additionner les colonnes C1 et C3. En d´eduire ∆ = 0.

Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]

D´evelopper par trilin´earit´e (un d´eterminant ayant deux colonnes ´egales est nul.)

Il apparaˆıt un d´eterminant de Van Der Monde.

On trouve ﬁnalement ∆ = 2abc(b − a)(c − a)(c − b).

Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]

Si D = det(M ), ´ecrire la matrice M comme un produit JK.

Obtenir ﬁnalement D = (a + b + c)2(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc)2.

Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]

Il existe une matrice M telle que D = det(M TM ).

En d´eduire D = 4x2y2z2.

Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]

Poser σ = ab + bc + ca.

D´evelopper D par rapport a sa premı`ere ligne, en factorisant les diﬀ´erences de carr´es.

On trouve D = 2σ3.

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D´eterminants d’ordre 3

Corrig´es

Corrig´es des exercices

Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]

On additionne les colonnes C1 et C3 :

C1 + C3 =







1 + cos 2θ

cos θ + cos 3θ

cos 2θ + cos 4θ







 =





2 cos2 θ

2 cos θ cos 2θ

2 cos θ cos 3θ





cos θ





 = 2 cos θ





cos 2θ

cos 3θ



 = (2 cos θ)C2

Ainsi les trois colonnes du d´eterminant ∆ son li´ees. Il en d´ecoule ∆ = 0.

Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]













Notons respectivement A =

Avec ces notations, on a ∆ = det(B + C, C + A, A + B) (dans la base canonique de K3.)



, et C =



, B =



.













On d´eveloppe par trilin´earit´e, en sachant qu’un d´eterminant ayant deux colonnes ´egales est nul.

On obtient l’´egalit´e : ∆ = det(B, C, A) + det(C, A, B) = 2 det(A, B, C).

Mais det(A, B, C) =

(cid:12)

= abc

(cid:12)

On reconnait un d´eterminant de Van Der Monde. Ainsi : ∆ = 2abc(b − a)(c − a)(c − b).

Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]

Ecrivons D comme le d´eterminant d’une matrice M .

On constate que M = JK avec J =





c a

a b

c a b





 et K =





.

b a

a c

b a c

Mais det J =

(cid:12)

c a

(cid:12)

{L1 ← L1 + L2 + L3} ⇒ det J = (a + b + c)

(cid:12)

a b

c a b

(cid:12)

On en d´eduit par “Sarrus” : det J = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc).

De plus J et K se d´eduissent l’une de l’autre en ´echangeant les ind´etermin´ees b et c.

Le r´esultat pr´ec´edent ´etant sym´etrique par rapport `a a, b et c, on en tire det J = det K.

Finalement D = (det J)2 = (a + b + c)2(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc)2.

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D´eterminants d’ordre 3

Corrig´es

Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]

On constate que





y2 + z2

z2 + x2

x2 + y2





 =



z x 0

0 x









y x 0

0 x



 = M TM .

Le d´eterminant de M =





z x 0

0 x



 est −2xyz.

On en d´eduit que D est ´egal `a 4x2y2z2.

Corrig´e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]

Notons σ = ab + bc + ca.

On d´eveloppe D par rapport a sa premı`ere ligne, en factorisant les diﬀ´erences de carr´es :

D =

(cid:12)

(a + b)2

(a + c)2

(b + c)2

(cid:12)

= (a + b)2

(cid:12)

(a + c)2

(b + c)2

(cid:12)

− a2

(cid:12)

(b + c)2

(cid:12)

+ b2

(cid:12)

(a + c)2

(cid:12)

= (a + b)2((σ + c2)2 − c4) − a2((σ − bc)2 − (bc)2) + b2((ac)2 − (σ − ac)2)

= σ((a + b)2(σ + 2c2) − a2(σ − 2bc) − b2(σ − 2ac))

= σ(2abσ + 2c2(a + b)2 + 2abc(a + b)) = 2σ(abσ + c(a + b)σ) = 2σ3

Conclusion :

(cid:12)

(a + b)2

(a + c)2

(b + c)2

(cid:12)

= 2(ab + bc + ca)3

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