Exercices de Mathématiques
Trigonométrie
Énoncés
Énoncés des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Calculer cos 5a en fonction de cos a. En déduire l’expression de cos
π
10
.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Transformer cos x + 2 cos 2x + cos 3x en produit.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Transformer sin x + sin 2x + sin 7x + sin 8x en produit.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Simplifier l’expression P = (2 cos x − 1)(2 cos 2x − 1) · · · (2 cos(2n−1x) − 1).
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Simplifier l’expression
cos 6x + 6 cos 4x + 15 cos 2x + 10
cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x
.
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
Résoudre l’équation
cos x +
sin x = 1.
√
√
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Jean-Michel Ferrard
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Trigonométrie
Indications, résultats
Indications ou résultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour à l’énoncé ]
On développe cos 5a + i sin 5a = (cos a + i sin a)5 et on prend les parties réelles.
Avec a = π
10 et t = cos2 a, on a 16t2 − 20t + 5. Finalement x =
√
q 5+
8
5
.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour à l’énoncé ]
Transformer cos x + cos 3x en produit.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour à l’énoncé ]
Transformer sin x + sin 8x et sin 2x + sin 7x en produits.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour à l’énoncé ]
Vérifier et utiliser l’égalité (2 cos 2kx − 1)(2 cos 2kx + 1) = 2 cos(2k+1x) + 1.
On trouve finalement P =
2 cos 2nx + 1
2 cos x + 1
.
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Indication pour l’exercice 5 [ Retour à l’énoncé ]
Multiplier le dénominateur par 2 cos x.
Indication pour l’exercice 6 [ Retour à l’énoncé ]
Étudier l’application x 7→ ϕ(x) =
cos x +
√
√
sin x sur (cid:2)0, π
2
(cid:3).
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Trigonométrie
Corrigés
Corrigés des exercices
Corrigé de l’exercice 1 [ Retour à l’énoncé ]
On développe cos 5a + i sin 5a = (cos a + i sin a)5 et on prend les parties réelles :
cos 5a = cos5 a − 10 cos3 a(1 − cos2 a) + 5 cos a(1 − cos2 a)2
= 16 cos5 a − 20 cos3 a + 5 cos a
Pour a = π
10 et on posant x = cos a, on trouve :
0 = cos 5a = 16x5 − 20x3 + 5x = x(16x4 − 20x2 + 5)
Le réel t = x2 est solution de 16t2 − 20t + 5. Donc t ∈
√
n 5−
8
5
√
5
o
.
, 5+
8
√
Or 0 < a < π
4 ⇒ 1
2 < t < 1. La seule possibilité est donc t = 5+
8
5
.
D’autre part, x = cos a est positif. On en déduit : x =
√
q 5+
8
5
.
Corrigé de l’exercice 2 [ Retour à l’énoncé ]
On a tout d’abord cos x + cos 3x = 2 cos(2x) cos x.
On en déduit : cos x + 2 cos 2x + cos 3x = 2 cos(2x)(1 + cos x) = 4 cos(2x) cos2 x
2
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.
Corrigé de l’exercice 3 [ Retour à l’énoncé ]
7x
2
(cid:18)
On a par exemple : sin x + sin 8x = 2 sin
9x
2
cos
Donc sin x + sin 2x + sin 7x + sin 8x = 2 sin
cos
9x
2
et sin 2x + sin 7x = 2 sin
9x
2
cos
5x
2
.
7x
2
+ cos
(cid:19)
5x
2
= 4 sin
9x
2
cos(3x) cos
x
2
Corrigé de l’exercice 4 [ Retour à l’énoncé ]
On a : (2 cos 2kx − 1)(2 cos 2kx + 1) = 4 cos2(2kx) − 1
= 4
1 + cos(2k+1x)
2
− 1 = 2 cos(2k+1x) + 1.
Si on pose vk = 2 cos 2kx + 1, l’expression donnée par l’énoncé s’écrit :
n−1
Y
k=0
(2 cos 2kx − 1) =
n−1
Y
k=0
vk+1
vk
=
vn
v0
=
2 cos(2nx) + 1
2 cos x + 1
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Trigonométrie
Corrigés
Corrigé de l’exercice 5 [ Retour à l’énoncé ]
On a : 2 cos x(cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x) = 2 cos x cos(5x) + 10 cos x cos 3x + 20 cos2 x
= cos 6x + cos 4x + 5(cos 4x + cos 2x) + 10(1 + cos 2x)
cos 6x + 6 cos 4x + 15 cos 2x + 10
Conclusion :
cos 6x + 6 cos 4x + 15 cos 2x + 10
cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x
= 2 cos x
Corrigé de l’exercice 6 [ Retour à l’énoncé ]
Le premier membre est 2π-périodique en x, sur la réunion des Ik = (cid:2)2kπ, 2kπ + π
2
L’ensemble des solutions a la même périodicité. On se place par exemple sur I0.
(cid:3), k ∈ ZZ.
L’application x 7→ ϕ(x) =
cos x +
√
√
sin x est continue sur I0, dérivable sur I 0
0 = (cid:3)0, π
2
(cid:2).
(cos x)3/2 − (sin x)3/2
√
sin x
cos x
∀ x ∈ I 0
0, ϕ0(x) =
a le signe de cos x − sin x.
√
2
Ainsi ϕ est strictement croissante sur (cid:2)0, π
4
Or ϕ(0) = ϕ( π
2 ) = 1. On en déduit que sur I0, ϕ(x) = 1 ⇔ x ∈ {0, 1}.
Par périodicité, les solutions sur IR sont les x = 2kπ et les x = π
(cid:3) et strictement décroissante sur (cid:2) π
4 , π
2
(cid:3).
2 + 2kπ, avec k ∈ ZZ.
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