INF4705 Analyse et conception d’algorithmes, Examen final
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL
Département de génie informatique
Cours INF4705 : Analyse et conception d’algorithmes (Automne 2004)
3 crédits (3-1.5-4.5)
EXAMEN FINAL
CORRIGÉ
DATE : Mardi, le 14 décembre 2004
HEURE : 9H30 à 12H00
DURÉE : 2H30
NOTE : Aucune documentation permise. Aucune calculatrice permise.
Ce questionnaire comprend 6 questions sur 3 pages pour 20 points.
Bon travail et joyeuses fêtes!
Question 1 : Vrai ou Faux ? [3 points]
a) [1 point] Un algorithme de complexité O(nlogn) dans le cas moyen est toujours plus
rapide qu’un algorithme dont la complexité est O(n2) dans le cas moyen.
Faux.
b) [1 point] Pour tout graphe connexe, il existe un et un seul arbre de recouvrement
minimum.
Faux.
c) [1 point] Les algorithmes de parcours de graphes branch-and-bound trouvent toujours la
solution optimale.
Vrai.
Question 2 : Pot-pourri [6 points]
a) [1 point] Expliquez la différence entre les notations O() et Ω(), sans donner leur
définition formelle.
O() exprime une borne supérieure sur la consommation de ressources. Ω() exprime une
borne inférieure sur la consommation de ressources.
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b) [1 point] Les algorithmes diviser-pour-régner et de programmation dynamique sont tous
deux basés sur une relation de récurrence. Expliquez cependant la différence
fondamentale entre les deux techniques de conception.
Diviser-pour-régner procède de haut en bas, alors que la programmation dynamique
procède de bas en haut.
c) [1 point] Qu’est-ce qu’un algorithme vorace ?
Un algorithme vorace est un algorithme qui fait toujours le choix qui lui semble le
meilleur sur le moment. Autrement dit, il fait le choix localement optimal, dans l’espoir
que ce choix conduira à une solution globalement optimale.
d) [1point] Expliquez brièvement le fonctionnement général des heuristiques d’amélioration
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locale. Quelle est la lacune la plus évidente de ces heuristiques ?
À partir d’une solution initiale s0 , on applique une succession de modifications locales
afin d’obtenir une meilleure solution s1. On peut répéter cette opération pour obtenir une
solution encore meilleure s2, etc… On arrête dès qu’une solution si n’est pas meilleure
que la solution si-1. La principale lacune des ces heuristiques est qu’elles sont
susceptibles d’être « piégées » dans un optimum local voisin de la solution initiale.
e) [1 point] Expliquez comment vous transformeriez un algorithme Monte Carlo en un
algorithme Las Vegas.
Soit A un algorithme Monte Carlo, et soit B un algorithme qui vérifie la correction d’une
solution de A. Soit C un algorithme qui exécute A en boucle, jusqu’à ce que la solution
retournée soit reconnue correcte par B. L’algorithme C est un algorithme Las Vegas.
f)
[1 point] Les algorithmes de programmation dynamique reposent sur le principe
d’optimalité. Rappelez la définition du principe d’optimalité.
Une solution optimale d’un exemplaire quelconque d’un problème d’optimisation peut
être construite à partir des solutions optimales de sous-exemplaires de ce problème.
Question 3 : Algorithmes voraces [3 points]
Vous désirez vous rendre en automobile de Montréal à Vancouver. Le réservoir de votre voiture
vous permet de parcourir une distance D lorsqu’il est plein. Au cours du voyage, vous
rencontrerez k postes d’essence où vous pourrez faire le plein.
Soit :
• di la distance pour aller du poste i–1 au poste i
• d1 la distance de Montréal au poste 1
• dVancouver la distance du poste k à Vancouver
• C = { c1, c2, ..., ck} l’ensemble des postes d’essence.
On suppose d1 ≤ D, di ≤ D, dVancouver ≤ D.
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On désire faire le moins d’arrêts possibles.
a) [2 points] Écrivez un algorithme vorace qui détermine les postes où vous devriez vous
arrêter.
FONCTION Vorace (C)
S = Ø
TANT que Vancouver n’est pas atteint
// À Montréal, aucun poste n’a été choisi
i = prochain poste rencontré
Si le plein est nécessaire pour se rendre au poste i+1
Ajouter i à S
// faire le plein
Retourner S
b) [1 point] Votre voiture a une autonomie de 600 km (D = 600 km), et vous rencontrez 10
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postes d’essence C1 à C10. En appliquant l’algorithme que vous avez écrit, et en utilisant
le tableau des distances ci-dessous, indiquez les postes d’essence où vous vous arrêterez,
sachant que le nombre de ces postes d’essence doit être minimal.
Tableau des distances entre les postes d’essence
Point ou poste d’essence
de départ
A
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10
Point ou poste d’essence
d’arrivée
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10
B
Distance (km)
550
100
225
300
100
50
75
100
300
175
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400
Solution : C1, C3, C7, C10
Question 4 : Algorithmes branch-and-bound [3 points]
a) [1 point] Les algorithmes branch-and-bound s’articulent autour de 3 composantes
essentielles. Quelles sont ces composantes ?
1- Une fonction fournissant une borne inférieure (ou supérieure, selon le cas) pour la
meilleure solution réalisable le long du sous-arbre en cours.
2- Une stratégie de sélection des sous-arbres à élaguer et du prochain sous-arbre à
explorer en priorité.
3- Une règle de branchement à appliquer à un sous-arbre qui vient d’être découvert, et
qui ne peut être ni élagué, ni exploré en priorité.
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b) [2 points] Vous avez quatre objets à vendre (A, B, C, D) et quatre acheteurs (1, 2, 3, 4).
Chaque acheteur est prêt à payer un certain prix pour chaque objet comme indiqué dans
le tableau ci-dessous (par exemple, l’acheteur 1 est prêt à payer 11$ pour l’objet A).
Utilisez la méthode branch-and-bound pour trouver à quel acheteur vous allez vendre
chaque objet afin de maximiser votre profit sachant qu’un acheteur achète un objet et un
seul. Vous devez expliciter la partie du graphe qui sera explorée (avec le calcul des
bornes) en plus de fournir la solution. De plus, indiquez clairement et complètement
l’ordre de parcours du graphe au cours de l’exécution de l’algorithme.
1
2
3
4
A 11 11
8 15
B 14 15 10
5
4 15
3
C 3
D 10 10 20 10
Solution : a=1, b=2, c=4, d=3; 11+15+20+15=61
Question 5 : Algorithmes de programmation dynamique [3 points]
Vous participez à une course à bicyclette. Le long du parcours, vous retrouvez N points de
ravitaillement (incluant les points de départ et d’arrivée). À chaque point de ravitaillement, vous
pouvez louer une bicyclette que vous pouvez rendre à n’importe quel point de ravitaillement
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suivant du parcours. Or, il peut arriver qu’une location de i à j coûte plus cher qu’une série de
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locations plus courtes. Dans un tel cas, vous avez intérêt à rendre la bicyclette à un point de
ravitaillement k entre i et j, et à louer une autre bicyclette pour continuer la course.
a) [2 points] En adoptant une approche de programmation dynamique, donnez une
expression du coût minimal pour effectuer le trajet au complet (c’est-à-dire en
franchissant les N points de ravitaillement).
Soient C[i, j] le coût de location entre i et j (i < j), et D[k] le coût minimal pour effectuer
le trajet de 1 à k (k = 2, 3, ..., N).
Alors :
D[N] = Min (C[1,N],
1-N
Min
2j
=
(D[j] + C[j,N]))
b) [1 point] Quel est le temps de calcul nécessaire pour évaluer ce coût minimal en fonction
de N ?
Le calcul de chaque D[k] est linéaire en k. Donc, le temps de calcul est en O(N2).
Question 6 : Algorithmes probabilistes [2 points]
a) [1 point] Vous disposez d’un algorithme Monte Carlo MC1 (51/100)-correct et vrai-
biaisé pour un problème de décision (c’est-à-dire un problème dont la solution est Vrai
ou Faux). Expliquez ce que signifient les expressions « algorithme Monte Carlo »,
« (51/100)-correct » et « vrai-biaisé ».
algorithme Monte Carlo : algorithme probabiliste donnant une mauvaise réponse à
l’occasion, mais ayant une probabilité élevée de retourner la bonne réponse,
indépendamment de l’exemplaire considéré.
(51/100)-correct : la probabilité que l’algorithme retourne la bonne réponse est au moins
égale à (51/100), quel que soit l’exemplaire considéré.
vrai-biaisé : l’algorithme est toujours exact quand la réponse est Vrai.
b) [1 point] Soit 5MC1 un algorithme qui exécute au plus 5 fois l’algorithme MC1 précédent,
et qui retourne Faux si et seulement si MC1 a retourné 5 fois Faux. L’algorithme 5MC1
retourne Vrai dès que l’algorithme MC1 retourne Vrai. Calculez la probabilité d’échec de
l’algorithme 5MC1.
p_echec
= Prob(5MC1 retourne Faux lorsque la bonne réponse est Vrai)
= Prob(MC1 retourne 5 fois Faux lorsque la bonne réponse est Vrai)
= (1 – (51/100))5
= 0.028