ENSI : Ecole Nationale des Sciences de l’Informatique.
2013/2014
Examen
Session de rattrapage
Juin 2014
Module
Classe
Documents
Enseignants
Durée
Nb de pages
Algorithmique de l’analyse numérique
I.I.1
Non autorisés
N.Abdellatif, N.Chaouachi, S.Smaali
2h
3
Exercice N°1 :
On donne trois valeurs d'une fonction 𝐾 définie sur [1, 6] :
𝐾(1) = 1.5709,
𝐾(4) = 1.5727,
𝐾(6) = 1.5751.
1. En utilisant les polynômes de Lagrange aux points 1, 4, fournir une
valeur approchée de 𝐾 3.5 .
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2. En utilisant les polynômes de Lagrange aux points 1, 4, 6, fournir une
valeur approchée de 𝐾(3.5) .
3. Traiter de nouveau ces deux questions en utilisant la forme de Newton.
4. Comparer les deux méthodes et conclure.
Exercice N°2 :
Soit 𝑓: ℝ → ℝ la fonction définie par 𝑓 𝑥 = exp 𝑥2 − 4𝑥2. On se propose
de trouver les racines réelles de 𝑓.
1) Situer les 4 racines de 𝑓. (i.e. indiquer 4 intervalles disjoints qui
contiennent chacun une et une seule racine).
2) Montrer qu’il y a une racine ℓ comprise entre 0 et 1.
1
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3) On considère la méthode de point fixe suivante :
𝑥0 ∈ 0,1 ,
𝑥𝑘+1 = 𝑔 𝑥𝑘 pour tout 𝑘 ≥ 0,
exp (𝑥 2)
avec 𝑔: ℝ → ℝ la fonction définie par 𝑔 𝑥 =
2
convergence de cette méthode et en préciser l’ordre.
. Examiner la
4) Ecrire la méthode de Newton pour la recherche des zéros de la fonction 𝑓.
5) Entre la méthode de Newton et la méthode de point fixe de la question 3),
quelle est la plus efficace ? Justifier la réponse.
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Exercice N°3 :
On se donne une fonction intégrable sur un intervalle 𝑎, 𝑏 de ℝ et une
subdivision de 𝑎, 𝑏 : 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 avec =
Le but de l’exercice est de trouver une formule de quadrature à 2𝑛 points pour
approcher l’intégrale :
𝑏−𝑎
.
𝑛
𝑏
𝐼 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
On propose dans un premier temps de construire la formule de quadrature à 2
points :
𝑎
𝑏
où 0 < 𝑤 ≤ 1 est à déterminer.
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ≈
𝑎
4
3
𝑔 −
𝑤
2
+
2
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3
𝑔 𝑤 ,
1) Déterminer 𝑤 pour que la formule de quadrature précédente soit exacte
pour tout polynôme de degré 𝑚 > 1 et donner la plus grande valeur de 𝑚.
2) En déduire une formule de quadrature pour l’intégrale suivante :
𝑥𝑖+1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
𝑥𝑖
3) En déduire une formule de quadrature à 2𝑛 points notée F pour le calcul
approchée de I.
4) Ecrire un algorithme de calcul de F.
5) Donner une valeur approchée de ln 2 en intégrant une fonction adéquate et
en divisant l’intervalle 1,2 en 4 sous-intervalles égaux.
2
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Exercice N°4 :
La loi de Newton affirme que la vitesse de refroidissement d’un corps est
proportionnelle à la différence entre la température du corps 𝑇 𝑡 et la
température externe 𝑇𝑒𝑥𝑡 qui est constante, autrement dit qu’il existe une
constante 𝐾 < 0 telle que la température du corps suit l’équation différentielle :
𝑇′ 𝑡 = 𝐾 𝑇 𝑡 − 𝑇𝑒𝑥𝑡 ,
𝑇 0 = 𝑇0.
1) Soit h le pas de temps. Ecrire le shéma d’Euler explicite pour approcher
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la solution de cette équation différentielle.
2) Ecrire le shéma d’Euler implicite pour approcher la solution de cette
équation différentielle.
3) On suppose que 𝑇𝑒𝑥𝑡 = 0℃. Ecrire pour ce dernier schéma 𝑇𝑛 en
fonction de h, de n et de 𝑇0.
4) Application : Un homicide a été commis. On veut établir l’heure du
crime sachant que
pour un corps humain, on peut approcher 𝐾 ≈ 0.007438118376
(l’échelle du temps est en minutes et la température en Celsius),
le corps de la victime a été trouvé sur le lieu du crime à 2h20 du matin,
à l’heure du décès, la température du corps était de 37℃,
à l’heure de la découverte, la température du corps est de 20℃,
la température externe est 𝑇𝑒𝑥𝑡 = 0℃.
a- Approcher l’heure de l’homicide en utilisant le schéma d’Euler
implicite avec = 10 minutes.
b- Pour cette équation différentielle, il est possible de calculer
analytiquement ses solutions. Comparer alors la solution exacte avec
la solution approchée obtenue au point précédent.
c- Comparer avec la solution approchée obtenue en 1).
3