(O.Granier)
Étude du dipôle
électrostatique
Olivier GRANIER
I – Définition et approximation dipolaire
On appelle « dipôle électrostatique » un ensemble rigide de deux charges
ponctuelles + q et – q (donc globalement neutre), distantes de 2a.
)
( qN −
)
O
( qP +
r
zu
a2
z
)2( δ−O
Un tel modèle permet d’étudier :
- Les molécules polaires (par exemple : HCl, H2O)
( δ+H
)
( δ−Cl
)
( δ+H
)
( δ+H
)
Olivier GRANIER
- La polarisation des atomes dans un champ électrique extérieur (phénomène
de solvatation des ions)
M
r
( qN −
)
O
a2
)
( qP +
r
zu
θ
z
On calcule le potentiel puis le champ
grad
électrique ( ) créé par
le dipôle en un point M de l’espace.
r
E −=
(V
)
Symétrie de révolution autour de
l’axe (Oz) : on choisit M(r,θθθθ) dans le
plan des deux charges.
Approximation dipolaire : r >> a (on se place « loin » des charges,
c’est-à-dire à des distances bien supérieures à quelques nm).
Olivier GRANIER
II – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire
Le potentiel au point M est (principe de superposition) :
M
Nr
r
Pr
θ
r
zu
( qP +
)
z
( qN −
)
O
a2
(
MV
)
=
1
πε
4
0
q
r
P
−
1
πε
4
0
q
r
N
(
MV
)
=
1
0πε
4
q
1
r
P
−
1
r
N
(
avec
:
r
P
=
PM
ret
N
=
NM
>>
a
)
Olivier GRANIER
Calcul des distances rP et rN :
D’après la relation de Chasles :
PM
=
OM
−
OP
r
−=
r
En élevant au carré :
M
Nr
r
Pr
θ
r
zu
( qP +
)
z
( qN −
)
O
a2
r
zua
2
−
r
r
.2
uar
z
PM
2
2
=
r
+
a
2
r
P
=
r
2
2
+
a
−
2
ar
θcos
On calcule ensuite 1 / rP :
=
1
2
r
2
+
a
−
2
ar
(
r
=
2
2
+
a
−
2
ar
θcos
)
θ
−
cos
2/1
1
rP
1
rP
Olivier GRANIER
On rappelle le développement limité (à l’ordre 1) de :
(
1
)
+ −
x
2/1
−≈
1
1
2
Publicité
x
(
x
<<
)1
Nr
r
Pr
θ
r
zu
( qP +
)
z
( qN −
)
O
a2
M
On pose x = a / r (x << 1), alors :
1
rP
=
1
r
1
+
2
2
a
r
−
2
a
r
cos
θ
−
2/1
Un DL au 1er ordre en x donne :
1
rP
=
1
r
1
+
a
r
θcos
Olivier GRANIER
De la même manière (il suffit de remplacer θθθθ par π π π π −−−− θθθθ et donc cosθθθθ par
- cosθθθθ) :
1
rN
=
1
r
1
−
a
r
θcos
M
Nr
r
Pr
θ
( qN −
)
O
r
zu
( qP +
)
z
Par conséquent :
1
r
P
1
r
N
−
=
2
a
2r
θcos
D’où le potentiel :
(
MV
)
=
1
πε
4
0
2(
aq
2
r
)
cos
θ
Olivier GRANIER
On définit le vecteur moment dipolaire du dipôle électrostatique (vecteur
dirigé de la charge négative vers la charge positive) :
r
p
=
2(
aq
)
z =
NPq
r
u
Alors (décroissance du potentiel en 1 / r2) :
M
(
MV
)
=
1
πε
4
p
2
0 r
cos
θ
r
θ
r
ur
En notant :
r
/
rr
( qN −
)
r
zu
O
r
p
( qP +
)
z
(
MV
)
=
1
πε
4
0
=
rr
.
up
2
r
r
rr
(
.
uu
z
r
=
cos
θ
)
Olivier GRANIER
Retour sur la définition du moment dipolaire :
Le vecteur moment dipolaire est une caractéristique du dipôle électrostatique.
p s’exprime en C.m dans le SI.
On définit plutôt le Debye, mieux adapté :
1
D
=
10.33,3
30−
.
mC
Exemple : la molécule d’eau a un moment dipolaire . En déduire
les charges + δδδδ et – 2δδδδ portées respectivement par les atomes d’hydrogène et
par l’atome d’oxygène.
α
Données :
°
104
(
OH
096
OH
OH
nm
,0
=
=
=
=
l
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)
;
,
2
p OH
=
85,1
D
Olivier GRANIER
Le moment dipolaire total de la molécule est :
r
OHp
)2( δ−O
r
OHp'
( δ+H
)
α
2
r
OHp
2
( δ+H
)
On en déduit :
r
p
OH
2
r
p
=
OH
r
p
'
+
OH
Avec :
p
OH
=
p
'
OH
δl=
Par conséquent :
δl=OHp
2
2
cos
δ
=
p OH
2
l
2
cos
α
2
≈
e
3
(
e
=
10.6,1
−
19
C
)
α
2
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III – Calcul du champ dans le cadre de l’approximation dipolaire
V
La relation intrinsèque permet de calculer le champ (en
coordonnées polaires) :
M
grad
r
E −=
rEr
,( θ
−=)
r
θ
r
zu
( qP +
)
z
( qN −
)
O
a2
θθ
,(
)
rE
−=
∂
V
∂
r
1
r
∂
V
∂
θ
Olivier GRANIER
r
r E
θE
r
rE
M
Par conséquent :
Er
=
2
p
1
πε
4
0
θ
cos
3
r
r
θ
r
zu
( qP +
)
z
( qN −
)
O
a2
θ =
E
1
πε
4
0
θ
p
sin
3
r
r
E
=
1
πε
4
0
p
3
r
(
2
cos
θ
r
u
r
+
sin
r
)θθ
u
Olivier GRANIER
IV – Topographie du champ d’un dipôle
Surfaces équipotentielles :
L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) au potentiel V0 est :
Pour
1
πε
4
0
Soit l’équation en coordonnées polaires :
(
MV
Σ∈
(
:)
M
=
)
0
p
2
r
cos
θ
=
V
0
2
r
=
A
cos
θ
(
A
=
cste
)
L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ;
l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.
Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces
équipotentielles.
Olivier GRANIER
IV – Topographie du champ d’un dipôle
Surfaces équipotentielles :
L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) au potentiel V0 est :
Pour
1
πε
4
0
Publicité
Soit l’équation en coordonnées polaires :
(
MV
Σ∈
(
:)
M
=
)
0
p
2
r
cos
θ
=
V
0
2
r
=
A
cos
θ
(
A
=
cste
)
L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ;
l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.
Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces
équipotentielles.
Olivier GRANIER
- q
+ q
Deux charges
ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle
électrostatique)
Olivier GRANIER
Lignes de champs :
r
r E
θE
r
rE
M
Ligne de
champs
r
0
Sur la ligne de champ
passant par M :
r
r
=∧ Erd
r
r
rd
udr
r
r
uEE
=
+
+
=
r
r
r
r
θθ
udr
r
uE
θθ
r
θ
Edr
θ
−
θ
rEdr
0=
r
zu
( qP +
)
z
Soit :
( qN −
)
O
a2
dr
E
r
=
θ
dr
E
θ
Olivier GRANIER
En remplaçant les coordonnées du champ par leurs expressions :
On sépare les variables :
2
dr
r
θ
θ
dr
cos
=
2
dr
=
θ sin
cos
sin
θ
θ
θ
d
=
2
θ
(sin
)
d
θ
sin
Soit :
d
(ln
r
)
=
d
(ln(sin
2θ
))
On note r = r0 pour θθθθ = ππππ / 2, alors, en intégrant, on obtient l’équation
en coordonnées polaires des lignes de champs (r0 est un paramètre) :
ln
r
r
0
=
ln(sin
2
θ
)
soit
r
=
r
0
sin
2
θ
Olivier GRANIER
Deux charges
ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle
électrostatique)
- q
+ q
Animations Rousseau
Olivier GRANIER
V – Action d’un champ électrique extérieur sur un dipôle
On considère un dipôle électrostatique plongé dans un champ électrique E0
qui peut être supposé uniforme à l’échelle du dipôle.
Quel est l’effet de ce champ sur le dipôle ?
Système étudié : le dipôle (rigide)
Référentiel d’étude : celui du laboratoire (supposé galiléen)
r
0Eq
−
( qN −
)
r
0Eq
( qP +
)
O
r
0E
−
r
0Eq
et de résultante nulle.
Le dipôle est soumis aux deux forces
r
0Eq
Le dipôle est globalement soumis à
un « couple de forces », dont le
moment par rapport à O vaut :
Olivier GRANIER
r
0Eq
−
( qN −
)
r
0Eq
( qP +
)
O
r
0E
Sous l’effet d’un champ électrique,
le dipôle se met à tourner afin de
s’aligner selon le sens du champ (p
et E0 dans le même sens, position
d’équilibre stable).
r
Publicité
M O
=
OP
∧
r
Eq
0
r
Eq
0
−∧
(
)
=
(
OP
−
ON
)
∧
=
NPq
∧
+
ON
r
Eq
0
r
M O
Soit :
r
M O
r
r
∧=
0Ep
r
E
0
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Étude énergétique :
Soit V le potentiel dont dérive le
champ E0 ; l’énergie potentielle du
dipôle (rigide) dans ce champ est :
E p
=
(
PqV
)
−+
(
(
NVq
)
)
E p
=
[
)
NVPVq
−
(
(
])
r
0Eq
−
( qN −
)
r
0Eq
( qP +
)
O
r
0E
On rappelle que (E0 est un champ de gradient) :
=
Par conséquent, avec dV = V(P) – V(N) :
r
rd
Et donc :
E p
=
r
−
(
Eq
.
0 NP
)
Soit
E p
−=
r
r
.0
rdE
−
OP
ON
dV
NP
−=
=
rr
0.Ep
Ep est minimale (position d’équilibre stable) quand p et E0 ont même sens.
Olivier GRANIER
Application (solvatation des ions) :
+δδδδ
−−−−δδδδ
+
−−−−δδδδ
−−−−δδδδ
+δδδδ
+δδδδ
+δδδδ
−−−−δδδδ
−−−−δδδδ
+δδδδ
Lignes de
champs
+
Ion positif (Na+ par exemple)
−−−−δδδδ
+δδδδ
Molécule polaire H2O
Olivier GRANIER
VI – Quadripôle électrostatique
Exercice n°5 (modèle de la molécule de CO2) :
Soit un ensemble de trois charges alignées : 2 q en O, - q en A(+ a,0) et
- q en B(- a,0).
Calculer le potentiel V puis le champ E en un point M de l'espace situé à
la distance r de O, en supposant r >> a.
M
On rappelle le développement limité
(à l’ordre 2, pour x << 1) de :
r
θ
(
1
)
+ −
x
2/1
−≈
1
1
2
x
+
2
x
3
8
r
zu
( qB −
)
)2( qO
( qA −
)
z
Olivier GRANIER
M
r
θ
r
zu
( qB −
)
)2( qO
( qA −
)
z
(
MV
)
=
q
πε
4
0
2
3
a
r
−
31(
cos
2
θ
)
rEr
,( θ
−=)
θθ
,(
)
rE
−=
∂
V
∂
r
1
r
∂
V
∂
θ
Topographie : voir diapositive suivante
Olivier GRANIER
- q
+ 2q - q
Trois charges
ponctuelles
(+ 2q, – q et - q)
(Quadripôle
électrostatique)
Olivier GRANIER