(O.Granier)
Étude du dipôle électrostatique
Olivier GRANIER
I – Définition et approximation dipolaire
On appelle « dipôle électrostatique » un ensemble rigide de deux charges ponctuelles + q et – q (donc globalement neutre), distantes de 2a. )
( qN −
)
O
( qP + r zu
a2
z
)2( δ−O
Un tel modèle permet d’étudier :
* Les molécules polaires (par exemple : HCl, H2O)
( δ+H )
( δ−Cl )
( δ+H )
( δ+H )
Olivier GRANIER
* La polarisation des atomes dans un champ électrique extérieur (phénomène de solvatation des ions)
M
r
( qN −
)
O
a2
)
( qP + r zu
θ
z
On calcule le potentiel puis le champ grad électrique ( ) créé par le dipôle en un point M de l’espace.
r E −=
(V
)
Symétrie de révolution autour de l’axe (Oz) : on choisit M(r,θθθθ) dans le plan des deux charges.
Approximation dipolaire : r >> a (on se place « loin » des charges, c’est-à-dire à des distances bien supérieures à quelques nm).
Olivier GRANIER
II – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire
Le potentiel au point M est (principe de superposition) :
M
Nr
r
Pr θ
r zu
( qP +
)
z
( qN −
)
O a2
( MV
)
=
1 πε 4 0
q r P
−
1 πε 4 0
q r N
( MV
)
=
1 0πε 4
q
1 r P
−
1 r N
(
avec
:
r P
=
PM
ret N
=
NM
>>
a
)
Olivier GRANIER
Calcul des distances rP et rN :
D’après la relation de Chasles :
PM
=
OM
−
OP
r −= r
En élevant au carré :
M
Nr
r
Pr θ
r zu
( qP +
)
z
( qN −
)
O a2
r zua 2
−
r r .2 uar
z
PM
2
2
=
r
+
a
2 r P
=
r
2
2
+
a
−
2
ar
θcos
On calcule ensuite 1 / rP :
=
1
2
r
2
+
a
−
2
ar
( r
=
2
2
+
a
−
2
ar
θcos ) θ
−
cos
2/1
1 rP
1 rP
Olivier GRANIER
On rappelle le développement limité (à l’ordre 1) de :
( 1
) + − x
2/1
−≈ 1
1 2
x
(
x
<<
)1
Nr
r
Pr θ
r zu
( qP +
)
z
( qN −
)
O a2
M
On pose x = a / r (x << 1), alors :
1 rP
=
1 r
1
+
2
2
a
r
−
2
a r
cos
θ
−
2/1
Un DL au 1er ordre en x donne :
1 rP
Publicité
=
1 r
1
+
a r
θcos
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De la même manière (il suffit de remplacer θθθθ par π π π π −−−− θθθθ et donc cosθθθθ par - cosθθθθ) :
1 rN
=
1 r
1
−
a r
θcos
M
Nr
r
Pr θ
( qN −
)
O
r zu
( qP +
)
z
Par conséquent : 1 r P
1 r N
−
=
2
a 2r
θcos
D’où le potentiel :
( MV
)
=
1 πε 4 0
2(
aq 2
r
)
cos
θ
Olivier GRANIER
On définit le vecteur moment dipolaire du dipôle électrostatique (vecteur dirigé de la charge négative vers la charge positive) :
r p
=
2(
aq
)
z =
NPq
r u
Alors (décroissance du potentiel en 1 / r2) :
M
( MV
)
=
1 πε 4
p 2 0 r
cos
θ
r
θ
r ur En notant :
r / rr
( qN −
)
r zu
O
r p
( qP +
)
z
( MV
)
=
1 πε 4 0
= rr . up 2
r
r
rr ( . uu z
r
=
cos
θ )
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Retour sur la définition du moment dipolaire :
Le vecteur moment dipolaire est une caractéristique du dipôle électrostatique.
p s’exprime en C.m dans le SI.
On définit plutôt le Debye, mieux adapté :
1
D
=
10.33,3
30−
. mC
Exemple : la molécule d’eau a un moment dipolaire . En déduire les charges + δδδδ et – 2δδδδ portées respectivement par les atomes d’hydrogène et par l’atome d’oxygène. α
Données :
° 104
( OH
096
OH
OH
nm
,0
=
=
=
=
l
)
;
,
2
p OH
=
85,1
D
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Le moment dipolaire total de la molécule est :
r OHp
)2( δ−O r OHp'
( δ+H )
α 2
r OHp
2
( δ+H )
On en déduit :
r p
OH 2
r p
=
OH
r p
'
+
OH
Avec :
p
OH
=
p
'
OH
δl=
Par conséquent :
δl=OHp
2
2
cos
δ
=
p OH
2
l 2
cos
α 2
≈
e 3
(
e
=
10.6,1
− 19
C
)
α 2
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III – Calcul du champ dans le cadre de l’approximation dipolaire
V La relation intrinsèque permet de calculer le champ (en coordonnées polaires) : M
grad
r E −=
rEr
,( θ
−=)
r
θ
r zu
( qP +
)
z
( qN −
)
O a2
θθ ,( ) rE
−=
∂ V ∂ r
1 r
Publicité
∂ V ∂ θ
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r r E θE
r rE
M
Par conséquent :
Er
=
2
p
1 πε 4 0
θ
cos 3
r
r
θ
r zu
( qP +
)
z
( qN −
)
O a2
θ = E
1 πε 4 0
θ
p
sin 3
r
r E
=
1 πε 4 0
p 3
r
( 2
cos
θ
r u
r
+
sin
r )θθ u
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IV – Topographie du champ d’un dipôle
Surfaces équipotentielles :
L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) au potentiel V0 est :
Pour
1 πε 4 0 Soit l’équation en coordonnées polaires :
( MV
Σ∈ (
:)
M
=
)
0
p 2
r
cos
θ
=
V 0
2
r
=
A
cos
θ
(
A
=
cste
)
L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ; l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.
Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces équipotentielles.
Olivier GRANIER
IV – Topographie du champ d’un dipôle
Surfaces équipotentielles :
L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ0) au potentiel V0 est :
Pour
1 πε 4 0 Soit l’équation en coordonnées polaires :
( MV
Σ∈ (
:)
M
=
)
0
p 2
r
cos
θ
=
V 0
2
r
=
A
cos
θ
(
A
=
cste
)
L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ; l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.
Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces équipotentielles.
Olivier GRANIER
- q
+ q
Deux charges ponctuelles
(+ q et – q)
(Dipôle électrostatique)
Olivier GRANIER
Lignes de champs :
r r E θE
r rE
M
Ligne de champs
r 0
Sur la ligne de champ passant par M : r
r
=∧ Erd r r rd udr r r uEE
=
+
+
=
r
r
r
r θθ udr r uE θθ
r
θ
Edr
θ
−
θ rEdr
0=
r zu
( qP +
)
z
Soit :
( qN −
)
O a2
dr E
r
=
θ
dr E
θ
Olivier GRANIER
En remplaçant les coordonnées du champ par leurs expressions :
On sépare les variables :
2
dr r
θ θ
dr cos
=
2
dr = θ sin cos sin
θ θ
θ d
=
2
θ (sin ) d θ sin
Soit :
d
(ln
r
)
=
d
(ln(sin
2θ
))
On note r = r0 pour θθθθ = ππππ / 2, alors, en intégrant, on obtient l’équation en coordonnées polaires des lignes de champs (r0 est un paramètre) :
ln
r r 0
=
ln(sin
2 θ
)
soit
r
=
r 0
sin
2 θ
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Deux charges ponctuelles
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(+ q et – q)
(Dipôle électrostatique)
- q
+ q
Animations Rousseau
Olivier GRANIER
V – Action d’un champ électrique extérieur sur un dipôle
On considère un dipôle électrostatique plongé dans un champ électrique E0 qui peut être supposé uniforme à l’échelle du dipôle.
Quel est l’effet de ce champ sur le dipôle ?
Système étudié : le dipôle (rigide)
Référentiel d’étude : celui du laboratoire (supposé galiléen)
r 0Eq
−
( qN −
)
r 0Eq
( qP +
)
O
r 0E
−
r 0Eq
et de résultante nulle.
Le dipôle est soumis aux deux forces r 0Eq Le dipôle est globalement soumis à un « couple de forces », dont le moment par rapport à O vaut :
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r 0Eq
−
( qN −
)
r 0Eq
( qP +
)
O
r 0E
Sous l’effet d’un champ électrique, le dipôle se met à tourner afin de s’aligner selon le sens du champ (p et E0 dans le même sens, position d’équilibre stable).
r M O
=
OP
∧
r Eq
0
r Eq
0
−∧ (
)
=
( OP
−
ON
)
∧
=
NPq
∧
+
ON r Eq
0
r M O
Soit :
r M O
r r ∧= 0Ep
r E
0
Olivier GRANIER
Étude énergétique :
Soit V le potentiel dont dérive le champ E0 ; l’énergie potentielle du dipôle (rigide) dans ce champ est :
E p
=
( PqV
)
−+ (
( NVq
)
)
E p
=
[ ) NVPVq
−
(
(
])
r 0Eq
−
( qN −
)
r 0Eq
( qP +
)
O
r 0E
On rappelle que (E0 est un champ de gradient) : =
Par conséquent, avec dV = V(P) – V(N) :
r rd
Et donc :
E p
=
r − ( Eq
. 0 NP
)
Soit
E p
−=
r r .0 rdE − OP
ON
dV NP
−= = rr 0.Ep
Ep est minimale (position d’équilibre stable) quand p et E0 ont même sens.
Olivier GRANIER
Application (solvatation des ions) :
+δδδδ
−−−−δδδδ
+
−−−−δδδδ
−−−−δδδδ
+δδδδ
+δδδδ
+δδδδ
−−−−δδδδ
−−−−δδδδ
+δδδδ
Lignes de champs
+
Ion positif (Na+ par exemple)
−−−−δδδδ
+δδδδ
Molécule polaire H2O
Olivier GRANIER
VI – Quadripôle électrostatique
Exercice n°5 (modèle de la molécule de CO2) :
Soit un ensemble de trois charges alignées : 2 q en O, - q en A(+ a,0) et - q en B(- a,0).
Calculer le potentiel V puis le champ E en un point M de l'espace situé à la distance r de O, en supposant r >> a.
M
On rappelle le développement limité (à l’ordre 2, pour x << 1) de :
r
θ
( 1
) + − x
2/1
−≈ 1
1 2
x
+
2
x
3 8
r zu
( qB −
)
)2( qO
( qA −
)
z
Olivier GRANIER
M
r
θ
r zu
( qB −
)
)2( qO
( qA −
)
z
( MV
)
=
q πε 4 0
2
3
a
r
− 31(
cos
2
θ )
rEr
,( θ
−=)
θθ ,( ) rE
−=
∂ V ∂ r
1 r
∂ V ∂ θ
Topographie : voir diapositive suivante
Olivier GRANIER
- q
+ 2q - q
Trois charges ponctuelles
(+ 2q, – q et - q)
(Quadripôle électrostatique)
Olivier GRANIER