Equations locales de l lectromagn tisme
Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Chapitre 4
Equations locales de l lectromagn tisme
I) Equation locale de conservation de la charge :
On consid re un volume V d limit par une surface ferm e S (fixe dans le r f rentiel d tude).
r
n
r
j
dS
m
Volume
V
2
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Soit m la densit volumique de charges mobiles dans le milieu. La charge totale Q(t) comprise
dans le volume linstant t vaut :
tQ
)(
=
V+++
(
)
d
m
La conservation de la charge lectrique permet d crire :
dQ
dt
)(=
ti
travers
S
d
dt
+++
V
(
)
m
(
dtM
),
=
rr
dSnj
.
++
(
S
)
Par cons quent :
Le volume (V) tant fixe :
d
dt
+++
V
(
)
m
(
dtM
),
=
+++
V
(
)
m
tM
(
),
t
d
3
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Finalement, le principe de conservation de la charge conduit
+++
m
++
=
d
tM
(
),
t
V
(
)
(
S
)
rr
dSnj
.
En utilisant le th or me de Green-Ostrogradsky :
+++
V
(
)
m
tM
(
),
t
d
=
+++
V
(
)
r
djdiv
m
+++V
(
)
tM
(
),
t
+
r
djdiv
=
0
soit
Ce r sultat tant vrai pour tout volume (V), il vient :
tMm
(
),
t
r
jdiv
+
=
0
Cest l quation locale de conservation de la charge lectrique.
4
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- Remarque : une telle forme d quation se retrouve couramment lorsque lon fait le bilan dune
grandeur scalaire extensive qui, en labsence de sources, ob it un principe de conservation :
" Conservation de l nergie EM (vecteur de Poynting)
" Conservation de la masse (en m canique des fluides)
" Equations de la diffusion et de la chaleur (ph nom nes de transport).
5
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- Densit de courant et intensit en r gime permanent :
On a alors
t
0=
et donc
div
r
0=j
.
On en d duit :
" Lintensit totale qui sort dune surface ferm e (S) quelconque est nulle en r gime
permanent :
i
=
++
(
S
)
rr
dSnj
.
=
+++
V
(
)
r
dj
.
=
0
div
" En r gime permanent, lintensit a m me valeur travers toutes les sections dun m me tube
de champ.
6
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En effet :
r
On consid re une surface ferm e (S) constitu e par un tube de champ (T) du champ j
(appel
tube de courant) et deux surfaces (S1) et (S2) sappuyant sur deux contours de m me orientation
r
trac s sur (T) et soient I1 et I2 les intensit s, flux de j
respectivement travers (S1) et (S2).
I1
(C1)
(S1)
(T)
7
I2
(C2)
(S2)
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rr
dSnj
.
+==
0
I
1
I
2
+
++
(
T
)
rr
dSnj
.
I
+=
1
I
2
++
(
S
)
Soit :
I
1
I
= 2
=
I
En r gime permanent, lintensit du courant lectrique prend la m me valeur dans toute
section dune branche de circuit. On peut galement en d duire la loi des nSuds (conservation
du flux du vecteur densit de courant).
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II) Equations de Maxwell :
Dans la th orie de Maxwell, linteraction entre deux particules est transmise par linterm diaire de
modifications de proche en proche du champ EM.
Cette propagation de linteraction par linterm diaire du champ EM se fait pr cis ment sous
forme dondes EM avec la c l rit c.
Pour se repr senter linteraction de deux particules dans le cadre dune th orie de champ, une
image possible est celle de deux bouchons A et B flottant sur leau et initialement immobiles.
Une oscillation verticale de A engendre des oscillations de leau qui se transmettent de proche en
proche dans toutes les directions jusqu ce quelles atteignent B qui est alors mis en mouvement.
9
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Les quations de Maxwell sont des quations locales qui expriment des relations entre le champ
rr
( BE
,
EM
)
et ses sources
r
j
)
(
:
,
=
0
(
Equation
du
flux
magn tique
Flux
)
r
Bdiv
r
Ediv
=
0
r
Erot
=
r
Brot
=
r
B
t
r
j
+
0
0
0
(
Equation
de
Maxwell
Gauss
MG
)
(
Equation
de
Maxwell
Faraday
MF
)
(
Equation
de
Maxwell
Amp re
MA
)
r
E
t
10
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- Les quations de Maxwell et la conservation de la charge :
" Les quations de Maxwell contiennent le principe de conservation de la charge. En effet, si
lon prend la divergence de l quation de MA :
r
Brot
div
(
)
0
==
0
div
r
j
+
0
0
div
Soit :
r
E
t
=
0
div
r
j
+
0
0
t
r
(
Ediv
)
=
0
r
j
+
Publicité
div
t
div
r
j
+
t
0=
Ainsi, il nest pas n cessaire dajouter la conservation de la charge aux postulats de lEM dans la
mesure o celle-ci d coule des quations de Maxwell.
11
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" N cessit du courant de d placement
r
Brot
=
En r gime quelconque, on pose
r
j
div
1
0
Soit encore, si lon veut respecter le principe de conservation de la charge :
=
div
div
div
=
D
)
(
r
j
)
. Alors :
r
jD
r
j
(0
=
+
0
r
Dj
r
Brot
r
E
t
:
r
j
D
r
j
div
=
div
r
j
D
=
t
En utilisant l quation de MG :
r
j
div D
=
t
=
t
r
)Ediv
(
0
soit
r
j
div
0
D
r
E
t
=
0
La solution la plus simple de cette quation correspond bien au choix du courant de d placement
r
j D
0
=
r
E
t
.
12
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- Les quations de propagation du champ EM :
Soit une distribution (D) de charges localis es autour dun point O, dont les densit s sont
fonction du temps (exemple : une antenne m tallique).
Selon les quations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Amp re, cette distribution (D) est la source
r
de champs E
variables dans le temps qui vont s tablir dans tout le voisinage de O.
r
et B
Un point M de ce voisinage, bien que situ en dehors de (D), est lui-m me source de champs en
raison des termes en
quations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Amp re.
et
provenant de O qui jouent un r le de sources dans les
r
tB
/
r
tE
/
Les points P du voisinage de M sont leur tour dans leur propre voisinage des sources de
champs variables dans le temps &
On con oit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser des rides se transmettant de
proche en proche la surface de leau.
Le couplage qui est introduit dans les quations de Maxwell par la pr sence des deux d riv es
est lorigine du ph nom ne de propagation du
partielles par rapport au temps
champ EM.
r
tE
/
r
tB
/
et
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Obtention des quations de propagation du champ EM :
On calcule le rotationnel de l quation de Maxwell-Faraday :
r
r
Erot
(
)
rot
=
)Brot
(
t
Or :
rot
r
Erot
(
r
Ediv
=
0
r
Brot
=
et
Avec
r
j
+
0
0
0
)
=
r
E
t
r
(
Ediv
)
r
E
grad
, il vient :
Soit, finalement :
grad
0
r
E
=
t
14
r
j
+
0
0
0
r
E
t
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1
0
r
E
+
0
r
j
t
0
0
grad
r
E
2
t
=
2
De mani re sym trique, on limine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA :
)
r
B
=
r
(
Bdiv
r
Brot
)Erot
(
0
0
grad
0
rot
rot
r
j
(
)
+
=
r
t
Soit :
Finalement :
grad
( )
0
r
B
=
r
j
+
0
0
0
rot
t
r
B
t
=
0
rot
r
j
r
B
0
0
r
B
2
2
t
15
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r
jet
Dans une r gion sans charges ni courants (
) :
r
0
=
=
0
r
E
0
0
2
t
r
E
2
r
0
=
et
r
B
0
0
r
B
2
2
t
r
0
=
Ces quations sont les quations de propagation du champ EM. Si lon note s(t) lune des six
coordonn es des champ EM (Ex,&., Bx,&), alors :
s
0
0
2
t
Publicité
s
2
=
0
soit
s
1
2
v
2
t
s
2
=
0
(
1
2
v
=
0
0
)
Cest l quation de dAlembert ( quation classique de propagation des ondes, encore appel e
quation des cordes vibrantes) tablie au XVIII me si cle pour mod liser les vibrations dune
corde tendue. Comme le montre le paragraphe suivant, les solutions de cette quation traduisent
un ph nom ne de propagation de c l rit v.
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Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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- Changement de r f rentiel :
Soit, dans le r f rentiel du laboratoire (R), un faisceau de protons de densit particulaire n
homog ne, daxe (Oz) et de rayon a. Le faisceau est dit homocin tique lorsque toutes les
particules ont la m me vitesse
r
v
=
r
zuv
.
Une tude de sym tries conduit (dans le r f rentiel du laboratoire) :
r
r
urBB
)(
r
r
urEE
)(
et
=
=
r
On se place maintenant dans le r f rentiel (R) li aux charges, cest- -dire se d pla ant en
translation rectiligne par rapport (R) la vitesse
r
=B
r
)0'
pas de champ magn tique (
et ne subsiste donc qun champ lectrique
.
. Les charges, immobiles, ne cr ent
r
'E
r
v
=
r
zuv
Cet exemple simple illustre le fait que le champ EM d pend du r f rentiel consid r .
17
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Formule de changement de r f rentiel :
r
Soit v
r f rentiel (R) anim de la vitesse
r
ev
par rapport (R).
la vitesse dune particule de charge q dans un r f rentiel (R) et soit
r
'v
sa vitesse dans un
La force de Lorentz doit tre identique dans les deux r f rentiels (principe dinvariance de la
force en m canique newtonienne), par cons quent :
r
f
r
r
r
(
BvEq
'+
)
=
r
r
r
(
BvEq
'
'
'+
)'
=
On utilise la relation de composition des vitesses :
r
r
evv
+= '
r
v
Alors :
r
E
r
r
vv
'(
+
e
)
+
r
r
r
r
BvEB
'
'
='
'+
'
18
Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Soit :
r
r
vE
+
e
r
'
='+'
r
r
BvEBvB
r
'
'
'+
r
r
'
On est donc amen poser : (expressions de changement de r f rentiels galil ens du champ EM)
r
r
r
vEE
e
+
=
'
r
B
'
r
r
BB
=
'
et
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III) Contenus physiques des quations de Maxwell :
Ce paragraphe permet de montrer que les quations locales de Maxwell donnent, par
int gration, des lois et th or mes connus qui peuvent tre v rifi s exp rimentalement.
" Equation de Maxwell-Gauss et th or me de Gauss :
On part de l quation de MG :
r
=Ediv
0
afin de calculer le flux sortant du champ lectrique travers une surface ferm e (S) :
rr
dSnE
.
++
(
S
)
=
+++
V
(
)
r
dEdiv
.
=
1
0
+++
V
(
)
d
.
=
Q
int
0
Le th or me de Gauss appara t ainsi encore valable en EM, m me si les charges lectriques
peuvent tre en mouvement.
20
Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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En r gime permanent, les sources du champ lectrique sont les charges caract ris es par la
densit . Les lignes de champ divergent partir des charges positives la mani re dun fluide
sortant dune v ritable source et disparaissent sur les charges n gatives comme un fluide dans un
puits.
Tel est encore le cas en r gime non permanent, la diff rence pr s que (voir cons quence de
l quation de Maxwell-Faraday), nest plus la seule source du champ lectrique, de telle sorte
que les cartes de champ lectrique nont plus n cessairement la m me allure.
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Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Equation de Maxwell-Amp re et th or me dAmp re g n ralis :
On calcule la circulation un instant donn du champ magn tique le long dun contour (C) sur
lequel sappuie une surface (S) et on utilise l quation de MA :
r
E
t
+
0
r
Brot
r
j
=
0
0
Il vient :
On reconna t :
rr
l
dB
.
+
(
C
)
=
++
(
S
)
rr
dSnBrot
.
=
++
(
S
)
r
j
+
0
0
0
r
E
t
r
dSn
.
rr
dSnj
.
i
(++=
S
)
22
Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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lintensit qui traverse (S). On peut noter que, en r gime non permanent, cette grandeur ne
d pend pas seulement de (C) mais de la surface (S) car j
r nest plus flux conservatif.
Alors : (th or me dAmp re g n ralis )
o le terme :
rr
l
dB
.
=
0
+
(
C
)
i
+
++
(
S
)
0
r
E
t
r
dSn
.
i
D
=
++
(
S
)
0
r
E
t
r
dSn
.
sinterpr te comme le flux du courant de d placement travers la surface (S).
Ainsi, en r gime non permanent, les sources du champ magn tique sont de deux natures : les
courants r els et le courant de d placement qui provient de la d pendance temporelle du
champ lectrique.
23
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En r gime permanent, on retrouve bien videmment le th or me dAmp re classique :
rr
l
dB
.
=
0
i
+
(
C
)
24
Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Equation du flux magn tique et champ magn tique flux conservatif :
L quation locale :
r
0=Bdiv
permet de montrer que :
rr
dSnB
.
++
)5(
r
dBdiv
.
=
0
=
+++
V
(
)
soit
++
)5(
rr
dSnB
.
==
0
Le champ magn tique est flux conservatif. Par cons quent :
- Le flux magn tique se conserve chaque instant travers toute section dun tube de champ
magn tique :
1 =
2
.
- Il est possible de d finir le flux magn tique qui traverse un contour (C) sans avoir pr ciser
la surface (S) qui sappuie sur celui-ci.
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Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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" Equation de Maxwell-Faraday et loi de Faraday :
On value la circulation e du champ lectrique le long dun contour (C) ferm sur lequel sappuie
r
Publicité
Erot
=
r
B
t
:
une surface (S) et on utilise l quation de Maxwell-Faraday
rr
l
dE
.
+
(
C
)
=
++
(
S
)
rr
dSnErot
.
=
++
(
S
)
r
B
t
r
dSn
.
=
d
dt
++
(
S
)
rr
dSnB
.
Soit :
rr
l
dE
.
e
=
+
(
C
)
;
=
++
(
S
)
rr
dSnB
.
e
=
d
dt
26
Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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En r gime permanent :
rr
l
dE
.
=
0
r
Erot
r
)0
=
(
et
e
= +
(
C
)
Le champ lectrique permanent est circulation conservative. On peut d finir un potentiel
scalaire tel que :
r
E =
grad
V
En r gime non permanent : la circulation e du champ sidentifie la f m qui est induite sur (C).
On d montre ainsi la loi de Faraday :
e
=
d
dt
d gag e exp rimentalement par Faraday en 1831.
La circulation du champ E nest plus nulle : un champ magn tique variable dans le temps est
source dun champ lectrique circulation non conservative.
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Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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r
IV) Existence de potentiels ( A
,V), jauge de Lorentz, cas de lARQS :
1 Rappels math matiques :
Un champ gal un gradient a un rotationnel nul et un champ gal un rotationnel a une
divergence nulle :
r
e
r
b
=
=
grad
r
a
rot
rot
r
e
r
bdiv
r
0
r
0
=
=
R ciproquement, on peut montrer que :
" Si un champ vectoriel a un rotationnel nul, il existe au moins un champ scalaire dont il est le
gradient.
" Si un champ vectoriel a une divergence nulle, il existe au moins un champ vectoriel dont il
est le rotationnel.
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2 D finition des potentiels ( A
r ,V) :
L quation de Maxwell-flux :
r
0=Bdiv
r
et la propri t pr cis e ci-dessus permettent de d finir un champ vectoriel A
vecteur) tel que :
(appel potentiel
r
B
=
r
Arot
Si lon introduit cette relation dans l quation de Maxwell-Faraday, il vient :
r
Erot
=
r
B
t
=
t
r
Arot
)
(
soit
rot
r
E
+
r
A
t
r
0
=
Il existe donc au moins un champ scalaire que lon notera V (V est appel potentiel scalaire) tel
que :
29
Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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r
E
+
r
A
t
=
grad
(
V
)
=
grad
V
soit
r
E
=
grad
V
r
A
t
Dans le cas du r gime permanent
r
A
t
r
0
=
, on retrouve lexpression classique
r
E =
grad
V
.
Non unicit du couple de potentiels :
On suppose que, pour un champ EM donn , on dispose de deux couples (
potentiels. Alors :
r
0A
r
,V0) et ( A
,V) de
Par cons quent, en notant
r
r
AA
0
r
B
=
=
r
Arot
0
r
tr
),(
r
Arot
soit
rot
(
r
r
AA
0
)
=
r
0
un champ scalaire quelconque :
=
grad
soit
r
r
AA
=
0
+
grad
30
Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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r
tr
),(
d signe un champ scalaire quelconque)
Le potentiel vecteur
convient galement : le potentiel vecteur est d fini un gradient pr s.
r
r
AA
= 0
grad
(o
+
De m me, pour le potentiel scalaire :
r
E
=
grad
V
0
r
A
0
t
=
grad
V
r
A
t
soit
grad
VV
(
0
)
=
(
r
r
AA
0
t
)
Soit :
grad
VV
(
+
0
)
t
=
0
Apr s int gration, la fonction additive du temps qui sintroduit est mise sous forme dune d riv e
par rapport au temps :
Finalement, en posant
r
tr
),(
VV
0
+
t
=
tf
)(
=
t
)(
dF
dt
r
tr
),(
=
tF
)(
:
31
Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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rr
trA
),(
=
r
r
trA
),(
Publicité
0
+
grad
r
tr
),(
et
r
trV
),(
r
trV
),(
0
=
r
tr
),(
t
Il existe donc une infinit de couples de potentiels vecteurs : faire le choix dun dentre eux est
faire un choix de jauge (il existe une infinit de jauges). On dit quil y a ind termination de jauges.
Le champ EM est par contre invariant de jauge ; lui seul a un sens physique alors que les
potentiels sont seulement un moyen math matique dexpression des champs (en m canique
classique).
32
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3 - Potentiels permanents :
En r gime permanent, les quations de Poisson se r crivent sous la forme :
r
A
0 =
r
j
et
=V
0
Cette derni re quation a pour solution la solution bien connue (loi de Coulomb pour le potentiel
lectrostatique) :
MV
(
)
=
1
4
0
+++
(
D
)
S
)(
SM
d
(On note M le point o lon calcule le potentiel, S un point source de la distribution (D) de
charges, r = SM et
r
r
=
SM
=
r
ur
).
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Chaque composante Ax, Ay et Az v rifient la m me quation que V ; par cons quent :
r
MA
(
)
=
0
4
+++
(
D
)
r
Sj
)(
SM
d
On peut montrer que la condition de jauge de Lorentz est bien v rifi e, cest- -dire que :
r
0=Adiv
On peut alors en d duire la formule de Biot et Savart donnant le champ magn tique. On value :
Soit :
r
MB
(
)
=
r
MArot
(
)
=
rot
0
4
+++
(
D
)
r
Sj
)(
SM
d
r
MB
(
)
=
r
MArot
(
)
=
0
4
+++
(
D
)
rot
M
r
Sj
)(
SM
d
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r
Af
=)
rot
(
Or : (
r
fA
+'
r
Arot
)
grad
rot
M
f
r
Sj
)(
SM
=
grad
M
1
SM
'
r
Sj
)(
+
1
SM
r
Sj
((
))
rot
M
r
Sj
)(
SM
=
1
2
SM
rot M
r
u
'
r
Sj
)(
Do la loi de Biot et Savart :
r
MB
(
)
=
0
4
+++
(
D
)
1
2
SM
r
u
'
r
dSj
)(
=
0
4
Et, dans le cas dun circuit filiforme (avec lexpression formelle
r
u
di
r
l
r
MB
(
)
=
0
4
+
(
C
)
35
'
2
SM
r
Sj
)(
D
)
SM
r
u
'
2
d
(
+++
r
dj
=
l
id
) :
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" Etude dun exemple sym trie cylindrique ; D termination dun potentiel vecteur :
Un fil rectiligne infini est mod lis par un tube de courant daxe (Oz) et de rayon a, parcouru par
. On souhaite d terminer un potentiel vecteur associ au
r
j
le courant volumique uniforme
champ magn tique cr par le fil.
r
zuj
=
Des consid rations de sym trie et lapplication du th or me dAmp re en r gime permanent
conduit facilement :
Lexpression :
r
B
r
B
r
r
u
j
20=
0=
j
r
u
2
r
a
2
Si r < a :
Si r > a :
r
MA
(
)
=
0
4
+++
(
D
)
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r
Sj
)(
SM
d
Equations locales de lEM, transparents de cours, MP, Lyc e Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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montre que le potentiel vecteur poss de des propri t s de sym trie semblables celles du champ
lectrique (cest un vrai vecteur).
Par cons quent, le plan contenant le point M et perpendiculaire au fil tant un plan
dantisym trie, on peut crire que :
r
r
zurAMA
(
=
)(
)
r
B
r
Arot
=
La relation
surface (S) s crit :
appliqu e sous forme int grale un contour (C) sur lequel sappuie une
+
(
rr
l
dA
.
)
=
++
C
r
r
urBMB
=
)(
)
S
(
)
rr
dSnB
.
. Le choix du contour (C) et de la surface
r
r
zurAMA
(
=
(
avec, ici,
(S) est pr cis sur la figure suivante :
)(
et
)
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z
r
r
zurAA
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)(=...