Equations locales de l’électromagnétisme
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ Chapitre 4
Equations locales de l’électromagnétisme
I) Equation locale de conservation de la charge :
On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d’étude).
r n
r j
dS
ρρρρm
Volume
V
2
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ Soit ρm la densité volumique de charges mobiles dans le milieu. La charge totale Q(t) comprise
dans le volume à l’instant t vaut :
tQ )(
=
V∫∫∫
(
)
τρ d m
La conservation de la charge électrique permet d’écrire :
dQ dt
)(−=
àti
travers
S
d dt
∫∫∫
V (
)
ρ m
(
dtM ),
−= τ
rr dSnj .
∫∫
(
S
)
Par conséquent :
Le volume (V) étant fixe :
d dt
∫∫∫
V (
)
ρ m
(
dtM ),
= τ
∫∫∫
V (
)
∂ ρ m
tM ( ), t ∂
d τ
3
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
Finalement, le principe de conservation de la charge conduit à ∫∫∫
ρ ∂ m
∫∫
−=
d τ
tM ( ), t ∂
V (
)
(
S
)
rr dSnj .
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky :
∫∫∫
V (
)
∂ ρ m
tM ( ), t ∂
d τ
−=
∫∫∫
V (
)
r djdiv
τ
∂ ρ m
∫∫∫V
(
)
tM ( ), t ∂
+
r djdiv
τ
=
0
soit
Ce résultat étant vrai pour tout volume (V), il vient :
∂ ρ
tMm ( ), t ∂
r jdiv
+
=
0
C’est l’équation locale de conservation de la charge électrique.
4
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ * Remarque : une telle forme d’équation se retrouve couramment lorsque l’on fait le bilan d’une grandeur scalaire extensive qui, en l’absence de sources, obéit à un principe de conservation :
• Conservation de l’énergie EM (vecteur de Poynting) • Conservation de la masse (en mécanique des fluides) • Equations de la diffusion et de la chaleur (phénomènes de transport).
5
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
* Densité de courant et intensité en régime permanent :
On a alors
∂ ρ t ∂
0=
et donc
div
r 0=j
.
On en déduit :
• L’intensité totale qui sort d’une surface fermée (S) quelconque est nulle en régime
permanent :
i
=
∫∫
(
S
)
rr dSnj .
=
∫∫∫
V (
)
r τdj .
=
0
div
• En régime permanent, l’intensité a même valeur à travers toutes les sections d’un même tube
de champ.
6
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
En effet :
r On considère une surface fermée (S) constituée par un tube de champ (T) du champ j (appelé tube de courant) et deux surfaces (S1) et (S2) s’appuyant sur deux contours de même orientation r tracés sur (T) et soient I1 et I2 les intensités, flux de j
respectivement à travers (S1) et (S2).
I1
(C1)
(S1)
(T)
7
I2
(C2)
(S2)
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
rr dSnj .
+−==
0
I
1
I
2
+
∫∫
(
T
)
rr dSnj .
I +−= 1
I
2
∫∫
(
S
)
Soit :
I
1
I = 2
=
I
En régime permanent, l’intensité du courant électrique prend la même valeur dans toute section d’une branche de circuit. On peut également en déduire la loi des nœuds (conservation du flux du vecteur densité de courant).
8
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ II) Equations de Maxwell :
Dans la théorie de Maxwell, l’interaction entre deux particules est transmise par l’intermédiaire de modifications de proche en proche du champ EM.
Cette propagation de l’interaction par l’intermédiaire du champ EM se fait précisément sous forme d’ondes EM avec la célérité c.
Pour se représenter l’interaction de deux particules dans le cadre d’une théorie de champ, une image possible est celle de deux bouchons A et B flottant sur l’eau et initialement immobiles.
Une oscillation verticale de A engendre des oscillations de l’eau qui se transmettent de proche en proche dans toutes les directions jusqu’à ce qu’elles atteignent B qui est alors mis en mouvement.
9
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ Les équations de Maxwell sont des équations locales qui expriment des relations entre le champ
rr ( BE ,
EM
)
et ses sources
r j ) ( ρ :
,
=
0
(
Equation
du
flux
magnétique
−
Flux
)
r Bdiv r Ediv
=
ρ ε 0
r Erot
−=
r Brot
=
r B ∂ t ∂ r j
+ µεµ 0
0
0
(
Equation
de
Maxwell
−
Gauss
−
MG
)
(
Equation
de
Maxwell
−
Faraday
−
MF
)
(
Equation
de
Maxwell
−
Ampère
−
MA )
r E ∂ t ∂
10
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
* Les équations de Maxwell et la conservation de la charge :
• Les équations de Maxwell contiennent le principe de conservation de la charge. En effet, si
l’on prend la divergence de l’équation de MA :
r Brot
div
(
)
0 ==
µ 0
div
r j
+
µε 0 0
div
Soit :
r E ∂ t ∂
=
µ 0
div
r j
+
µε 0 0
∂ t ∂
r ( Ediv
)
=
µ 0
r j
+
div
∂ ρ t ∂
div
ρr ∂ j + t ∂
0=
Ainsi, il n’est pas nécessaire d’ajouter la conservation de la charge aux postulats de l’EM dans la mesure où celle-ci découle des équations de Maxwell.
11
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
• Nécessité du courant de déplacement
r Brot
= µ
En régime quelconque, on pose r j
div
1 0µ Soit encore, si l’on veut respecter le principe de conservation de la charge :
−=
div
div
div
−
=
D
)
(
r j
)
. Alors :
r jD r j
(0
=
+
0ε r Dj
r Brot
r E ∂ t ∂
:
r j D
r j
div
−=
div
r j
D
−=
ρ ∂ t ∂
En utilisant l’équation de MG :
r j div D
−
−=
ρ ∂ t ∂
−=
∂ t ∂
r )Ediv
( 0ε
soit
r j
div
−
ε 0
D
r E ∂ t ∂
=
0
La solution la plus simple de cette équation correspond bien au choix du courant de déplacement r j D
0ε
=
r E ∂ t ∂
.
12
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
* Les équations de propagation du champ EM :
Soit une distribution (D) de charges localisées autour d’un point O, dont les densités sont fonction du temps (exemple : une antenne métallique).
Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, cette distribution (D) est la source r de champs E
variables dans le temps qui vont s’établir dans tout le voisinage de O.
r et B
Un point M de ce voisinage, bien que situé en dehors de (D), est lui-même source de champs en
raison des termes en équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère.
et
« provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les
r tB ∂ ∂ /
r tE ∂ ∂ /
Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des sources de champs variables dans le temps …
On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de proche en proche à la surface de l’eau.
« Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivées est à l’origine du phénomène de propagation du partielles par rapport au temps champ EM. »
r tE ∂ ∂ /
r tB ∂ ∂ /
et
13
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
Obtention des équations de propagation du champ EM :
On calcule le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday : r
r Erot
(
)
rot
−=
)Brot (
∂ t ∂
Or :
rot
r Erot
(
r Ediv
=
ρ ε 0
r Brot
=
Publicité
et
Avec
r j
µεµ + 0
0
0
)
= r E ∂ t ∂
r ( Ediv
)
r E
∆−
grad
, il vient :
Soit, finalement :
grad
ρ ε 0
r E ∆−
−=
∂ t ∂
14
r j
+ µεµ 0
0
0
r E ∂ t ∂
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ 1 ε 0
r E −∆
+ µρ 0
r j ∂ t ∂
µε 0 0
grad
r E 2
t ∂
=
∂
2
De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA : )
r B =∆−
r ( Bdiv
r Brot
)Erot (
µε 0 0
grad
µ 0
rot
rot
r j
(
)
+
=
r
∂ t ∂
Soit :
Finalement :
grad
( ) 0
r B =∆−
r j
+
µε 0 0
µ 0
rot
∂ t ∂
−
r B ∂ t ∂
−=
µ 0
rot
r j
r B −∆
µε 0 0
r B 2
2
∂
t ∂
15
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ r jet
Dans une région sans charges ni courants (
) :
r 0
ρ
=
=
0
r E −∆
µε 0 0
2
∂
t ∂
r E 2
r 0
=
et
r B −∆
µε 0 0
r B 2
2
∂
t ∂
r 0
=
Ces équations sont les équations de propagation du champ EM. Si l’on note s(t) l’une des six coordonnées des champ EM (Ex,…., Bx,…), alors :
s −∆
µε 0 0
2
∂
t ∂
s 2
=
0
soit
s −∆
1 2
v
2
∂
t ∂
s 2
=
0
(
1 2
v
=
µε 0 0
)
C’est l’équation de d’Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIIIème siècle pour modéliser les vibrations d’une corde tendue. Comme le montre le paragraphe suivant, les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de célérité v.
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Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
* Changement de référentiel :
Soit, dans le référentiel du laboratoire (R), un faisceau de protons de densité particulaire n homogène, d’axe (Oz) et de rayon a. Le faisceau est dit homocinétique lorsque toutes les
particules ont la même vitesse
r v
=
r zuv
.
Une étude de symétries conduit à (dans le référentiel du laboratoire) : r r θurBB )(
r r urEE
)(
et
=
=
r
On se place maintenant dans le référentiel (R’) lié aux charges, c’est-à-dire se déplaçant en
translation rectiligne par rapport à (R) à la vitesse
r =B
r )0'
pas de champ magnétique (
et ne subsiste donc q’un champ électrique
.
. Les charges, immobiles, ne créent r 'E
r v
=
r zuv
Cet exemple simple illustre le fait que le champ EM dépend du référentiel considéré.
17
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
Formule de changement de référentiel :
r Soit v référentiel (R’) animé de la vitesse
r ev
par rapport à (R).
la vitesse d’une particule de charge q dans un référentiel (R) et soit
r 'v
sa vitesse dans un
La force de Lorentz doit être identique dans les deux référentiels (principe d’invariance de la force en mécanique newtonienne), par conséquent :
r f
r
r r ( BvEq ∧+
)
=
r
r r ( BvEq ' ' ∧+
)'
=
On utilise la relation de composition des vitesses : r r evv += '
r v
Alors :
r E
r r vv '( + e
)
+
r r r r BvEB ' ' =∧ ∧+
'
18
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
Soit :
r r vE + e
r ' =∧+∧
r r BvEBvB
r ' ' ∧+
r
r
'
On est donc amené à poser : (expressions de changement de référentiels galiléens du champ EM)
r r r vEE e
+
=
'
r B
∧
r r BB =
'
et
19
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
III) Contenus physiques des équations de Maxwell :
Ce paragraphe permet de montrer que les équations « locales » de Maxwell donnent, par intégration, des lois et théorèmes connus qui peuvent être vérifiés expérimentalement.
• Equation de Maxwell-Gauss et théorème de Gauss :
On part de l’équation de MG :
r =Ediv
ρ 0ε
afin de calculer le flux sortant du champ électrique à travers une surface fermée (S) :
rr dSnE .
∫∫
(
S
)
=
∫∫∫
V (
)
r dEdiv .
τ
=
1 ε 0
∫∫∫
V (
)
d . τρ
=
Q int ε 0
Le théorème de Gauss apparaît ainsi encore valable en EM, même si les charges électriques peuvent être en mouvement.
20
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ En régime permanent, les sources du champ électrique sont les charges caractérisées par la densité ρ. Les lignes de champ divergent à partir des charges positives à la manière d’un fluide sortant d’une véritable source et disparaissent sur les charges négatives comme un fluide dans un puits.
Tel est encore le cas en régime non permanent, à la différence près que (voir conséquence de l’équation de Maxwell-Faraday), ρ n’est plus la seule source du champ électrique, de telle sorte que les cartes de champ électrique n’ont plus nécessairement la même allure.
21
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
Equation de Maxwell-Ampère et théorème d’Ampère « généralisé » :
On calcule la circulation à un instant donné du champ magnétique le long d’un contour (C) sur lequel s’appuie une surface (S) et on utilise l’équation de MA : r E ∂ t ∂
+ µεµ 0
r Brot
r j
=
0
0
Il vient :
On reconnaît :
rr l dB .
∫
(
C
)
=
∫∫
(
S
)
rr dSnBrot .
=
∫∫
(
S
)
r j
+ µεµ 0
0
0
r E ∂ t ∂
r dSn .
rr dSnj .
i
(∫∫=
S
)
22
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ l’intensité qui traverse (S). On peut noter que, en régime non permanent, cette grandeur ne dépend pas seulement de (C) mais de la surface (S) car j
r n’est plus à flux conservatif.
Alors : (théorème d’Ampère généralisé)
où le terme :
rr l dB .
=
µ 0
∫
(
C
)
i
+
∫∫
(
S
)
ε 0
r E ∂ t ∂
r dSn .
i
D
=
∫∫
(
S
)
ε 0
r E ∂ t ∂
r dSn .
s’interprète comme le flux du courant de déplacement à travers la surface (S).
Ainsi, en régime non permanent, les sources du champ magnétique sont de deux natures : les courants « réels » et le courant de déplacement qui provient de la dépendance temporelle du champ électrique.
23
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
En régime permanent, on retrouve bien évidemment le théorème d’Ampère classique :
rr l dB .
µ= 0
i
∫
(
C
)
24
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
Equation du flux magnétique et champ magnétique à flux conservatif :
L’équation locale :
r 0=Bdiv
permet de montrer que : rr dSnB .
∫∫
)5(
r dBdiv .
τ
=
0
=
∫∫∫
V (
)
soit
∫∫
)5(
rr dSnB .
==
0
Le champ magnétique est à flux conservatif. Par conséquent :
* Le flux magnétique se conserve à chaque instant à travers toute section d’un tube de champ
magnétique :
1 Φ=Φ
2
.
* Il est possible de définir le flux magnétique Φ qui traverse un contour (C) sans avoir à préciser la surface (S) qui s’appuie sur celui-ci.
25
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ • Equation de Maxwell-Faraday et loi de Faraday :
On évalue la circulation e du champ électrique le long d’un contour (C) fermé sur lequel s’appuie
r Erot
−=
r B ∂ t ∂
:
une surface (S) et on utilise l’équation de Maxwell-Faraday
rr l dE .
∫
(
C
)
=
∫∫
(
S
)
rr dSnErot .
=
∫∫
(
S
Publicité
)
r B ∂ t ∂
−
r dSn .
−=
d dt
∫∫
(
S
)
rr dSnB .
Soit :
rr l dE .
e
=
∫
(
C
)
;
=Φ
∫∫
(
S
)
rr dSnB .
e
−=
d Φ dt
26
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
En régime permanent :
rr l dE .
=
0
r Erot
r )0
=
(
et
e
= ∫
(
C
)
Le champ électrique permanent est à circulation conservative. On peut définir un potentiel scalaire tel que :
r E −=
grad
V
En régime non permanent : la circulation e du champ s’identifie à la fém qui est induite sur (C). On démontre ainsi la loi de Faraday :
e
−=
d Φ dt
dégagée expérimentalement par Faraday en 1831.
La circulation du champ E n’est plus nulle : un champ magnétique variable dans le temps est source d’un champ électrique à circulation non conservative.
27
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
r IV) Existence de potentiels ( A
,V), jauge de Lorentz, cas de l’ARQS :
1 – Rappels mathématiques :
Un champ égal à un gradient a un rotationnel nul et un champ égal à un rotationnel a une divergence nulle :
r e r b
=
=
grad ϕ r a
rot
⇒
⇒
rot
r e r bdiv
r 0 r 0
=
=
Réciproquement, on peut montrer que :
• Si un champ vectoriel a un rotationnel nul, il existe au moins un champ scalaire dont il est le
gradient.
• Si un champ vectoriel a une divergence nulle, il existe au moins un champ vectoriel dont il
est le rotationnel.
28
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ 2 – Définition des potentiels ( A
r ,V) :
L’équation de Maxwell-flux :
r 0=Bdiv
r et la propriété précisée ci-dessus permettent de définir un champ vectoriel A vecteur) tel que :
(appelé potentiel
r B
=
r Arot
Si l’on introduit cette relation dans l’équation de Maxwell-Faraday, il vient :
r Erot
−=
r B ∂ t ∂
−=
∂ t ∂
r Arot )
(
soit
rot
r E
+
r A ∂ t ∂
r 0
=
Il existe donc au moins un champ scalaire que l’on notera – V (V est appelé potentiel scalaire) tel que :
29
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
r E
+
r A ∂ t ∂
=
grad
(
V −
)
−=
grad
V
soit
r E
−=
grad
V
−
r A ∂ t ∂
Dans le cas du régime permanent
r A ∂ t ∂
r 0
=
, on retrouve l’expression classique
r E −=
grad
V
.
Non unicité du couple de potentiels :
On suppose que, pour un champ EM donné, on dispose de deux couples ( potentiels. Alors :
r 0A
r ,V0) et ( A
,V) de
Par conséquent, en notant r r AA − 0
r B
=
=
r Arot 0 r tr ),(
ϕ
r Arot
soit
rot
(
r r AA − 0
)
=
r 0
un champ scalaire quelconque :
=
grad
ϕ
soit
r r AA = 0
+
grad
ϕ
30
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ r tr ),(
désigne un champ scalaire quelconque)
Le potentiel vecteur convient également : le potentiel vecteur est défini à un gradient près.
r r AA = 0
ϕgrad
(où
ϕ
+
De même, pour le potentiel scalaire :
r E
−=
grad
V 0
−
r A ∂ 0 t ∂
−=
grad
V
−
r A ∂ t ∂
soit
grad
VV ( − 0
)
−=
∂
(
r r AA − 0 t ∂
)
Soit :
grad
VV ( −
+
0
∂ ϕ ) t ∂
=
0
Après intégration, la fonction additive du temps qui s’introduit est mise sous forme d’une dérivée par rapport au temps :
Finalement, en posant
r tr ),(
ψ
VV −
0
+
∂ ϕ t ∂
=
tf )(
=
t )(
dF dt
r tr ),(
ϕ
=
−
tF )(
:
31
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
rr trA ),(
=
r r trA ),(
0
+
grad
r tr ),(
ψ
et
r trV ),(
r trV ),(
0
=
−
r tr ),( ∂ ψ t ∂
Il existe donc une infinité de couples de potentiels vecteurs : faire le choix d’un d’entre eux est faire un choix de jauge (il existe une infinité de jauges). On dit qu’il y a indétermination de jauges.
Le champ EM est par contre invariant de jauge ; lui seul a un sens physique alors que les potentiels sont seulement un moyen mathématique d’expression des champs (en mécanique classique).
32
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
3 - Potentiels permanents :
En régime permanent, les équations de Poisson se réécrivent sous la forme :
r A
0µ−=∆
r j
et
−=∆V
ρ 0ε
Cette dernière équation a pour solution la solution bien connue (loi de Coulomb pour le potentiel électrostatique) :
MV (
)
=
1 4 πε 0
∫∫∫
(
D
)
S )( ρ SM
d τ
(On note M le point où l’on calcule le potentiel, S un point source de la distribution (D) de
charges, r = SM et
r r
=
SM
=
r ur
).
33
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
Chaque composante Ax, Ay et Az vérifient la même équation que V ; par conséquent :
r MA (
)
=
µ 0 4 π
∫∫∫
(
D
)
r Sj )( SM
d τ
On peut montrer que la condition de jauge de Lorentz est bien vérifiée, c’est-à-dire que :
r 0=Adiv
On peut alors en déduire la formule de Biot et Savart donnant le champ magnétique. On évalue :
Soit :
r MB (
)
=
r MArot
(
)
=
rot
µ 0 4 π
∫∫∫
(
D
)
r Sj )( SM
d τ
r MB (
)
=
r MArot
(
)
=
µ 0 4 π
∫∫∫
(
D
)
rot
M
r Sj )( SM
d τ
34
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
r Af
=)
rot
(
Or : (
r fA +∧
r Arot
)
grad
rot
M
f r Sj )( SM
=
grad
M
1 SM
∧
r Sj )(
+
1 SM
r Sj ((
))
rot
M
r Sj )( SM
−=
1
2
SM
rot M
r u
∧
r Sj )(
D’où la loi de Biot et Savart :
r MB (
)
=
µ 0 4 π
∫∫∫
(
D
)
−
1
2
SM
r u
∧
r dSj )(
τ
=
µ 0 4 π
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Et, dans le cas d’un circuit filiforme (avec l’expression formelle r u
di
r l
r MB (
)
=
µ 0 4
∫π
(
C
)
35
∧ 2
SM
r Sj )(
D
)
SM
r u
∧ 2
d τ
(
∫∫∫ r dj
=τ
l id
) :
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ • Etude d’un exemple à symétrie cylindrique ; Détermination d’un potentiel vecteur :
Un fil rectiligne infini est modélisé par un tube de courant d’axe (Oz) et de rayon a, parcouru par
. On souhaite déterminer un potentiel vecteur associé au
r j le courant volumique uniforme champ magnétique créé par le fil.
r zuj
=
Des considérations de symétrie et l’application du théorème d’Ampère en régime permanent conduit facilement à :
L’expression :
r B
r B
r r µ u j 20= θ
µ 0=
j
r u θ
2
r
a 2
Si r < a :
Si r > a :
r MA (
)
=
µ 0 4 π
∫∫∫
(
D
)
36
r Sj )( SM
d τ
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________ montre que le potentiel vecteur possède des propriétés de symétrie semblables à celles du champ électrique (c’est un « vrai » vecteur).
Par conséquent, le plan contenant le point M et perpendiculaire au fil étant un plan d’antisymétrie, on peut écrire que :
r r zurAMA ( =
)(
)
r B
r Arot
=
La relation surface (S) s’écrit :
appliquée sous forme intégrale à un contour (C) sur lequel s’appuie une
∫
(
rr l dA .
)
=
∫∫ C r r θurBMB =
)(
)
S
(
)
rr dSnB .
. Le choix du contour (C) et de la surface
r r zurAMA ( = ( avec, ici, (S) est précisé sur la figure suivante :
)(
et
)
37
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
z
r r zurAA )(=
dz
r
r + dr
r zu
r θu
(C)
r rAA =
( +
r zudr )
+
r r θurBB )(=
On aboutit alors à :
rA (
+
dr
)
dz
−
rA )(
dz
−=
rB )(
dz
dr
soit
dA dr
−=
rB )(
38
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
Par intégration, on obtient : (Où r1 et r2 sont des constantes d’intégration)
Si r < a :
r A
= µ 0
j
2 r 1
2
r
r zu
− 4
r A
=
µ 0
j
2
a 2
ln
r 2 r
r zu
Si r > a :
Par continuité du potentiel vecteur (une discontinuité du potentiel vecteur entraînerait une valeur infinie pour le champ magnétique, ce qui n’est pas physiquement acceptable….force infinie, énergie infinie !!!), on trouve (en choisissant de plus d’annuler la valeur du potentiel vecteur en r = a :
Si r < a :
r A
= µ 0
j
2
a
2
r
r zu
− 4
Si r > a :
r A
=
0µ
j
2
a 2
ln
a r
r zu
39
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
Autre méthode : utiliser un formulaire directement !
• Détermination d’un potentiel vecteur pour un solénoïde infini :
On considère un solénoïde infini de section circulaire de rayon R, constitué de n spires jointives par unité de longueur et parcouru par un courant d’intensité I.
Le champ magnétique créé par ce solénoïde est de la forme :
r B
r zunI r 0
0µ= r =B
Si r < R :
Si r > R :
Le plan contenant l’axe du solénoïde et le point M étant un plan d’antisymétrie : r r θurAMA ( =
)(
)
En prenant comme contour un cercle centré sur l’axe (Oz) et perpendiculaire à cet axe : rr l dA .
rr dSnB .
=
∫
(
C
)
∫∫
(
S
)
40
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
On obtient :
Si r < R :
r A
µ 0=
nI
r u θ
r 2
et Si r > R :
r A
0= µ
nI
r u θ
a 2
2
r
On constate que le potentiel vecteur est continu à la traversée de la surface r = R du solénoïde.
41
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
5 - Potentiels retardés :
En régime dépendant du temps et pour une distribution de charges et de courants d’extension finie, on peut montrer que les solutions des équations de Poisson sont :
tMVV ( ),
=
=
1 4 πε 0
∫∫∫
(
D
)
r r tMAA ( ),
=
=
µ 0 4 π
∫∫∫
(
D
)
SM c
)
d τ
ρ
tS ,(
−
SM
r tSj ,(
−
SM c
)
SM
d τ
à partir desquelles on peut calculer le champ EM par :
et :
r r tMEE ( ),
=
−=
grad
V
−
r A ∂ t ∂
42
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
r r tMBB ( ),
=
=
r Arot
Ces potentiels sont appelés « potentiels retardés ».
Ces potentiels correspondent en effet aux expressions des potentiels permanents dans lesquelles on remplace les densités de courants et de charges à l’instant t par leurs valeurs à des instants affectés des retards :
t =∆
r c
=
SM c
r en M correspondaient à la superposition de signaux Tout se passe comme si les potentiels V et A envoyés vers M par les diverses sources S de la distribution (D) et se propageant tous avec la même célérité c.
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Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
6 – Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) :
• Nature de l’approximation :
Cette approximation consiste à négliger les retards qui interviennent dans les expressions des potentiels retardés, c’est-à-dire à utiliser en régime non permanent les potentiels instantanés suivants :
tMVV ( ),
=
=
1 4 πε 0
∫∫∫
(
D
)
r r tMAA ( ),
=
=
µ 0 4 π
∫∫∫
(
D
)
ρ
tS ,(
−
SM c
)
SM
r tSj ,(
−
SM c
)
SM
d τ
≈
1 4 πε 0
∫∫∫
(
D
)
ρ
tS ),( SM
d τ
d τ
=
µ 0 4 π
∫∫∫
(
D
)
r tSj ),( SM
d τ
Cette approximation est justifiée si tous les retards sont négligeables vis-à-vis d’un temps T caractéristique de l’évolution de la distribution de charges et de courants. Si on suppose cette évolution périodique, T représente alors la période.
t =∆
SM c
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Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier ___________________________________________________________________________________________
L’ARQS néglige les phénomènes de propagation.
Si l’on note
cT=λ
la longueur d’onde du phénomène dans le vide, on a alors :
t =∆
SM c
<<
T
=
λ c
soit
SM
<<
λ
=
cT
=
c ν
Ainsi, l’ARQS décrit convenablement le champ EM d’une distribution (D) en des points dont les
distances SM aux éléments de (D) sont faibles devant la longueur d’onde
cT=λ
.
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Quelques ordres de grandeur :
Pour le courant industriel fourni par le secteur (
50=ν
Hz
), alors
λ
=
c ν
6=
000
km
.
L’ARQS est donc valable lors de l’étude du champ magnétique d’un solénoïde parcouru par un courant alternatif.
ν
=
10
MHz ,
λ
=
30
m
Avec réalisés en TP sur une table de dimensions de l’ordre du mètre.
, de telle sorte que l’ARQS reste valable lors de l’étude de circuits
cm Dans le domaine des hyperfréquences ( phénomènes de propagation tiennent alors un rôle important.
GHz ,
soit
30
λ
ν
≤
≥
1
), l’ARQS n’est plus valable et les
Le chapitre suivant s’intéressera à ces phénomènes de propagation.
46
Equations locales de l’EM, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le M