Chap. 1

Electrostatique - G n ralit s

I. Introduction :........................................................................................................................... 4

II. La charge lectrique :............................................................................................................. 5

II.1. Caract risation et exemples : .......................................................................................... 5

II.2. Propri t s : ...................................................................................................................... 6

III. Distributions de charges : ..................................................................................................... 6

III.1. Charge ponctuelle :........................................................................................................ 6

III.2. Distributions de charges : .............................................................................................. 6

III.2.1. Distribution discr te ou discontinue :..................................................................... 6

III.2.2. Distribution continue :............................................................................................ 6

III.3. Exemple de calcul de charges : ..................................................................................... 8

Chap. 2

Champ lectrique Potentiel

I. Champ lectrique cr par une charge ponctuelle : .............................................................. 10

I.1. D finition : ..................................................................................................................... 10

I.2. Propri t s et caract ristiques :........................................................................................ 10

I.3. Potentiel cr par une charge ponctuelle : ..................................................................... 11

II. Champ cr par une distribution de charges :...................................................................... 11

II.1. Distribution discr te de charges : ................................................................................. 11

II.2. Distribution continue de charges : ................................................................................ 12

II.3. Applications quelques distributions :......................................................................... 13

II.3.1. Champ et potentiel cr s par une ligne infinie : .................................................... 13

II.3.2. Champ et potentiel cr s par un disque : ............................................................... 15

II.3.3. Champ et potentiel cr s par un plan :................................................................... 17

III. Lignes de champ Equipotentielles :................................................................................. 18

IV. Energie lectrostatique :..................................................................................................... 19

IV.1. Syst me de deux charges ponctuelles : ....................................................................... 19

IV.2. Syst me de N charges ponctuelles : ............................................................................ 20

IV.3. Distribution continue de charges :............................................................................... 20

Chap. 3

Dip le lectrostatique

I. Introduction :......................................................................................................................... 22

I.1. D finition : ..................................................................................................................... 22

I.2. Int r t du dip le : ........................................................................................................... 22

II. Champ et potentiel cr s par un dip le : ............................................................................. 23

II.1. Potentiel cr grande distance par une charge: .......................................................... 23

II.1.1. Principe et d roulement du calcul : ....................................................................... 23

II.1.2. Analyse des termes : .............................................................................................. 24

II.2. Potentiel cr grande distance par une distribution discr te :.................................... 25

II.1.1. Formulation g n rale :........................................................................................... 25

II.1.2. Application au dip le :........................................................................................... 25

II.3. Champ lectrique :........................................................................................................ 26

II.4. Lignes de champ et quipotentielles :........................................................................... 26

Chap. 4

Th or me de Gauss - Applications

I. Utilit du th or me de Gauss :.............................................................................................. 28

II. Th or me de Gauss : ........................................................................................................... 29

II.1. Flux du champ cr par un charge ponctuelle : ............................................................ 29

II.2. Enonc du Th or me : .................................................................................................. 29

II.3. Remarques : .................................................................................................................. 30

III. Applications quelques distributions : .............................................................................. 30

II.1. Champ et potentiel cr s par un plan uniform ment charg : ...................................... 30

II.2. Champ et potentiel cr s par un fil uniform ment charg :.......................................... 31

Chap. 5

Electrostatique des conducteurs

I. Conducteurs et isolants : ....................................................................................................... 32

II. Champ cr par un conducteur en quilibre : ...................................................................... 32

II.1. Equilibre lectrostatique : ............................................................................................. 32

II.2. Champ et potentiel dans un conducteur en quilibre :.................................................. 33

II.3. Champ au voisinage d'un conducteur : ......................................................................... 34

II.3.1. Th or me de Gauss appliqu un l ment de volume : ....................................... 34

II.3.2. Th or me de Gauss appliqu la surface Th or me de Coulomb:.................... 35

II.3.3. Pouvoir des pointes Applications : ..................................................................... 35

II.4. Champ l'int rieur d'une cavit dans un conducteur : ................................................. 36

II.4.1. Extremum de la fonction potentiel : ...................................................................... 36

II.4.2. Application un conducteur creux :...................................................................... 36

II.5. Pression lectrostatique : .............................................................................................. 37

II.5.1. Formulation : ......................................................................................................... 37

II.5.2. Applications :......................................................................................................... 38

II.5.2.1. Disque sur une sph re charg e : ..................................................................... 38

II.5.2.2. El ments d'un canon lectrons :................................................................... 38

III. Equilibre des conducteurs : ................................................................................................ 40

III.1. Quelques th or mes : .................................................................................................. 40

III.1.1. Associations de plusieurs conducteurs :............................................................... 40

III.1.2. Superposition d' tats d' quilibre :......................................................................... 40

III.1.3. Th or me d'unicit : ............................................................................................. 40

III.2. Capacit d'un conducteur seul : ................................................................................... 40

III.2.1. D finition : ........................................................................................................... 40

III.2.2. Exemple :.............................................................................................................. 41

III.3. Influence de n conducteurs :........................................................................................ 41

III.3.1. Exemple - L' lectroscope : ................................................................................... 41

III.3.2. Influence partielle influence totale :.................................................................. 42

III.3.3. Coefficients d'influence Capacit :.................................................................... 42

III.4. Le condensateur plan :................................................................................................. 42

Annexe 1 Pouvoir des pointes et Orages............................................................................... 43

A1.I. Le pouvoir des pointes : .................................................................................................. 43

A1.II. La gen se de l'orage :..................................................................................................... 44

A1.III.Le coup de foudre :........................................................................................................ 45

Chap. 1

(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:16)(cid:6)(cid:9)(cid:2)(cid:10)(cid:5)(cid:16)(cid:8)

(cid:18)(cid:19)(cid:13)(cid:18)(cid:17)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:20)(cid:12)(cid:4)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:21)

L' lectromagn tisme a sa forme actuelle depuis une centaine d'ann es environ et,

contrairement une discipline telle que l'optique, n'a environ que 200 ans d'existence. Voici

pour m moire quelques dates et grands noms de l'histoire de l' lectromagn tisme :

(cid:1) 1785 1791 : dans sa c l bre s rie de sept m moires, Coulomb va d terminer,

gr ce une balance de torsion de sa conception, les lois

quantitatives d'attraction lectrostatiques et magn tiques qui

portent son nom.

(cid:1) 1827 : En tudiant les forces lectromagn tiques produites par le passage du

courant dans un

fil,

il d couvre que

leur

intensit est

proportionnelle la longueur du conducteur. De ses recherches

Ohm nonce une loi qui porte aujourd'hui son nom selon laquelle le

courant lectrique est gal la tension (ou la diff rence de

potentiel) divis e par la r sistance du circuit. Avec les lois

labor es par Andr Amp re au m me moment, la loi d'Ohm

marque le premier pas vers une description th orique des

ph nom nes lectriques.

(cid:1) 1831

: Faraday d couvre

l'induction lectromagn tique qui permettra

construction des dynamos.

(cid:1) 1865 : Elaboration des c l bres quations diff rentielles d crivant la nature des

champs lectromagn tiques dans l'espace et le temps par James

Clerk Maxwell. Il les expose dans son Trait d' lectricit et de

magn tisme publi en 1873. Maxwell, en laborant les th ories de

l' lectromagn tisme, a galement d fini la lumi re en tant qu'onde

lectromagn tique, ouvrant ainsi la voie aux recherches d'autres

physiciens comme Heinrich Rudolph Hertz.

(cid:1) 1897 : D couverte de l' lectron ("atome d' lectricit ") par Joseph John Thomson.

(cid:1) 1904 : D termination de la charge de l' lectron par le m me Thomson.

(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:13)(cid:22)(cid:9)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:13)(cid:16)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:21)

(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:9)(cid:6)(cid:9)(cid:4)(cid:5)(cid:16)(cid:6)(cid:10)(cid:8)(cid:9)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:3)(cid:5)(cid:13)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:28) (cid:29)(cid:2)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)

Personne ne sait ce qu'est une charge lectrique. Nous savons, par contre, que certains

objets microscopique portent, outre leur masse, une charge, qui va influencer les autres

charges pr sentes. Pour mettre en vidence le c t " lectrique" des objets, regardons les

exp riences suivantes :

(cid:1) Frottons une tige de verre ou d'ambre jaune (r sine fossilis e) et approchons-la

d'une boule de sureau accroch e un fil. La tige attire la boule. Une exp rience

un peu diff rente montre que les charges port es par le verre ou l'ambre apr s

frottement sont oppos es.

(cid:1) Prenons deux tiges de verre frott es au pr alable et mettons les en contact avec

deux boules de sureau accroch e deux fils. Les deux boules vont, apr s avoir

loigner les tiges, se repousser. Si, par contre, une des deux tiges est remplac e

par une tige d'ambre, les deux boules vont s'attirer.

En frottant un objet sur un autre, il y a change de charges. Un objet perd des lectrons au

profit de l'autre. L'objet se retrouve charg , ou ionis , et peut ainsi attirer ou repousser un

autre objet charg . Notons que cette action (attraction ou r pulsion) peut se faire sans contact.

C'est une action distance. Nous verrons plus loin comment crire cette action.

La charge l mentaire accessible est celle de l' lectron, n gative par convention, et not e

-19 C. Toutes les autres charges sont des multiples entiers de

e. Sa valeur est environ 1.609 10

la charge l mentaire. Nous dirons que la charge est quantifi e.

proton

positron

antiproton

pion P

kaon K

+ e

(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13)(cid:31)(cid:6)(cid:7)(cid:29)(cid:6)(cid:10)(cid:16)(cid:5)(cid:16)(cid:8)(cid:13)(cid:21)

(cid:1) La charge d'un syst me est une grandeur extensive, c'est dire qu'elle est la

somme alg brique de toutes les charges constituant le syst me. Ex : pour H, Q

= +e e = 0. Pour un m tal isol , Q = 0.

(cid:1) Deux charges de m mes signes se repoussent, deux charges de signe contraire

s'attirent.

(cid:1) La charge est une grandeur conservative. Dans un syst me isol , il ne peut pas

y avoir de cr ation ou de destruction de charges. L'apparition de charges dans

ce syst me ne peut tre due qu' l'ext rieur. Une autre fa on de dire la m me

chose est que la charge totale contenue dans l'Univers est constante.

(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:8)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)

(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:17)(cid:4)(cid:5)(cid:12)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:13)(cid:21)

Une charge est dite ponctuelle si elle occupe un volume dont les dimensions sont tr s

inf rieures aux distances d'observation. La charge l mentaire est une excellente

approximation d'une charge ponctuelle. Un lectron, par exemple, a un rayon classique de

-15

m, ce qui est bien s r tr s grand devant les dimensions d'observation.

(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:8)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)

(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:4)(cid:6)"(cid:5)(cid:3)(cid:13)(cid:7)(cid:12)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:4)(cid:7)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:17)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:21)

Consid rons N charges ponctuelles fixes dans un volume V. Ce volume est suppos

suffisamment grand pour que la distance moyenne entre les charges soit tr s sup rieure la

dimension de la charge. Nous avons affaire une distribution discontinue ou discr te de

charges.

(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:4)(cid:7)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:17)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:21)

Les calculs sont impossibles faire en partant d'une distribution discr te car, en g n ral,

le nombre de charges est tr s lev lorsque le volume est de dimension macroscopique. Dans

ce cas, il faut introduire une distribution continue de charges.

Prenons par exemple pour fixer les id es un cube de 1 cm de c t (Figure 1), donc de

volume V = 1cm

. D coupons cette sph re en cubes de volume dV suffisamment petits pour

que la distribution soit r partie uniform ment dans cet l ment de volume. Prenons

maintenant un cube 10

fois plus petit que le cube principal. Dans le volume V, il y a environ

atomes, il y en a donc 10

dans le volume dV. Cette quantit est encore norme dans ce

si petit volume, mais voyons qu'elle est la charge l mentaire contenue dans dV.

dq = n e = 1.6 10

-19

= 1.6 10

-9

La quantit de charge est donc tr s petite

l' chelle

macroscopique.

Nous

consid rerons encore comme ponctuelle. Par

contre, les charges tant nombreuses dans dV,

les distances entre

les charges

seront

suppos es nulle notre chelle. Nous

parlerons de distribution continue de

Figure 1

charges.

Introduisons la densit volumique de charges r, c'est dire la quantit de charges

contenue dans une unit de volume (1 m

Il se peut qu'une des trois dimensions soit

tr s petite devant les deux autres. Dans ce cas,

le volume sera assimil une surface (Figure

2), la hauteur h tant une quantit infiniment

petite.

hdS

Figure 2

La quantit

est not e s et est appel e densit superficielle ou surfacique de charges.

Prenons maintenant un fil lectrique de

tr s petite section s (Figure 3). La densit

volumique de charge s' crit :

(cid:1)Sd

La quantit

(cid:1)d

est not e l et est appel e

densit lin aire ou lin ique de charges.

Figure 3

(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)# (cid:19)(cid:13)(cid:1)(cid:27)(cid:3)(cid:28) (cid:29)(cid:2)(cid:3)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:12)(cid:2)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)

Soit une sph re de rayon R dont la r partition des charges n'est pas uniforme :

orr

(cid:6)

(cid:4)(cid:4)

(cid:5)

(cid:3)

(cid:1)(cid:1)

(cid:2)

si r R

La Figure 4 montre la forme de la r partition. Elle est maximum au centre, d cro t

lorsque r cro t pour atteindre 0 en r = R.

r = 0 si r > R

Distance r

Figure 4

Calculons la charge totale dans la sph re :

D coupons la sph re en l ments de volume infiniment petits dans lesquels la densit

volumique r est constante. Il suffit de prendre des couronnes sph riques (Figure 6) de raron

compris entre r et r + dr. Le volume de cette couronne est

4p=

. La charge contenue

dans dV est

(cid:6)

(cid:4)

(cid:5)

(cid:3)

(cid:1)

(cid:2)

. Pour trouver la charge totale, il faut

additionner toutes les charges l mentaires dues toutes les couronnes sph riques, donc

int grer dq entre 0 et R.

4pr

(cid:7)

(cid:6)

(cid:4)

(cid:5)

(cid:3)

(cid:1)

(cid:2)

4pr

(cid:7)

(cid:6)

(cid:4)

(cid:5)

(cid:3)

(cid:1)

(cid:2)

opr

(cid:13)

(cid:11)

(cid:12)

(cid:10)

(cid:8)

(cid:9)

oR rp 3

rp 3

Si r tait uniforme, et gal ro, la charge qo serait le produit de ro par le volume total

, ce qui donnerait :

Le rapport q / qo est :

rp 3

Chap. 2

(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:16)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:14)(cid:13)(cid:31)(cid:7)(cid:5)(cid:3)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:3)(cid:2)

(cid:18)(cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:16)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:17)(cid:4)(cid:5)(cid:12)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:13)(cid:21)

(cid:18)(cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13) (cid:16)$(cid:10)(cid:17)(cid:10)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:21)

Nous avons vu dans le chapitre pr c dent que deux charges ponctuelles q1 et q2 exercent

une influence lune sur lautre. La force qui sexerce sur q2 due q1 est :

( )

Cette expression peut tre mise sous une forme un peu diff rente :

( )

(cid:6)

(cid:4)(cid:4)

(cid:5)

(cid:3)

(cid:1)(cid:1)

(cid:2)

La force est fonction d'une quantit (entre parenth ses) qui ne d pend que de la charge q1.

Cette quantit est appel e champ lectrique cr par q1 en un point quelconque de lespace

et est not e E :

(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13)(cid:31)(cid:6)(cid:7)(cid:29)(cid:6)(cid:10)(cid:16)(cid:5)(cid:16)(cid:8)(cid:13)(cid:3)(cid:5)(cid:13)(cid:4)(cid:9)(cid:6)(cid:9)(cid:4)(cid:5)(cid:16)(cid:6)(cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)

Les propri t s sont identiques celles du champ de gravitation cr par une masse

ponctuelle. Rappelons les points principaux :

(cid:1) Le champ

)MEq

(

cr en M par une charge fixe situ e en un point O est un vecteur

port par OM (Figure 1). Si q > 0,

)MEq

(

a le m me sens que OM . Il est donc dirig vers

lext rieur. Si q < 0,

)MEq

(

a bien s r le sens contraire.

(cid:1) Le champ a une port e infinie.

(cid:1) Le champ nest pas d fini en r = 0, ce qui se comprend puisquune charge nest jamais

ponctuelle dans la r alit . De plus, lorsque deux charges, telles que deux protons par exemple,

sont proches l'une de l'autre, des forces de nature diff rente interviennent,

(cid:1) La quantit eo est appel e permittivit du vide. Avec une bonne approximation,

ope4

Figure 1

= 9 10

(cid:18)(cid:19)# (cid:19)(cid:13)(cid:31)(cid:7)(cid:5)(cid:3)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:3)(cid:2)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:17)(cid:4)(cid:5)(cid:12)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:13)(cid:21)

Le potentiel cr par une charge pnctuelle q au point M est :

(

)

pe4

Contrairement au champ lectrique, le potentiel est une grandeur scalaire. Remarquons

que, comme dans le cas de la gravitation,

E -=

. De fa on plus g n rale, en

coordonn es cart siennes,

De mani re plus concise,

(cid:6)

(cid:4)(cid:4)

(cid:5)

(cid:3)

(cid:1)(cid:1)

(cid:2)

E -=

grad

(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:3)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)

(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:4)(cid:6)"(cid:5)(cid:3)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)

Consid rons N charges ponctuelles fixes. Prenons un point M quelconque non situ sur

les charges. Le champ total

)ME

(

est la somme vectorielle de toutes les contributions dues

chacune des charges (Figure 2) :

(

)

(cid:14)

(

) (cid:14)

Figure 2

De m me, le potentiel total cr par toutes les charges en M est la somme de tous les

potentiels individuels.

(

)

(cid:14)

(

) (cid:14)

Malheureusement, ces relations ne sont pas utilisables cause du nombre trop lev de

charges. Lastuce est de passer dune distribution discr te une distribution continue de

charges.

(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:4)(cid:7)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:17)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)

Soit (cid:1)(cid:2)un volume contenant une charge totale Q (Figure 3). Chaque charge cr e un champ

en tout point M de lespace. Mais, comme nous lavons vu pr c demment, il est hors de

question de calculer chaque contribution individuelle pour en faire la somme. Nous allons

d couper le volume en l ments de volume d(cid:1), chacun de ces volumes contenant une charge

l mentaire dq r partie uniform ment : dq = r d(cid:1). Chaque charge dq est suffisamment petite

pour tre consid r e comme ponctuelle, donc le champ cr par dq en M est :

(

MdE

)

(cid:1)r

Le champ total est :

Figure 3

(

)

(cid:7)(cid:7)(cid:7)

(cid:1)

Le raisonnement adopt pour une distribution volumique de charges est le m me pour

une distribution surfacique ou lin ique :

(

)

(cid:7)(cid:7)(cid:7)

(cid:1)

(

)

(cid:7)(cid:7)(cid:7)

(cid:1)l

(cid:1)

(cid:18)(cid:18)(cid:19)# (cid:19)(cid:13)% (cid:29)(cid:29)(cid:2)(cid:10)(cid:4)(cid:9)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:8)(cid:13)&(cid:13)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:2)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:8)(cid:13)(cid:21)

Toutes ces applications sont trait es en TD, nous ne donnerons donc que les r sultats les

plus importants, ainsi que la m thode utiliser pour r soudre le probl me.

(cid:18)(cid:18)(cid:19)# (cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:3)(cid:5)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:5)(cid:3)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:3)(cid:2)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:8)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:3)(cid:13)(cid:2)(cid:10)(cid:24)(cid:17)(cid:3)(cid:13)(cid:10)(cid:17)$(cid:10)(cid:17)(cid:10)(cid:3)(cid:13)(cid:21)

Soit une ligne infinie de section n gligeable, et

portant une charge lin ique uniforme l. Le but de

lexercice est de calculer le champ lectrique et le

potentiel en tout point M de lespace.

Comme nous lavons indiqu dans le cours, il

faut d couper la ligne en petits l ments de ligne d(cid:1),

chacun de ces l ments portant une charge dq. Le

champ cr par la charge en P au point M est :

(

MdE

)

(cid:1)

Prenons le sym trique P de P par rapport H.

Le champ cr par la charge en P au point M est :

Figure 4

(

MdE

)

Le champ cr par ces deux charges est :

(cid:1)

(

MdE

)

(

MdE

)

(

MdE

)

(cid:1)

Or r = r, d(cid:1) = d(cid:1),

u =r

Donc

(

MdE

)

(cid:1)

o r

(cid:6)

(cid:4)

(cid:5)

(cid:3)

(cid:1)

(cid:2)

(cid:1)

(

(cid:1)

Cette derni re relation montre que le champ est orthogonal au fil, et ne d pend que de r.

La norme de

)MdE

(

est dE(M) =

(cid:1)

. Cette relation comporte 3

variables d pendantes, r, d(cid:1) et r. La norme du champ total est ici la somme des normes,

puisque tous les vecteurs

)MdE

(

ont m me direction et m me sens.

Pour calculer cette norme, nous allons effectuer un changement de variable, et mettre r,

d(cid:1) et r en fonction de langle a. Dans le triangle rectangle HMP :

cos

si lon prend lorigine des z en H.

sin

=atan

d(cid:1) = dz =

sin

Lint gration est facile, mais il faut faire attention aux bornes. Nous devons int grer sur

une moiti de ligne, donc entre 0 et p/2.

cos

Le potentiel se d duit ais ment en prenant une primitive de E

2pe

La constante est ind termin e puisque lorsque r tend vers linfini, V tendant vers 0

conduit une constante

infinie. Cette

ind termination est due essentiellement

lapproximation de la ligne infinie.

(cid:18)(cid:18)(cid:19)# (cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:3)(cid:5)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:5)(cid:3)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:3)(cid:2)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:8)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:21)

Champ et potentiel cr par un disque :

Un disque de rayon R est

charg en surface. La densit

surfacique de charges est s (s > 0).

Nous nous proposons de calculer le

champ lectrique et le potentiel

cr s par cette distribution, en un

point M de l'axe (Oz).

Pour cela, d composons le disque

en anneaux de rayon r et de

largeur dr. Soit P un point de

l'anneau et P' le sym trique de P

Figure 5

par rapport O.

Les champs cr s par les charges en P et P' au point M sont :

MEd

(

MEd

(

)

1 s

)

Le champ cr par ces deux charges est :

(

MEd

)

(

)

avec

qrr dd

Le champ est colin aire (Oz).

La norme est

(

MEd

)

qrr

(

MdE

)

srr

Une 1 re int gration peut tre effectu e sur q.

En faisant intervenir l'angle a, comme dans l'exercice 1, il vient :

o...