1
Chap. 1
Electrostatique - Généralités
I. Introduction :........................................................................................................................... 4
II. La charge électrique :............................................................................................................. 5
II.1. Caractérisation et exemples : .......................................................................................... 5
II.2. Propriétés : ...................................................................................................................... 6
III. Distributions de charges : ..................................................................................................... 6
III.1. Charge ponctuelle :........................................................................................................ 6
III.2. Distributions de charges : .............................................................................................. 6
III.2.1. Distribution discrète ou discontinue :..................................................................... 6
III.2.2. Distribution continue :............................................................................................ 6
III.3. Exemple de calcul de charges : ..................................................................................... 8
Chap. 2
Champ électrique – Potentiel
I. Champ électrique créé par une charge ponctuelle : .............................................................. 10
I.1. Définition : ..................................................................................................................... 10
I.2. Propriétés et caractéristiques :........................................................................................ 10
I.3. Potentiel créé par une charge ponctuelle : ..................................................................... 11
II. Champ créé par une distribution de charges :...................................................................... 11
II.1. Distribution discrète de charges : ................................................................................. 11
II.2. Distribution continue de charges : ................................................................................ 12
II.3. Applications à quelques distributions :......................................................................... 13
II.3.1. Champ et potentiel créés par une ligne infinie : .................................................... 13
II.3.2. Champ et potentiel créés par un disque : ............................................................... 15
II.3.3. Champ et potentiel créés par un plan :................................................................... 17
III. Lignes de champ – Equipotentielles :................................................................................. 18
IV. Energie électrostatique :..................................................................................................... 19
IV.1. Système de deux charges ponctuelles : ....................................................................... 19
IV.2. Système de N charges ponctuelles : ............................................................................ 20
IV.3. Distribution continue de charges :............................................................................... 20
2
Chap. 3
Dipôle électrostatique
I. Introduction :......................................................................................................................... 22
I.1. Définition : ..................................................................................................................... 22
I.2. Intérêt du dipôle : ........................................................................................................... 22
II. Champ et potentiel créés par un dipôle : ............................................................................. 23
II.1. Potentiel créé à grande distance par une charge: .......................................................... 23
II.1.1. Principe et déroulement du calcul : ....................................................................... 23
II.1.2. Analyse des termes : .............................................................................................. 24
II.2. Potentiel créé à grande distance par une distribution discrète :.................................... 25
II.1.1. Formulation générale :........................................................................................... 25
II.1.2. Application au dipôle :........................................................................................... 25
II.3. Champ électrique :........................................................................................................ 26
II.4. Lignes de champ et équipotentielles :........................................................................... 26
Chap. 4
Théorème de Gauss - Applications
I. Utilité du théorème de Gauss :.............................................................................................. 28
II. Théorème de Gauss : ........................................................................................................... 29
II.1. Flux du champ créé par un charge ponctuelle : ............................................................ 29
II.2. Enoncé du Théorème : .................................................................................................. 29
II.3. Remarques : .................................................................................................................. 30
III. Applications à quelques distributions : .............................................................................. 30
II.1. Champ et potentiel créés par un plan uniformément chargé : ...................................... 30
II.2. Champ et potentiel créés par un fil uniformément chargé :.......................................... 31
Chap. 5
Electrostatique des conducteurs
I. Conducteurs et isolants : ....................................................................................................... 32
II. Champ créé par un conducteur en équilibre : ...................................................................... 32
II.1. Equilibre électrostatique : ............................................................................................. 32
II.2. Champ et potentiel dans un conducteur en équilibre :.................................................. 33
3
II.3. Champ au voisinage d'un conducteur : ......................................................................... 34
II.3.1. Théorème de Gauss appliqué à un élément de volume : ....................................... 34
II.3.2. Théorème de Gauss appliqué à la surface – Théorème de Coulomb:.................... 35
II.3.3. Pouvoir des pointes – Applications : ..................................................................... 35
II.4. Champ à l'intérieur d'une cavité dans un conducteur : ................................................. 36
II.4.1. Extremum de la fonction potentiel : ...................................................................... 36
II.4.2. Application à un conducteur creux :...................................................................... 36
II.5. Pression électrostatique : .............................................................................................. 37
II.5.1. Formulation : ......................................................................................................... 37
II.5.2. Applications :......................................................................................................... 38
II.5.2.1. Disque sur une sphère chargée : ..................................................................... 38
II.5.2.2. Eléments d'un canon à électrons :................................................................... 38
III. Equilibre des conducteurs : ................................................................................................ 40
III.1. Quelques théorèmes : .................................................................................................. 40
III.1.1. Associations de plusieurs conducteurs :............................................................... 40
III.1.2. Superposition d'états d'équilibre :......................................................................... 40
III.1.3. Théorème d'unicité : ............................................................................................. 40
III.2. Capacité d'un conducteur seul : ................................................................................... 40
III.2.1. Définition : ........................................................................................................... 40
III.2.2. Exemple :.............................................................................................................. 41
III.3. Influence de n conducteurs :........................................................................................ 41
III.3.1. Exemple - L'électroscope : ................................................................................... 41
III.3.2. Influence partielle – influence totale :.................................................................. 42
III.3.3. Coefficients d'influence – Capacité :.................................................................... 42
III.4. Le condensateur plan :................................................................................................. 42
Annexe 1 – Pouvoir des pointes et Orages............................................................................... 43
A1.I. Le pouvoir des pointes : .................................................................................................. 43
A1.II. La genèse de l'orage :..................................................................................................... 44
A1.III.Le coup de foudre :........................................................................................................ 45
4
Chap. 1
(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:5)(cid:9)(cid:5)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:14)(cid:13)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:16)(cid:6)(cid:9)(cid:2)(cid:10)(cid:5)(cid:16)(cid:8)
(cid:18)(cid:19)(cid:13)(cid:18)(cid:17)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:20)(cid:12)(cid:4)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:21)
L'électromagnétisme a sa forme actuelle depuis une centaine d'années environ et,
contrairement à une discipline telle que l'optique, n'a environ que 200 ans d'existence. Voici
pour mémoire quelques dates et grands noms de l'histoire de l'électromagnétisme :
(cid:1) 1785 – 1791 : dans sa célèbre série de sept mémoires, Coulomb va déterminer,
grâce à une balance de torsion de sa conception, les lois
quantitatives d'attraction électrostatiques et magnétiques qui
portent son nom.
(cid:1) 1827 : En étudiant les forces électromagnétiques produites par le passage du
courant dans un
fil,
il découvre que
leur
intensité est
proportionnelle à la longueur du conducteur. De ses recherches
Ohm énonce une loi qui porte aujourd'hui son nom selon laquelle le
courant électrique est égal à la tension (ou la différence de
potentiel) divisée par la résistance du circuit. Avec les lois
élaborées par André Ampère au même moment, la loi d'Ohm
marque le premier pas vers une description théorique des
phénomènes électriques.
(cid:1) 1831
: Faraday découvre
l'induction électromagnétique qui permettra
la
construction des dynamos.
(cid:1) 1865 : Elaboration des célèbres équations différentielles décrivant la nature des
champs électromagnétiques dans l'espace et le temps par James
Clerk Maxwell. Il les expose dans son Traité d'électricité et de
magnétisme publié en 1873. Maxwell, en élaborant les théories de
l'électromagnétisme, a également défini la lumière en tant qu'onde
électromagnétique, ouvrant ainsi la voie aux recherches d'autres
physiciens comme Heinrich Rudolph Hertz. (cid:1) 1897 : Découverte de l'électron ("atome d'électricité") par Joseph John Thomson. (cid:1) 1904 : Détermination de la charge de l'électron par le même Thomson.
5
(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:13)(cid:22)(cid:9)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:13)(cid:16)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:21)
(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:9)(cid:6)(cid:9)(cid:4)(cid:5)(cid:16)(cid:6)(cid:10)(cid:8)(cid:9)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:3)(cid:5)(cid:13)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:28) (cid:29)(cid:2)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
Personne ne sait ce qu'est une charge électrique. Nous savons, par contre, que certains
objets microscopique portent, outre leur masse, une charge, qui va influencer les autres
charges présentes. Pour mettre en évidence le côté "électrique" des objets, regardons les
expériences suivantes :
(cid:1) Frottons une tige de verre ou d'ambre jaune (résine fossilisée) et approchons-la
d'une boule de sureau accrochée à un fil. La tige attire la boule. Une expérience
un peu différente montre que les charges portées par le verre ou l'ambre après
frottement sont opposées.
(cid:1) Prenons deux tiges de verre frottées au préalable et mettons les en contact avec
deux boules de sureau accrochée à deux fils. Les deux boules vont, après avoir
éloigner les tiges, se repousser. Si, par contre, une des deux tiges est remplacée
par une tige d'ambre, les deux boules vont s'attirer.
En frottant un objet sur un autre, il y a échange de charges. Un objet perd des électrons au
profit de l'autre. L'objet se retrouve chargé, ou ionisé, et peut ainsi attirer ou repousser un
autre objet chargé. Notons que cette action (attraction ou répulsion) peut se faire sans contact.
C'est une action à distance. Nous verrons plus loin comment écrire cette action.
La charge élémentaire accessible est celle de l'électron, négative par convention, et notée -19 C. Toutes les autres charges sont des multiples entiers de
– e. Sa valeur est environ 1.609 10
la charge élémentaire. Nous dirons que la charge est quantifiée.
proton
positron
antiproton
+
pion P
-
pion P + kaon K
+ kaon K
+ e
+ e
- e
+ e
- e
+ e
- e
6
(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13)(cid:31)(cid:6)(cid:7)(cid:29)(cid:6)(cid:10)(cid:16)(cid:5)(cid:16)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
(cid:1) La charge d'un système est une grandeur extensive, c'est à dire qu'elle est la
somme algébrique de toutes les charges constituant le système. Ex : pour H, Q
= +e – e = 0. Pour un métal isolé, Q = 0.
(cid:1) Deux charges de mêmes signes se repoussent, deux charges de signe contraire
s'attirent.
(cid:1) La charge est une grandeur conservative. Dans un système isolé, il ne peut pas
y avoir de création ou de destruction de charges. L'apparition de charges dans
ce système ne peut être due qu'à l'extérieur. Une autre façon de dire la même
chose est que la charge totale contenue dans l'Univers est constante.
(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:8)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:17)(cid:4)(cid:5)(cid:12)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:13)(cid:21)
Une charge est dite ponctuelle si elle occupe un volume dont les dimensions sont très
inférieures aux distances d'observation. La charge élémentaire est une excellente
approximation d'une charge ponctuelle. Un électron, par exemple, a un rayon classique de
-15
10
m, ce qui est bien sûr très grand devant les dimensions d'observation.
(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:8)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:4)(cid:6)"(cid:5)(cid:3)(cid:13)(cid:7)(cid:12)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:4)(cid:7)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:17)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:21)
Considérons N charges ponctuelles fixes dans un volume V. Ce volume est supposé
suffisamment grand pour que la distance moyenne entre les charges soit très supérieure à la
dimension de la charge. Nous avons affaire à une distribution discontinue ou discrète de
charges.
(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:4)(cid:7)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:17)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:21)
Les calculs sont impossibles à faire en partant d'une distribution discrète car, en général,
le nombre de charges est très élevé lorsque le volume est de dimension macroscopique. Dans
ce cas, il faut introduire une distribution continue de charges.
Prenons par exemple pour fixer les idées un cube de 1 cm de côté (Figure 1), donc de
volume V = 1cm
3
. Découpons cette sphère en cubes de volume dV suffisamment petits pour
que la distribution soit répartie uniformément dans cet élément de volume. Prenons
maintenant un cube 10
12
fois plus petit que le cube principal. Dans le volume V, il y a environ
7
22
10
atomes, il y en a donc 10
10
dans le volume dV. Cette quantité est encore énorme dans ce
si petit volume, mais voyons qu'elle est la charge élémentaire contenue dans dV.
dq = n e = 1.6 10
-19
10
10
= 1.6 10
-9
C
La quantité de charge est donc très petite à
l'échelle
macroscopique.
Nous
la
considérerons encore comme ponctuelle. Par
contre, les charges étant nombreuses dans dV,
les distances entre
les charges
seront
supposées nulle à notre échelle. Nous
parlerons de distribution continue de
Figure 1
charges.
Introduisons la densité volumique de charges r, c'est à dire la quantité de charges
contenue dans une unité de volume (1 m
3
).
=r
dq dV
Il se peut qu'une des trois dimensions soit
très petite devant les deux autres. Dans ce cas,
le volume sera assimilé à une surface (Figure
2), la hauteur h étant une quantité infiniment
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petite.
=r
dq dV
=
dq hdS
Figure 2
La quantité
dq dS
est notée s et est appelée densité superficielle ou surfacique de charges.
8
Prenons maintenant un fil électrique de
très petite section s (Figure 3). La densité
volumique de charge s'écrit :
=r
dq dV
=
dq (cid:1)Sd
.
La quantité
dq (cid:1)d
est notée l et est appelée
densité linéaire ou linéique de charges.
Figure 3
(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)# (cid:19)(cid:13)(cid:1)(cid:27)(cid:3)(cid:28) (cid:29)(cid:2)(cid:3)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:12)(cid:2)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
Soit une sphère de rayon R dont la répartition des charges n'est pas uniforme :
= orr
(cid:6) (cid:4)(cid:4) (cid:5)
1
-
2
2
r R
(cid:3) (cid:1)(cid:1) (cid:2)
si r £ R
La Figure 4 montre la forme de la répartition. Elle est maximum au centre, décroît
lorsque r croît pour atteindre 0 en r = R.
r = 0 si r > R
s e g r a h c
i
e d e u q m u o v é
l
t i s n e D
ro
R
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
50
Distance r
Figure 4
9
Calculons la charge totale dans la sphère :
Découpons la sphère en éléments de volume infiniment petits dans lesquels la densité
volumique r est constante. Il suffit de prendre des couronnes sphériques (Figure 6) de raron
compris entre r et r + dr. Le volume de cette couronne est
dV
2
4p= r
dr
. La charge contenue
dans dV est
dq
=
r
dV
=
4 r pr
2
dr
=
4 pr o
(cid:6) (cid:4) (cid:4) (cid:5)
1
-
2
2
r R
2
r
(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:2)
dr
. Pour trouver la charge totale, il faut
additionner toutes les charges élémentaires dues à toutes les couronnes sphériques, donc
intégrer dq entre 0 et R.
q
=
4pr o
R
(cid:7)
0
(cid:6) (cid:4) (cid:4) (cid:5)
1
-
2
2
r R
(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:2)
2
r
dr
=
4pr o
R
(cid:7)
0
(cid:6) (cid:4) (cid:4) (cid:5)
2
r
-
4
2
r R
(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:2)
dr
=
4 opr
(cid:13) (cid:11) (cid:12)
3
R 3
-
3
R 5
(cid:10) (cid:8) (cid:9)
=
8 15
oR rp 3
q
=
8 15
rp 3 oR
Si r était uniforme, et égal à ro, la charge qo serait le produit de ro par le volume total
V
4 R p= 3
3
, ce qui donnerait :
Le rapport q / qo est :
q
o
=
4 3
rp 3 R o
q oq
=
2 5
10
Chap. 2
(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:16)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:14)(cid:13)(cid:31)(cid:7)(cid:5)(cid:3)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:3)(cid:2)
(cid:18)(cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:16)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:17)(cid:4)(cid:5)(cid:12)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:13)(cid:21)
(cid:18)(cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13) (cid:16)$(cid:10)(cid:17)(cid:10)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:21)
Nous avons vu dans le chapitre précédent que deux charges ponctuelles q1 et q2 exercent
une influence l’une sur l’autre. La force qui s’exerce sur q2 due à q1 est :
F 1
( ) 2
=
1 4 pe o
qq 21 2 r 12
u
r
Cette expression peut être mise sous une forme un peu différente :
F 1
( ) 2
=
q
2
(cid:6) (cid:4)(cid:4) (cid:5)
1 4 pe o
q 1 2 r 12
u
r
(cid:3) (cid:1)(cid:1) (cid:2)
La force est fonction d'une quantité (entre parenthèses) qui ne dépend que de la charge q1.
Cette quantité est appelée champ électrique créé par q1 en un point quelconque de l’espace
et est notée E :
E
=
1 4 pe o
q 1 2 r
u
r
(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13)(cid:31)(cid:6)(cid:7)(cid:29)(cid:6)(cid:10)(cid:16)(cid:5)(cid:16)(cid:8)(cid:13)(cid:3)(cid:5)(cid:13)(cid:4)(cid:9)(cid:6)(cid:9)(cid:4)(cid:5)(cid:16)(cid:6)(cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
Les propriétés sont identiques à celles du champ de gravitation créé par une masse
ponctuelle. Rappelons les points principaux :
(cid:1) Le champ
)MEq (
créé en M par une charge fixe située en un point O est un vecteur
porté par OM (Figure 1). Si q > 0,
)MEq (
a le même sens que OM . Il est donc dirigé “vers
l’extérieur”. Si q < 0,
)MEq (
a bien sûr le sens contraire.
(cid:1) Le champ a une portée infinie.
11
(cid:1) Le champ n’est pas défini en r = 0, ce qui se comprend puisqu’une charge n’est jamais
ponctuelle dans la réalité. De plus, lorsque deux charges, telles que deux protons par exemple,
sont proches l'une de l'autre, des forces de nature différente interviennent,
(cid:1) La quantité eo est appelée permittivité du vide. Avec une bonne approximation,
1 ope4
Figure 1
= 9 10
9
.
(cid:18)(cid:19)# (cid:19)(cid:13)(cid:31)(cid:7)(cid:5)(cid:3)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:3)(cid:2)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:17)(cid:4)(cid:5)(cid:12)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:13)(cid:21)
Le potentiel créé par une charge pnctuelle q au point M est :
( MV q
)
=
1 pe4 o
q r
Contrairement au champ électrique, le potentiel est une grandeur scalaire. Remarquons
que, comme dans le cas de la gravitation,
E -=
dV
dr
. De façon plus générale, en
coordonnées cartésiennes,
De manière plus concise,
E
(cid:6) (cid:4)(cid:4) (cid:5)
-
V ¶ x ¶
,
-
V ¶ y ¶
,
-
V ¶ z ¶
(cid:3) (cid:1)(cid:1) (cid:2)
E -=
grad
V
(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:3)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
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(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:4)(cid:6)"(cid:5)(cid:3)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
Considérons N charges ponctuelles fixes. Prenons un point M quelconque non situé sur
les charges. Le champ total
)ME (
est la somme vectorielle de toutes les contributions dues à
chacune des charges (Figure 2) :
( ME
)
=
N
(cid:14)
i
1 =
( ME q i
N
) (cid:14)
1 4 pe o
=
i
1 =
q i 2 r i
u
r i
12
Figure 2
De même, le potentiel total créé par toutes les charges en M est la somme de tous les
potentiels individuels.
( MV
)
=
N
(cid:14)
( MV q i
i
1 =
N
) (cid:14)
1 4 pe o
=
i
1 =
i
q r i
Malheureusement, ces relations ne sont pas utilisables à cause du nombre trop élevé de
charges. L’astuce est de passer d’une distribution discrète à une distribution continue de
charges.
(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13) (cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:13)(cid:4)(cid:7)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:17)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:6)(cid:24)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
Soit (cid:1)(cid:2)un volume contenant une charge totale Q (Figure 3). Chaque charge crée un champ
en tout point M de l’espace. Mais, comme nous l’avons vu précédemment, il est hors de
question de calculer chaque contribution individuelle pour en faire la somme. Nous allons
découper le volume en éléments de volume d(cid:1), chacun de ces volumes contenant une charge
élémentaire dq répartie uniformément : dq = r d(cid:1). Chaque charge dq est suffisamment petite
pour être considérée comme ponctuelle, donc le champ créé par dq en M est :
( MdE
)
=
1 4 pe o
dq 2 r
u
r
=
1 4 pe o
(cid:1)r d 2 r
u
r
13
Le champ total est :
Figure 3
( ME
)
=
1 4 pe o
(cid:7)(cid:7)(cid:7)
(cid:1) d r 2 r
u
r
(cid:1)
Le raisonnement adopté pour une distribution volumique de charges est le même pour
une distribution surfacique ou linéique :
( ME
)
=
1 4 pe o
(cid:7)(cid:7)(cid:7)
dS s 2 r
u
r
(cid:1)
( ME
)
=
1 4 pe o
(cid:7)(cid:7)(cid:7)
(cid:1)l d 2 r
u
r
(cid:1)
(cid:18)(cid:18)(cid:19)# (cid:19)(cid:13)% (cid:29)(cid:29)(cid:2)(cid:10)(cid:4)(cid:9)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:8)(cid:13)&(cid:13)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:2)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:5)(cid:6)(cid:10)!(cid:12)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:17)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
Toutes ces applications sont traitées en TD, nous ne donnerons donc que les résultats les
plus importants, ainsi que la méthode à utiliser pour résoudre le problème.
(cid:18)(cid:18)(cid:19)# (cid:19)(cid:25) (cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:3)(cid:5)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:5)(cid:3)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:3)(cid:2)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:8)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:3)(cid:13)(cid:2)(cid:10)(cid:24)(cid:17)(cid:3)(cid:13)(cid:10)(cid:17)$(cid:10)(cid:17)(cid:10)(cid:3)(cid:13)(cid:21)
14
Soit une ligne infinie de section négligeable, et
portant une charge linéique uniforme l. Le but de
l’exercice est de calculer le champ électrique et le
potentiel en tout point M de l’espace.
Comme nous l’avons indiqué dans le cours, il
faut découper la ligne en petits éléments de ligne d(cid:1),
chacun de ces éléments portant une charge dq. Le
champ créé par la charge en P au point M est :
( MdE P
)
=
1 4 pe o
(cid:1) d l u rr 2
Prenons le symétrique P’ de P par rapport à H.
Le champ créé par la charge en P au point M est :
Figure 4
( MdE P '
)
=
1 4 pe o
Le champ créé par ces deux charges est :
(cid:1) d ' l u rr '
2
'
( MdE
)
=
( MdE P
)
+
( MdE P
)
=
1 4 pe o
(cid:1)
d l 2 r
u
r
+
1 4 pe o
(cid:1)
'
2
d l ' r
u
' r
Or r = r’, d(cid:1) = d(cid:1)’,
u =r
PM PM
et
u =r
'
PM PM
' '
Donc
( MdE
)
=
1 4 pe
(cid:1) d l 2 o r
(cid:6) (cid:4) (cid:4) (cid:5)
PM PM
+
PM PM
' '
(cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:2)
=
1 4 pe o
(cid:1)
d l 3 r
( PM
+
PM
)'
=
2 4 pe o
(cid:1) d l 3 r
HM
Cette dernière relation montre que le champ est orthogonal au fil, et ne dépend que de r.
La norme de
)MdE (
est dE(M) =
2 4 pe o
(cid:1) d l 3 r
HM
=
2 4 pe o
(cid:1) d l 3 r
r
. Cette relation comporte 3
variables dépendantes, r, d(cid:1) et r. La norme du champ total est ici la somme des normes,
puisque tous les vecteurs
)MdE (
ont même direction et même sens.
15
Pour calculer cette norme, nous allons effectuer un changement de variable, et mettre r,
d(cid:1) et r en fonction de l’angle a. Dans le triangle rectangle HMP :
cos
a
=
HP PM
=
z r
si l’on prend l’origine des z en H.
sin
a
=
HM PM
=
r r
=atan
HM HP
=
r z
d(cid:1) = dz =
- sin
r 2 a
d a
dE
=
l 2 pe o
r 2 sin
a
rd a
a
3
3
sin r
dE
=
l 2 pe o
r
sin
d aa
L’intégration est facile, mais il faut faire attention aux bornes. Nous devons intégrer sur
une moitié de ligne, donc entre 0 et p/2.
E
=
Publicité
l 2 pe o
r
cos
p a
0
2
E
=
l 2 pe o
r
u
r
Le potentiel se déduit aisément en prenant une primitive de E
V
=
l 2pe o
ln
Vr + o
La constante est indéterminée puisque lorsque r tend vers l’infini, V tendant vers 0
conduit à une constante
infinie. Cette
indétermination est due essentiellement à
l’approximation de la ligne infinie.
(cid:18)(cid:18)(cid:19)# (cid:19)(cid:30) (cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:3)(cid:5)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:5)(cid:3)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:3)(cid:2)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:8)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:8)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:21)
Champ et potentiel créé par un disque :
16
Un disque de rayon R est
chargé en surface. La densité
surfacique de charges est s (s > 0).
Nous nous proposons de calculer le
champ électrique et le potentiel
créés par cette distribution, en un
point M de l'axe (Oz).
Pour cela, décomposons le disque
en anneaux de rayon r et de
largeur dr. Soit P un point de
l'anneau et P' le symétrique de P
Figure 5
par rapport à O.
Les champs créés par les charges en P et P' au point M sont :
2
MEd P
(
2
MEd P '
(
)
=
2 Sd 1 s 3 4 r pe o
PM
)
=
1 4 pe o
2 Sd s 3 r
MP '
Le champ créé par ces deux charges est :
2
( MEd
)
=
1 4 pe o
2 Sd s 3 r
( PM
+
MP '
)
=
2 4 pe o
2 Sd s 3 r
OM
avec
Sd
=2
qrr dd
Le champ est colinéaire à (Oz).
La norme est
2
( MEd
)
=
s 2 pe o
dd qrr 3 r
( MdE
)
=
ps 2 pe o
d srr z 3 2 r e o
=
d rr 3 r
z
.
z
Une 1ère intégration peut être effectuée sur q.
En faisant intervenir l'angle a, comme dans l'exercice 1, il vient :
dE
=
s e o
sin
d aa
, d'où
E
=
s 2 e o
avec
cos
a
=
max
z
2
R
2
z
+
a
max
cos
a
0
=
s 2 e o
( 1
-
cos
a
)max
17
( ME
)
=
s 2e o
(cid:6) (cid:4) (cid:4) (cid:5)
1
-
z 2
+
R
2
z
(cid:3) (cid:1) u (cid:1) (cid:2)
z
Le potentiel V(M) est obtenu par intégration de E :
( MV
)
=
(
z
-
s 2 e o
2
R
+
z
)2
Attention, le calcul a été effectué uniquement pour les z positifs. Les figures 6 et 7 donnent
l'allure du champ et du potentiel.
l
e u q i r t c e é p m a h C
0,8
0,4
0,0
-0,4
-0,8
-120
-80
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 -120
-80
-40
0 Mesure algébrique de OM
40
Figure 6
-40
0 Mesure algébrique de OM
40
80
120
80
120
e u q i r t c e é
l
l
e
i t
n e
t
o P
(cid:18)(cid:18)(cid:19)# (cid:19)# (cid:19)(cid:13)(cid:26) (cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:3)(cid:5)(cid:13)(cid:29)(cid:7)(cid:5)(cid:3)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:3)(cid:2)(cid:13)(cid:4)(cid:6)(cid:16)(cid:16)(cid:8)(cid:13)(cid:29)(cid:9)(cid:6)(cid:13)(cid:12)(cid:17)(cid:13)(cid:29)(cid:2)(cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:21)
Figure 7
Le calcul du champ créé par un plan infini sera détaillé en TD. Cependant, il peut être
déterminé en peu de lignes, à partir des résultats précédents. En effet, un plan infini peut être
18
considéré soit comme un disque de rayon infini, soit comme un disque de rayon R , à
condition toutefois de prendre des points M très près de ce disque. Dans les deux cas, nous
trouvons :
Le potentiel est
( ME
)
–=
s 2 e o
u
z
( MV
)
=
(cid:2)
s 2 e o
z
+
cte
La constante est encore une fois indéterminée. Cependant, l'indétermination est dans la
plupart des cas contournée, comme nous le verrons dans le chapitre sur les condensateurs.
(cid:18)(cid:18)(cid:18)(cid:19)(cid:13)(cid:22)(cid:10)(cid:24)(cid:17)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:20)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:23)(cid:9)(cid:28) (cid:29)(cid:13)(cid:14)(cid:13)(cid:1)(cid:11)(cid:12)(cid:10)(cid:29)(cid:7)(cid:5)(cid:3)(cid:17)(cid:5)(cid:10)(cid:3)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:8)(cid:13)(cid:21)
Reprenons le cas le plus simple d'une charge ponctuelle q, créant un champ électrique en
tout point de l'espace, et dessinons quelques vecteurs E (Figure 8).
Figure 8
Figure 9
La droite (OM) est appelée ligne de champ. C'est la courbe dont chaque vecteur (cid:1)d est
colinéaire au champ :
d(cid:1)
0=(cid:217) E
19
Les lignes (ou surfaces) de mêmes potentiels sont appelées lignes (ou surfaces)
équipotentielles, ou encore équipotentielles. Les équipotentielles sont perpendiculaires aux
lignes de champ.
Ces courbes sont essentielles à connaître, par exemple dans le cas de la conduite de
particules chargées. Sachant que ces particules vont suivre les lignes de champ, et que la
géométrie d'un appareil expérimental n'est pas parfait, les lignes de champ peuvent être
rapidement inextricables, compliquant de ce fait le mouvement des particules.
(cid:18)' (cid:19)(cid