Économétrie - Cours et exercices corrigés

Économétrie Cours et exercices corrigés Régis Bourbonnais 9 édition © Dunod, 2015 5 rue Laromiguière, 75005 Paris www.dunod.com ISBN 978-2-10-072151-1 able des matières T Avant-propos IX 1. Qu’est-ce que l’économétrie ? 1 I. La notion de modèle 1 A. Définition 1 B. La construction des modèles en économétrie 2 II. Le rôle de l’économétrie 5 A. L’économétrie comme validation de la théorie 5 B. L’économétrie comme outil d’investigation 5 III. La théorie de la corrélation 6 A. Présentation générale 6 B. Mesure et limite du coefficient de corrélation 8 2. Le modèle de régression simple 13 I. Présentation du modèle 13 A. Exemple introductif 13 B. Rôle du terme aléatoire 14 C. Conséquences du terme aléatoire 16 II. Estimation des paramètres 17 A. Modèle et hypothèses 17 B. Formulation des estimateurs 18 C. Les différentes écritures du modèle : erreur et résidu 21 D. Propriétés des estimateurs 22 III. Conséquences des hypothèses : construction des tests 24 A. Hypothèse de normalité des erreurs 24 B. Conséquences de l’hypothèse de normalité des erreurs 25 C. Test bilatéral, test unilatéral et probabilité critique d’un test 27 IV. Équation et tableau d’analyse de la variance 33 A. Équation d’analyse de la variance 33 B. Tableau d’analyse de la variance 34 V. La prévision dans le modèle de régression simple 39 Table des matières - III 3. Le modèle de régression multiple 47 I. Le modèle linéaire général 47 A. Présentation 47 B. Forme matricielle 48 II. Estimation et propriétés des estimateurs 49 A. Estimation des coefficients de régression 49 B. Hypothèses et propriétés des estimateurs 51 C. Équation d’analyse de la variance et qualité d’un ajustement 54 III. Les tests statistiques 59 A. Le rôle des hypothèses 59 B. Construction des tests 60 C. Tests sur les résidus : valeur anormale, effet de levier et point d’influence 62 IV. L’analyse de la variance 67 A. Construction du tableau d’analyse de la variance et test de signification globale d’une régression 67 B. Autres tests à partir du tableau d’analyse de la variance 68 C. Généralisation des tests par analyse de la variance 73 V. L’utilisation de variables indicatrices 75 A. Constitution et finalités des variables indicatrices 75 B. Exemples d’utilisation 76 VI. La prévision à l’aide du modèle linéaire général et la régression récursive 81 A. Prédiction conditionnelle 81 B. Fiabilité de la prévision et intervalle de prévision 82 C. Les tests de stabilité par la régression récursive 84 D. Le test de spécification de Ramsey 86 VII. Exercices récapitulatifs 90 Annexe 102 A) Interprétation géométrique de la méthode des moindres carrés 102 B) Résolution de l’exercice 1 par des logiciels informatiques de régression multiple 103 C) Estimation de la variance de l’erreur 105 4. Multicolinéarité et sélection du modèle optimal 107 I. Corrélation partielle 107 A. Exemple introductif 107 B. Généralisation de la notion de corrélation partielle 108 II. Relation entre coefficients de corrélation simple, partielle et multiple 112 IV - ÉCONOMÉTRIE III. Multicolinéarité : conséquences et détection 114 A. Conséquences de la multicolinéarité 114 B. Tests de détection d’une multicolinéarité 115 C. Comment remédier à la multicolinéarité ? 118 IV. Sélection du modèle optimal 119 5. Problèmes particuliers : la violation des hypothèses 125 I. L’autocorrélation des erreurs 125 A. Présentation du problème 125 B. L’estimateur des Moindres Carrés Généralisés (MCG) 126 C. Les causes et la détection de l’autocorrélation des erreurs 127 D. Les procédures d’estimation en cas d’autocorrélation des erreurs 134 II. L’hétéroscédasticité 142 A. Présentation du problème 142 B. Correction de l’hétéroscédasticité 144 C. Tests de détection de l’hétéroscédasticité 147 D. Autre test d’hétéroscédasticité : le test ARCH 153 III. Modèles à erreurs sur les variables 154 A. Conséquences lorsque les variables sont entachées d’erreurs 154 B. La méthode des variables instrumentales 155 C. Le test d’exogénéité d’Hausman 156 D. La méthode des moments généralisée 157 6. Les modèles non linéaires 165 I. Les différents types de modèles non linéaires 165 A. Les fonctions de type exponentiel 165 B. Les modèles de diffusion 168 II. Méthodes d’estimation des modèles non linéaires 170 A. Initiation aux méthodes d’estimation non linéaires 170 B. Exemples d’application 172 7. Les modèles à décalages temporels 177 I. Les modèles linéaires autorégressifs 177 A. Formulation générale 177 B. Test d’autocorrélation et méthodes d’estimation 178 II. Les modèles à retards échelonnés 183 A. Formulation générale 183 B. Détermination du nombre de retards 184 Table des matières - V C. Distribution finie des retards 188 D. Distribution infinie des retards 192 III. Deux exemples de modèles dynamiques 198 A. Le modèle d’ajustement partiel 198 B. Le modèle d’anticipations adaptatives 199 8. Introduction aux modèles à équations simultanées 217 I. Équations structurelles et équations réduites 218 A. Exemple introductif 218 B. Le modèle général 220 C. Cas particulier : les modèles récursifs 221 II. Le problème de l’identification 221 A. Restrictions sur les coefficients 221 B. Conditions d’identification 222 III. Les méthodes d’estimation 223 A. Les moindres carrés indirects 223 B. Les doubles moindres carrés 223 C. Autres méthodes d’estimation 224 Annexe 236 Identification : les conditions de rang 236 9. Éléments d’analyse des séries temporelles 239 I. Stationnarité 239 A. Définition et propriétés 239 B. Fonctions d’autocorrélation simple et partielle 240 C. Tests de « bruit blanc » et de stationnarité 241 II. La non-stationnarité et les tests de racine unitaire 245 A. La non-stationnarité : les processus TS et DS 245 B. Les tests de racine unitaire et la stratégie séquentielle de test 248 III. Les modèles ARIMA 256 A. Typologie des modèles AR, MA et ARMA 256 B. L’extension aux processus ARIMA et SARIMA 259 IV. La méthode de Box et Jenkins 260 A. Recherche de la représentation adéquate : l’identification 260 B. Estimation des paramètres 261 C. Tests d’adéquation du modèle et prévision 262 10. La modélisation VAR 275 I. Représentation d’un modèle VAR 276 A. Exemple introductif 276 VI - ÉCONOMÉTRIE B. La représentation générale 277 C. La représentation ARMAX 278 II. Estimation des paramètres 279 A. Méthode d’estimation 279 B. Détermination du nombre de retards 279 C. Prévision 280 III. Dynamique d’un modèle VAR 284 A. Représentation VMA d’un processus VAR 284 B. Analyse et orthogonalisation des « chocs » 285 C. Décomposition de la variance 288 D. Choix de l’ordre de décomposition 288 IV. La causalité 292 A. Causalité au sens de Granger 292 B. Causalité au sens de Sims 293 11. La cointégration et le modèle à correction d’erreur 297 I. Exemples introductifs 297 II. Le concept de cointégration 299 A. Propriétés de l’ordre d’intégration d’une série 299 B. Conditions de cointégration 301 C. Le modèle à correction d’erreur (ECM) 301 III. Cointégration entre deux variables 302 A. Test de cointégration entre deux variables 303 B. Estimation du modèle à correction d’erreur 303 IV. Généralisation à k variables 306 A. La cointégration entre k variables 306 B. Estimation du modèle à correction d’erreur 307 C. Le modèle à correction d’erreur vectoriel 308 D. Tests de relation de cointégration 310 E. Test d’exogénéité faible 313 F. Synthèse de la procédure d’estimation 314 12. Introduction à l’économétrie des variables qualitatives 319 I. Les problèmes et les conséquences de la spécification binaire 320 II. Les modèles de choix binaires 322 A. Le modèle linéaire sur variable latente 322 B. Les modèles Probit et Logit 323 C. Interprétation des résultats et tests statistiques 325 III. Les modèles à choix multiples 330 A. Les modèles Probit et Logit ordonnés 331 Table des matières - VII B. Le modèle de choix multiples non ordonné : le Logit multinomial 335 IV. Les modèles à variable dépendante limitée : le modèle Tobit 337 A. Le modèle Tobit simple : modèle de régression tronqué ou censuré 338 B. Estimation et interprétation des résultats 340 13. Introduction à l’économétrie des données de panel 345 I. Présentation des modèles à données de panel 346 A. Spécificités des données de panel 346 B. La méthode SUR 347 C. Le modèle linéaire simple 348 II. Les tests d’homogénéité 349 A. Procédure séquentielle de tests 349 B. Construction des tests 350 III. Spécifications et estimations des modèles à effets individuels 355 A. Le modèle à effets fixes individuels 355 B. Le modèle à effets aléatoires 357 C. Effets fixes ou effets aléatoires ? Le test d’Hausman 358 Liste des exercices 363 Tables statistiques 367 Bibliographie 375 Index 379 VIII - ÉCONOMÉTRIE vant-propos A Cette neuvième édition est enrichie de nouveaux exercices et des développements les plus récents de l’économétrie. Ce livre couvre tous les champs de l’économétrie : régression simple et multiple, violation des hypothèses (hétéroscédasticité, autocorrélation des erreurs, variables explicatives aléatoires), modèle à décalage, analyse des séries temporelles, tests de racine unitaire, équations multiples, VAR, cointégration, VECM, économétrie des variables qualitatives et des données de panel… Sur l’ensemble de ces thèmes, ce livre vous propose un cours, des exercices corrigés, et une présentation des logiciels d’économétrie les plus répandus. Souhaitons qu’il corresponde à votre attente. En effet, nous avons voulu, par une alternance systématique de cours et d’exercices, répondre à un besoin pédagogique qui est de mettre rapidement en pratique les connaissances théoriques et ainsi, d’utiliser de manière opérationnelle les acquis du cours ; les exercices sont repérés grâce à un bandeau grisé. De surcroît, le recours à des logiciels [1], lors de la résolution des exercices, permet une découverte de ces outils et donne une dimension pratique que recherchent l’étudiant et le praticien. Afin que le lecteur puisse lui-même refaire les exercices, les données utilisées (sous format Excel, ASCII, RATS et Eviews) ainsi que les programmes de traitement « Batch » de Eviews ou de RATS sont disponibles gratuitement par téléchargement sur le serveur web : http://regisbourbonnais.dauphine.fr Pour chaque exercice faisant appel à un fichier de données, le nom du fichier est cité en tête de l’exercice et repéré par l’icône suivante : Nous avons voulu faire de ce manuel un livre d’apprentissage facilement accessible ; c’est pourquoi les démonstrations les plus complexes font l’objet de renvois à une bibliographie plus spécialisée. Cependant, il convient de préciser que l’économétrie fait appel à des notions d’algèbre linéaire et d’induction statistique qu’il est souhaitable de connaître. Trois logiciels sont utilisés : EXCEL (© Microsoft), RATS (© Var Econometrics version 3 et Estima version 4), Eviews (© Quantitative Micro Software). Nous recommandons aussi particulièrement le logiciel GRETL (http://gretl.sourceforge.net) qui est un logiciel d’économétrie gratuit, complet et très facile d’apprentissage. Avant-propos - IX Dans le terme « économétrie » figure la racine du mot « économie » car son utilisation est surtout destinée à des fins de traitement de données économiques ; cependant, d’autres domaines tels que la finance, la recherche agronomique, la médecine, etc., font maintenant le plus souvent appel à ces techniques. Ce livre s’adresse en premier lieu aux étudiants (sciences économiques, gestion, écoles de commerce et d’ingénieurs, etc.) dont la formation requiert une connaissance de l’économétrie. Gageons qu’il sera un support de cours indispensable et un allié précieux pour préparer les séances de travaux dirigés. N’oublions pas cependant le praticien de l’économétrie (économiste d’entreprise, chercheur, etc.) qui, confronté à des problèmes d’estimation statistique, trouvera dans ce livre les réponses pratiques aux différentes questions qu’il peut se poser. Enfin, j’exprime toute ma gratitude à toutes les personnes – collègues et étudiants – qui ont eu la gentillesse de me faire des commentaires et dont les conseils et suggestions contribuent à la qualité pédagogique de ce livre. Je reste, bien entendu, le seul responsable des erreurs qui subsisteraient [1] . Les lecteurs souhaitant faire des commentaires ou des remarques peuvent me contacter : Régis Bourbonnais, université de Paris-Dauphine, place du Maréchal de Lattre de Tassigny, 75775 Paris Cedex 16, E-mail : [email protected] X - ÉCONOMÉTRIE u’est-ce que 1. Q l’économétrie ? e premier chapitre est consacré à la présentation de l’économétrie et à sa liaison avec la théorie économique. Nous abordons tout d’abord la notion de modèle ainsi que les différentes étapes de la C modélisation. L’apport de l’économétrie en tant qu’outil de validation est étudié en II. Enfin, la théorie de la corrélation – fondement de l’économétrie – fait l’objet de la section III. I. La notion de modèle A. Définition Il est délicat de fournir une définition unique de la notion de modèle [1] . Dans le cadre de l’économétrie, nous pouvons considérer qu’un modèle consiste en une présentation formalisée d’un phénomène sous forme d’équations dont les variables sont des grandeurs économiques. L’objectif du modèle est de représenter les traits les plus marquants d’une réalité qu’il cherche à styliser. Le modèle est donc l’outil que le modélisateur utilise lorsqu’il cherche à comprendre et à expliquer des phénomènes. Pour ce faire, il émet des hypothèses et explicite des relations. La notion de modèle est relative au point de vue auquel nous nous plaçons : la physique, l’épistémologie... Qu’est-ce que l’économétrie ? - 1 Pourquoi des modèles ? Nombreux sont ceux – sociologues, économistes ou physiciens – qui fondent leurs analyses ou leurs jugements sur des raisonnements construits et élaborés. Ces constructions refèrent implicitement à des modèles ; alors pourquoi ne pas expliciter clairement les hypothèses et les relations au sein d’un modèle ? Le modèle est donc une présentation schématique et partielle d’une réalité naturellement plus complexe. Toute la difficulté de la modélisation consiste à ne retenir que la ou les représentations intéressantes pour le problème que le modélisateur cherche à expliciter. Ce choix dépend de la nature du problème, du type de décision ou de l’étude à effectuer. La même réalité peut ainsi être formalisée de diverses manières en fonction des objectifs. B. La construction des modèles en économétrie Dans les sciences sociales, et particulièrement en économie, les phénomènes étudiés concernent le plus souvent des comportements afin de mieux comprendre la nature et le fonctionnement des systèmes économiques. L’objectif du modélisateur est, dans le cadre de l’économétrie et au travers d’une mesure statistique, de permettre aux agents économiques (ménages, entreprises, État...) d’intervenir de manière plus efficace. La construction d’un modèle comporte un certain nombre d’étapes qui sont toutes importantes. En effet, en cas de faiblesse d’un des « maillons », le modèle peut se trouver invalidé pour cause d’hypothèses manquantes, de données non représentatives ou observées avec des erreurs, etc. Examinons les différentes étapes à suivre lors de la construction d’un modèle, ceci à partir de l’exemple du modèle keynésien simplifié. 1) Référence à une théorie Une théorie s’exprime au travers d’hypothèses auxquelles le modèle fait référence. Dans la théorie keynésienne, quatre propositions sont fondamentales : la consommation et le revenu sont liés ; le niveau d’investissement privé et le taux d’intérêt sont également liés ; il existe un investissement autonome public ; enfin, le produit national est égal à la consommation plus l’investissement privé et public. 2 - ÉCONOMÉTRIE 2) Formalisation des relations et choix de la forme des fonctions À partir des propositions précédentes, nous pouvons construire des relations : la consommation est fonction du revenu : C = f (Y ) avec f [′] > 0 ; l’investissement privé dépend du taux d’intérêt : I = g(r) avec g [′] < 0 ; il existe un investissement autonome public : I ; enfin, le produit national (ou le revenu national) est égal à la consommation plus l’investissement : Y ≡ C + I + I . À ce stade, nous n’avons postulé aucune forme particulière en ce qui concerne les fonctions f et g . Ainsi, bien que des considérations d’ordre théorique nous renseignent sur le signe des dérivées, il existe une multitude de fonctions de formes très différentes et ayant des signes de dérivées identiques, par exemple C = a 0 + a 1 Y et C = a 0 Y [1] . Cependant ces deux relations ne reflètent pas le même comportement ; une augmentation du revenu provoque un accroissement proportionnel pour la première relation, alors que, dans la seconde, l’effet s’estompe avec l’augmentation du revenu (si 0 < a 1 < 1 ). Nous appelons « forme fonctionnelle » ce choix (arbitraire ou fondé) de spécification précise du modèle. Dans notre exemple, le modèle explicité s’écrit : C = a 0 + a 1 Y avec a 0 > 0 et 0 < a 1 < 1 a 1 = propension marginale à consommer et a 0 = consommation incompressible ; I = b 0 + b 1 r avec b 0 > 0 et b 1 < 0 ; Y ≡ C + I + I Les deux premières équations reflètent des relations de comportements alors que la troisième est une identité (aucun paramètre n’est à estimer). 3) Sélection et mesure des variables Le modèle étant spécifié, il convient de collecter les variables représentatives des phénomènes économiques. Ce choix n’est pas neutre et peut conduire à des résultats différents, les questions qu’il convient de se poser sont par exemple : Faut-il raisonner en euros constants ou en euros courants ? Les données sont-elles brutes ou CVS [1] ? Quel taux d’intérêt faut-il retenir (taux au jour le jour, taux directeur de la Banque Centrale Européenne,...) ? etc. Corrigées des Variations Saisonnières. Qu’est-ce que l’économétrie ? - 3 Nous distinguons plusieurs types de données selon que le modèle est spécifié en : série temporelle : c’est le cas le plus fréquent en économétrie, il s’agit de variables observées à intervalles de temps réguliers (la consommation annuelle, totale France, exprimée en euros courants sur 20 ans) ; coupe instantanée : les données sont observées au même instant et concernent les valeurs prises par la variable pour un groupe d’individus [1] spécifiques (consommation observée des agriculteurs pour une année donnée) ; panel : la variable représente les valeurs prises par un échantillon d’individus à intervalles réguliers (la consommation d’un échantillon de ménages de la région parisienne sur 20 ans) ; cohorte : très proches des données de panel, les données de cohorte se distinguent de la précédente par la constance de l’échantillon, les individus sondés sont les mêmes d’une période sur l’autre. 4) Décalages temporels Dans le cadre de modèle spécifié en séries temporelles, les relations entre les variables ne sont pas toujours synchrones mais peuvent être décalées dans le temps. Nous pouvons concevoir que la consommation de l’année t est expliquée par le revenu de l’année t - 1 et non celui de l’année t . Pour lever cette ambiguïté, il est d’usage d’écrire le modèle en le spécifiant à l’aide d’un indice de temps : Ct = a 0 + a 1 Yt −1 . La variable Yt −1 est appelée « variable endogène retardée ». On appelle « variable exogène » une variable dont les valeurs sont pré- déterminées, et « variable endogène » une variable dont les valeurs dépendent des variables exogènes. 5) Validation du modèle La dernière étape est celle de la validation [2] du modèle : Les relations spécifiées sont-elles valides ? Peut-on estimer avec suffisamment de précision les coefficients ? Le modèle est-il vérifié sur la totalité de la période ? Les coefficients sont-ils stables ? Etc. À toutes ces questions, les techniques économétriques s’efforcent d’apporter des réponses. Le terme d’individu est employé au sens statistique, c’est-à-dire comme un élément d’une population : une personne, une parcelle de terre... Validation, c’est-à-dire en conformité avec les données disponibles. 4 - ÉCONOMÉTRIE II. Le rôle de l’économétrie A. L’économétrie comme validation de la théorie L’économétrie est un outil à la disposition de l’économiste qui lui permet d’infirmer ou de confirmer les théories qu’il construit. Le théoricien postule des relations ; l’application de méthodes économétriques fournit des estimations sur la valeur des coefficients ainsi que la précision attendue. Une question se pose alors : pourquoi estimer ces relations, et les tester statistiquement ? Plusieurs raisons incitent à cette démarche : tout d’abord cela force l’individu à établir clairement et à estimer les interrelations sous-jacentes. Ensuite, la confiance aveugle dans l’intuition peut mener à l’ignorance de liaisons importantes ou à leur mauvaise utilisation. De plus, des relations marginales mais néanmoins explicatives, qui ne sont qu’un élément d’un modèle global, doivent être testées et validées afin de les mettre à leur véritable place. Enfin, il est nécessaire de fournir, en même temps que l’estimation des relations, une mesure de la confiance que l’économiste peut avoir en celles-ci, c’est-à-dire la précision que l’on peut en attendre. Là encore, l’utilisation de méthodes purement qualitatives exclut toute mesure quantitative de la fiabilité d’une relation. B. L’économétrie comme outil d’investigation L’économétrie n’est pas seulement un système de validation, mais également un outil d’analyse. Nous pouvons citer quelques domaines où l’économétrie apporte une aide à la modélisation, à la réflexion théorique ou à l’action économique par : la mise en évidence de relations entre des variables économiques qui n’étaient pas a priori évidentes ou pressenties ; l’induction statistique ou l’inférence statistique consiste à inférer, à partir des caractéristiques d’un échantillon, les caractéristiques d’une population. Elle permet de déterminer des intervalles de confiance pour des paramètres du modèle ou de tester si un paramètre est significativement [1] inférieur, supérieur ou simplement différent d’une valeur fixée ; Au sens statistique, c’est-à-dire avec un seuil (risque d’erreur à ne pas dépasser, souvent 5 %). Qu’est-ce que l’économétrie ? - 5 la simulation qui mesure l’impact de la modification de la valeur d’une variable sur une autre ( Ct = a 1 Yt ) ; la prévision [1], par l’utilisation de modèles économétriques, qui est utilisée par les pouvoirs publics ou l’entreprise afin d’anticiper et éventuellement de réagir à l’environnement économique. Dans cet ouvrage, nous nous efforcerons de montrer, à l’aide d’exemples, les différentes facettes de l’utilisation des techniques économétriques dans des contextes et pour des objectifs différents. III. La théorie de la corrélation A. Présentation générale Lorsque deux phénomènes ont une évolution commune, nous disons qu’ils sont « corrélés ». La corrélation simple mesure le degré de liaison existant entre ces deux phénomènes représentés par des variables. Si nous cherchons une relation entre trois variables ou plus, nous ferons appel alors à la notion de corrélation multiple. Nous pouvons distinguer la corrélation linéaire, lorsque tous les points du couple de valeurs (x,y) des deux variables semblent alignés sur une droite, de la corrélation non linéaire lorsque le couple de valeurs se trouve sur une même courbe d’allure quelconque. Deux variables peuvent être : en corrélation positive ; on constate alors une augmentation (ou diminution, ou constance) simultanée des valeurs des deux variables ; en corrélation négative, lorsque les valeurs de l’une augmentent, les valeurs de l’autre diminuent ; non corrélées, il n’y a aucune relation entre les variations des valeurs de l’une des variables et les valeurs de l’autre. Le tableau 1, en croisant les critères de linéarité et de corrélation, renvoie à une représentation graphique. Pour découvrir l’utilisation de l’économétrie à des fins de prévision de ventes, voir Bourbonnais R. et Usunier J. C. (2013). 6 - ÉCONOMÉTRIE Tableau 1 – Linéarité et corrélation Col1 Corrélation positive Corrélation négative Absence de corrélation Relation linéaire Graphe 1 Graphe 2 Graphe 5 Relation non linéaire Graphe 3 Graphe 4 Graphe 5 Graphe 2 Graphe 4 Graphe 1 Graphe 3 Qu’est-ce que l’économétrie ? - 7 Graphe 5 B. Mesure et limite du coefficient de corrélation 1) Le coefficient de corrélation linéaire La représentation graphique ne donne qu’une « impression » de la corrélation entre deux variables sans donner une idée précise de l’intensité de la liaison, c’est pourquoi nous calculons une statistique appelée coefficient de corrélation linéaire simple , noté rx,y . Il est égal à : [1] avec : Cov (x,y) = covariance entre x et y ; σx et σy = écart type de x et écart type de y ; n = nombre d’observations. En développant la formule [1], il vient : [2] On peut démontrer que, par construction ce coefficient reste compris entre −1 et 1 : proche de 1, les variables sont corrélées positivement ; proche de −1, les variables sont corrélées négativement ; proche de 0, les variables ne sont pas corrélées. Dans la pratique, ce coefficient est rarement très proche de l’une de ces trois bornes et il est donc difficile de proposer une interprétation fiable à la simple lecture de ce coefficient. Ceci est surtout vrai en économie où les variables sont toutes plus au moins liées entre elles. De plus, il n’est calculé qu’à partir d’un échantillon d’observations et non pas sur l’ensemble des valeurs. On appelle ρx,y 8 - ÉCONOMÉTRIE ce coefficient empirique qui est une estimation du coefficient vrai rx,y . La théorie des tests statistiques nous permet de lever cette indétermination. Soit à tester l’hypothèse H0 : rx,y = 0, contre l’hypothèse H1 : rx,y ̸= 0 . Sous l’hypothèse H0, nous pouvons démontrer que ~~ ~~ ρx,y ~~ ~~ suit une loi 1 − ρx [2] ,y n - 2 de Student à n - 2 degrés de liberté [1] . Nous calculons alors une statistique, appelé le t de Student empirique : [3] Si t [∗] > tnα/ −22 [2] [α] [=][ 0] [,] [05] [(5 %) à] n - 2 degrés de liberté [3], nous rejetons l’hypothèse H0, le coefficient de corrélation est donc significativement différent de 0 ; dans le cas contraire, l’hypothèse d’un coefficient de corrélation nul est acceptée. La loi de Student étant symétrique, nous calculons la valeur absolue du t empirique et nous procédons au test par comparaison avec la valeur lue directement dans la table. La notion de degrés de liberté est explicitée au chapitre 2. Les lois de probabilité sont en fin d’ouvrage. Si le nombre d’observations n est supérieur à 30, on peut approximer la loi de Student par une loi normale, soit t [α/] [2] ≈ 1 , 96 . Qu’est-ce que l’économétrie ? - 9 Exercice n° 1 fichier C1EX1 Calcul d’un coefficient de corrélation Un agronome s’intéresse à la liaison pouvant exister entre le rendement de maïs x (en quintal) d’une parcelle de terre et la quantité d’engrais y (en kilo). Il relève 10 couples de données consignés dans le tableau 2 Tableau 2 – Rendement de maïs et quantité d’engrais Rendement x 16 18 23 24 28 29 26 31 32 34 Engrais y 20 24 28 22 32 28 32 36 41 41 1) Tracer le nuage de points et le commenter. 2) Calculer le coefficient de corrélation simple et tester sa signification par rapport à 0 pour un seuil α = 0 , 05. Solution 1) Le nuage de points (graphique 6) indique que les couples de valeurs sont approximativement alignés : les deux variables semblent corrélées positivement. Graphique 6 – Nuage du couple de valeurs : rendement-quantité d’engrais 10 - ÉCONOMÉTRIE 2) Afin d’appliquer la formule [2], nous dressons le tableau de calcul 3. Tableau 3 – Calcul d’un coefficient de corrélation . x y x [2] y [2] xy 16 20 256 400 320 18 24 324 576 432 23 28 529 784 644 24 22 576 484 528 28 32 784 1 024 896 29 28 841 784 812 26 32 676 1 024 832 31 36 961 1 296 1 116 32 41 1 024 1 681 1 312 34 41 1 156 1 681 1 394 Somme 261 304 7 127 9 734 8 286 ( 10 )( 8 286 ) - ( 261 )( 304 ) 3 516 ρx,y = ~~ ~~ ( 10 )( 7 127 ) - 261 [2] ~~[ ]~~ ( 10 )( 9 734 ) - 304 [2] [=] ( 56 , 11 )( 70 , 17 ) soit ρx,y = 0 , 89 et ρx [2] ,y [=][ 0] [,] [79] Le t de Student empirique (d’après [3]) est égal à : t [∗] = ~~ ~~ | ρx,y | ( 1 − ρx [2] ,y [)] n - 2 0 , 89 = 0 , 1 620 [=][ 5] [,] [49] [ >][ t] 8 [0] [,] [025] = 2 , 306 le coefficient de corrélation entre x et y est significativement différent de 0. 2) Limites de la notion de corrélation a) La relation testée est linéaire L’application de la formule [1] ou [2] ne permet de déterminer que des corrélations linéaires entre variables. Un coefficient de corrélation nul indique que la covariance entre la variable x et la variable y est égale à 0. C’est ainsi que deux variables en totale dépendance peuvent avoir un coefficient de corrélation nul, comme l’illustre l’exemple suivant : l’équation d’un cercle nous est donnée par (x - x 1 ) [2] + (y - y 1 ) [2] = R [2], les variables x et y sont bien liées entre elles fonctionnellement (graphique 7) et pourtant leur covariance est nulle et donc leur coefficient de corrélation égal à 0. Pour pallier cette limite, il convient éventuellement de transformer les variables, préalablement au calcul du coefficient de corrélation, afin de linéariser Qu’est-ce que l’économétrie ? - 11 leur relation, par exemple au moyen d’une transformation de type logarithmique. Graphique 7 – Relation fonctionnelle n’est pas corrélation linéaire b) Corrélation n’est pas causalité Le fait d’avoir un coefficient de corrélation élevé entre deux variables ne signifie pas qu’il existe un autre lien que statistique. En d’autres termes, une covariance significativement différente de 0 n’implique pas une liaison d’ordre économique, physique ou autre. Nous appelons corrélation fortuite ce type de corrélation que rien ne peut expliquer. L’exemple le plus fameux concerne la forte corrélation existante entre le nombre de taches solaires observées et le taux de criminalité aux États-Unis. Cela ne signifie pas qu’il existe une relation entre les deux variables, mais qu’une troisième variable,...