I.S.E.T.Z Support de cours M canique des fluides
CHAPITRE III : DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
INCOMPRESSIBLES
Pr -requis :
G n ralit s sur les fluides et lhydrostatique.
Th or me de l nergie cin tique
Objectifs sp cifiques :
A la fin de ce chapitre l tudiant doit tre capable dappliquer le th or me
de Bernoulli pour un coulement permanent dun fluide parfait incompressible
avec ou sans change d nergie.
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I.S.E.T.Z Support de cours M canique des fluides
CHAPITRE III :
DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
INCOMPRESSIBLES
I G n ralit s :
La dynamique des fluides est la science qui sint resse au comportement des
fluides en mouvement.
On consid re que les fluides tudi s sont parfaits et incompressibles (On ne
tiendra pas compte des effets de viscosit = 0 et = cte)
1) Ecoulement permanent ou stationnaire :
Un coulement est dit permanent ou stationnaire, si les param tres qui
caract risent le fluide (pression, vitesse, temp rature, masse volumique) sont
ind pendants du temps en chacun des points de l coulement.
2) Ligne de courant, tube de courant :
Une ligne de courant est une ligne tangente en tous ces points au vecteur vitesse
des particules qui se trouvent sur cette ligne au moment donn . Lensemble des
lignes de courant sappuyant sur un contour ferm forme le tube de courant.
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Ligne de courant
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Tube de courant
Contour ferm
ligne de courant
Remarque :
En coulement permanent, la ligne de courant et la trajectoire se co ncident.
3) D bit :
Le d bit est la quantit de fluide coul e pendant le temps t. La quantit peut
tre d finie par un volume ou une masse. Par cons quent on d fini alors :
(cid:1) D bit volumique :
Qv =
volume
temps
en
(cid:1) D bit massique :
Qm =
Masse
temps
en
(cid:1) On a : = masse / volume Qm = . Qv
(cid:1) Autre d finition du d bit :
Pour un fluide traversant une section S avec un vecteur vitesse V
Qv =
+ +
S
dsnV
n
vecteur unitaire normal S
Dans la pratique on sint resse la vitesse moyenne Vm dans une section
donn e.
Qv= Vm.S
G nie des Proc d s 29 Bouzid Slim
r
r
r
r
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La vitesse moyenne Vm est appel e aussi vitesse d bitante
Vm =
Q v
S
Vm : vitesse moyenne (m/s)
Q : D bit volumique (m3/s)
S : section (m2)
II Conservation du d bit :
Le long dun tube de courant, le d bit volumique dun fluide incompressible se conserve.
S2
V2
S1
V1
-
Qv = Qv1= Qv2= V1.S1 = V2 .S2
Puisque le fluide est incompressible = cte :
Qm = . Qv Qm= Qm1= Qm2= .V1.S1= .V2.S2
III Th or me de BERNOULLI :
1) Th or me de Bernoulli :
Soit un coulement permanent dun fluide parfait incompressible dans une
conduite .Les deux section S1 et S2 d limitent linstant t une certaine masse de
fluide .Les caract ristiques du fluide linstant t sont :
- En S1 : , v1 , p1 et z1
- En S2 : , v2 , p2 et z2
G nie des Proc d s 30 Bouzid Slim
I.S.E.T.Z Support de cours M canique des fluides
A linstant (t + dt), cette masse se d place et se trouve entre deux sections S1 et
S2. On A donc dm = dm1= dm2
s2
s2
Z2
s1
s1
Z1
Appliquons le th or me de l nergie cin tique dm : (La variation de l nergie
cin tique est gale la somme des travaux des forces ext rieures)
(cid:3)
dmEc
(
)
=
W
21
La variation de l nergie cin tique :
Travail de force de pesanteur : Wp =
dm
)
Publicité
=
dmEc
(
1
2
(
dmgzz
.).
1
2
(
v
2
v
1
)
Travail des forces int rieures est nul car le fluide est parfait ( = 0 )
Travail des forces de pression : Sur S1 : Wp1= Fp1.x1 =
.
vSp
.
1
1
1
.
dt
Sur S2 : Wp2= - Fp2.x2 =
.
vSp
.
2
2
2
.
dt
Sur surface lat rale : WpL = 0
1
2
1
2
(cid:3)
(cid:3)
.(
vdm
2
=
v
1
)
.
.
vSpdtvSp
1
2
.
.
11
.
2
2
+
.
dt
(
z
1
.).
dmgz
2
r
dm
.
.(
v
2
v
1
)
=
p
1
r
..
.
vS
11
.
dt
p
2
r
..
.
vS
2
2
+
.
dt
(
z
1
r
..).
dmg
z
2
Or, dapr s l quation de conservation du d bit :
dm
=
r
.
vS
.
1
Publicité
1
.
dt
=
r
.
vS
.
2
2
.
dt
Donc
1
2
.
dm
r
.(
v
2
=
v
1
)
.
dmp
1
.
dmp
2
+
(
z
1
r
).
z
2
.
.
dmg
+
r
p
1
.
zg
.
1
+
r
v
1
2
=
+
r
p
2
.
zg
.
2
+
r
v
2
2
G nie des Proc d s 31 Bouzid Slim
D
-
D
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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+
r
p
..
zg
+
r
=
Cte
v
2
en (Pa) (1)
Les termes de cette quation sont des nergies par unit de volume (J/m3), ce
sont aussi des termes de pression (Pa).
En effet, 1J/ m3 = 1N m/m3 = 1N/m2 =1Pa
Donc le th or me de Bernoulli traduit la conservation de l nergie par unit de
volume.
" p : Pression statique : Cest la grandeur que lon mesure par exemple par
un manom tre ou l nergie potentielle de pression/ unit de volume.
" gz : Energie potentielle de position par unit de volume
"
1 V2 : Energie cin tique par unit de volume ou pression dynamique
2
1
La quantit (p+ gz+ 2
V2) est appel e aussi la charge du fluide.
2) Autres formes du th or me de Bernoulli :
(cid:4) En divisant toute lexpression (1) par g , on obtient :
+
Publicité
z
+
v
2
g
p
.
g
r
=
Cte
( en m )
Tous les termes sont des hauteurs unit le m tre (m) ou de l nergie par unit de
poids. (J/N = N.m/N = m)
(cid:4) En divisant toute lexpression (1) par , on obtient :
1
2
+
v
.
zg
+
p
r
=
Cte
( en J/kg )
Tous les termes sont des nergies par unit de masse.
G nie des Proc d s 32 Bouzid Slim
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3) Application du th or me de Bernoulli :
a- Vitesse de vidange dun r servoir
Grand r servoir de section S
Petit orifice de vidange de section s.
Hypoth se : S>>s
Niveau constant h= cte
Le long de la ligne de courant on applique le th or me de Bernoulli :
p1+ gz1+
1
2
2
1V = p2+ gz2+
1 2
2V
2
La vitesse de vidange est V = V2
2
2V =
2(p
1
r
)p
2
+ 2g (z1-z2) +
2
1V
R servoir ouvert lair libre p1= patm
Sortie du liquide lair libre p2 = patm
z1-z2= h "
plan de r f rence
Do
2
2V = 2gh +
2
1V
Puisquil y a coulement V2 ` 0
La conservation du d bit donne Q = V1S = V2 s
V1 = V2
s
S
s 0
S
S >> s
2
2V = 2gh
V1 0 do
2
1V = 0
La vitesse de vidange est donc V =
gh2
: Formule de Torricelli
En r alit , la vitesse de vidange est plus faible, elle d pend de la viscosit et la
forme de lorifice de vidange.
G nie des Proc d s 33 Bouzid Slim
-
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b- Mesure du d bit dans une conduite laide du tube de VENTURI
p1+ gz1+
1 2
2
1V = p2+ gz2+
Q = V1S1 = V2S2 V2=V1
1 2
2V
2
S
1
S
2
1 (
2
2
2V -
2
1V ) = p1-p2 + g (z1-z2)
Dans ce cas : z1-z2 = 0 conduite horizontale
1 2
1V [
2
(
S
1
S
2
2
)
Publicité
=
]1
p
1
p
2
2
1V =
r
)p
2
2
)
1]
2(p
1
S
1
S
[(
2
On conna t les caract ristiques des sections S1 et S2 .
Il suffit de mesurer la diff rence de pression (p1-p2) gr ce un tube en U
contenant un liquide manom trique, on aura le d bit volumique :
Q = S1
2(p
S
S
[(
1
1
2
r
)p
2
2
)
1]
G nie des Proc d s 34 Bouzid Slim
-
-
-
-
-
-
I.S.E.T.Z Support de cours M canique des fluides
V- Fluide parfait traversant une machine hydraulique :
1) conservation de l nergie :
p, Q
M
Hyd
, Q
P1
V1
Z1
P2
V2
Z2
P1
V1
Z1
Machine hydraulique : * R ceptrice : turbine
- G n ratrice : pompe
Plan de r f rence horizontal
La turbine transforme l nergie hydraulique du liquide en nergie m canique.
La pompe transforme l nergie m canique fournie par un moteur en nergie
hydraulique.
Conc derons une machine hydraulique parcourue par un d bit Q dun fluide de
masse volumique r
.La conservation de l nergie s crit :
p1+ gz1+
1 2
2
1V = p2+ gz2+
1 2
2
2V E
E : Quantit positive (unit : Pascal), cest l nergie par unit de volume fournie
par une pompe au liquide ou absorb e par une turbine.
On crira : + E pour une M. r ceptrice
- E pour une M. G n ratrice
2) Puissance mise en jeu :
o Puissance hydraulique :
Phyd = E x Q
(w) (Pa) (m3/s)
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o Cas dune pompe :
Pmec
P lec
M
P
Phyd
h m
h p
h m et h p sont respectivement les rendement du moteur lectrique et de la pompe
Puissance m canique :
Puissance lectrique :
P mec = P hyd /h p (w)
P lec = P mec /h m = P hyd /(h p.h
m) = E.Q/(h p.h
m) (w)
o Cas dune turbine
Phyd
T
Pmec
Pm ca = Phyd . T
(w)
T : Rendement de la turbine
Remarque :
Pour les applications num riques, on doit utiliser les unit s du S.I., mais le
r sultat final peut tre donn dans un autre syst me.
Quand on applique la conservation de l nergie :
- on doit respecter le sens de l coulement
- on peut travailler avec les pressions effectives ou absolues (si p1 est
effective alors p2 doit tre effective et si p1 est absolue alors p2 doit tre
absolue)
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