Dynamique des fluides parfaits incompressibles

2

²

v 1

²)

Travail des forces intérieures est nul car le fluide est parfait ( µ = 0 )

Travail des forces de pression : Sur S1 : Wp1= Fp1.x1 =

. vSp . 1 1 1

. dt

Sur S2 : Wp2= - Fp2.x2 =

. vSp . 2

2

2

. dt

Sur surface latérale : WpL = 0

1 2

1 2

(cid:3)

(cid:3)

.( vdm 2

²

=

v 1

²)

. . vSpdtvSp 1 2

. . 11

.

2

2

+

. dt

( z 1

.). dmgz 2

r dm .

.( v 2

²

v 1

²)

=

p 1

r ..

. vS 11

. dt

p 2

r ..

. vS 2 2

+

. dt

( z 1

r ..).

dmg

z

2

Or, d’après l’équation de conservation du débit :

dm

=

r

. vS . 1 1

. dt

=

r

. vS . 2

2

. dt

Donc

1 2

. dm

r

.(

v

2

²

=

v

1

²)

. dmp

1

. dmp

2

+

(

z

1

r

).

z

2

.

. dmg

+

r

p

1

.

zg .

1

+

r

²

v 1 2

=

+

r

p

2

.

zg .

2

+

r

²

v

2 2

Génie des Procédés 31 Bouzid Slim

D

- D

-

-

- - -

- - -

- - -

I.S.E.T.Z Support de cours Mécanique des fluides

+

r

p

.. zg

+

r

=

Cte

² v 2

en (Pa) (1)

Les termes de cette équation sont des énergies par unité de volume (J/m3), ce sont aussi des termes de pression (Pa).

En effet, 1J/ m3 = 1N m/m3 = 1N/m2 =1Pa

Donc le théorème de Bernoulli traduit la conservation de l’énergie par unité de volume.

• p : Pression statique : C’est la grandeur que l’on mesure par exemple par un manomètre ou l’énergie potentielle de pression/ unité de volume.

• ρgz : Energie potentielle de position par unité de volume •

1 ρV2 : Energie cinétique par unité de volume ou pression dynamique 2

1 La quantité (p+ρgz+ 2

ρV2) est appelée aussi la charge du fluide.

2) Autres formes du théorème de Bernoulli :

(cid:4) En divisant toute l’expression (1) par ρg , on obtient :

+

z

+

v 2

² g

p . g

r

=

Cte

( en m )

Tous les termes sont des hauteurs unité le mètre (m) ou de l’énergie par unité de poids. (J/N = N.m/N = m)

(cid:4) En divisant toute l’expression (1) par ρ , on obtient :

1 2

+

v

²

. zg

+

p r

=

Cte

( en J/kg )

Tous les termes sont des énergies par unité de masse.

Génie des Procédés 32 Bouzid Slim

I.S.E.T.Z Support de cours Mécanique des fluides

3) Application du théorème de Bernoulli :

a- Vitesse de vidange d’un réservoir

Grand réservoir de section S Petit orifice de vidange de section s. Hypothèse : S>>s Niveau constant h= cte

Le long de la ligne de courant on applique le théorème de Bernoulli :

p1+ρgz1+

1 2

ρ 2

1V = p2+ρgz2+

1 ρ 2 2V 2

La vitesse de vidange est V = V2

2

2V =

2(p

1 r

)p 2

+ 2g (z1-z2) +

2

1V

Réservoir ouvert à l’air libre p1= patm Sortie du liquide à l’air libre p2 = patm z1-z2= h "

plan de référence

D’où

2

2V = 2gh +

2

1V

Puisqu’il y a écoulement V2 ≠ 0

La conservation du débit donne Q = V1S = V2 s

V1 = V2

s S

s → 0 S

S >> s →

2

2V = 2gh

V1 → 0 d’où

2

1V = 0

La vitesse de vidange est donc V =

gh2

: Formule de Torricelli

En réalité, la vitesse de vidange est plus faible, elle dépend de la viscosité et la forme de l’orifice de vidange.

Génie des Procédés 33 Bouzid Slim

-

I.S.E.T.Z Support de cours Mécanique des fluides

b- Mesure du débit dans une conduite à l’aide du tube de VENTURI

p1+ρgz1+

1 ρ 2 2

1V = p2+ρgz2+

Q = V1S1 = V2S2 → V2=V1

1 ρ 2 2V 2 S 1 S

2

1 ρ ( 2

2

2V -

2

1V ) = p1-p2 +ρg (z1-z2)

Dans ce cas : z1-z2 = 0 conduite horizontale

1 ρ 2 1V [ 2

(

S 1 S

2

2

)

=

]1

p

1

p

2

2

1V =

r

)p 2

2

)

1]

2(p 1 S 1 S

[(

2

On connaît les caractéristiques des sections S1 et S2 .

Il suffit de mesurer la différence de pression (p1-p2) grâce à un tube en U contenant un liquide manométrique, on aura le débit volumique :

Q = S1

2(p S S

[(

1

1

2

r

)p 2

2

)

1]

Génie des Procédés 34 Bouzid Slim

- -

- -

- -

I.S.E.T.Z Support de cours Mécanique des fluides

V- Fluide parfait traversant une machine hydraulique :

1) conservation de l’énergie :

p, Q

M Hyd

ρ, Q P1

V1

Z1

P2

V2

Z2

P1

V1

Z1

Machine hydraulique : * Réceptrice : turbine * Génératrice : pompe

Plan de référence horizontal

La turbine transforme l’énergie hydraulique du liquide en énergie mécanique. La pompe transforme l’énergie mécanique fournie par un moteur en énergie hydraulique. Concéderons une machine hydraulique parcourue par un débit Q d’un fluide de masse volumique r

.La conservation de l’énergie s’écrit :

p1+ρgz1+

1 ρ 2 2

1V = p2+ρgz2+

1 ρ 2 2

2V ± E

E : Quantité positive (unité : Pascal), c’est l’énergie par unité de volume fournie par une pompe au liquide ou absorbée par une turbine.

On écrira : + E pour une M. réceptrice - E pour une M. Génératrice

2) Puissance mise en jeu :

o Puissance hydraulique :

Phyd = E x Q

(w) (Pa) (m3/s)

Génie des Procédés 35 Bouzid Slim

I.S.E.T.Z Support de cours Mécanique des fluides

o Cas d’une pompe :

Pmec

Pélec

M

P

Phyd

h m

h p

h m et h p sont respectivement les rendement du moteur électrique et de la pompe

Puissance mécanique :

Puissance électrique :

P mec = P hyd /h p (w)

P élec = P mec /h m = P hyd /(h p.h

m) = E.Q/(h p.h

m) (w)

o Cas d’une turbine

Phyd

T

Pmec

Pméca = Phyd . ηT

(w)

ηT : Rendement de la turbine

Remarque :

Pour les applications numériques, on doit utiliser les unités du S.I., mais le résultat final peut être donné dans un autre système. Quand on applique la conservation de l’énergie : - on doit respecter le sens de l’écoulement - on peut travailler avec les pressions effectives ou absolues (si p1 est

effective alors p2 doit être effective et si p1 est absolue alors p2 doit être absolue)

Génie des Procédés 36 Bouzid Slim