UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Master d’économie
Année universitaire 2012 – 2013 Cours de M. Desgraupes
Méthodes Numériques
Document 4 : Corrigé des exercices d’optimisation linéaire
1 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raffinerie de pétrole . Méthode des variables ajoutées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indices d’octane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fabrique de pièces détachées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plan de production de moteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Excavation et matériaux de carrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Dualité
Main d’oeuvre et équipements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trois techniques de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Production en heures-machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 4 6 11 13 15 17
19 19 21 22
1 Programmation linéaire
Corrigé ex. 1 : Méthode du simplexe
Programme 1
Max (x1 + 2x2) x1 + 3x2 ≤ 21 −x1 + 3x2 ≤ 18 x1 − x2 ≤ 5 x1 et x2 ≥ 0
On introduit des variables d’écart, ce qui conduit aux équations suivantes pour les
contraintes du problème :
x1 + 3x2 + x3 = 21 −x1 + 3x2 + x4 = 18 = 5 x1 − x2 + x5
Le premier tableau du simplexe s’écrit :
1
x1 1 -1 1 -1
x2 3 3 -1 -2
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 0 0 1 0
x3 x4 x5
21 18 5 0
La variable entrante est x2 qui correspond à l’élément le plus négatif de la dernière ligne. La variable sortante se calcule en trouvant le plus petit rapport positif entre la colonne de droite et la colonne de x2 (colonne entrante) :
Min
(cid:16) 21 3
(cid:17)
,
18 3
=
18 3
= 6
Donc x4 est la variable sortante. La ligne de x4 sert de ligne pivot et on exécute une transformation du pivot autour de la valeur 3 (à l’intersection de la ligne de x4 et de la colonne de x2).
On obtient le tableau suivant :
x1 2 -1/3 2/3 -5/3
x2 0 1 0 0
x3 1 0 0 0
x4 -1 1/3 1/3 2/3
x5 0 0 1 0
x3 x2 x5
3 6 11 12
Maintenant c’est x1 qui entre et x3 qui sort car :
Min
(cid:16) 3 2
(cid:17)
,
11 2/3
=
3 2
Un nouveau pivot autour du nombre 2 (à l’intersection de la ligne de x3 et de la colonne de x1) conduit au tableau suivant :
x1 1 0 0 0
x2 0 1 0 0
x3 1/2 1/6 -1/3 5/6
x4 -1/2 1/6 2/3 -1/6
x5 0 0 1 0
x1 x2 x5
3/2 13/2 10 29/2
Maintenant c’est x4 qui entre et x5 qui sort car :
Min
(cid:16) 13/2 1/6
(cid:17)
,
10 2/3
=
10 2/3
= 15
Un nouveau pivot autour du nombre 2/3 (à l’intersection de la ligne de x5 et de la colonne de x4) conduit au tableau suivant :
x5 3/4 -1/4 3/2 1/4
x1 x2 x4
9 4 15 17
x1 1 0 0 0
x2 0 1 0 0
x3 1/4 1/4 -1/2 3/4
x4 0 0 1 0
2
Ce tableau correspond à l’optimum car il n’y a plus de termes négatifs dans la
dernière ligne. On obtient donc comme solution :
x∗ 1 = 9 x∗ 2 = 4 x∗ 3 = 0 x∗ 4 = 15 x∗ 5 = 0
La première et la troisième contrainte sont saturées.
Programme 2
Min (x1 − 3x2) 3x1 − 2x2 ≤ 7 −x1 + 4x2 ≤ 9 −2x1 + 3x2 ≤ 6 x1 et x2 ≥ 0
On transforme le problème en une maximisation en changeant le signe de la fonc-
tion objectif :
On introduit ensuite les variables d’écart comme ceci :
Max (−x1 + 3x2)
3x1 − 2x2 + x3 = 7 −x1 + 4x2 + x4 = 9 −2x1 + 3x2 + x5 = 6 x1 et x2 ≥ 0
Le tableau de départ pour la méthode du simplexe est donc :
x1 3 -1 -2 1
x2 -2 4 3 -3
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 0 0 1 0
x3 x4 x5
7 9 6 0
La variable entrante est x2 qui correspond à l’élément le plus négatif de la dernière ligne. La variable sortante se calcule en trouvant le plus petit rapport positif entre la colonne de droite et la colonne de x2 (colonne entrante) :
Min
(cid:16) 9 4
(cid:17)
,
6 3
=
6 3
= 2
Donc x5 est la variable sortante. La ligne de x5 sert de ligne pivot / on exécute une transformation du pivot autour de la valeur 3 (à l’intersection de la ligne de x5 et de la colonne de x2).
Cela conduit au tableau suivant :
3
x1 5/3 5/3 -2/3 -1
x2 0 0 1 0
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 2/3 -4/3 1/3 1
x3 x4 x2
11 1 2 6
Cette fois la variable x1 entre dans la base et la variable x4 sort car : (cid:16) 11 5/3
1 5/3
Min
3 5
=
(cid:17)
,
Le pivot se fait autour de la valeur 5/3 (à l’intersection de la ligne de x4 et de la
colonne de x1). On obtient alors le tableau suivant :
x1 0 1 0 0
x2 0 0 1 0
x3 1 0 0 0
x4 -1 3/5 2/5 3/5
x5 2 -4/5 -1/5 1/5
x3 x1 x2
10 3/5 12/5 33/5
Il n’y a plus de terme négatif dans la dernière ligne et on est donc à l’optimum. La
solution est :
x∗ 1 = 3/5 x∗ 2 = 12/5 x∗ 3 = 10 x∗ 4 = 0 x∗ 5 = 0
La deuxième et la troisième contrainte sont saturées. Il ne faut pas oublier de re- changer le signe de la fonction objectif : la valeur à l’optimum est -33/5 (alors que la case inférieure droite du tableau indique 33/5 car ce tableau correspond à la maximisa- tion de −f ).
Corrigé ex. 2 : Raffinerie de pétrole
On désigne par x1 et x2 les quantités de brut 1 et 2 qu’il faut traiter. La fonction
objectif est la marge totale, qu’il faut maximiser :
Les contraintes de production s’expriment sous la forme suivante :
Max (3x1 + 4x2)
0, 25x1 + 0, 35x2 ≤ 825 0, 30x1 + 0, 30x2 ≤ 750 0, 45x1 + 0, 35x2 ≤ 1065
qui se simplifient sous la forme suivante :
5x1 + 7x2 ≤ 16500 x1 + x2 ≤ 2500 9x1 + 7x2 ≤ 21300
4
Si on note x3, x4, x5 les variables d’écart, les contraintes deviennent :
5x1 + 7x2 + x3 = 16500 x1 + x2 + x4 = 2500 9x1 + 7x2 + x5 = 21300
Les tableaux du simplexe sont successivement :
Tableau 1
x1 5 1 9 -3
x2 7 1 7 -4
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 0 0 1 0
16500 2500 21300 0
x3 x4 x5
x2 entre et x3 sort.
Tableau 2
x1 5/7 2/7 4 -1/7
x1 entre et x4 sort.
Tableau 3
x1 0 1 0 0
x2 1 0 0 0
x2 1 0 0 0
x3 1/7 -1/7 -1 4/7
x4 0 1 0 0
x5 0 0 1 0
16500/7 1000/7 4800 66000/7
x2 x4 x5
x3 1/2 -1/2 1 1/2
x4 -5/2 7/2 -14 1/2
x5 0 0 1 0
x2 x1 x5
2000 500 2800 9500
Il n’y a plus de terme négatif dans la dernière ligne et on est donc à l’optimum. La
solution est :
x∗ 1 = 500 x∗ 2 = 2000 x∗ 3 = 0 x∗ 4 = 0 x∗ 5 = 2800
La valeur à l’optimum est f ∗ = 9500. La première et le deuxième contrainte sont saturées : les quotas imposés pour l’essence et le gasoil sont atteints. La troisième présente un écart de 140 (le tableau indique 2800 mais cette contrainte avait été divisée par 20 avant d’être insérée dans le tableau) : cela signifie que le quota de 1065 imposé sur le fuel n’est pas atteint et qu’on fabrique seulement 1065 − 140 = 925 milliers de m3 de fuel.
5
Corrigé ex. 3 : Méthode des variables ajoutées
Les deux programmes d’optimisation de cet exercice présentent une difficulté sup- plémentaire pour appliquer la méthode du simplexe : on ne peut pas démarrer le sim- plexe à partir de l’origine (c’est-à-dire à partir du point de coordonnées nulles) car ce point ne vérifie pas les contraintes. L’origine ne fait pas partie du domaine réalisable.
Il faut donc trouver un point de départ dans le domaine réalisable, autrement dit trouver un point à coordonnées positives qui vérifie les équations des contraintes. On utilise pour cela la méthode des variables ajoutées. Elle consiste à introduire des va- riables supplémentaires x1,a, x2,a, . . . dans les contraintes et à chercher à les annuler. Comme ce sont des variables positives, il suffit d’annuler leur somme et on en fait un problème d’optimisation en fixant comme objectif de minimiser cette somme :
Min
(cid:88)
xj,a
j
Il y a autant de variables ajoutées qu’il y a de contraintes.
Programme 1
Max (x1 − x2 + x3)
−3x1 + 2x2 + x3 = 1 x1 − x2 − x3 + x4 = 3 x1 + 4x2 + 2x3 − 2x4 = 1 x1, x2, x3 et x4 ≥ 0
On introduit 3 variables positives x1,a, x2,a, x3,a dans les contraintes et on cherche à minimiser la fonction objectif x1,a + x2,a + x3,a. On se ramène à un problème de maximisation en changeant le signe de cette fonction objectif. Le problème s’écrit donc sous la forme suivante
Max (−x1,a − x2,a − x3,a)
−3x1 +2x2 +x3
+x1,a
x1 −x2 −x3 +x4 x1 +4x2 +2x3 −2x4
+x2,a
= 1 = 3 +x3,a = 1
avec les contraintes
x1, x2, x3, x4, x1,a, x2,a, x3,a ≥ 0
La fonction objective initiale du problème est pour le moment ignorée. Le problème avec les variables ajoutées peut se traiter au moyen de la méthode du simplexe ordi- naire. La configuration de départ consiste à annuler les variables x1, x2, x3, x4 qui sont ainsi des variables hors-base. Les variables de base sont donc au départ :
x1,a = 1 x2,a = 3 x3,a = 1
Très important : il faut veiller à ce que la fonction objectif (−x1,a − x2,a − x3,a) soit exprimée en fonction des variables hors-base. C’est une règle qui doit toujours être vérifiée :
6
À tous les stades de la méthode du simplexe, la fonction objectif et les variables de base doivent être exprimées en fonction des variables hors-base.
On doit donc, avant de commencer, extraire x1,a, x2,a, x3,a en fonction de x1, x2, x3, x4
et les remplacer dans la fonction objectif. On a :
x1,a = 1 + 3x1 − 2x2 − x3 x2,a = 3 − x1 + x2 + x3 − x4 x3,a = 1 − x1 − 4x2 − 2x3 + 2x4
D’où
−x1,a − x2,a − x3,a = −5 − x1 + 5x2 + 2x3 − x4
À partir de là, la méthode du simplexe s’applique sans problèmes.
Tableau 1
x1 -3 1 1 1
x2 2 -1 4 -5
x3 1 -1 2 -2
x4 0 1 -2 1
x1,a 1 0 0 0
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x1,a 0 1 0 0
x3,a 0 0 1 0
x1,a x2,a x3,a
1 3 1 -5
x2 entre et x3,a sort.
Tableau 2
x1 -7/2 5/4 1/4 9/4
x2 0 0 1 0
x3 0 -1/2 1/2 1/2
x4 1 1/2 -1/2 -3/2
x1,a 1 0 0 0
x1,a 0 1 0 0
x3,a -1/2 1/4 1/4 5/4
x1,a x2,a x2
1/2 13/4 1/4 -15/4
x4 entre et x1,a sort.
Tableau 3
x1 -7/2 3 -3/2 -3
x1 entre et x2,a sort.
Tableau 4
x1 0 1 0 0
x2 0 0 1 0
x2 0 0 1 0
x3 0 -1/2 1/2 1/2
x4 1 0 0 0
x1,a 1 -1/2 1/2 3/2
x1,a 0 1 0 0
x3,a -1/2 1/2 0 1/2
x4 x2,a x2
1/2 3 1/2 -3
x3 -7/12 -1/6 1/4 0
x4 1 0 0 0
x1,a 5/12 -1/6 1/4 1
x1,a 7/6 1/3 1/2 1
x3,a 1/12 1/6 1/4 1
x4 x1 x2
4 1 2 0
Dans le dernier tableau, les trois variables ajoutées sont sorties de la base. Elles sont donc nulles, ce qui était l’objectif. Cela signifie que les variables qui sont main- tenant dans la base constituent une solution à coordonnées positives pour le système
7
des contraintes. On a donc trouvé un point de départ pour résoudre le problème de l’exercice. C’est le point de coordonnées (ici x3 est nulle car elle est hors-base ) :
x1 = 1 x2 = 2 x3 = 0 x4 = 4
On peut donc maintenant traiter le problème posé à partir du point trouvé. On com- mence par supprimer, dans le dernier tableau calculé, les colonnes des variables ajou- tées :
x1 0 1 0
x2 0 0 1
x3 -7/12 -1/6 1/4
x4 1 0 0
4 1 2
x4 x1 x2
Dans ce tableau, on voit que les variables x1, x2 et x4 sont dans la base et que la variable x3 est hors-base. On peut l’interpréter comme le système de contraintes suivant :
− 7
12 x3 + x4 = 4 x1 − 1 6 x3 = 1 x2 + 1 4 x3 = 2
La dernière ligne doit contenir la fonction objectif initiale x1 − x2 + x3 mais celle- ci doit être exprimée, comme toujours, en fonction de la ou des variable(s) hors-base uniquement. Le système précédent permet facilement de tout exprimer en fonction de x3. On trouve :
Le tableau du simplexe s’écrit donc
x1 − x2 + x3 = −1 +
17 12
x3
x1 0 1 0 0
x2 0 0 1 0
x3 -7/12 -1/6 1/4 -17/12
x4 1 0 0 0
x4 x1 x2
4 1 2 -1
La variable x3 entre et x2 sort. Par pivot, on obtient le tableau suivant : x3 0 0 1 0
x2 7/3 2/3 4 17/3
26/3 7/3 8 31/3
x4 1 0 0 0
x1 0 1 0 0
x4 x1 x3
On est maintenant à l’optimum et la solution du problème est :
x∗ 1 = 7/3 x∗ 2 = 0 x∗ 3 = 8 x∗ 4 = 26/3
La valeur à l’optimum est f ∗ = 31/3.
8
Programme 2
Max (x1 + 2x2 + 3x3)
x1 + x2 ≤ 5 2x1 + 2x2 − x3 = 6 12x1 + 8x2 − 5x3 = 32 x1, x2 et x3 ≥ 0
Dans ce problème, la première contrainte est une inégalité, donc il faut commencer par introduire une variable d’écart x4. On introduit ensuite les variables ajoutées comme dans l’exercice précédent. Le problème s’écrit sous la forme
Max (−x1,a − x2,a − x3,a)
avec le système de contraintes suivant :
x1 +x2 2x1 +2x2 −x3 12x1 +8x2 −5x3
+x4 + x1,a
+x2,a
= 5 = 6 +x3,a = 32
avec x1, x2, x3, x4, x1,a, x2,a, x3,a ≥ 0.
La configuration de départ consiste à annuler les variables x1, x2, x3, x4 qui sont
ainsi des variables hors-base. Les variables de base sont donc au départ :
x1,a = 5 x2,a = 6 x3,a = 32
Très important : il faut veiller à ce que la fonction objectif (−x1,a − x2,a − x3,a) soit exprimée en fonction des variables hors-base. On doit donc, avant de commencer, extraire x1,a, x2,a, x3,a en fonction de x1, x2, x3, x4 et les remplacer dans la fonction objectif. On a :
x1,a = 5 − x1 − x2 − x4 x2,a = 6 − 2x1 − 2x2 + x3 x3,a = 32 − 12x1 − 8x2 + 5x3
D’où
−x1,a − x2,a − x3,a = −43 + 15x1 + 11x2 − 6x3 + x4
À partir de là, la méthode du simplexe s’applique sans problèmes :
Tableau 1
x1 1 2 12 -15
x2 1 2 8 -11
x3 0 -1 -5 6
x4 1 0 0 -1
x1,a 1 0 0 0
x1,a 0 1 0 0
x3,a 0 0 1 0
x1,a x2,a x3,a
5 6 32 -43
x1 entre et x3,a sort.
Tableau 2
9
x1 0 0 1 0
x2 1/3 2/3 2/3 -1
x3 5/12 -1/6 -5/12 -1/4
x2 entre et x2,a sort.
Tableau 3
x1 0 0 1 0
x2 0 1 0 0
x3 1/2 -1/4 -1/4 -1/2
x4 entre et x1,a sort.
Tableau 4
x4 1 0 0 -1
x4 1 0 0 -1
x1,a 1 0 0 0
x1,a 0 1 0 0
x3,a -1/12 -1/6 1/12 5/4
x1,a x2,a x1
7/3 2/3 8/3 -3
x1,a 1 0 0 0
x1,a -1/2 3/2 -1 3/2
x3,a 0 -1/4 1/4 1
x1,a x2 x1
2 1 2 -2
x1 0 0 1 0
x2 0 1 0 0
x3 1/2 -1/4 -1/4 0
x4 1 0 0 0
x1,a 1 0 0 1
x1,a -1/2 3/2 -1 1
x3,a 0 -1/4 1/4 1
x4 x2 x1
2 1 2 0
Dans le dernier tableau, les trois variables ajoutées sont sorties de la base. Elles sont donc nulles, ce qui était l’objectif. Cela signifie que les variables qui sont main- tenant dans la base constituent une solution à coordonnées positives pour le système des contraintes. On a donc trouvé un point de départ pour résoudre le problème de l’exercice. C’est le point de coordonnées (ici x3 est nulle car elle est hors-base ) :
x1 = 1 x2 = 2 x3 = 0 x4 = 2
On peut donc maintenant traiter le problème posé à partir du point trouvé. On com- mence par supprimer, dans le dernier tableau calculé, les colonnes des variables ajou- tées :
x1 0 0 1
x2 0 1 0
x3 1/2 -1/4 -1/4
x4 1 0 0
2 1 2
x4 x2 x1
Dans ce tableau, on voit que les variables x1, x2 et x4 sont dans la base et que la variable x3 est hors-base. On peut l’interpréter comme le système de contraintes suivant :
1 2
x2 −
x1 −
x3 + x4 = 2
1 4 1 4
x3 = 1
x3 = 2
10
La dernière ligne doit contenir la fonction objectif initiale x1 + 2x2 + 3x3 mais celle-ci doit être exprimée, comme toujours, en fonction de la ou des variable(s) hors- base uniquement. Le système précédent permet facilement de tout exprimer en fonction de x3 qui est ici l’unique variable hors-base. On trouve :
x1 + 2x2 + 3x3 = 4 +
15 4
x3
Le tableau du simplexe s’écrit donc
x1 0 0 1 0
x2 0 1 0 0
x3 1/2 -1/4 -1/4 -15/4
x4 1 0 0 0
x4 x2 x1
2 1 2 4
La variable x3 entre et x4 sort. Par pivot, on obtient le tableau suivant :
x1 0 0 1 0
x2 0 1 0 0
x3 1 0 0 0
x4 2 1/2 1/2 15/2
x3 x2 x1
4 2 3 19
On est maintenant à l’optimum et la solution du problème est :
x∗ 1 = 3 x∗ 2 = 2 x∗ 3 = 4 x∗ 4 = 0
La valeur à l’optimum est f ∗ = 19.
Corrigé ex. 4 : Indices d’octane
On désigne par x1A et x2A (resp. x1B et x2B) le nombre de barils de P1 et de P2
utilisés pour fabriquer les essences A (resp. B). Indice d’octane des essences A et B :
IA =
71x1A + 99x2A x1A + x2A
71x1B + 99x2B x1B + x2B Les contraintes s’écrivent : IA ≥ 96 et IB ≥ 85, ce qui conduit, après regroupe-
IB =
ment des termes, aux inégalités suivantes :
(cid:40)
25x1A − 3x2A ≤ 0 ≤ 0 x1B − x2B
11
Les containtes de disponibilité des ressources P1 et P2 s’écrivent comme ceci :
(cid:40)
x1A + x1B ≤ 3900 x2A − x2B ≤ 5000
La fonction objectif est :
f = 3, 75(x1A + x2A) + 2, 75(x1B + x2B)
+ 1, 25(3900 − x1A − x1B) + 2, 25(5000 − x2A − x2B) = 2, 5x1A + 1, 5x2A + 1, 5x1B + 0, 5x2B + 16125
Notons x(cid:48) 1, x(cid:48) simplexe s’écrit :
2, x(cid:48)
3, x(cid:48)
4 les variables d’écart. Le tableau de départ de la méthode du
Tableau 1
x1A 25 0 1 0 -2,5
x2A -3 0 0 1 -1,5
x1B 0 1 1 0 -1,5
x2B 0 -1 0 1 -0,5
x(cid:48) 1 1 0 0 0 0
x(cid:48) 2 0 1 0 0 0
x(cid:48) 3 0 0 1 0 0
x(cid:48) 4 0 0 0 1 0
0 0 3900 5000 16125
x(cid:48) 1 x(cid:48) 2 x(cid:48) 3 x(cid:48) 4
x1A entre et x(cid:48)
1 sort.
Tableau 2
x1A 1 0 0 0 0
x2A -3/25 0 3/25 1 -1,8
x1B 0 1 1 0 -1,5
x2B 0 -1 0 1 -0,5
x(cid:48) 1 1/25 0 -1/25 0 0,1
x(cid:48) 2 0 1 0 0 0
x(cid:48) 3 0 0 1 0 0
x(cid:48) 4 0 0 0 1 0
0 0 3900 5000 16125
x1A x(cid:48) 2 x(cid:48) 3 x(cid:48) 4
x2A entre et x(cid:48)
4 sort.
Tableau 3
x1A 1 0 0 0 0
x2A 0 0 0 1 0
x1B 0 1 1 0 -1,5
x2B 3/25 -1 -3/25 1 1,3
x(cid:48) 1 1/25 0 -1/25 0 0,1
x1B entre et x(cid:48)
2 sort.
Tableau 4
x1A 1 0 0 0 0
Publicité
x2A 0 0 0 1 0
x1B 0 1 0 0 0
x2B 3/25 -1 22/25 1 -0,2
x(cid:48) 1 1/25 0 -1/25 0 0,1
x(cid:48) 2 0 1 0 0 0
x(cid:48) 2 0 1 -1 0 1,5
x(cid:48) 3 0 0 1 0 0
x(cid:48) 3 0 0 1 0 0
x(cid:48) 4 3/25 0 -3/25 1 1,8
x(cid:48) 4 3/25 0 -3/25 1 1,8
600 0 3300 5000 25125
x1A x(cid:48) 2 x(cid:48) 3 x2A
600 0 3300 5000 25125
x1A x1B x(cid:48) 3 x2A
12
x2B entre et x(cid:48)
3 sort.
Tableau 5
x1A 1 0 0 0 0
x2A 0 0 0 1 0
x1B 0 1 0 0 0
x2B 0 0 1 0 0
x(cid:48) 1 1/22 -1/22 -1/22 1/22 1/11
x(cid:48) 2 3/22 -3/22 -25/22 25/22 14/11
x(cid:48) 3 -3/22 25/22 25/22 -25/22 2,5/11
x(cid:48) 4 3/22 -3/22 -3/22 25/22 19,5/11
150 3750 3750 1250 25875
x1A x1B x2B x2A
On est maintenant à l’optimum. La solution est
x∗ 1A = 150 x∗ 2A = 1250 x∗ 1B = 3750 x∗ 2B = 3750 f ∗ = 25875
On fabrique donc 1400 (= 150+1250) barils d’essence A et 7500 (= 3750+3750)
barils d’essence B.
Les quatre variables d’écart sont nulles, ce qui signifie que les quatre contraintes sont saturées : il n’y a aucun reliquat de produits P1 et P2 et les indices d’octane obtenus sont respectivement de 96 et 85.
Corrigé ex. 5 : Fabrique de pièces détachées
On désigne par x1 et x2 le nombre de lots de 100 pièces de type A et B respective-
ment.
Les contraintes de disponibilité des trois ateliers conduisent aux inéquations sui-
vantes :
2x1 + x2 ≤ 200 x1 + 4, 5x2 ≤ 540 4x1 + 3x2 ≤ 480
Si on note x3, x4, x5 les variables d’écart, les contraintes deviennent :
= 200 2x1 + x2 + x3 x1 + 4, 5x2 + x4 = 540 4x1 + 3x2 + x5 = 480
La marge sur coût variable unitaire réalisée pour les lots de type A, compte-tenu du
nombre d’unités d’oeuvre requis et de leur coût de fabrication, est :
c1 = 138 − [(10 × 2) + (12 × 1) + (14 × 4)] = 50
Pour les lots de type B, on obtient de même :
c2 = 136 − [(10 × 1) + (12 × 4, 5) + (14 × 3)] = 30
13
La marge totale est c1x1 + c2x2. On cherche donc à maximiser la marge :
Max (50x1 + 30x2)
Le premier tableau du simplexe est donc :
x1 2 1 4 -50
x2 1 4,5 3 -30
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 0 0 1 0
x3 x4 x5
200 540 480 0
La variable x1 entre dans la base. On forme les rapport positifs entre la colonne de droite et la colonne entrante et on cherche le plus petit :
Min
(cid:16) 200 2
,
540 1
,
480 4
(cid:17)
=
200 2
= 100
C’est donc la variable x3 qui sort et on fait une transformation du pivot autour du nombre 2 (à l’intersection de la ligne de x3 et de la colonne de x1).
On obtient le tableau suivant :
x1 1 0 0 0
x2 1/2 4 1 -5
x3 1/2 -1/2 -2 25
x4 0 1 0 0
x5 0 0 1 0
x1 x4 x5
100 440 80 5000
La variable x2 entre maintenant dans la base. Puis :
Min
(cid:16) 100 1/2
(cid:17)
,
440 4
,
80 1
= 80
donc la variable x5 sort et on fait une transformation du pivot autour du nombre 1 (à l’intersection de la ligne de x5 et de la colonne de x2).
on obtient, après pivot, le tableau suivant :
0 0 0
0 1 0
15/2 -2 15
1 0 0
-4 1 5
120 80 5400
x4 x2
C’est l’optimum. La solution est donc :
x∗ 1 = 60 x∗ 2 = 80 x∗ 3 = 0 x∗ 4 = 120 x∗ 5 = 0 f ∗ = 5400
La première et la troisième contrainte sont saturées, autrement dit les atelier T et M sont utilisés à plein, tandis que dans l’atelier F il reste 120 unités d’oeuvre inutilisées.
14
Corrigé ex. 6 : Plan de production de moteurs
Temps opératoire Temps opératoire
Temps disponible pour le modèle A pour le modèle B (en heures)
unitaire
unitaire
Emboutissage Soudure Peinture
50 mn 30 mn 20 mn
40 mn 20 mn 10 mn
2500 h 1000 h 800 h
Coût variable de l’heure 150 e 60 e 20 e
Les prix de vente sont fixés à 215 e pour le modèle A et 150 e pour le modèle B.
On désigne par x1 et x2 les quantités de moteurs des deux types A et B qui vont
être produites.
Calculons les marges bénéficiaires résultant de ces fabrications. Pour le modèle A, le prix de vente unitaire est de 215 et on doit retirer les coûts de fabrication qui dépendent du temps passé dans les trois ateliers (attention les temps sont en minutes et les coûts sont exprimés à l’heure). On trouve donc :
c1 = 215 − (50 × 150 + 30 × 60 + 20 × 30)/60 = 50
De même pour les moteurs de type B on obtient :
c1 = 150 − (40 × 150 + 20 × 60 + 10 × 30)/60 = 25
L’objectif est de maximiser la marge totale :
Max(50 x1 + 25 x2)
Il y a des contraintes de disponibilité qui s’expriment de la manière suivante (en
mettant tous les temps en minutes) :
50x1 + 40x2 ≤ 2500 × 60 30x1 + 20x2 ≤ 1000 × 60 20x1 + 10x2 ≤ 800 × 60
Il y a d’autre part une contrainte de marché qui impose un quota maximal sur le nombres de moteurs de type A :
x1 ≤ 1800
On introduit des variables d’écart x3, x4, x5, x6 dans les quatre contraintes :
50x1 +40x2 +x3 30x1 +20x2 20x1 +10x2
+x4
+x5
x1
= 2500 × 60 = 1000 × 60 = 800 × 60
+x6 = 1800
Le tableau de démarrage du simplexe s’écrit comme ceci :
Tableau 1
15
x1 60 30 20 1 -50
x2 40 20 10 0 -25
x3 1 0 0 0 0
x4 0 1 0 0 0
x5 0 0 1 0 0
x6 0 0 0 1 0
150000 60000 48000 1800 0
x3 x4 x5 x6
La variable x1 entre dans la base et la variable x6 en sort car :
Min
(cid:16) 150000 60
,
60000 30
,
48000 20
,
1800 1
(cid:17)
= 1800
Tableau 2
x1 0 0 0 1 0
x2 40 20 10 0 -25
x3 1 0 0 0 0
x4 0 1 0 0 0
x5 0 0 1 0 0
x6 -60 -30 -20 1 50
42000 6000 12000 1800 90000
x3 x4 x5 x1
Maintenant la variable x2 entre dans la base et la variable x4 en sort car :
Min
(cid:16) 42000 40
,
6000 20
,
12000 10
(cid:17)
=
6000 20
= 300
Tableau 3
x1 0 0 0 1 0
x2 0 1 0 0 0
x3 1 0 0 0 0
x4 -2 0,05 -0,5 0 1,25
x5 0 0 1 0 0
x6 0 -1,5 -5 1 12,5
30000 300 9000 1800 97500
x3 x2 x5 x1
On a atteint l’optimum. La solution est :
x∗ 1 = 1800 x∗ 2 = 300 x∗ 3 = 30000 x∗ 5 = 9000 x∗ 6 = 0 f ∗ = 97500
La deuxième et la quatrième contrainte sont saturées : les valeurs 1,25 et 12,5 dans la dernière ligne du tableau sont les prix duaux π4 et π6 associés. On fabrique le maxi- mum envisagé de moteurs de type A et l’atelier de soudure fonctionne à plein. Le premier atelier (emboutissage) est sous-utilisé : il reste 500 (=30000/60) heures dispo- nibles. De même, dans le troisième atelier, il reste 9000/60=150 heures disponibles.
16
Corrigé ex. 7 : Excavation et matériaux de carrière
On désigne par x1 et x2 les quantités qui seront extraites des deux carrières. La redevance à acquitter est de 19, 40 × 103x1 + 20 × 103x2 et on cherche à la minimiser. Pour simplifier les calculs, on divise les coefficients par 103, d’où le problème :
Min (19, 40x1 + 20x2)
Les rendements liés au concassage des matériaux conduisent aux inéquations sui- vantes qui expriment que les quantités obtenues doivent pouvoir couvrir les besoins imposés par le contrat :
0, 36 × 103x1 + 0, 45 × 103x2 ≥ 13500 0, 40 × 103x1 + 0, 20 × 103x2 ≥ 11200 0, 16 × 103x1 + 0, 10 × 103x2 ≥ 5000
Ces inéquations peuvent être réécrites de la manière suivante :
4x1 + 5x2 ≥ 150 2x1 + x2 ≥ 56 8x1 + 5x2 ≥ 250
Elles montrent en particulier qu’on ne peut pas démarrer le simplexe à partir de l’origine (0, 0). En renversant le sens des inégalités et en introduisant les variables d’écart, on obtient :
−4x1 −5x2 +x3 −2x1 −x2 −8x1 −5x2
+x4
= −150 = −56 +x5 = −250
Il existe des méthodes pour trouver un point de démarrage pour le simplexe : cela revient, une fois qu’on a introduit les variables d’écart, à résoudre un système d’équa- tions linéaires en coordonnées positives. Une des méthodes possibles est la méthode des valeurs ajoutées (mais on ne l’utilisera pas ici).
Dans le cas particulier de cet exercice, on peut se contenter plus simplement de déterminer un point valide sur l’un des axes. Par exemple, si on regarde les intersec- tions des contraintes avec l’axe vertical (x1 = 0), on trouve les valeurs 30, 50, 56. Comme le domaine se trouve au-dessus de ces points, on choisit le point de coordon- nées (0, 56) comme point de départ. On peut vérifier qu’il satisfait effectivement les trois contraintes : il est sur la droite de la deuxième contrainte, donc x4 = 0.
On part donc de la situation suivante :
(cid:26) x1 = 0
x4 = 0 x2 = 56 x3 = 130 x5 = 30
Les variables x1 et x4 sont des variables hors-base. On doit donc exprimer les autres variables en fonction de celles-ci. On obtient :
x2 = 56 − 2x1 + x4 x3 = 130 − 6x1 + 5x4 x5 = 30 − 2x1 + 5x4
17
et donc
2x1 +x2 6x1 2x1
−x4 +x3 −5x4
= 56 = 130 −5x4 +x5 = 30
De même la fonction objectif s’écrit, en fonction de x1 et x4, comme ceci :
f = 1120 − 20, 6x1 + 20x4
On change son signe pour transformer le problème de minimisation en une maximisa- tion :
Le premier tableau du simplexe sera finalement :
Max (20, 6x1 − 20x4 − 1120)
x1 2 6 2 -20,6
x2 1 0 0 0
x3 0 1 0 0
x4 -1 -5 -5 20
x5 0 0 1 0
56 130 30 -1120
x2 x3 x5
La variable x1 entre et la variable x5 sort car :
Min
(cid:16) 56 2
(cid:17)
Publicité
,
130 6
,
30 2
=
30 2
= 15
Le pivot conduit au tableau suivant :
x1 0 0 1 0
x2 1 0 0 0
x3 0 1 0 0
x4 4 10 -5/2 -31,5
x5 -1 -3 1/2 10,3
x2 x3 x1
26 40 15 -811
On fait maintenant entrer la variable x4 et sortir la variable x3 car :
Min
(cid:16) 26 4
(cid:17)
,
40 10
= 4
Le pivot se fait autour de la valeur 10 (à l’intersection de la ligne de x3 et de la colonne de x4). On aboutit au tableau suivant :
x1 0 0 1 0
x2 1 0 0 0
x3 -2/5 1/10 1/4 3,15
x4 0 1 0 0
x5 1/5 -3/10 -1/4 0,85
x2 x4 x1
10 4 25 -685
Ce tableau correspond à l’optimum. La solution est donc :
x∗ 1 = 25 x∗ 2 = 10 x∗ 3 = 0 x∗ 4 = 4 x∗ 5 = 0
En rétablissant le signe de f et le facteur 103, on obtient :
f ∗ = 685000
18
FIGURE 1 – Résolution graphique
2 Dualité
Corrigé ex. 8 : Main d’oeuvre et équipements
Max {3/2 x1 + x2} 2x1 + x2 ≤ 2 x2 ≤ 1 x1 et x2 ≥ 0
8-1) En introduisant des variables d’écart, les contraintes s’écrivent :
2x1+ x2 +x3 x2
= 2 +x4 = 1
La résolution graphique est représentée sur la figure 1. La solution est au point S
qui a pour coordonnées (1/2, 1).
Les deux contraintes sont saturées donc, à l’optimum, les variables x1 et x2 sont dans la base et les variables d’écart x3 et x4 sont hors-base. D’où I = {1, 2} et le complémentaire ¯I = {3, 4}.
Matriciellement, on peut écrire le programme sous la forme :
avec
Max c.x Bx = b x ≥ 0
c = (3/2 (cid:18)2 0
B =
1
0
1 1
1 0
0) (cid:19)
0 1
19
O112SisoquanteDans cette notation, le vecteur des prix duaux s’écrit
π(I) = cI (BI )−1
(1)
et par conséquent
π(I) = (3/2 1)
(cid:18)2 0
(cid:19)−1 1 1
=
1 2
(3/2
1)
(cid:19)
(cid:18)1 −1 2
0
= (3/4
1/4)
Les prix duaux sont donc π1 = 3/4 et π2 = 1/4.
8-2) Dans la situation précédente, on a b1 = 2 et b2 = 1. La question consiste à se demander dans quelle mesure on peut modifier b1 et b2 (c’est-à-dire faire bouger les droites des deux contraintes) sans changer de base à l’optimum, autrement dit sans changer la forme du domaine réalisable.
D’après le graphique, si b1 est fixe, on voit qu’on peut faire augmenter b2 jusqu’à 2 (qui est en fait la valeur de b1). Au contraire, si b2 est fixe, on voit qu’on peut faire augmenter b1 indéfiniment mais que si on le fait diminuer on ne peut aller que jusquà la valeur 1 (qui est en fait la valeur de b2). On en conclue que la base reste inchangée tant que l’on maintient l’inégalité b2 ≤ b1.
8-3) La marge optimale est exprimée par la formule
f ∗ = π1b1 + π2b2
les variations de f s’écrivent donc
∆f = π1∆b1 + π2∆b2
Par conséquent, si b1 est constant, ∆f = π2∆b2 et, si b2 est constant, ∆f =
π1∆b1. 8-4) Le prix d’usage p2 est le coût unitaire d’utilisation de l’équipement. Donc si b2 varie d’une unité, on doit payer p2 tandis que la marge augmente de π2. Ce n’est rentable que si p2 < π2, ce qui est bien le cas puisque p2 vaut 0.2 et que π2 vaut 1/4=0.25.
En revanche si p2 vaut 0.4, une augmentation des capacités d’équipement ne sera
pas rentable puisque 0.4 > 0.25 (cela coûterait plus que ça ne rapporte).
8-5) On augmente maintenant simultanément les deux contraintes mais en maintenant
le rapport ∆b1 = 2 ∆b2.
Le prix d’usage est P = p1∆b1 + p2∆b2 = (2p1 + p2)∆b2. D’autre part ∆f = π1∆b1 + π2∆b2 = (2π1 + π2)∆b2. Une telle évolution n’est profitable que si P < ∆f . La condition est donc
2p1 + p2 < 2π1 + π2
Cette condition est valable quelle que soit l’échelle des extensions, car tant que le rapport entre b1 et b2 reste inchangé, on maintient la relation b2 ≤ b1 trouvée à la question 2 qui est la condition pour que les prix duaux trouvés restent valides.
20
Corrigé ex. 9 : Trois techniques de production
9-1) En appelant x1, x2 et x3 les quantités de bien fabriquées selon l’une des trois tech-
niques, le programme d’optimisation s’écrit de la manière suivante :
Max {3x1 + 4x2 + 5x3} 0, 5 x1 + 1, 5 x2 + 2 x3 ≤ 12 2 x1 + 1, 5 x2 + 0, 5 x3 ≤ 15 x1, x2, x3 ≥ 0
9-2) On introduit des variables d’écart x4 et x5 :
0, 5 x1 +1, 5 x2 +2 x3 2 x1
+1, 5 x2 +0, 5 x3
+x4
= 12 +x5 = 15
Le premier tableau du simplexe s’écrit
x1 0,5 2 -3
x2 1,5 1,5 -4
x3 2 0,5 -5
x4 1 0 0
x5 0 1 0
x4 x5
12 15 0
On fait entrer x3 dans la base.
Min
(cid:16) 12 2
(cid:17)
,
15 0, 5
= 6
Donc x4 est la variable sortante.
Après pivot, on obtient le tableau suivant :
x1 0,25 1,875 -1,75
x2 0,75 1,125 -0,25
x3 1 0 0
x4 0,5 -0,25 2,5
x5 0 1 0
x3 x5
6 12 30
On fait maintenant entrer x1 dans la base.
Min
(cid:16) 6
0, 25
(cid:17)
,
12 1, 875
=
12 1, 875
= 6, 4
Donc x5 est la variable sortante. Le tableau suivant est :
x1 0 1 0
x2 0,6 0,6 0,8
x3 1 0 0
x4 0,533 -0,133 2,267
x5 -0,133 0,533 0,933
x3 x1
4,4 6,4 41,2
21
C’est l’optimum :
x∗ 1 = 6, 4 = 96/15 x∗ 2 = 0 x∗ 3 = 4, 4 = 66/15 x∗ 4 = 0 x∗ 5 = 0
et la valeur à l’optimum est f ∗ = 41, 2.
9-3) Pour écrire qu’il faut satisfaire une demande de 10 unités au moins, on doit rajouter
la contrainte
x1 + x2 + x3 ≥ 10
Or, avec la solution optimale, on a x1 + x2 + x3 = 10, 8, autrement dit cette contrainte est satisfaite dans les conditions précédentes. Elle n’ajoute donc rien et ne modifie pas la solution : c’est une contrainte non saturée.
9-4) On considère le sommet de coordonnées (96/15, 0, 66/15, 0, 0). On sait déjà qu’il est optimal puisque c’est la solution trouvée par le simplexe. On va cependant le vérifier au moyen des conditions d’optimalité.
La base à l’optimum est I = {1, 3} et le complémentaire est ¯I = {2, 4, 5}. Le cri- tère d’optimalité s’écrit matriciellement (en reprenant la même notation qu’à l’exercice précédent) :
c ¯I − cI .(BI )−1.B ¯I ≤ 0
(2)
On a ici
Par conséquent
c = (3 (cid:18)0, 5 2
4
5
0
0)
1, 5 1, 5
2 0, 5
1 0
(cid:19) 0 1
B =
cI = (3 5)
c ¯I = (4
0 0)
BI =
(cid:18)0, 5 2
(cid:19)
2 0, 5
B ¯I =
(cid:18)1, 5 1, 5
1 0
(cid:19) 0 1
On calcule l’expression (2) :
(4
0 0) − (3 5)
(cid:18)0, 5 2
2 0, 5
(cid:19)−1 (cid:18)1, 5 1, 5
1 0
(cid:19) 0 1
= (−4/5 − 34/15 − 14/15)
C’est bien un vecteur strictement négatif.
Corrigé ex. 10 : Production en heures-machines
10-1) Calcul des marges sur coût variable unitaires pour les deux produits P1 et
P2.
On évalue les données en fonction des résultats du dernier exercice mensuel. La fabrication du produit P1 a requis 650 heures-machines dans l’atelier d’usinage alors que celle du produit P2 en a requis 350. Le produit P1 utilise 650/(650+350)=65% du
22
temps de l’atelier d’usinage. Les coûts variables dans cet atelier ont été de 80000, donc le coût correspondant au produit P1 est de 80000 × 0.65. Comme il a été fabriqué 5000 pièces de P1, on a finalement un coût unitaire de
80000 5000
× 0.65 = 10.4.
De la même manière, on calcule le coût unitaire pour le produit P2 dans l’atelier d’usi- nage comme ceci :
80000 7000
× 0.35 = 4.
On calcule de même les coûts unitaires dans l’atelier de finition. La fabrication du produit P1 a requis 150 heures-machines dans l’atelier de finition alors que celle du produit P2 en a requis 350. Le produit P1 utilise 150/(150+350)=30% du temps de l’atelier de finition. Les coûts variables dans cet atelier ont été de 50000, donc le coût correspondant au produit P1 est de 50000 × 0.30. Comme il a été fabriqué 5000 pièces de P1, on a finalement un coût unitaire de
50000 5000
× 0.30 = 3.
De la même manière, on calcule le coût unitaire pour le produit P2 dans l’atelier de finition comme ceci :
50000 7000
× 0.70 = 5.
Compte-tenu des autres coûts imputés directement aux produits, la marge sur coût
variable du produit P1 est finalement :
Celle du produit P2 est :
m1 = 50 − 12 − 10.4 − 3 = 24.6
m2 = 30 − 5.8 − 4 − 5 = 15.2
0-1 ) On désigne par x1 et x2 les quantités respectives de produits P1 et P2 fabri-
qués. La marge sur coûts variables totale sera de :
f = 24.6x1 + 15.2x2
Le nombre d’heures-machines, au cours du dernier exercice mensuel, a été de 650 pour 5000 pièces de P1 produites dans l’atelier d’usinage. Chaque unité de P1 a donc
650 5000
nécessité
heures-machines dans l’atelier d’usinage. Dans l’atelier de finition, le 150 5000
. On calcule de même, le nombre
nombre d’heures-machines par pièce P1 a été de d’heures-machines pour P2.
Les capacités de production mesurées en heures-machine sont de 1100 pour la divi- sion usinage et de 550 pour la division finition. Cela conduit aux contraintes suivantes pour chacun des deux ateliers respectivement :
650 5000
150 5000
x1 +
x1 +
350 7000
350 7000
x2 ≤ 1100
x2 ≤ 550
23
Le programme d’optimisation est finalement :
Max (24.6 x1 + 15.2 x2) 0.13 x1 + 0.05 x2 ≤ 1100 0.03 x1 + 0.05 x2 ≤ 550
Pour déterminer graphiquement la solution de ce programme, il faut placer les
droites des deux contraintes et représenter les isoquantes de la fonction-objectif.
Les pentes des deux contraintes sont respectivement de -0.13/0.05=-2.6 pour la première et -0.03/0.05=-0.6 pour la seconde. D’autre part, la pente des isoquantes est −24.6/15.2 ≈ −1.618. Comme elle est comprise entre les pentes des deux contraintes, la solution se trouve à l’intersection de ces deux contraintes. C’est donc le point solu- tion du système suivant :
On trouve
(cid